TSI 4 heures Calculatrices autorisées 214 S2I 1 L essor de l électronique nomade s accomagne d un besoin accru de sources d énergies miniaturisées. Les contraintes imosées à ces objets nomades sont multiles : libérer l utilisateur des contraintes de charges, offrir une grande durée de fonctionnement, etc. Les réonses à ces défis nécessitent une otimisation de ces sources d énergie miniatures. Cette otimisation imose, en ratique, une solution hybride coulant au système de récuération d énergie, un système de conversion et de stockage de l énergie. Pour illustrer cette roblématique, l objet de l étude est la montre bracelet Autoquartz fabriquée ar la société ETA. Le fonctionnement de cette montre diffère de celui d une montre à quartz traditionnelle ar le fait qu elle utilise le mouvement du orteur comme source d énergie. Le rincie de fonctionnement reose sur la récuération d énergie mécanique accumulée dans un ressort grâce au mouvement d une masselotte, uis, ar l intermédiaire d une génératrice, à la conversion de cette énergie mécanique en énergie électrique. Descrition de la montre Une masselotte transmet son énergie mécanique à une génératrice uis à un élément de stockage (accumulateur Li-Ion) ar l intermédiaire d un ressort siral intégré dans un barillet (figures 1 et 2). 3 (masselotte) 4 4 𝑧1 6 (barillet) 7 (rotor de la génératrice) 5 5 élément de stockage quartz circuit de commande Moteur Lavet Figure 1 Masselotte 3 Roues à cliquets + engrenages Ressort siral Engrenage Génératrice Redresseur Stockage + charge actif Figure 2 L énergie mécanique fournie ar la masselotte est stockée ar l intermédiaire d un système d engrenages à cliquets dans un ressort siral (rerésenté figure 2) dont l une des deux extrémités est solidaire d une roue entrainée en rotation et dont l autre est liée au rotor d une génératrice. Les oscillations de la masselotte ermettent de charger le ressort quel que soit son sens de rotation et l amlitude de ses mouvements. Dès que le coule de rael 214-1-27 11:6:38 Page 1/12
du ressort devient suérieur à l amlitude du coule de détente de la génératrice, il se décharge brusquement entraînant en rotation la génératrice monohasée à aimants. Un redresseur actif à transistors MOS ermet alors de convertir l énergie our charger l élément de stockage qui, comme dans les montres à quartz traditionnelles, redistribue l énergie au circuit de commande et au moteur Lavet assurant la marche des aiguilles. Objectif final et extrait du cahier des charges L objectif final de l étude est la mise en lace d un modèle ermettant la vérification des sécifications extraites du cahier des charges : l énergie moyenne récuérée our une journée doit être au moins 4 mj ; la mise à l heure quotidienne doit être réalisable. I Modélisation du système de récuération d énergie Objectif Déterminer à artir d une analyse structurelle du système Autoquartz l énergie récuérée dans une journée. À cette fin, seront successivement envisagés : l analyse d un modèle cinématique ; l exloitation du modèle cinématique d encliquetage et la détermination des équations de mouvement ; le bilan énergétique de la récuération et de la conversion d énergie. I.A Modélisation structurelle de la liaison masselotte boitier Objectif Mettre en lace un modèle our la liaison masselotte 3 boitier 2. On donne figure 3, un extrait de la rerésentation 2D (limité à une moitié de l axe de la masselotte) définissant l assemblage de la masselotte dans le boitier de la montre. Seule la artie inférieure est rerésentée, l assemblage étant symétrique. z 1 Axe de la masselotte 3 2 Rubis (faible coefficient de frottement) Lame flexible Figure 3 x 2 A 2 B 3 3 C 3 D 2 2 O z 1 Figure 4 Le modèle de la figure 4 est retenu. Seuls sont rerésentés les solides 2 (boitier de la montre) et 3 (masselotte) ainsi que les quatre liaisons en arallèles dont ils font l objet. La flexibilité des tiges n est as rise en comte. Q 1. Donner le degré d hyerstatisme de ce modèle ainsi que la liaison équivalente entre 2 et 3. Quel eut être l intérêt de faire évoluer ce modèle renant en comte la flexibilité des tiges? I.B Étude cinématique de l encliquetage Objectif Montrer d une art, que quel que soit le sens de rotation de la masselotte, le ressort siral est comrimé, et d autre art, évaluer les vitesses angulaires de glissement et en fonction de la rotation instantanée de la masselotte afin de valider ultérieurement le bilan énergétique. 214-1-27 11:6:38 Page 2/12
