ère S Les angles orientés () Dans tout le chapitre, le plan est orienté. I. esure principale d un angle orienté ) Définition Plan du chapitre : I. esure principale d un angle orienté La mesure principale en radians d un angle orienté de vecteur est la mesure en radians de l angle orienté comprise dans l intervalle ;. II. Le plan orienté muni d un repère orthonormé direct III. Images sur le cercle trigonométrique des valeurs remarquables n exclut de l intervalle afin qu il n y ait pas d ambiguïté dans la définition de la mesure principale d un angle plat (la mesure d un angle plat est ). IV. Déplacements sur le cercle trigonométrique ; pratique du cercle trigonométrique v u V. rientation d une figure (angles orientés et configurations) ) Interprétation N u v u v N n considère trois points,, N tels que et N. n note la mesure en radians de l angle N. Lorsque 0 est 0., la mesure principale de l angle orienté, N Lorsque, la mesure principale de l angle orienté, N est. Lorsque 0, la mesure principale de l angle orienté, N est égale à affecté d un signe ou déterminé en imaginant une demi-droite [t) qui se déplace dans le secteur angulaire [ N ] en passant de la position [) à la position [N). n regarde le sens du déplacement de cette demi-droite.
Si le déplacement s effectue dans le sens positif, on met le signe. La mesure principale de l angle orienté, N est égale à Si le déplacement s effectue dans le sens négatif, on met le signe. La mesure principale de l angle orienté, N est égale à Dans les deux cas, la valeur absolue de la mesure principale de l angle orienté, N est égale De manière simple, on peut dire que la mesure principale correspond à l angle saillant. Sur les figures, on fera le plus souvent apparaître les mesures principales en radians des angles orientés (mesures les plus parlantes) en utilisant le codage adéquat. ) éthode pratique pour déterminer la mesure principale d un angle orienté Exemple u et v sont deux vecteurs non nuls tels que u ; v. Déterminer la mesure principale en radians de l angle orienté u ; v. n encadre (au numérateur) par deux multiples entiers de (dénominateur). 7 n va utiliser car est pair pour décomposer. ; Donc est la mesure principale en radians de l angle orienté u ; v. Exemple u et v sont deux vecteurs non nuls tels que u ; v. Déterminer la mesure principale en radians de l angle orienté u ; v. n encadre (au numérateur) par deux multiples entiers de (dénominateur). n va utiliser car est pair pour décomposer. ; Donc. est la mesure principale en radians de l angle orienté u ; v II. Le plan orienté muni d un repère orthonormé direct ) Définition d un repère orthonormé direct n dit qu un repère, i, j est orthonormé direct pour exprimer qu il vérifie les conditions : : i j (pour l unité de longueur choisie) n dit que i et j sont normés ou unitaires. : i ; j ) Définition du cercle trigonométrique attaché au repère j i n appelle cercle trigonométrique le cercle de centre et de rayon orienté dans le sens direct.
' j i ; 0 0 ; ' ' ; 0 '0 ; ' x Dans la suite du cours, nous allons apprendre à : - repérer un point sur le cercle trigonométrique ; - tourner sur le cercle trigonométrique. ) Définition de l image d un réel x sur le cercle trigonométrique Pour tout réel x, il existe un unique point sur le cercle trigonométrique tel que x soit une mesure en radians de l angle orienté ;. n dit que est l image de x sur le cercle trigonométrique. est l image de x sur le cercle trigonométrique signifie que ; n a donc une application :. x x x. n retiendra que l on prend le vecteur pour premier vecteur de l angle orienté ; pour vecteur de base). (on prend ) Exemples est l image de 0 sur le cercle trigonométrique car ; 0. est l image de sur le cercle trigonométrique car ; '. ' est l image de (et de ) sur le cercle trigonométrique car ; '. ' est l image de sur le cercle trigonométrique car ; '. n retiendra que les angles orientés ont tous le vecteur comme premier vecteur. ) ondition nécessaire et suffisante pour que deux réels aient la même image sur le cercle trigonométrique. Deux réels x et y ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si x y est un multiple entier de (c est-à-dire x y k avec k ). ette condition peut aussi s écrire x y k.
7 utre formulation : Soit x et y deux réels. n note et N leurs images sur le cercle trigonométrique. et N sont confondus si et seulement si x y k avec k. III. Images sur le cercle trigonométrique des valeurs remarquables ) Images de et valeurs associées ' ' rad 0 = l un des angles d un triangle équilatéral Pour commencer, on met la pointe sèche du compas en. n reporte au compas (principe de construction d une rosace ou d un hexagone régulier inscrit dans un cercle). n peut également s intéresser aux déplacements sur le cercle trigonométrique associés à ces valeurs en partant du point dans un sens ou dans l autre. 8 ) Images de et valeurs associées ' ' rad = 0 = l un des angles d un demi-triangle équilatéral = 90 0 = complémentaire de l un des angles d un demi-triangle équilatéral Pour commencer, on met la pointe sèche du compas en. n reporte le rayon au compas. ) Images de et valeurs associées ' ' rad la moitié d'un angle droit n utilise la construction de la bissectrice d un angle (compas ou carreaux).
