Béton armé et précontraint I ETUDE D UNE POUTRE CONTINUE Jean Marc JAEGER Setec TPI E.N.P.C. module B.A.E.P.1 ENPC Module BAEP1 Séance 2 1
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11. POUTRE CONTINUE Plan d étude du ferraillage DONNEES D ENTREE 1 Équarrissage de la poutre, schéma statique,matériaux, charges appliquées, DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES A L E.L.U. 2 Calcul des sollicitations enveloppes de flexion et de tranchant, 3 Détermination des armatures longitudinales inférieurs à mi-travée en ELU, 4 Détermination des armatures longitudinales supérieures sur appui en ELU, 5 Détermination des armatures transversales en ELU. DETERMINATION DU FERRAILLAGE PRATIQUE 6 Construction de l épure d arrêt des barres longitudinales, 7 Répartition des barres transversales 7 Étude des zones d appui, 8 Étude de la liaison âme table. VERIFICATIONS A L E.L.S. 9 Vérification des contraintes de compression du béton en ELS, 10 Vérification des ouvertures de fissure en ELS, 11 Vérification des flèches de structure à l ELS. CALCUL AU FEU ETABLISSEMENT DU PLAN DE FERRAILLAGE ENPC Module BAEP1 Séance 2 3
Plan d étude d une poutre en béton armé La justification d une poutre en béton armé se fait selon les étapes suivantes : i) Données d entrée : les dimensions transversales (hauteur h, largeur b) et longitudinales (portée à franchir l) figurent sur les plans de coffrage ainsi que les caractéristiques des matériaux utilisés (f ck, f yk ); les charges appliquées font l objet de plans spécifiques. ii) Sollicitations internes : la détermination de la distribution des sollicitations internes (N,M,V) s effectue avec la résistance des matériaux (R.D.M.) en considérant un comportement élastique de la structure. Ces sollicitations sont calculées dans les différents états : ELU Fondamental, ELS caractéristique, ELS quasi-permanent..etc iii) Calcul des sections critiques aux ELU: les sections d acier, A en flexion et A sw /s vis-à-vis de l effort tranchant, sont calculées en ELU dans les sections dimensionnantes (les plus sollicitées : mi-travée et appui). iv) Ferraillage pratique : à partir des sections d acier théoriques il faut définir un ferraillage pratique longitudinal et transversal, cette étape est très importante elle conditionne la faisabilité de la mise en œuvre du ferraillage et du bon bétonnage de la poutre. v) Vérifications aux E.L.S. : les justifications des clauses ELS (limitation des contraintes du béton, limitation des ouvertures de fissures, limitation des flèches) sont ensuite réalisées à partir du ferraillage pratique, si elles ne sont pas vérifiées le ferraillage est modifié. vi) Calcul au feu : une fois effectué le «calcul à froid» de la poutre il faut vérifier son comportement au feu. ENPC Module BAEP1 Séance 2 4
11.1 POUTRE CONTINUE Données d entrée 0.60 m 2 appuis 250mm*250mm 8.10 m 8.10 m 2.00 m 16.2 m Matériaux f ck = 45MPa f yk = 500MPa 0.15 m 0.80 m 0.60 m Durabilité XC3, S4 Charges uniformément réparties g = 80 KN/ml q = 25 KN/ml ENPC Module BAEP1 Séance 2 5
Effort tranchant : diagramme des sollicitations enveloppes aux E.L.U. L étude R.D.M. de tous les cas de chargement générés par la combinaison E.L.U. fondamentale (1,35 ou 1,0) G + (1,00 ou 0) Q, soit 8 cas de charges en tout dans le cas de la poutre continue à deux travées, donne le diagramme des efforts tranchant enveloppes le long de la poutre. 1.000 0.800 0.73 MN 0.600 0.400 0.46 MN 0.200 0.000-0.200 0.00 0.81 1.62 2.43 3.24 4.05 4.86 5.67 6.48 7.29 8.10 8.91 9.72 10.53 11.34 12.15 12.96 13.77 14.58 15.39 16.20-0.400-0.600-0.800-1.000 ENPC Module BAEP1 Séance 2 6
10. EFFORT TRANCHANT : Modèle bielle-tirant θ α z ENPC Module BAEP1 Séance 2 7
