Guidance de Statistique : Epreuve de préparation à l examen

Guidance de Statistique : Epreuve de préparation à l examen Durée totale : 90 min (1h30) 5 questions de pratique (12 pts) 20 décembre 2011

Matériel Feuilles de papier De quoi écrire Calculatrice Latte / équerre A prévoir en plus pour le véritable examen : Carte d étudiant / carte d identité

Consignes Les 5 slides suivants contiennent les questions Les 5 suivants contiennent les réponses finales Indiquez toutes les justifications pour chaque réponse Formules Démarche Explications

Question 1 2 pts 20min Pays Impact Austria Belgium Bulgaria Cyprus Czech Republic Denmark Estonia Finland France Geermany Greece Hungary Ireland Italy Latvia Lithuania Luxemburg Malta Netherlands Poland Portugal Romania Slovakia Slovenia Spain Sweden United Kingdom Dans le tableau qui suit, nous avons mesuré l impact de l agriculture sur l économie dans plusieurs pays européen. Cet impact est exprimé en % du PIB : 2 1 6 2 2 1 3 3 2 1 3 4 1 2 3 4 0 2 2 4 2 7 3 2 3 2 1 Quel est le type de la variable mesurée? Etablissez le tableau de la distribution pour cette variable avec les valeurs, effectifs et effectifs cumulés (remplissez les colonnes adaptées pour ce cas). Donnez le mode et l effectif total. Des trois représentations graphiques suivantes, laquelle choisiriez-vous et pourquoi? Tracez celle choisie. [Diagramme en barres] ; [Diagramme en bâtons] ; [Histogramme]. Quelles sont les familles de paramètres que l on peut trouver/calculer pour cette variable? Citez les et expliquez.

Question 2 3 pts 20min Un serrurier novice doit tester un modèle de serrure et les clés qui lui sont associées. Il a à sa disposition plusieurs grandes boîtes contenant énormément de clés qu il va essayer une à une dans la serrure. Chaque fois qu il essaye une clé, il la range dans un container. Il y a malheureusement une probabilité de 0.05 qu une clé testée soit défectueuse et se brise dans la serrure. Soit X la variable qui compte le nombre de clés testées avant que la serrure ne se bloque à cause d une mauvaise clé. Quelles sont les valeurs possibles pour X si l on suppose qu il a une infinité de clés à tester? Quelle est la probabilité de l événement (X=k)? Est-ce que le processus correspond à une distribution de probabilité connue? Définissez-la. Considérons une série de n clés. Quelle est la probabilité que, pendant le test, l une d elles se brise? Formulez cette probabilité mathématiquement pour X et écrivez l expression permettant de la calculer. Avant que le serrurier ne commence son test, on a vérifié les 10 premières clés et on sait qu elles sont toutes en bon état. Le serrurier commence alors son test en utilisant ces 10 clés en premier. Quelle est la probabilité que la 27 ème se casse? Formulez cette probabilité compte tenu des informations données et calculez-là.

Question 3 2 pts 15min Ce vendredi, le personnel de la STIB est à nouveau en grève. Le réseau est très perturbé et chaque fois qu un bus passe à l arrêt ULB, il y a une probabilité de 0.25 que ce soit un bus 71, une probabilité de 0.05 que ce soit un bus 72 et enfin de 0.7 que ce soit un bus hors service en route pour le dépôt. On attend de voir passer 2 bus. Quelle est la probabilité pour que l un des deux exactement soit hors service? Combien de bus devrait-on prévoir de laisser passer pour être sûrs à 95% que l un d entre eux au moins soit un bus 71? On attend que 7 bus passent et on compte le nombre de bus qui étaient des 71. Quelle est la probabilité que ce nombre soit égal à 3? Quelqu un de très motivé (ou ayant perdu un pari) a observé les 140 bus qui ont circulé devant l arrêt ce jour-là et a compté tous les bus qui étaient des 72. Quelle est la probabilité pour que ce nombre soit inférieur à 20?