Hyothèses et notations Un ensemble, dit «encliquetage», formé d une art ar 4 et 4 et d autre art 5 et 5, dont la fonction est d entrainer, ar rotation de l une des extrémités du ressort siral, la déformation de ce dernier et ceci, quel que soit le sens de rotation de la masselotte 3. On note Ω ij la rotation instantanée du solide i ar raort au solide j. Les roues 4 et 4 sont liées ar une liaison «cliquet4» définie ainsi : si Ω 42 < alors Ω 44 = (4 et 4 sont en liaison encastrement) ; si Ω 42 > alors Ω 44 (4 et 4 sont en liaison ivot d axe (A 4, z 1 )). De même, les roues 5 et 5 sont liées ar une liaison «cliquet5» définie ainsi : si Ω 52 > alors Ω 55 = (5 et 5 sont en liaison encastrement) ; si Ω 52 < alors Ω 55 (5 et 5 sont en liaison ivot d axe (A 5, z 1 )). z 1 4 y 2 4 z 1 4 y 2 4 3 J A K 6 A 4 3 J A K 6 A 4 5 5 Ressort siral 7 D C I A 5 génératrice 5 5 Ressort siral 7 C I D A 5 génératrice 2 2 Figure 5 Schémas cinématiques dans les cas où Ω 32 > (Ω 44 = et Ω 55 ) et Ω 32 < (Ω 44 et Ω 55 = ) en ramenant l axe de 3 dans le lan du schéma Roue dentée Rayon rimitif (mm) Nombre de dents Module (mm) 3 1,8 45,8 4 et 5 1,12 28,8 4 et 5 2,2 5,8 6 2,4 6,8 7,48 12,8 On ose k 1 = z 3 z 4 = z 3 z 5 = 1,6 et k 2 = z 6 z 7 = 5, l angle de ression est δ = 2. Figure 6 Deux cas seront distingués selon le signe de Ω 32 et on note ω une quantité ositive. Q 2. Dans le cas où Ω 32 = ω >, montrer que Ω 44 = et Ω 5 2 = k 1 ω. En déduire alors, l exression de Ω 55 en fonction de k 1 et ω. Q 3. Dans le cas où Ω 32 = ω <, montrer que Ω 55 = et Ω 5 2 = k 1 ω. En déduire alors, l exression de Ω 44 en fonction de k 1 et ω. Conclure sur le fonctionnement de l encliquetage. I.C Étude de la quantité d énergie générée Objectif Arès avoir déterminé les équations de mouvement de la masselotte 3, la quantité d énergie générée est évaluée. On se lace dans une hase de charge du ressort our laquelle Ω 32 = ω >, c est-à-dire dans l intervalle de tems [, t 1 ] avec t 1 =,5 s et on envisage la détermination de l équation de mouvement de la masselotte 3 our le mouvement donné du solide 2 : α = ω 1 t 2 avec ω 1 = 9,4 rad s 1. Hyothèses et notations Toutes les liaisons entre solides sont suosées arfaites. 1 est un solide auquel est lié le reère galiléen (O, x 1, y 1, z 1 ) ; avec g = gx 1 (g = 9,81 m s 2 ) 214-1-27 11:6:38 Page 3/12
2 est un solide auquel est lié rigidement le boitier de la montre. Ce solide 2 est suosé en mouvement de rotation ar raort à 1 autour de l axe (O, z 1 ). (Il ourrait être associé au mouvement de rotation du bras autour de l éaule.) Le reère lié à 2 est (O, x 2, y 2, z 1 ) et on ose OA = ax2 avec a =,6 m. la masselotte 3 est mobile en rotation ar raort à 2 autour de (A, z 1 ). Le reère lié à 3 est noté (A, x 3, y 3, z 1 ), AG = r 3 x 3 avec r 3 = 6,2 1 3 m. Sa masse est m 3 = 3,56 1 3 kg. Son moment d inertie ar raort à l axe (A, z 1 ) est C 3 =,22 1 6 kg m 2. les aramètres géométriques sont définis ar les notations données figure 7. O x 1 1 2 y 1 A θ 32 x 2 3 G x 3 y 2 z 1 y 1 α x 2 x 1 y 3 y 2 z 1 θ 32 x 3 x 2 Figure 7 un ressort siral, logé à l intérieur d une roue dentée 6 (nommée «barillet»), a l une de ses deux extrémités entrainée en rotation ar 5, et a l autre extrémité solidaire du barillet 6. Cet ensemble a une masse négligeable. au début du mouvement, le ressort est suosé comlètement déchargé et la génératrice ne débite as de courant. On note le torseur des actions du ressort sur 5 : {ressort 5 } = K R (θ 