Effort tranchant : généralités L étude de la résistance à l effort tranchant d une poutre en béton armé implique d appréhender le fonctionnement global de la structure aux états limite ultimes et le mode de transmission des efforts par un réseau de bielles de béton comprimé et de tirants formés par les armatures passives. Dans le cas courant où il est nécessaire de disposer des armatures transversales, les modèles classiques de treillis de Mörsh prennent maintenant en compte des bielles d inclinaison variable et non plus uniquement des bielles à 45. La résistance à l effort tranchant est critique dans la mesure où les ruptures d effort tranchant sont fragiles c'est-à-dire brutales. Modèle bielles-tirants Le modèle bielles-tirant permet de décrire le cheminement interne des charges appliquées sur une poutre en béton armé, depuis le point d application jusqu aux appuis, en tenant compte du mode de mise en place des armatures. Les tirants équilibrent les tractions internes et sont constitués par les armatures inférieures longitudinales et les armatures transversales. L inclinaison de ces dernières par rapport à l horizontale est noté α sachant que dans la grande majorité des cas α = 90 pour des raisons pratiques. Les bielles de béton comprimé suivent la trajectoire des contraintes principales de compression dites isostatiques de compression, elles sont inclinées d un angle θ par rapport à l horizontale et représentées en pointillés épais sur la figure cidessus. En partie supérieure, des bielles horizontales correspondent aux efforts de compression équilibrés par la zone comprimée. ENPC Module BAEP1 Séance 2 8
10. EFFORT TRANCHANT : Généralités Un essai de chargement d une poutre isostatique en béton armé permet de voir l évolution de la fissuration au fur et à mesure du chargement de cette poutre. Essais de poutres en béton armé JR Robinson et JM Demorieux ENPC Module BAEP1 Séance 2 99
Principe du calcul des armatures transversales Un effort appliqué en face supérieure d une poutre en béton armé descend en partie basse de la poutre par des bielles de compression. Les composantes horizontales de ces bielles sont équilibrées par le tirant inférieur que constituent les armatures longitudinales inférieures de la poutre. Les composantes verticales de ces bielles sont «remontées» en partie haute de la poutre par les tirants que constituent les armatures transversales. De nouvelles bielles se forment successivement jusqu à la dernière bielle arrivant sur appui nommée bielle d about. On pourrait considérer qu une bielle se forme par cours d armatures transversales. Le rôle des armatures d effort tranchant est de coudre les deux parties de la poutre séparées par une fissure, ces armatures doivent «remonter» la composante verticale de l effort véhiculé par la bielle de compression en notant que cette composante est l effort tranchant. Le principe du calcul des armatures transversales est simple, il s agit de dénombrer les barres d acier traversant la fissure et de comparer l effort résistant développé par ces aciers à l effort agissant. Il faudra également vérifier que la contrainte de compression dans les bielles est acceptable. Ces vérifications sont faites en E.L.U. L angle d inclinaison des bielles, qui avait traditionnellement pour valeur 45, est maintenant laissé au choix du projeteur béton armé dans les limites suivantes : 1 cotg θ 2,5 ou 21.8 θ 45 ENPC Module BAEP1 Séance 2 10
10. EFFORT TRANCHANT Procédure générale (éléments de hauteur constante) V Ed effort tranchant agissant de calcul V Rd,c effort tranchant résistant en l absence d armatures V Rd,s effort tranchant repris par les armatures transversales V Rd,max effort tranchant maximal équilibré par les bielles - COMPRESSION DES BIELLES V Ed V Rd,max : limite avant écrasement des bielles de compression - ARMATURES D EFFORT TRANCHANT V Ed V Rd,c V Ed > V Rd,c : aucune armature transversale (ou ferraillage minimal) : armatures transversales requises Section 6 6.2 ENPC Module BAEP1 Séance 2 11
