Symétrie axiale Symétrie par rapport à une droite Cours Sont abordés dans ce cours : (cliquez sur le chapitre pour un accès direct) CHAPITRE 1 : symétrie axiale et figures symétriques par rapport à une droite CHAPITRE 2 : symétrique d un point par rapport à une droite et méthodes de construction CHAPITRE 3 : propriétés de la symétrie axiale et symétrique d une figure usuelle ou complexe Accès direct au site www.sos-devoirs-corriges.com 1
CHAPITRE 1 : Symétrie axiale et figures symétriques Retour au menu Définition : Figures symétriques et axe de symétrie Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage le long de cette droite. Cette droite est appelée l'axe de symétrie. Dans la suite de ce cours, l axe de symétrie sera indiqué en rouge et sera appelé la droite. Exemple : La figure verte et la figure bleue se superposent par pliage le long de la droite rouge donc ces figures sont symétriques par rapport à la droite. On dit également que la figure bleue est la figure symétrique de la figure verte dans la symétrie axiale d'axe. Remarque : Deux points sont symétriques par rapport à une droite si ces points se superposent par pliage le long de cette droite. Dans l exemple ci-contre, les points et sont symétriques par rapport à la droite. 2
CHAPITRE 2 : Symétrique d un point par rapport à une droite Retour au menu Définition : Symétrique d un point par rapport à une droite Le symétrique d'un point par rapport à une droite est un point. Précisément, le symétrique d un point par rapport à une droite est le point tel que la droite soit la médiatrice du segment. Autrement dit, le symétrique d un point par rapport à une droite est le point tel que la droite soit perpendiculaire au segment et qu elle passe par le milieu de ce segment. Remarque : Si un point appartient à une droite, alors le symétrique de ce point par rapport à la droite est le point lui-même. On dit alors que le point est invariant. L'ensemble des points invariants par une symétrie axiale est l axe de symétrie lui-même. Exemple : Construire le point, symétrique du point par rapport à la droite. Méthode : Symétrique d un point par rapport à une droite en utilisant un quadrillage 1 er cas : l axe de symétrie est horizontal ou vertical (selon les côtés des carreaux) 1 ère étape : On part du point et on compte le nombre de carreaux pour aller jusqu à la droite, axe de symétrie. On dénombre 4 carreaux entre ce point et la droite en suivant le quadrillage horizontalement (de gauche à droite). 2 e étape : Ensuite, on reproduit le trajet de 4 carreaux. On part alors de la droite puis on compte 4 carreaux en suivant le quadrillage horizontalement (en allant de la gauche vers la droite). 3 e étape : Le point est le symétrique du point par rapport à la droite. Remarque : On constate que la droite est bien la médiatrice du segment puisque la droite est perpendiculaire à et puisqu elle passe par le milieu du segment. 3
2 ème cas : l axe de symétrie est oblique (selon les diagonales des carreaux) 1 ère étape : On part du point et on compte le nombre de carreaux pour aller jusqu à la droite, axe de symétrie. On dénombre 4 carreaux entre ce point et la droite en suivant le quadrillage horizontalement (de droite à gauche). 2 e étape : Ensuite, on reproduit le trajet de 4 carreaux mais verticalement. On part alors de la droite puis on compte 4 carreaux en suivant le quadrillage verticalement (en allant de haut en bas). 3 e étape : Le point est le symétrique du point par rapport à la droite. 1 ère remarque : On peut également partir du point et aller jusqu à la droite en suivant le quadrillage verticalement (de haut en bas). Pour obtenir le symétrique de, on part alors de la droite et on suit horizontalement les carreaux (de la droite vers la gauche). 2 ème remarque : On peut également compter les carreaux en suivant leur diagonale. Du point à la droite, on dénombre deux diagonales de carreau. On reproduit le même trajet en partant de la droite et en suivant deux diagonales de carreau. 4