62 θ 5 2) z 1 avec K R = 12,5 1 6 N m rad 1. la génératrice est formée d un stator à griffes et d un rotor à aimants ermanents entrainé en rotation dès que le coule de rael du ressort devient suérieur à la valeur crête du coule de détente de la génératrice (décharge du ressort). On note {emd 7} = (C d (θ 72 ) + C em (θ 72 )) z 1 C le torseur modélisant les coules au niveau de la génératrice, avec C d (θ 72 ) le coule de détente de la génératrice, et C em (θ 72 ) le coule électromagnétique de la génératrice. Le coule électromagnétique C em (θ 72 ) n existe que durant la hase de débit de la génératrice. Le rotor comorte une roue dentée (rayon R 7 ), son moment d inertie ar raort à l axe (D, z 1 ) est C 7 =,3 1 6 kg m 2. Q 4. Donner l exression des torseurs cinématiques {2 1} et {3 2} ar leurs éléments de réductions resectivement aux oints O et A ; en déduire le torseur cinématique {3 1} ar ses éléments de réduction au oint A, et au oint G exrimés sur la base ( x 2, y 2, z 1 ). Q 5. Faire succesivement l inventaire des efforts extérieurs aliqués à 4 uis à 5. En déduire, our θ 62 = que la rojection M(A, 4 3) z 1 = k 1 K R θ 32. Q 6. Faire l inventaire des efforts extérieurs aliqués à 3 et en déduire, ar alication du théorème du moment dynamique en A et en rojection sur z 1, une équation de la forme A 1 θ32 + B 1 sin θ 32 + C 1 θ 32 + D 1 sin(ω 1 t + θ 32 ) = où on déterminera A 1, B 1, C 1 et D 1. La figure 8 donne l évolution de θ 32 et de θ 32 sur l intervalle [, t 1 ]. C θ 32 (rad) 2 1 1 2 1 2 3 4 5 tems(ms) θ32 (rad s 1 ) 15 1 5 1 2 3 4 5 tems(s) Figure 8 Evolution de θ 32 et θ 32 Une identification exérimentale a ermis d une art, l évaluation du coefficient de frottement visqueux dans les cliquets (f vc = 1,2 1 9 N m rad 1 s 1 et d autre art, de montrer le caractère négligeable des ertes ar frottement sec. On envisage our un cycle de charge l évaluation des ertes afin de valider le choix de liaison arfaite effectué récédemment. Q 7. Montrer que la uissance dissiée dans le cliquet fonctionnant en liaison ivot est donnée ar P c = 4f vc k 2 1 ω2 avec Ω 32 = ±ω. Prooser une évaluation numérique de cette uissance. 214-1-27 11:6:38 Page 4/12
I.D Étude de la conversion et du stockage de l énergie Objectif Déterminer l énergie récuérée sur une journée. Pour cela, seront envisagés : les déterminations de l énergie de déformation du ressort et de l énergie récuérée lors d une décharge ; l évaluation des ertes de la chaîne d énergie ; la détermination de l énergie récuérée sur une journée. I.D.1) Détermination des équations de mouvement et identification de certains aramètres Pour simlifier l étude, seule la charge du ressort dans le cas Ω 32 = ω > est envisagée. La génératrice utilisée comorte un stator à griffes (voir figure 9). L interaction des aimants en surface du rotor avec la denture statorique génère un coule dit de détente. Ce dernier est fonction de la osition du rotor θ 72 et du nombre de aire de ôles, noté = 7. Le coule de détente est considéré comme un coule résistant vis à vis de l action du ressort. z 1 Figure 9 Génératrice Une simulation ar éléments finis de la génératrice renant en comte les matériaux utilisés, ermet de déduire une exression du coule de détente. Les résultats obtenus sont rerésentés sur la figure 1. 15 Coule de détente 1 Sectre en amlitude du coule de détente 1 8 μn m 5 5 θ 72 μn m 6 4 1 2 rad 1 15 2 3 4 5 2 3 4 5 Figure 1 Coule de détente obtenu ar simulation Q 8. Choisir un modèle du coule de détente C d (θ 72 ), limité à un seul harmonique, à artir des rerésentations sectrales et temorelles. R L action mécanique de 6 sur 7 est rerésentée ar le torseur {6 7} = 67 avec R 67 = R 67 (cos δ x 2 + I sin δ y 2 ). On souhaite déterminer la relation entre la valeur crête du coule de détente et l énergie maximale stockée dans le ressort. Q 9. Par alication du théorème du moment dynamique en C au solide 6 (masse négligeable) dans son mouvement ar raort à 1, donner la relation