Procédure du calcul à l effort tranchant L Eurocode 2 définit dans les procédures générales de vérification (6.2.1) quatre valeurs de calcul. Ces vérifications sont faites exclusivement aux états limites ultimes. V Ed est l effort tranchant agissant de calcul, V Rd,c est l effort tranchant résistant de calcul en l absence d armature d effort tranchant, V Rd,s est l effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d effort tranchant, V Rd,max est l effort tranchant de calcul maximal pouvant être repris par l élément avant écrasement des bielles de compression. Une première analyse consiste à vérifier si il est nécessaire ou non de disposer des armatures transversales dans l élément, c est le cas dès que V Ed V Rd,c. Les éléments ne nécessitant pas d armatures transversales sont rares. Deux vérifications sont ensuite à faire, la première qui consiste à s assurer que V Ed V Rd,s permet de dimensionner les armatures d effort tranchant, la seconde qui consiste à vérifier que V Ed V Rd,max permet de déterminer l angle d inclinaison des bielles θ ou de définir l équarrissage du béton. ENPC Module BAEP1 Séance 2 12
11.7 POUTRE CONTINUE Calcul de V Ed,m Cas de charges réparties Il n y a pas lieu d effectuer de vérification à l effort tranchant à une distance du nu de l appui inférieure à d. Dans les régions ou il n y a pas de discontinuité de V Ed, la détermination des armatures d effort tranchant sur une longueur élémentaire l=z(cotg θ+cotgα) peut être effectuée en utilisant la plus petite valeur de V Ed sur cette longueur.» Remarque : non cumulable avec la clause «distance d du nu de l appui. 6.2.3 (8) EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 2 13
Calcul de V Ed Le calcul de l effort tranchant agissant de calcul V Ed se fait en premier lieu en zones d appui là où il est le plus élevé. On distingue en fait trois valeurs, la première pour vérifier la résistance de la bielle d appui et les deux suivantes pour calculer les armatures transversales en tenant compte du fait que les charges appliquées à proximité d un appui sont transmises directement sur appui : V Ed sur appui : calculé au nu de l appui d après la résistance des matériaux, cet effort sert à calculer la résistance de la bielle sur appui et celle de l appui luimême, V Ed,m dans le cas ou la poutre est principalement soumise à des charges uniformément réparties, il n y a pas lieu d effectuer de vérification à l effort tranchant à une distance du nu de l appui inférieure à d (hauteur utile avec d 0.9h), il convient de maintenir les armatures requises jusqu au droit de l appui (6.2.1(8)). Mais dans les mêmes conditions il est précisé (6.2.3(5)) que la détermination des armatures sur une longueur élémentaire l=z(cotg θ+cotgα) peut être effectuée en prenant la plus petite valeur de V Ed sur cette longueur. Ces deux clauses ne sont pas cumulables, selon la valeur retenue pour θ on retiendra soit la première (θ=45 ) soit la seconde (zcotgθ>d) pour faire le calcul des armatures par comparaison de V Ed,m et de V Rd,s. ENPC Module BAEP1 Séance 2 14
11.7 POUTRE CONTINUE Calcul de V Ed Réduction par transmission directe d charges appliquées à av de l appui : 0.5d<a v <2d minorées par β=a v /2d a v <0,5d minorées par β=0,25 et les armatures totalement ancrées au droit de l appui a v 0.25m De plus : «Dans les régions ou il n y a pas de discontinuité de V Ed, la détermination des armatures d effort tranchant sur une longueur élémentaire l=z(cotg θ+cotgα) peut être effectuée en utilisant la plus petite valeur de V Ed sur cette longueur.» Remarque : non cumulable avec la clause «distance d du nu de l appui» 6.2.3 (8) EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 2 15
