Traitement des signaux 3 e partie : Échantillonnage et Transormée de Fourier Discrète Benoît C. FORGET 7 novembre 006 Échantillonnage idéal 4 Conservation de l inormation.................................................................... 5 Repliement spectral............................................................................ 7 Théorème de SHAO....................................................................... 10 Reconstruction du signal....................................................................... 11 Échantillonnage pratique 14 Échantillonneur pratique....................................................................... 15 Distorsion................................................................................... 17 Modulation d impulsion........................................................................ 19 Reconstruction du signal....................................................................... 0 Transormée de Fourier discrète 5 TF d un signal périodique et discret.............................................................. 6 Transormée de Fourier Discrète (TFD)............................................................ 31 Propriétés.................................................................................. 33 Lien entre TF et TFD.......................................................................... 35 Cas des signaux continus périodiques............................................................ 36 Convolution discrète 39 Convolution discrète.......................................................................... 40 Cas des signaux périodiques................................................................... 41 Cas des signaux à durée inie................................................................... 44 Corrélation.................................................................................. 48 1
Plan Les applications du traitement du signal ont explosé avec la montée en puissance des calculateurs et surtout des processeurs spécialisés, rendant obsolètes certains traitement analogiques. Le traitement numérique permet des opérations interdites en analogique (eg. Filtrage non-causal). ous vivons dans un monde numérique La numérisation du signal nécessite dans un premier temps l échantillonnage du signal puis sa quantiication. L échantillonnage correspond à une discrétisation en temps du signal. On distiguera deux cas : l échantillonage idéal et l échantillonnage pratique.la quantiication permet d associer une valeur numérique à l échantillon prélevé. C est une discrétisation en amplitude. Les valeurs discrètes obtenues sont codées sur un ou plusieurs bits. / 48 Plan Échantillonnage idéal Échantillonnage pratique Transormée de Fourier discrète Convolution discrète 3 / 48 Échantillonnage idéal 4 / 48 Conservation de l inormation L objecti du traitement numérique du signal est d extraire les inormations contenues dans le signal analogique initial x(t). Il est donc impérati de conserver ces inormations après échantillonnage. Soient x(t) le signal analogique et x e(t) le signal échantillonné. Soient T e la période d échantillonnage et F e = 1/T e la réquence d échantillonnage. Le signal x e(t) est obtenu par multiplication de x(t) par un peigne de Dirac. (1) x e(t) = x(t) T(t) = x(t) d où : () x e(t) = + k= + k= x(kt e)δ(t kt e) δ(t kt e) 5 / 48
Conservation de l inormation Pour ne perdre aucune inormation, il aut que cette transormation x(t) x e(t) soit réversible. Déterminons le spectre e() du signal x e(t) : (3a) (3b) (3c) (3d) TF {x e(t)} = TF {x(t) Te (t)} = () TF { Te (t)} = () 1 + δ nte T e = 1 T e + = 1 T e + () δ nte nte Cette relation montre que e() est obtenue, à un acteur près (1/T e), par une simple périodisation en réquence du spectre (). Le spectre est reproduit tous les F e = 1/T e. 6 / 48 Repliement spectral Cette périodisation peut s eectuer suivant trois cas de igures : 1 ER CAS : () est à support borné, sa réquence de coupure est F c et F e > F c. () T e e() F c F c F e F e F c F c F e F e On constate qu au prix d un simple iltrage passe-bas idéal, de réquence de coupure F e/, on retrouve () et donc x(t). les inormations initiales ne sont pas perdues. La transormation x(t) x e(t) est réversible. On a correctement échantillonné le signal. 7 / 48 3