liant R 67 au coule déveloé ar le ressort. Q 1. Par alication du théorème du moment dynamique en D au solide 7 dans son mouvement ar raort à 1 (hase de charge seule), donner la relation liant R 67 au coule de détente C d (θ 72 ) de la génératrice. À l instant récédent la décharge, l évolution de la osition de la génératrice θ 72 eut être considérée comme quasi-statique. Q 11. Montrer que, dans ce cas, l amlitude du coule de détente notée C d s exrime ar C d = K R(θ 62 θ 5 2) k 2. En déduire, à artir des résultats récédents, la rotation relative des extrémités du ressort conduisant à une décharge. Exérimentalement, la valeur trouvée est de 15. Comarer ces deux résultats. 214-1-27 11:6:38 Page 5/12
Afin de déterminer l énergie maximale stockée dans le ressort, on envisage le calcul de uissance déveloée ar le ressort siral monté entre les solides 5 et 6. Q 12. Donner l exression de la uissance déveloée ar le ressort (notée P R ) en fonction de θ 62 θ 5 2, K R et Ω 5 6. En déduire que l énergie de déformation E d (définie ar P R = de d ) du ressort est donnée ar E d = 1 2 K R(θ 62 θ 5 2) 2. Faire l alication numérique et conclure sur l énergie stockée dans le ressort avant une décharge. I.D.2) Quantification de l énergie récuérée, étude de la décharge Lorsque le ressort a emmagasiné suffisamment d énergie, une décharge se roduit et la génératrice débite un courant sur un redresseur actif et sur un élément de stockage de technologie Li-Ion. Le coule électromagnétique de la génératrice est alors non nul et eut être déterminé à artir de l exression du courant débité ar la génératrice, noté i g. i g R g K 1 K 2 i batt e g V R s K 3 K 4 Génératrice Figure 11 Redresseur actif Chaine d énergie côté électrique Stockage, consommation Le redresseur actif est un modulateur AC-DC dont les interruteurs à semi-conducteurs K 1 à K 4 sont des transistors MOS commandés en leine onde. Grâce à la commande, le fonctionnement est le même qu un redresseur à diodes standard et les formes d ondes euvent donc être déterminées de la même manière. Hyothèses et notations le modèle de connaissance de la génératrice est défini ar les équations suivantes : le flux φ(θ 72 ) = φ max sin(θ 72 ), la fém e g (t) = dφ, la uissance électromagnétique em (t) = e(t)i g (t) = c em (t) θ 72 (t), φ max =,7 mwb, le nombre de aires de ôles = 7 ; le coule électromagnétique est défini ar la relation suivante : c em (θ 72 ) = i g (θ 72 ) dφ(θ 72) ; dθ 72 les ertes au niveau de la génératrice sont limitées aux ertes ar effet Joule et aux ertes ar frottements visqueux ; la résistance d induit de la génératrice notée R g vaut 32 Ω, l inductance L g de la génératrice est négligée ; la vitesse de rotation de la génératrice θ 72 est suosée constante our cette étude ; un interruteur (transistor MOS) à l état assant sera modélisé ar une résistance R d = 3 Ω ; our chaque interruteur, les ertes ar commutation sont négligées devant les ertes ar conduction qui corresondent aux ertes ar effet Joule dans la résistance R d ; la tension V de l élément de stockage est suosée constante et égale à 1,5 V durant une décharge. Q 13. Donner le modèle équivalent de l ensemble génératrice+redresseur+stockage lorsque K 1 et K 4 sont assants. En déduire la valeur maximale du courant i g, notée I gmax, en fonction de, φ max, θ 72, R d, R g et V. Une simulation ermet d obtenir une rerésentation du courant débité ar la génératrice. Les résultats obtenus sont rerésentés sur la figure 12. Intensité du courant I gmax I gmax Courant i g débité ar la génératrice Figure 12 2 3 θ 72 Amlitude (% I gmax ) 8 64 48 32 16 Sectre en amlitude du courant i g 2 3 2 5 2 Courant débité ar la génératrice obtenu ar simulation 8% 4% 7 2 9 2 rad -1 214-1-27 11:6:38 Page 6/12