Calcul de V ed (suite) V Ed,réduit dans le cas ou des charges concentrées sont appliquées sur la face supérieure de l élément, à une distance a v du nu de l appui telle que 0,5d a v 2d, la contribution de cette charge peut être multipliée par β=a v /2d. Pour a v 0,5d il convient de prendre a v = 0,5d. Cette réduction peut être appliquée pour la vérification de V Rd,c. Elle n est valable que si les armatures longitudinales sont totalement ancrées au droit de l appui. La valeur de V Ed calculée sans appliquer le coefficient β doit vérifier la condition V Ed 0,5b w d 0,6(1-f ck /250) f cd. La valeur V Ed,réduit doit satisfaire la condition V Ed,réduit A sw f ywd sin α (6.2.2 (19)) ou A sw f ywd représente la résistance des armatures qui traversent les fissures d effort tranchant dans la zone chargée. Il ne convient de ne tenir compte des armatures d effort tranchant que dans la partie centrale de la zone chargée sur une longueur 0.75a v. ENPC Module BAEP1 Séance 2 16
10. EFFORT TRANCHANT V Rd,c résistant béton Effort tranchant résistant sans armature V Rd,c = [0.18/γ c k (100 ρ l f ck ) 1/3 +0.15 σ cp ] b w d et V Rd,c > (v min +k 1 σ cp ] b w d 200 k = 1+ 2,0 avec d en mm d Asl ρ1 = avec Asl aire d'armatures longitudinales b d σ v ancrées au delà de la section de calcul cp min w = 0 en flexion simple = 0,035k 3/ 2 fck 1/ 2 Section 6 6.2.2 ENPC Module BAEP1 Séance 2 17
Calcul de V Rd,c Dans le cas ou l effort tranchant de calcul V Ed est inférieur à l effort tranchant résistant sans armatures transversales V Rd,c il n y a pas lieu de placer d armatures transversales. ENPC Module BAEP1 Séance 2 18
10. EFFORT TRANCHANT : INCLINAISON DES BIELLES Angle entre la bielle et la fibre moyenne : θ θ 1,0 cotg θ 2,5 21.8 θ 45 Le choix de l angle θ conditionne : - la densité d armatures tranversales (A sw /s quand θ ) - la contrainte de compression des bielles (σ b quand θ ) - les dispositions sur appui (bielle d about, sous-tendeur) Section 6 6.2.3 (2) ENPC Module BAEP1 Séance 2 19
Calcul de la section d acier aux états-limites ultimes L Eurocode intègre le fait que le principe de ferraillage d une poutre a une influence sur son mode de rupture et sur l inclinaison des bielles. L angle d inclinaison des bielles θ peut être choisi dans les limites 1 cotg θ 2,5 soit un angle d inclinaison des bielles compris entre 21,8 et 45. En adoptant un angle θ = 21.8 on réduira la densité des armatures transversales et on augmentera le taux de compression des bielles d about (les plus sollicitées), de la même manière un angle θ = 45 permet de limiter le taux de compression des bielles. Un processus de choix consiste à adopter une valeur de θ, à vérifier que le taux de compression des bielles d appui est acceptable soit V Ed V Rd,max puis à calculer les armatures à partir de la condition V Ed V Rd,s. Mais le choix de l angle θ conditionne également toutes les vérifications d appui ainsi que l épure d arrêt des barres longitudinales. Le choix ne peut se faire qu après une analyse complète de la poutre. ENPC Module BAEP1 Séance 2 20
3. EFFORT TRANCHANT : GEOMETRIE DE LA BIELLE z θ α z.cosθ z.cotgαsinθ z.cotgθ z.cotgα Épaisseur de la bielle : b w Largeur d appui de la bielle: z.(cosθ + cotg α.sinθ) Longueur d appui de la bielle sur l horizontale : z.(cotgθ + cotgα) ENPC Module BAEP1 Séance 2 21
Géométrie de la bielle Il est utile de bien comprendre les caractéristiques géométriques des bielles de compression considérées par l Eurocode 2 : - La bielle courante est inclinée d un angle θ par rapport à la fibre moyenne. - L épaisseur de cette bielle est notée b w et correspond à la plus petite valeur de la largeur de la section comprise entre la membrure comprimée et la membrure tendue. - La longueur d appui de cette bielle sur les armatures longitudinales ENPC Module BAEP1 Séance 2 22