Question 4 2 pts 15min Deux étudiants américains appelés John et Smith ont développé un programme innovant pour la gestion des horaires et des locaux. Après leurs études, ils décident de créer une PME pour commercialiser leur software et en profitent pour introduire une demande de brevet de leur concept. Peu de temps après, une compagnie du nom de MacroHard lance un logiciel au concept très similaire John propose de les poursuivre en justice immédiatement. Ils ont 60% de chances de gagner un procès dans la situation actuelle. Mais Smith propose d attendre que la demande de brevet soit traitée. Il y a en effet 80% de chances que le brevet leur revienne. Dans ce cas, leurs chances de gagner le procès monteraient à 90%. Cependant, si la demande de brevet leur est refusée, ils n ont que 40% de chances de gagner le procès. Peu importe leur choix, sous la menace d un procès il y a une probabilité de 0.7 que MacroHard leur propose un arrangement à l amiable pour 400 000. Sinon, en cas de procès, John & Smith toucheront 1 000 000 en cas de victoire et rien en cas de perte. Peu importe le résultat du procès, ils auront 100 000 de frais légaux à régler. Tracez l arbre de décision en respectant les notations du cours. Qui de John ou de Smith a raison? Justifiez votre réponse en calculant le gain moyen espéré.

Question 5 3 pts 20min Récemment, le succès des bons d état nous a amenés à nous poser quelques questions sur leurs émissions. Le tableau suivant reprend les montants investis dans les bons d état de diverses durées (X) au cours des quatre dernières émissions (Y) en millions d euros : Déc. 2010 Mars 2011 Juin 2011 Sept. 2011 Bon 3 ans 0 19.5 12.8 9.5 Bon 5 ans 23.3 62.7 27.8 31.2 Bon 8 ans 27.5 59.3 46.4 36.3 Déterminez les distributions marginales de X et de Y. Calculez la covariance et le coefficient de corrélation entre ces deux variables. Si l on pouvait appliquer un ajustement linéaire sur ces données, serait-il bien adapté? Expliquez. Tracez le diagramme en barres pour la variable Y.

Réponses 1 Type de la variable mesurée? Quantitative discrète. Tableau de la distribution : x j n j N j 0 1 1 1 5 6 Mode et effectif total : x M = 2 n = 27 Diagramme en bâtons : n j 10 2 10 16 3 6 22 4 3 25 5 0 25 6 1 26 7 1 27 5 0 1 2 3 4 5 6 7 x Familles de paramètres : Toutes (position, dispersion, forme)

Réponses 2 Valeurs possibles pour X : V X = {0, 1, 2, } Probabilité de l événement (X=k) : P(X=k) = (0.95) k 0.05 Distribution de probabilité : Géométrique de type 1 avec une probabilité p = 0.05 Probabilité que l une des n premières clés se brise : P(X<n) = 1 P(X n) = 1 0.95 n Probabilité que la 27 ème clé se casse sachant que les 10 premières sont bonnes : P(X=26 X 10) = = (0.95) 16 0.05

Réponses 3 Probabilité pour que un bus sur deux exactement soit hors service : P(1 bus H.S.) = = 0.42 Nombre de bus à laisser passer pour être sûrs à 95% que l un d entre eux au moins soit un bus 71 : P(X 1) = = 1 0.75 n 0.95 n = Probabilité que 3 bus sur 7 soient des 71 : Y ~ Binomiale(7 ; 0.25) P(Y=3) = F Y (3) F Y (2) = Probabilité qu il y ait moins de 20 bus 72 sur 140 bus : Z ~ Binomiale(140 ; 0.05) ~ Poisson(7) P(Z<20) = P(Z 19) = F Z (19) =

Réponses 4 Arbre de décision : 500 000 Arrang. Accepter 500 000 Refuser 500 000 Victoire 400 000 500 000 900 000 Victoire Perte 900 000-100 000 714 000 Procès Attendre 714 000 Brevet Pas de brevet Perte Arrang. 800 000 Arrang. 370 000-100 000 Accepter 800 000 Refuser 800 000 Victoire Perte Accepter 400 000 Refuser 300 000 Victoire 400 000 Victoire Perte 900 000-100 000 400 000 Victoire 300 000 Perte 900 000 900 000-100 000 900 000-100 000 Perte -100 000 Gain si procès immédiatement : 500 000 Gain si attente pour brevet : 714 000 Smith a raison.

Réponses 5 Distributions marginales de X et de Y : Déc. 2010 Mars 2011 Juin 2011 Sept. 2011 n j. Bon 3 ans 0 19.5 12.8 9.5 41.8 Bon 5 ans 23.3 62.7 27.8 31.2 145 Bon 8 ans 27.5 59.3 46.4 36.3 169.5 n.k 50.8 141.5 87 77 356.3 Covariance et coefficient de corrélation : x = = 6.1925 ; y = 2.5338 ; s x ² = = 3.3286 ; s y ² = 0.9662 s xy = = - 0.0447 r = = - 0.0249 Ajustement linéaire bien adapté? r² = 0.00062 = 0.06% Non, car Diagramme en barres pour Y : n j 100 50 Dec-10 Mar-11 Jun-11 Sep-11 Y