Q 14. Choisir le modèle du courant i g (θ 72 ), limité à un seul harmonique, à artir de ses rerésentations sectrales et temorelles. En déduire le modèle du coule électromagnétique, valable lors d une décharge du ressort. Q 15. Déduire des résultats des questions 9, 1 et 14, l équation de mouvement du rotor 7 de la génératrice. I.D.3) Évaluation des ertes dans la chaîne d énergie lors d une décharge La rerésentation de la solution de l équation de mouvement du rotor 7, our un mouvement d entrée tel que α = ω 1 t 2 avec ω 1 = 9,4 rad s 1 est donnée figure 13. L évaluation de l énergie récuérée ar l élément de stockage est réalisée en régime ermanent. Les ertes dans la génératrice et dans le redresseur actif sont alors évaluées à artir des résultats récédents. θ72 (rad s 1 ) 6 5 4 3 2 1 5 1 15 2 Figure 13 Vitesse de rotation de la génératrice tems (s) Une identification exérimentale a ermis d une art, l évaluation du coefficient de frottement visqueux dans la liaison ivot de la génératrice f vg = 1,5 1 9 N m s rad 1 et, d autre art, de montrer le caractère négligeable des ertes ar frottement sec. Une simulation a ermis de déterminer les valeurs moyennes et efficaces des courants our les interruteurs K 1 à K 4 : <i K1 > = <i K2 > = <i K3 > = <i K4 > =,76 ma ; I K1 = I K2 = I K3 = I K4 =,88 ma. Q 16. Donner une exression littérale des uissances dissiées dans la génératrice. Calculer les valeurs numériques en renant en comte les harmoniques de la figure 12. Déterminer les ertes en conduction our l interruteur K 1. En déduire les ertes totales our le redresseur actif uis, justifier ce choix technologique ar raort à un redresseur de tye ont de diodes en s auyant sur une évaluation comarée des ertes. Les diodes seront modélisées à l état assant ar une source de tension V d =, 2 V. Q 17. Conclure sur quel élément il faudrait agir en riorité our améliorer le rendement de la chaine d énergie. Le courant chargeant l élément de stockage est relié au courant de la génératrice ar la fonction de modulation arochée i batt (θ 72 ) = i g (θ 72 ),7 cos(θ 72 ). On suose le courant de décharge de la batterie négligeable devant le courant de charge. Q 18. Déterminer l énergie récuérée dans l élément de stockage our une décharge du ressort sachant qu elle dure environ 4 ms uis, conclure sur l énergie totale récuérée sur une journée moyenne (1 décharges ar jour). II Évaluation de la caacité à mettre à l heure automatiquement Objectif Vérifier que l énergie récuérée en une journée ermet la mise à l heure automatique. La remière étae consiste en l étude de la récuération des signaux horaires, la deuxième en la vérification de la caacité du système à réaliser la mise à l heure automatique. II.A Modélisation de la récuération du signal de mise à l heure Afin d être arfaitement à l heure, la montre utilise les signaux horaires DCF77 qu elle reçoit automatiquement chaque jour à deux heures du matin. Si la récetion des ondes radio est réussie, celle-ci n est as effectuée à trois et quatre heures du matin. La récetion eut aussi être demandée ar l utilisateur. L émetteur de ces signaux horaires est situé en Allemagne à Mainflingen et transmet les signaux horaires de l horloge atomique à jet de césium de l institut fédéral de hysique de Braunschweig. Les signaux horaires de l horloge atomique sont transmis via une modulation d amlitude de fréquence de orteuse f = 77,5 khz. L émetteur a une uissance de 3 kw, sa ortée minimale est de 1 5 km. La structure de la chaîne d information our le signal DCF77 est rerésentée figure 14. Le circuit de commande de la montre traite et comare les informations reçues avec celles de l horloge interne. Si elles diffèrent, la correction est automatique. 214-1-27 11:6:38 Page 7/12
