Les fonctions affines Définition Une fonction f est un procédé qui permet d'associer à tout nombre x, élément d'un ensemble D, un nombre unique noté f x Définition Une fonction affine est définie sur R par : f x=mx p, m et p étant deux réels. On note aussi : f x=a xb Cas particuliers : Si p=0, alors la fonction f x=mx est linéaire. Si m = 0, alors la fonction f x= p est constante Quelques exemples : Location de voiture Taxi Réservoir qui se vide et se remplit fx=2 x1 fx= 4 x3 fx= 3x fx=4 x fonction linéaire Retenir: Les fonctions affines permettent de décrire toute situation qui fait intervenir une valeur initiale à laquelle on ajoute une grandeur proportionnelle à la variable. Représentation graphique Définition On appelle représentation graphique de la fonction f, l'ensemble des points M du plan de coordonnées x ; f x où x parcourt l'ensemble de définition D Propriété : La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Cas particuliers : La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine. Pour une fonction constante c'est une droite parallèle à l'axe des abscisses 1/8
Vocabulaire: Si f x=mx p on dit que y=mx p est une équation de la droite représentative de la fonction f. p est l'ordonnée à l'origine m est le coefficient directeur de la droite. Si a et b sont deux réels distincts, alors : f b f a m= b a Interprétation du coefficient directeur. Si m>0 lorsque la variable augmente de 1 alors l'image augmente de m Si m<0 lorsque la variable diminue de 1 alors l'image diminue de m Compléments sur les fonctions : Soit f une fonction définie sur un ensemble D et I un intervalle inclus dans D. Définition : On dit qu'une fonction f est croissante sur un intervalle I lorsqu'elle conserve le sens des inégalités sur cet intervalle. Cela signifie que pour tous réels x 1 et x 2 de I : x 1 x 2 f x 1 Définition : On dit qu'une fonction f est décroissante sur un intervalle I lorsqu'elle inverse le sens des inégalités sur cet intervalle. Cela signifie que pour tous réels x 1 et x 2 de I : x 1 x 2 f x 1 Sens de variation d'une fonction affine Soit f une fonctions affine définie sur R par : f x=axb Propriétés : Si m > 0, la fonction est croissante sur R Si m < 0, la fonction est décroissante sur R Si m = 0 la fonction est constante Démonstration 1 : On suppose a>0. Soient deux réels x 1 et x 2 tels que : x 1 x 2 Démontrons que f x 1 x 1 x 2 a x 1 a x 2 car une inégalité ne change pas de sens si on la multiplie par un nombre positif 2/8
a x 1 ba x 2 b car une inégalité ne change pas de sens si on ajoute un même nombre (positif ou négatif) ou deux membres. f x 1 Si on suppose a > 0. x 1 x 2 a x 1 a x 2 a x 1 b a x 2 b f x 1 f x 2 Deuxième démonstration : On suppose a>0 et x 2 x 1 f x 1 =a x 2 b a x 1 b f x 1 =a x 2 b a x 1 b f x 1 =a x 2 a x 1 f x 1 =a x 2 x 1 Le produit de deux nombres positifs est positif donc: f x 1 0 De même pour a>0, on obtient f x 1 0 Exemples de fonctions affines croissantes - Réservoir qui se remplit : V 2 t=4 2 5 t le coefficient directeur de la droite représentative de V 2 est positif ( 2 5 ) - Prix d'une course de taxi. pd=43 d Le coefficient directeur vaut 3 - Déplacement d'un point sur une droite wt= 36 t le coefficient directeur est 6 Exemples de fonctions affines croissantes Réservoir d'essence qui se vide : V 1 t=46 2 3 t Le coefficient directeur est 2 3 (négatif) Abscisse d'un point sur une droite st=15 6 t Le coefficient directeur est -6 (négatif) 3/8
