Situation Méthode de Maer Le lancer de poids Di adolescents droitiers s eercent à lancer le poids, du bras droit puis du bras gauche. Les résultats (distances en mètres) obtenus sont les suivants : Adolescent Bras droit Bras gauche 1 5,5 4,1 7,1 6, 3 5,8 4,0 4 6,4 5,5 5 6,0 4,9 6 6, 4,7 7 7, 6,0 8 5,6 4,9 9 6,8 5,0 10 5,6 3,9 Un adolescent qui lance à 6,5 m du bras droit peut espérer lancer à combien de mètres avec le bras gauche? Un adolescent lance le poids à 4, m du bras gauche. Quelle sera sa performance avec le bras droit? CUEEP Département Mathématiques T811 : Méthode de Maer p1/6
Méthode d ajustement linéaire de Maer Johann Tobias MAYER, Astronome allemand (173-176) Il utilisa une méthode d'ajustement pour étudier la position d'un point sur la Lune et publia des tables de la Lune permettant au navigateurs de faire le point à un demi-degré près Principe de la méthode : Elle consiste à partager un nuage de points rangés dans l ordre croissant de leurs abscisses en deu sous groupes de même effectif. Chacun des deu sous-groupes est alors remplacé par le point dont les coordonnées sont respectivement : - en abscisse, la moenne arithmétique des abscisses des points du sous-groupe. - en ordonnée, la moenne arithmétique des ordonnées des points du sous-groupe. G 1 G Par ces points que l on nomme G 1 et G passe une seule droite qui sera la droite d ajustement. On détermine l'équation de la droite à partir des coordonnées de ces deu points. G1 : 1 = a 1 + b G : = a + b a et b sont les inconnues que l'on cherche. 1 et 1 sont les coordonnées du premier point (G 1 ) et sont les coordonnées du deuième point (G ) CUEEP Département Mathématiques T811 : Méthode de Maer p/6
Plan de travail On a vu dans le dossier «approche graphique» que les points s organisaient autour d une droite, on utilise la méthode décrite précédemment pour déterminer les coefficients a et b de cette droite. Dans un premier temps on va prendre pour la valeur du lancer du bras droit et pour la valeur du lancer du bras gauche. Ranger les données dans l'ordre croissant des. Faire la moenne des 5 premières valeurs de et la moenne des 5 valeurs de correspondantes. Soit 1 et 1 ces deu moennes. Faire la moenne des 5 dernières valeurs de et des 5 valeurs de correspondantes. Soit et ces deu moennes. Placer sur le graphique les points G1de coordonnées (1 ; 1) et G de coordonnées ( ; ). Trouver l'équation de la droite passant par ces deu points. Cette équation vous permettra d estimer la valeur du lancer du bras gauche connaissant la valeur du lancer du bras droit et inversement. Recommencer en prenant comme valeurs de les lancers du bras gauche et comme valeurs de les lancers du bras droit. Attention de bien faire le tri selon les valeurs croissantes de. Les résultats sont-ils sensiblement différents? CUEEP Département Mathématiques T811 : Méthode de Maer p3/6
Corrigé On prend comme valeurs de les lancers du bras droit. Tableau des valeurs rangées par ordre croissant des droit gauche i i 5,5 4,1 5,6 4,9 5,6 3,9 5,8 4,0 6,0 4,9 6, 4,7 6,4 5,5 6,8 5,0 7,1 6, 7, 6,0 7 6 5 G1 G Le point G 1 a comme coordonnées : = 5,70 1 1 = 4,36 Le point G a comme coordonnées : = 6,74 = 5,48 L équation de la droite passant par les points G 1 et G est : = 1,077 1,778 4 3 5 6 7 8 En remplaçant par 6,5 dans cette équation on trouve 5, En remplaçant par 4,0 dans cette équation on trouve 5,55 Un adolescent qui lance à 6,5 m du bras droit peut espérer lancer à 5, m avec le bras gauche. Un adolescent qui lance le poids à 4.0 m du bras gauche pourra espérer une performance de 5,55 m avec le bras droit. CUEEP Département Mathématiques T811 : Méthode de Maer p4/6
On prend comme valeurs de les lancers du bras gauche. Tableau des valeurs rangées par ordre croissant des gauche droit i i 3,9 5,6 4 5,8 4,1 5,5 4,7 6, 4,9 5,6 4,9 6 5 6,8 5,5 6,4 6 7, 6, 7,1 7 6 5 G1 G Le point G 1 a comme coordonnées : = 4,3 1 1 = 5,74 Le point G a comme coordonnées : = 5,5 = 6,70 L équation de la droite passant par les points G 1 et G est : = 0,8 +,84 4 3 4 5 6 7 En remplaçant par 6,50 dans cette équation on trouve 5,7 En remplaçant par 4,0 dans cette équation on trouve 5,64 Un adolescent qui lance à 6,50 m du bras droit peut espérer lancer à environ 5,7 m avec le bras gauche. Un adolescent qui lance le poids à 4,0m du bras gauche pourra espérer une performance d à peu près 5,64m avec le bras droit. Les résultats trouvés en utilisant les deu équations sont assez proches, ce qui justifie l ajustement linéaire. CUEEP Département Mathématiques T811 : Méthode de Maer p5/6
Dans le cas des droitiers, il est logique de déterminer le lancer du bras gauche en fonction du lancer du bras droit : on utilisera la première équation plutôt que la seconde. Cette méthode est simple et efficace, et ajuste assez bien le nuage de points. Mais il eiste une autre méthode qui minimise la distance des points à la droite et qui, de ce fait, donne un meilleur ajustement. Cette méthode dite des moindres carrés est étudiée dans un dossier qui fait suite à celui-ci. NB : Vérifier que les deu droites passent par le point G de coordonnées et qui sont respectivement les moennes de l ensemble des lancers du bras droit et de l ensemble des lancers du bras gauche. Ce point G s appelle le centre de gravité du nuage de points. CUEEP Département Mathématiques T811 : Méthode de Maer p6/6