Réceteur 77,5 khz Signal DCF77 Antenne Réceteur Signal numérique Décodeur DCF77 Date Heure Figure 14 II.A.1) Récuération du signal transmis La relation entre la uissance reçue ar le réceteur P r (en dbm), la uissance émise P e (en dbm), la distance arcourue ar l onde d (en km) et la fréquence de la orteuse f (en Hz) est : P r = P e 2 log 1 (d) 2 log 1 (f ) + 27,5 La uissance en dbm est définie à artir de la uissance en milliwatt ar la relation suivante : P dbm = 1 log 1 (P mw ) Q 19. Justifier le choix de l utilisation d une modulation d amlitude our transmettre les signaux DCF77 dans toute l Euroe (rayon de 1 5 km autour de l émetteur). Vérifier que les signaux sont détectables en déterminant la distance maximale de récetion si la sensibilité du réceteur de la montre est de 6 dbm. Afin de ouvoir récuérer le signal horaire DCF77, la démodulation est réalisée à l aide d un démodulateur synchrone. Ce dernier ermet de récuérer le signal modulant m(t) en multiliant le signal modulé adaté v e (t) ar un signal sinusoïdal v (t) de même fréquence que la orteuse uis en le filtrant. v in (t) Circuit de récetion v e(t) Récuération de la orteuse v (t) Multilieur v m (t) Filtre asse-bas v mc (t) Figure 15 Démodulation synchrone Hyothèses et notations le signal horaire DCF77 mis en forme est défini ar la relation v e (t) = ˆV e (1 + km(t)) cos(ω t), où m(t) est le signal modulant du DCF77, ω la ulsation de la orteuse du signal DCF77 et ˆV e = 5 V ; le multilieur est défini ar la relation v m (t) = Av e (t)v (t) ; v (t) = ˆV cos(ω t+φ eb ) où φ eb est l erreur de hase due au bruit qui se suerose dans les conditions réelles de transmission ; le filtre asse-bas est défini ar le gabarit de la figure 16. Gain du filtre (db) 3 1 155 Fréquence (khz) 8 Figure 16 Gabarit du filtre asse-bas Q 2. Déterminer l exression de la tension en sortie du multilieur v m (t). En déduire l exression de v mc (t) à artir du gabarit du filtre asse-bas uis, déterminer la valeur de l erreur de hase φ eb our laquelle la récuération du signal modulant n est lus ossible. Pour corriger ce roblème, une boucle à verrouillage de hase (BVP) est utilisée our récuérer la orteuse en réalisant un asservissement de hase. La structure de la BVP est rerésentée figure 17. v e (t) Multilieur v m (t) Filtre de boucle v c (t) Oscillateur contrôlé en tension (OCT) v s (t) Figure 17 Structure de la boucle à verrouillage de hase 214-1-27 11:6:38 Page 8/12
Cette boucle à verrouillage de hase est comosée de trois sous-ensembles : un multilieur défini ar v m (t) = K d v e (t)v s (t) avec K d = 5 V rad 1 ; un filtre de boucle asse-bas de gain unitaire, ermettant d atténuer les harmoniques de ulsation suérieure à ω à la sortie du mutlilieur ; un oscillateur contrôlé en tension (OCT) délivrant un signal sinusoïdal d amlitude constante et de ulsation roortionnelle à la tension de sortie du filtre de boucle. Hyothèses et notations la tension d entrée de la BVP est suosée de la forme v e (t) = ˆV e cos(θ e (t)) = ˆV e cos(ω t+φ e (t)) de ulsation instantanée ω e (t) = dθ e(t) = ω + dφ e(t) et de hase φ e (t) ; la tension de sortie de la BVP est suosée de la forme v s (t) = ˆV s sin(θ s (t)) = ˆV s sin(ω t+φ s (t)) de ulsation instantanée ω s (t) = dθ s(t) = ω + dφ s(t) et de hase φ s (t) ; la comosante variable dφ s(t) est roortionnelle à la tension de commande v c (t) ; on ose dφ s(t) = K v c (t) avec K = 21 4 rad V 1 s 1 ; les écarts ar raort à ω des ulsations instantanées de v s (t) et de v e (t) sont très faibles devant ω, soit dφ s(t) ω et dφ e(t) ω. L objectif est d asservir φ s (t) à φ e (t), considérées resectivement comme les grandeurs de sortie et d entrée de l asservissement de hase qui eut être rerésenté ar le schéma-bloc de la figure 18. φ e () + ε() K m V m () H 1 () V c () H 2 () φ s () Figure 18 Schéma-bloc de l asservissement de φ s () à φ e () La BVP est suosée verrouillée, c est à dire que la différence de hase φ e (t) φ s (t) reste roche de. Dans ce cas, les tensions v e (t) et v s (t) sont en quadrature de hase. L écart statique en régime ermanent en réonse à un échelon unitaire de hase doit être nul. II.A.2) Modélisation des constituants de la BVP Q 21. Déterminer la différence de otentiel v m (t) à la sortie du multilieur uis, simlifier l exression obtenue en ne conservant que la comosante basse fréquence non attenuée ar le filtre de boucle. En déduire l exression du gain K m, en