Problème : à quelle condition une fonction affine s'annule-t-elle? Résolution de l'équation : f(x)=0 avec f x=axb avec a 0 a xb=0 C'est trouver l'ensemble des valeurs x pour lesquelles on a f(x)=0. Cela revient à chercher les antécédents de 0. L'équation ax+b=0 est une équation du premier degré Propriété : L'équation a xb=0 avec a 0 a une solution unique qui est : x= b a Remarque : b a est l'unique antécédent de 0 par la fonction f x=axb Démonstration très détaillée Exemple 1 : wt= 36 t A quelle heure William atteint-il le bourg? On doit résoudre : w(t) = 0 36 t=0 6 t=3 t= 3 6 t= 1 2 William atteint le bourg au bout d'une demi-heure Exemple 2: V 2 t=46 2 5 t Combien de temps faut-il pour vider le réservoir? On doit résoudre V 2 t=0 46 2 5 t=0 46= 2 5 46 5 t 46 5=2 t =t t=23 5 t=115 2 Le réservoir se vide au bout de 1 minutes et 55 secondes Rappel : b a est le nombre par lequel il faut multiplier a pour obtenir b 4/8
Représentation graphique Signe d'une fonction affine Définition : Déterminer le signe d'une expression signifie trouver les intervalles sur lesquels cette expression est positive et ceux sur lesquels cette expression est négative. On résume cette recherche dans un tableau, dans lequel on place les symboles + et pour indiquer que l'expression est positive ou négative. Un tel tableau est appelé un tableau de signe. Si a>0 x b/a + ax+b 0 + Si a<0 x -b/a + ax+b + 0 Retenir l'expression ax+b est du signe de a après s'être annulée. Première démonstration : utilisation du sens de variation d'une fonction affine On suppose a0 f est croissante donc : x b a f x f b a Or f b a =0 donc : x b a f x 0 De même : b a x f b f x a b x 0 f x a 5/8
Même principe avec : a<0. On a f décroissante Deuxième démonstration : transformation d'inégalités On suppose a <0 a xb 0 a x b Représentation graphique Exemple de Sonia et William wt= 510t wt 0 st=25 20t st 0 Représentation graphique 6/8
La «fonction carré» Introduction : en mathématiques le carré d'un nombre a est la surface d'un carré de côté a. En physique, un carré désigne souvent une énergie : - E=mc 2 énergie d'un corps au repos - E c = 1 2 v2 énergie cinétique - P=R I 2 puissance consommée par un conducteur ohmique de résistance R La fonction carré est la fonction f définie sur R par : f x=x 2 Sens de variations Propriété : La fonction carré est décroissante sur l'intervalle ] ;0 ] et croissante sur l'intervalle [ 0 ; [. Son tableau de variations est : x 0 + f(x) + 0 Démonstration : + - On démontre que la fonction carré est croissante sur les réels positifs. Soit x 1 et x 2 deux réels positifs, il suffit de prouver que : x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 On suppose x_1<=x_2. x 2 2 x 1 2 =x 2 x 1 x 2 x 1 Le produit de deux termes positifs est positif x 2 2 x 1 2 0et x 2 x 1 2 7/8
On a démontré que : x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 pour les réels positifs. La fonction carré est croissante sur les réels positifs. Même principe sur les réels négatifs. Propriété : le produit d'un terme positif est d'un terme négatif est négatif. Tableau de valeurs de la fonction carré x -2-1 0 1 2 2 12 x^2 4 1 0 1 2 4 32 2 Représentation graphique: La courbe représentative de la fonction carré s'appelle une parabole de sommet O. La courbe représentative de la fonction carré admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. Remarque : la fonction carré n'est pas une fonction affine Vocabulaire : On considère une fonction définie sur un ensemble de définition D, symétrique par rapport à O. La fonction f est paire si : pour tout x de D, f(-x)=f(x) La fonction f est impaire si : pour tout x de D, f(-x)=-f(x) Résolution de l' équation x^2=a en fonction de a. Algébrique et graphique 8/8