10. EFFORT TRANCHANT : ARMATURES Calcul de V Rd,s 1,0 cot θ 2,5 V Rd,s α F s t θ α z z.(cotθ+cotα) s V z.(cotθ + cotα) Asw =. Fst sinα = zf ywd.(cotθ cotα).sinα s s Cas le plus courant α = π/2 (armatures verticales) : Rd, sy + Section 6 6.2.3 (3) V z.cotθ Asw, sy =. Fst fywd. z.cotθ s s Rd = ENPC Module BAEP1 Séance 2 23
Calcul de la section d acier aux états-limites ultimes Le calcul de l effort tranchant de calcul pouvant être équilibré par les armatures d effort tranchant V Rd,s consiste à dénombrer les barres d acier qui traversent une fissure inclinée de θ par rapport à l horizontale, puis à calculer l effort résistant de ces barres et à le projeter sur la verticale. Un cours d armatures transversale a une section notée A sw et les différents cours sont espacés d une distance s. L analyse géométrique considère un triangle de hauteur z dont un coté est parallèle à la fissure inclinée de θ par rapport à l horizontale et l autre parallèle aux aciers transversaux inclinés de α par rapport à l horizontale. Le nombre de cours d armatures qui traversent la fissure est égal à z(cotgθ+cotgα)/s, chaque cours développe un effort résistant F st = A sw f ywd en notant f ywd le taux de travail de ces aciers et est incliné de α sur l horizontale. En projetant cet effort résistant sur la verticale on obtient l expression de V Rd,s (avec A sw aire de la section d un cours d armatures transversales, s espacement entre deux cours successifs, z bras de levier, qui résulte du calcul en flexion ou qui peut être pris égal à 0.9d, f ywd limite d élasticité de calcul des armatures transversales égal à f yk /γ s et θ angle d inclinaison des bielles). L inéquation V Ed V Rd,s permet alors de calculer A sw / s. Le choix de s permet ensuite d en déduire A sw, l espacement en zone d appui est souvent voisin de 10cm, celui-ci augmente au fur et à mesure que l on se déplace vers la mi-travée tout en étant plafonné à un maximum précisé ci-dessous. ENPC Module BAEP1 Séance 2 24
10. EFFORT TRANCHANT : BIELLES Contrainte de compression des bielles z.(cosθ+cotα.sinθ) V Rd,max = b w. z.(cosθ + cotα.sinθ ). σ.sinθ c z b w σ c = b w 2. z.(cotθ + cotα).sin θ. σ c V Rd,max θ α σ c =ν f cd ν = 0,6 (1-f ck /250) Section 6 6.2.3 (3) Cas le plus courant α = π/2 (armatures verticales): V Rd, max = bw. z. ν. fcd /(cotθ + tanθ ) ENPC Module BAEP1 Séance 2 25
Vérification de la contrainte de compression des bielles Le calcul de l effort tranchant de calcul maximal pouvant être repris par l élément avant écrasement des bielles de compression est effectué en déterminant l aire de la section droite de la bielle, en lui associant un taux de compression maximum pour déterminer l effort de compression maximal dans la bielle et en projetant l effort obtenu sur la verticale pour le comparer à l effort trachant. Le taux de compression maximal du béton qui résulte de l application de la méthode bielle et tirants est égal à : σ c =ν 1 f cd avec ν 1 =0,6 pour f ck 60MPa et ν 1 =0,9-f ck /200>0.5 si f ck >60MPa. Dans le cas ou α = 90 l expression de V Rd,max se simplifie tel qu indiqué ci-dessus en notant b w la largeur d âme de la poutre, z le bras de levier qui résulte du calcul en flexion ou qui peut être pris égal à 0.9d, ν 1 = 0,6 pour f ck 60MPa et ν 1 =0,9-f ck /200>0.5 si f ck >60MPa, f cd la contrainte de calcul du béton et θ angle d inclinaison des bielles. ENPC Module BAEP1 Séance 2 26
11.2 POUTRE CONTINUE Epure d arrêt des barres Moments de flexion enveloppes E.L.U. (MNm) +0.73MNm 1.000 0.500 0.000 16.20 15.39 14.58 13.77 12.96 12.15 11.34 10.53 9.72 8.91 8.10 7.29 6.48 5.67 4.86 4.05 3.24 2.43 1.62 0.81 0.00-0.500-1.000-1.19MNm -1.500 ENPC Module BAEP1 Séance 2 27