linéarisant l exression récédente autour du oint de reos φ e (t) φ s (t). Les diagrammes de Bode du filtre de boucle de fonction de transfert H 1 () sont donnés figure 19. Gain (db) Phase ( ) 5 1 15 2 15 3 45 6 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 Figure 19 Pulsation (rad s 1 ) Diagrammes de Bode de H 1 () 1 + τ Q 22. Identifier les aramètres de la fonction de transfert H 1 () = K 1 c du filtre de boucle à artir 1 + τ 2 des diagrammes de Bode ; déterminer la fonction de transfert H 2 () modélisant l oscillateur contrôlé en tension (OCT). En déduire, à l aide de la la figure 18, la fonction de transfert en boucle ouverte notée H BO (). Les diagrammes de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte ainsi corrigée sont rerésentés figure 2. 214-1-27 11:6:38 Page 9/12
Gain (db) Phase ( ) 1 8 6 4 2 2 9 15 12 135 15 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 Figure 2 Pulsation (rad s 1 ) Diagrammes de Bode de la fonction de transfert en Boucle ouverte Q 23. Étudier la stabilité de la boucle à verrouillage de hase et déterminer l écart statique en régime ermanent et en réonse à un échelon unitaire de hase. Indiquer si tous les critères ermettant de réaliser une démodulation synchrone sont resectés. II.A.3) Décodage des informations transmises Les signaux horaires DCF77 sont codés en BCD (Décimal Codé Binaire). Un exemle de codage BCD est donné figure 21. Chaque trame est divisée en soixante secondes. Au début de chaque seconde, l amlitude de l onde émise est réduite à environ 15% de l amlitude initiale. La durée de cette réduction définit la valeur du bit transmis, 1 ms our un et 2 ms our un 1. 35 Start 5 3 Parité 1 1 1 1 1 1 s 2 ms 1 ms Figure 21 Exemle de trame DCF77 (bits 2 à 28) donnant les minutes (35 ici) Chaque trame donne l heure légale de la minute suivante, le début de la trame suivante agit donc comme le to horaire de l horloge arlante («au to, il sera exactement»). La signification des 59 bits d une trame est donnée ar le tableau ci-dessous. Bits Début de trame (bit à ) Signification 1 14 Contient des données d alerte ou de météorologie transmises ar des tierces arties 15 Bit d alerte our signaler à l oérateur un dysfonctionnement du système 16 Indication d un changement d heure été/hiver au début de l heure suivante 17 18 Décalage de l heure émise ar raort au tems UTC 1 : UTC+1h (heure d hiver) 1 : UTC+2h (heure d été) 19 Indication d ajout d une seconde intercalaire à la fin de l heure (correction des irrégularités de rotation de la Terre) 2 Bit de start, toujours à 1, marque le début de la transmission des informations horaires 21 27 Minutes ( à 59) codées en BCD, le oids de chaque bit 21 à 27 est resectivement 1, 2, 4, 8, 1, 2 et 4 28 Bit de arité aire sur les bits 21 à 27 29 34 Heure ( à 23) codée en BCD, le oids de chaque bit 29 à 34 est resectivement 1, 2, 4, 8, 1 et 2 35 Bit de arité aire sur les bits 29 à 34 36 41 Jour dans le mois (1 à 31) codé en BCD, le oids de chaque bit 36 à 41 est resectivement 1, 2, 4, 8, 1 et 2 42 44 Jour de la semaine (1 à 7) codé en BCD, le oids de chaque bit 42 à 44 est resectivement 1, 2 et 4 45 49 Numéro du mois (1 à 12) codé en BCD, le oids de chaque bit 45 à 49 est resectivement 1, 2, 4, 8 et 1 214-1-27 11:6:38 Page 1/12
Bits Signification 5 57 Année dans le siècle ( à 99) codée en BCD, le oids de chaque bit 5 à 57 est resectivement 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4 et 8 58 Bit de arité aire sur les bits 36 à 57 Le codage horaire commence véritablement à la seconde 2. Puisque les minutes vont de à 59, le chiffre des dizaines n est jamais suérieur à 5 et donc il eut être codé sur 3 bits seulement. Des raisonnements similaires s aliquent our l heure, le jour du mois et le mois. Il est à noter également que les bits de oids faibles sont transmis en remier. Les jours de la semaine sont codés suivant la norme ISO 861 de 1 (lundi) à 7 (dimanche). Le bit de arité d un groue de bits est à si le nombre