IV. Déplacements sur le cercle trigonométrique ; pratique du cercle trigonométrique ) Déplacements associés aux valeurs remarquables,,, etc. n part du point (associé au réel 0). La même méthode s applique pour trouver tous les multiples entiers de,,. ) Parcours sur le cercle trigonométrique x est un réel. est l image de x sur le cercle trigonométrique. n a donc ; x. Déplacement sur le cercle de 0 à : geste physique et geste mental associé. Lorsque x va de 0 à, le point va de à '. ' 0 0 n tourne dans le sens positif en effectuant des quarts de cercle. n rencontre successivement : - le point image de - le point ' image de - le point ' image de - le point image de etc ' n tourne dans le sens négatif en effectuant des quarts de cercle. n rencontre successivement : - le point image de - le point ' image de - le point ' image de - le point image de etc. Déplacement sur le cercle de à : geste physique et geste mental associé. Parcourir le cercle trigonométrique de à : Par cette méthode, on obtient tous les multiples entiers de. ' Dans le premier cas, on obtient tous les multiples entiers positifs de :,,, (qui correspondent d ailleurs à des longueurs de déplacements). ' Dans le deuxième cas, on obtient tous les multiples entiers négatifs de :,,, 9
Il est important de faire la figure correspondante. Déplacement sur le cercle de 0 à : Déplacement sur le cercle de 0 à : ' ' ' Déplacement sur le cercle de à : Déplacement sur le cercle de 0 à : ' ' '
Déplacement sur le cercle de à : Déplacement sur le cercle de à : ' ' ' Déplacement sur le cercle de à : Déplacement sur le cercle de à : Si l on se déplace de à, on va de ' à dans le sens négatif. V. rientation d une figure (angles orientés et configurations) ) rientation d un triangle n dit qu un triangle (les sommets étant nommés dans cet ordre) est direct pour exprimer que la mesure principale en radians de l angle orienté ; est positive. n dit qu un triangle (les sommets étant nommés dans cet ordre) est indirect pour exprimer que la mesure principale en radians de l angle orienté ; est négative. '
Le fait qu un triangle soit direct ou indirect est lié à la manière (plus précisément, à l ordre) dont on nomme (énumère) les sommets. Un triangle peut être direct ou indirect suivant la manière dont on nomme les points. Question : comment sait-on qu un triangle est direct ou indirect? Supposons que l on donne un triangle soit tracé sur une figure. n demande ensuite si le triangle (ordre des points choisi) est direct ou indirect. Fiche sur triangles directs et indirects n imagine dans sa tête le cercle circonscrit au triangle puis on énumère le sommets en choisissant l ordre des points donné pour nommer le triangle et en utilisant éventuellement le doigt. n regarde dans quel sens on a tourné. Si l on a tourné dans le sens trigonométrique, le triangle est direct. Si l on a tourné dans le sens anti-trigonométrique, le triangle est indirect. ) rientation d un rectangle n dit qu un rectangle D (les sommets étant nommés dans cet ordre) est direct pour exprimer que ; D. n dit qu un rectangle D (les sommets étant nommés dans cet ordre) est indirect pour exprimer que ; D. D D Pour chaque triangle, dire s il est direct ou indirect.
lgorithme pour déterminer la mesure principale en radians d un angle orienté : Il nous permet de donner la mesure principale d un angle en radians. n s intéresse à des mesures d angles en radians de la forme a avec a et b entiers. b n s intéresse en fait au nombre a. b n veut se ramener à un nombre dans l intervalle ] ; ], en soustrayant ou en ajoutant un certain nombre de fois Entrée : Saisir Traitement : Tantque Faire prend la valeur FinTantque Tantque Faire prend la valeur FinTantque Sortie : fficher (en fraction) fficher Réaliser le programme correspondant sur la calculatrice. ppliquer le programme avec : 8 Pour, la sortie est. 7 Pour, la sortie est. Pour, la sortie est. Pour, la sortie est. 9 Pour, la sortie est. 78 Pour, la sortie est. La mesure principale en radians d un angle orienté de mesure 8 est. La mesure principale en radians d un angle orienté de mesure 7 est. La mesure principale en radians d un angle orienté de mesure est. La mesure principale en radians d un angle orienté de mesure est. 9 La mesure principale en radians d un angle orienté de mesure est. 78 La mesure principale en radians d un angle orienté de mesure est. 8 7 9 78 7 Dans l algorithme, on peut aussi rajouter k prend la valeur k pour avoir la valeur de k. 8
Programme sur calculatrice TI : utre algorithme : : Prompt : While : : End : While : : End : Disp Frac E a désigne la partie entière de a c est-à-dire le plus grand entier relatif inférieur ou égal à a. Point histoire : Les astronomes babyloniens (000 ans avant notre ère) sont à l origine de la trigonométrie. Lorsqu ils observaient le ciel, ils ne pouvaient pas mesurer les distances entre les planètes ou les étoiles mais seulement des angles. Ils ont créé un outil permettant de passer des mesures d angles aux mesures des distances (le mot trigonométrie, d origine grecque, signifie mesure des triangles). Il a donc été nécessaire de créer des tables permettant le passage de la mesure des angles à celles des arcs et des cordes de cercle. Dans l histoire de la localisation d un point sur la terre, par exemple pour la navigation, les instruments de mesures d'angles occupent une place privilégiée. Pendant longtemps, la précision de ces mesures angulaires a été largement supérieure à celle des instruments de mesures de distances. Il a fallu attendre l apparition des appareils électroniques de distances tels que les GPS, dans les années 980 pour voir s inverser cette tendance. Les calculs faits par ces appareils utilisent la trigonométrie. Entrée : Saisir x Traitement : x a prend la valeur Si a E a 0, a lors y prend la valeur x E a Sinon y prend la valeur x E FinSi Sortie : fficher y 9 0