Epure d arrêt des barres Le diagramme des moments de flexion enveloppes (moments de flexion extrêmes dans chaque section) s obtient en considérant toutes les dispositions possibles des chargement aux ELU. L étude des sections les plus sollicitées (zone de mi-travée, appui intermédiaire) fournit les sections d acier à mettre en œuvre dans celles-ci. Le ferraillage pratique de ces sections est constitué d une certain nombre de lits d acier (en général 3 lits pour les armatures inférieures) comportant chacun le même nombre de barres par lit. Les armatures à mettre en œuvre dans les sections intermédiaires, moins sollicitées, vont être réduites progressivement en arrêtant successivement les lits d acier. L épure d arrêt des barres (par lit) se construit en exprimant simplement que le moment résistant de la section armée avec 1, 2 ou 3 lits (cas général) doit toujours rester supérieur au moment sollicitant donné par la courbe enveloppe des moments de flexion. Selon les conventions de signe RDM on considère le moment maximum pour les aciers longitudinaux inférieurs et le moment minimum pour les aciers longitudinaux supérieurs (nommés «chapeaux»). Deux points sont à prendre en compte lors de la construction de cette épure: - le décalage de la courbe de moment : dans une structure en béton armé les efforts cheminent par un réseau de bielles (et de tirants) dont l inclinaison impose un décalage des moments, on parle de la «courbe décalée», - la longueur de scellement des armatures : une armature ne sera efficace à 100% dans une section donnée qu après une certaine longueur appelée longueur de scellement. ENPC Module BAEP1 Séance 2 28
11.8 POUTRE CONTINUE Décalage des moments de flexion Équilibre des moments par rapport à A : F F F td td td. z +. z + V = V A sw Rd, sy Rd, sy f. z cotα z (cotθ + cotα).sinα = V s 2 z z.cotα = VRd, sy..cotθ 2 2 ywd ( cotθ cotα ) 2 Rd, sy z..cotθ 2 z(cotθ+cotα)/2 F td représente le supplément de traction dans la membrure tendue provoqué par le seul effort tranchant (supposant une haute densité d armatures transversales) A F td V Rd,sy α θ z Section 9 9.2.1.3 ENPC Module BAEP1 Séance 2 29
Décalage de la courbe enveloppe des moments Considérons une section droite Σ soumise à un moment de flexion M ELU et un effort tranchant V ELU. Le calcul, dans la section Σ,des aciers équilibrant le moment de flexion M ELU donne une section d acier A st. En réalité le moment de flexion dans cette section est équilibré par une bielle de compression, inclinée d un angle θ et passant par le centre de gravité de la section Σ, qui s appuie sur des armatures de flexion situées dans une section voisine de Σ. Il faut tenir compte du surcroît de traction correspondant dans la section Σ, le décalage de la courbe des moments permet de tenir compte de cet effet. Le calcul de ce surcroît de traction s effectue en exprimant de deux manières le moment de flexion au point A, intersection de la ligne d action de la bielle et de celle de la résultante des compressions du béton : à partir de l effort tranchant équilibré par les armatures transversales et à partir des efforts effectivement équilibrés par les barres transversales et par les barres longitudinales. ENPC Module BAEP1 Séance 2 30
11.8 POUTRE CONTINUE Décalage des moments de flexion M a l = = F V F td td. z = V. z = z Rd, sy Rd, sy. a l ( cotθ cotα ) 2 Effet du supplément de traction dû à l effort tranchant sur l épure d arrêt des armatures longitudinales: M A : enveloppe de M ed /z B : effort effectif de traction C : effort de traction résistant a l : décalage = z(cotθ - cotα)/2 M R1er lit M R 2 lits M R 3 lits Section 9 9.2.1.3 ENPC Module BAEP1 Séance 2 31