de bits à 1 dans le groue est air, à 1 si le nombre de bits à 1 dans le groue est imair. Dans la suite de cette étude, les bits de la trame ourront être notés B i, où i est le numéro du bit de la trame. Un exemle de trame reçue à deux heures du matin lors de la connexion quotidienne (bits 2 à 58 uniquement) est : 1 11 11 11 111 11 11 1 Q 24. Indiquer l intérêt du contrôle de arité dans la transmission. Prooser un algorithme (ou des fonctions logiques) ermettant de détecter l existence d une erreur dans la transmission des heures. Exliquer alors comment déterminer s il y a eu une erreur dans la transmission de la trame comlète. Q 25. Décoder les informations contenues dans la trame ci-dessus et en déduire l oération de mise à l heure qui sera effectuée. II.B Modélisation du moteur de commande des aiguilles et évaluation de la consommation Le mouvement des aiguilles de la montre est réalisé ar un moteur as à as Lavet à rotor biolaire. Son fonctionnement nécessite des imulsions alternativement ositives et négatives. La durée des imulsions déend de la technologie du moteur et varie de 2 à 2 ms. Afin de déterminer l énergie nécessaire our la mise à l heure, une simulation des modèles du moteur et de sa commande est envisagée dans l étude qui suit. Hyothèses et notations la tension V de l élément de stockage est suosée constante et égale à 1,5 V ; le modèle de connaissance du moteur Lavet est défini ar les équations suivantes : u m (t) = R m i m (t) + di L m (t) m + e(t) ; e(t) = k sin(θ)ω(t) ; c em (t) = k sin(θ)i m (t) ; avec θ(t) et Ω(t) la osition et la vitesse du rotor du moteur Lavet, u m (t) la tension statorique, i m (t) le courant statorique, R m la résistance de l enroulement et L m l inductance rore ; lors d une oération de mise à l heure le moteur Lavet est commandé en leine onde ; Un essai à rotor bloqué avec un échelon de tension de 1 V a ermis d obtenir le relevé du courant i m (t) rerésenté figure 22. i m (t) courant (ma),8,6,4,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 tems (ms) Figure 22 Évolution du courant du moteur Lavet avec un essai à rotor bloqué Q 26. Dans le cas de l essai à rotor bloqué, simlifier les équations du modèle de connaissance. En déduire, à artir des résultats de la figure 22, le modèle équivalent du stator du moteur Lavet (inductance L m et résistance R m ) à imlanter dans le logiciel de simulation. Lors d une mise à l heure, la tension à imoser aux bornes du moteur est rerésentée figure 23 ainsi que la structure de commande du micromoteur Lavet. Q 27. Indiquer si la règle d association des sources est resectée. Justifier le choix technologique our les interruteurs de uissance ainsi que la structure utilisée our commander le moteur Lavet. Déterminer la loi de commande à aramétrer dans la simulation our obtenir la tension rerésentée figure 23. 214-1-27 11:6:38 Page 11/12
u m i batt (t) T 1 D 1 T 2 D 2 +V V R m L m i m (t) u m (t) e(t) 2 3 4 θ V T 3 D 3 T 4 D 4 Figure 23 Structure de commande et tension à aliquer Le modèle imlanté dans un logiciel de simulation multihysique a ermis d obtenir la vitesse angulaire du rotor et le courant débité i batt (t) en régime ermanent ar l élément de stockage lors d une oération de mise à l heure (cf figure 24). vitesse (rad s 1 ) 8 6 4 2 Vitesse du rotor du moteur Lavet 2 4 6 8 1 12 14 16 tems (s) Figure 24 courant (ma),8 Courant i batt (t) en régime ermanent,7,6,5,4,3,2,1 4 8 tems (ms) Résultats de la simulation our une oération de mise à l heure Q 28. À artir des relevés récédents, évaluer numériquement l énergie nécessaire our effectuer la mise à l heure. Conclure ar raort aux sécifications du cahier des charges données au début du sujet. III Conclusion sur l étude Q 29. Énoncer en quelques lignes, une synthèse des modélisations conduites en récisant à la fois, les limites des résultats obtenus mais aussi, les hyothèses ou choix effectués qui vous araissent devoir être réexaminés. FIN 214-1-27 11:6:38 Page 12/12