Méthode : Symétrique d un point par rapport à une droite en utilisant des instruments de géométrie 1 er cas : méthode utilisant l équerre et la règle graduée 1 ère étape : A l aide d une équerre, on construit la perpendiculaire à la droite et passant par le point. 2 e étape : A l aide d une règle graduée, on mesure la distance du point à la droite. 3 e étape : A l aide de la règle graduée, on reporte la distance mesurée de l autre côté de la droite, sur la perpendiculaire que l on a construite. 4 e étape : On obtient ainsi le point, symétrique de par rapport à puisque la droite est, par construction, la médiatrice du segment. 5
2 ème cas : méthode utilisant le compas 1 ère étape : A l aide d un compas, on trace un cercle de centre et coupant la droite. Ce cercle coupe la droite en deux points distincts. 2 e étape : On commence ici par nommer et les points d intersection du cercle et de la droite. A l aide du compas, on trace deux cercles ayant le même rayon (représenté ici en violet) et ayant pour centres respectifs les points et. 3 e étape : Les deux cercles bleus se coupent en deux points distincts : l un se trouve du même côté que le point et l autre se trouve de l autre côté de la droite. Ce dernier point est le point, symétrique de par rapport à. Remarque : Il est également possible de tracer des arcs de cercle à la place des cercles, afin de ne pas alourdir la figure par les tracés successifs. 3 ème cas : autre méthode utilisant le compas 1 ère étape : Sur l axe de symétrie, on place deux points distincts, appelés et. 6
2 e étape : On trace un cercle bleu foncé ayant pour centre le point et passant par le point et on trace un cercle bleu clair ayant pour centre le point et passant par. 3 e étape : Les deux cercles bleus se coupent en deux points distincts : l un est le point et l autre est le point, symétrique de par rapport à. Remarque : Cette deuxième méthode de construction avec le compas est plus intéressante que la précédente dès lors qu il faut construire plusieurs symétriques de points. En effet, grâce à cette méthode, on limite le nombre de cercles (ou arcs de cercles) et donc le risque de ne plus se repérer dans la figure. 7
CHAPITRE 3 : Symétrique d une figure usuelle ou complexe Retour au menu Propriété : Symétrique d une droite par rapport à une droite Le symétrique d'une droite par rapport à un axe est une droite. La symétrie axiale conserve l'alignement. Méthode : Symétrique d une droite par rapport à une droite Pour tracer le symétrique de la droite verte par rapport à l axe de symétrie rouge, on prend deux points de la droite verte et on trace leur symétrique respectif (ici en bleu) par rapport à l axe de symétrie. La droite symétrique est la droite bleue qui passe par le symétrique des deux points bleus. Propriété : Symétrique d un segment par rapport à une droite Le symétrique d'un segment par rapport à un axe est un segment de même longueur. La symétrie axiale conserve les longueurs. Méthode : Symétrique d un segment par rapport à une droite Pour tracer le symétrique du segment vert par rapport à l axe de symétrie rouge, on trace le symétrique de chaque extrémité verte du segment par rapport à l axe de symétrie. Le segment symétrique du segment vert est le segment bleu qui relie les points symétriques bleus. Propriété : Symétrique d un cercle par rapport à une droite Le symétrique d'un cercle par rapport à un axe est un cercle de même rayon. Les centres des cercles sont symétriques par rapport à cet axe. 8
Méthode : Symétrique d un cercle par rapport à une droite Pour tracer le symétrique du cercle vert par rapport à l axe de symétrie rouge, on trace le symétrique du centre du cercle vert par rapport à l axe de symétrie puis le cercle ayant pour centre le point bleu et pour rayon le même rayon que celui du cercle vert. Le cercle symétrique est le cercle bleu. Propriété : Conservations par rapport à une droite La symétrie axiale conserve : les mesures de longueurs les mesures d angles l alignement de points les périmètres les aires Propriété : Symétrique d une figure complexe Pour construire le symétrique d'une figure complexe, on la décompose en figures usuelles et on construit le symétrique de chacune de ces figures usuelles. 9