Décalage de la courbe des moments Les deux courbes enveloppes des moments de flexion sont décalées pour tenir compte de l inclinaison des bielles due à l effort tranchant, chacune dans le sens le plus défavorable, d une quantité égale à a l =z/2(cotgθ-cotgα). Principe du calcul d arrêt des barres La courbe représentant le moment résistant doit envelopper la courbe de moment sollicitant décalée de a l : On trace les deux courbes enveloppes du moments de flexion, on décale ensuite ces deux courbes de a l, dans le sens le plus défavorable, On calcule les moments résistants M R du premier lit d acier, puis des deux premiers lits puis des 3 premiers lits et ainsi de suite, L intersection de chaque moment résistant avec la courbe de moment décalé détermine l épure d arrêt des barres, Il faut ensuite vérifier que les longueurs d ancrage de calcul sont bien assurées entre deux lits successifs ENPC Module BAEP1 Séance 2 32
11.3 POUTRE CONTINUE Calcul du moment résistant On fait l hypothèse du pivot B h A αd d N N st c α = = A f yd = N = b 0.8αd st A f 0.8bd fcd β = 1.4α yd fcd b On vérifie l hypothèse, alors : moment réduit : µ hauteur utile : d hauteur de béton comprimé : αd bras de levier : βd allongement des aciers : ε st raccourcissement du béton : ε c M = βd R Af yd ENPC Module BAEP1 Séance 2 33
Moment résistant d une section Le moment résistant M R d une section armée avec un, deux ou trois lits d acier (ou plus) est le moment maximum que l on peut appliquer à cette section tout en satisfaisant aux critères de l état limite ultime. Les deux équations d équilibre du béton armé se résolvent en adoptant cette fois comme inconnues le moment de flexion M R et la hauteur de béton comprimé αd. Le principe est le suivant: - on fait l hypothèse d une section en pivot B, les aciers travaillant au taux f yd, - on en déduit l effort de traction équilibré par les armatures et donc l effort de compression repris par le béton comprimé, - d où la hauteur de béton comprimé αd et le bras de levier βd, - le moment de flexion est directement déduit de la connaissance du bras de levier et de l effort de traction équilibré par les aciers. On vérifie que l hypothèse est justifiée, si elle ne l est pas on refait le calcul avec les hypothèses résultant de la première itération. ENPC Module BAEP1 Séance 2 34
11.10 POUTRE CONTINUE Ancrage des aciers sur appui Effort de traction à ancrer sur appui F A E = VEd (cotθ cotα) / 2 β A avec β 0.25 appui 2 travée 2 = Dispositions d ancrage l bd longueur d ancrage de calcul 9.2.1.4 Fig. 6.27 ENPC Module BAEP1 Séance 2 35
Ancrages des barres longitudinales sur appui L effort de traction dans les armatures longitudinales à ancrer sur appui d extrémité, dans une poutre isostatique soumise à une flexiuon simple, est donnée par l article 6.2.3.7(5) de l EC2, il est égal à : F E V = Ed (cotθ cotα)/ 2 La section d acier à ancrer totalement sur appui a pour valeur A ap = F E /f yd, cette valeur doit être supérieure à β 2 A travée avec β 2 > 0.25. A noter que ce dernier coefficient est égal à 0 selon l Annexe Nationale. Ces aciers doivent ancrés d une longueur d ancrage l bd définie selon le schéma cidessus. Sur un appui intermédiaire, l effort F E tel que calculé ci-dessus s applique mais doit être réduit d une valeur M appui /z du fait de la compression en fibre inférieure générée par le moment sur appui. La longueur d ancrage sur appui intermédiaire doit être au moins égale à dix diamètres. En général les barres longitudinales inférieures s arrêtent à 1cm de l axe de l appui et se recouvrent via une barre couvre joint qui a pour longueur 2l bd +2cm. ENPC Module BAEP1 Séance 2 36
11.10 POUTRE CONTINUE Longueur d ancrage Longueur d ancrage de référence l b,rqd = 39 Φ l b, rqd σ f f 1 sd bd ctd = ( Φ / 4)( σ contrainte de calcul de la barre = = 2,25η η f f 1 ctk 0,05 2 / γ c sd ctd / ) = 39Φ avec σ = 2.99MPa = 2.0/1.5 = 1.33MPa η = 1.0 conditions d' adhérence bonnes f bd sd = 470MPa et η = 1.0 2 pour Φ 32mm Longueur d ancrage de calcul l b,rqd bd = = 0.70 0.70 l b,rqd l b,rqd l c bd α α 1 d 2 = α α α 3 α 1 5 2 = 0.7 si α 0,7 c = min(c1; a/2) 3 α d α l 4 5 b, rqd > 3Φ sinon l b,min α 1 = 1.0 Section 8 8.4.3 ENPC Module BAEP1 Séance 2 37
Longueur d ancrage l bd La longueur d ancrage de calcul l bd se déduit de la longueur d ancrage de référence l b,rqd. Cette longueur d ancrage de référence se calcule en supposant que la contrainte d adhérence entre la barre et le béton est constante et ne peut dépasser une valeur égale à f bd. En exprimant que l effort à ancrer a pour valeur l aire d acier A s = πφ²/4 supportant une contrainte de traction σ sd et que cet effort est équilibré par une surface périmétrique d acier πφ l b,rqd suportant une contrainte f bd on aboutit à l expression de la longueur d ancrage de référence l b,rqd = (φ/4) (σ sd / f bd). La longueur d ancrage de calcul l bd vaut : l bd = α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 l b,rqd Les coefficients α i sont précisés par le Tableau 8.2 des règles EC2 dont un extrait figure ci-contre. ENPC Module BAEP1 Séance 2 38
11.10 POUTRE CONTINUE Vérification de la bielle d about Contrainte maximale σ Rd,max σ Rd,max = 0.85 (1- f ck /250) f cd Contrainte bielle σ bielle = (V Ed /sinθ)/(b appui.a 1.sinθ) Fig. 6.27 Nota: avec θ=22 il n est pas toujours facile d assurer cette condition Section 8 8.4.3 ENPC Module BAEP1 Séance 2 39
Bielle d about L étude de la bielle d about se fait selon un modèle bielles-tirants définit par l article 6.5 des règles EC2. L angle de la bielle d about peut être différent de l inclinaison des bielles en zone courante pour tenir compte des charges appliquées directement en zone d appui. L effort de compression dans la bielle d about a pour valeur: F cd2 = V Ed / sin θ. La contrainte de compression dans la bielle d about a pour valeur: σ Rd2 = (V Ed / Sin θ) / (b a ppui a 1 sin θ) Cette contrainte doit rester inférieure à la contrainte maximum dans un nœud soumis à compression et à traction, soit: σ Rd,max = 0,85 (1-f ck /250) f ck /γ c ENPC Module BAEP1 Séance 2 40
11.11 POUTRE CONTINUE Aciers de couture âme-table Contrainte de cisaillement longitudinale V Ed = F d / (h f. x) ν f cd sinθ f cosθ f x distance entre deux sections x < 1/4 l p (poutre isostatique) F d variation d effort normal sur x Armatures de couture A st f yd /s f >V Ed.h f /cotgθ f h f épaisseur de la table (15cm) θ f angle des bielles (45 ) Section 6 6.2.4 ENPC Module BAEP1 Séance 2 41
Cisaillement entre l âme et la membrure supérieure La prise en compte de la table de compression dans les calculs de section en flexion se traduit des efforts de compression agissant sur la partie de table située en dehors de l âme de la poutre. Ces efforts de compression, F d, n existent pas en zone de moment nul, ils vont donc «rejoindre» progressivement l âme par le biais de variations progressives F d entre deux sections successives séparées de x. Il convient de limiter la contraintes de compression dans les bielles dites «en arête de poisson» en vérifiant la valeur limite de la contrainte de cisaillement longitudinale V Ed. Des armatures de couture doivent être disposées tout du long de la liaison âmetable. L angle d inclinaison des bielles doit être compris entre 45 et 26,5 pour les membrures comprimées. ENPC Module BAEP1 Séance 2 42
11.13 POUTRE CONTINUE Plan de ferraillage ENPC Module BAEP1 Séance 2 43
Plan de ferraillage Les sections d acier calculées servent de base pour l établissement du plan de ferraillage d exécution. Des outils de calcul et de dessin automatiques sont souvent utilisés pour faciliter la production de plans. Les calculs de vérification manuels sont indispensables pour s assurer de la validité et de la cohérence des résultats. Une grande partie du travail de l ingénieur béton armé consiste à vérifier que le ferraillage peut être mis en œuvre facilement et que celui-ci n entravera pas le bon bétonnage (descente du béton au moment du coulage) de l ensemble de la poutre. ENPC Module BAEP1 Séance 2 44