Repliement spectral E CAS : () est à support borné, sa réquence de coupure est F c et F e < F c () T e e() T e e() F c F c F e F e F c F c F e F e F e F e F c F c F e F e Il est clair que le spectre initial () est déormé. On ne peut pas obtenir () à partir de e(). Les inormations initiales sont perdues. La transormation est irréversible. On a mal échantillonné le signal. Remarque : Si après l échantillonnage les spectres translatés se chevauchent, on dit qu il y a repliement spectral, recouvrement spectral ou encore aliasing. 8 / 48 Repliement spectral 3 E CAS : () est à support non-borné. Dans ce cas, il est évident qu il y aura repliement spectral. () Il apparaît donc impossible d échantillonner un tel signal. En pratique, on iltrera le signal x(t) par un iltre passe bas de réquence de coupure F c, puis on échantillonnera le signal de sortie du iltre à une réquence F e > F c. x(t) y(t) y e(t) Passe-Bas F c Échantillonneur F e 9 / 48 4
Théorème de SHAO Un signal x(t) à spectre borné sur l intervalle [ F c, F c] est correctement échantillonné si : (4) F e > F c EEMPLE : un cosinus de réquence 0 doit être échantillonné à une réquence F e > 0 1 0 t 1 F e 0 0 F e F e + 0 F e 0 REMARQUE : On verra, en TD, que dans un cas très particulier il est possible de réaliser un sous-échantillonnage. 10 / 48 Reconstruction du signal Pour retrouver x(t) à partir du signal échantillonné, on supposera que le signal a été correctement échantillonné (F e > F c). Déterminer x(t) revient à isoler () dans e(). Ceci est possible en multipliant e() par une porte en réquence Π F () de hauteur T e () e() En eet : F e F e F c F c F e F e (5) TF 1 {T eπ F () e()} = TF 1{()} = x(t) 11 / 48 Reconstruction du signal (6) (7) (8) (9) (10) x(t) = TF 1 {T eπ F () e()} = T ex e(t) x e(t) {z } TF 1 {T eπ F ()} TF 1 {T eπ F ()} {z } z } { = T e x(kt e)δ(t kt e) = = k= k= k= k= x(kt e)δ(t kt e) sinc(πf et) x(kt e)sinc(πf e(t kt e)) z } { x(kt e)δ(t kt e) F esinc(πf et) F esinc(πf et) C est la ormule d interpolation de SHAO. 1 / 48 5
Reconstruction du signal Cette ormule n est pas utilisable en temps réel. Elle nécessite à l instant t la connaissance de tous les échantillons ( ).Suréchantillonner un signal n apporte aucune inormation supplémentaire. Les onction s n(t) = sinc(πf e(t T e)) sont orthogonales. On en déduit que toute onction de spectre borné [ F c, F c] peut être décomposé sur la base {s n(t)}. En supposant s n(t) très petit lorsque n croît, on approche la ormule d interpolation en tronquant la ormule à un petit nombre d échantillons. (11) x(t) x(kt e)sinc(πf e(t kt e)) k= 13 / 48 Échantillonnage pratique 14 / 48 Échantillonneur pratique En pratique, l échantillonnage ne peut être réalisé par une impulsion de Dirac. L échantillon x e(kt e) est donc obtenu par intégration du signal x(t) multiplié par une impulsion de largeur θ autour de kt e. (1) x e(kt e) = Z kte+ θ kt e θ x(t)h(t kt e)dt où h(t) est une impulsion de orme quelconque et nulle en dehors de l intervalle [ θ, θ ]. Les échantillons sont donc obtenus par l opération suivnte : (13) x e(kt e) = Z x(t)h(t kt e)dt = C xh (kt e) = x(τ) h( τ) τ=kte Cette relation indique que toutes les valeurs x e(kt e) sont portées par la onction g(t) = x(t) h( t). Le signal discret x e(t) est obtenu par échantillonnage idéal de g(t) : (14) x e(t) = [x(t) h( t)] te (t) 15 / 48 Échantillonneur pratique (15) x e(t) = [x(t) h( t)] te (t) x e(t) peut être considéré comme la sortie d un iltre, de réponse impulsionnelle h( t), excité par x(t). La transormée de FOURIER de x e(t) s écrit : (16) (17) e() = [()H ()] 1 δ nte T e = 1 nte H nte T e 16 / 48 6
Distorsion (18) e() = 1 T e REMARQUES : nte H nte Le spectre e() est obtenu par périodisation du produit ()H ().Si h(t) = δ(t), on retrouve l échantillonnage idéal. e() = () [TF{δ(t)}] [TF{δ(t)}] 1 (19) δ nte {z } (0) = () =1 δ nte T e 17 / 48 Distorsion Si θ est petit, h(t) a un spectre H() étendu. Il suit donc que la variation de H() soit aible pour que () soit peu modiié. () () H() H() ()H() ()H() On déinit la distorsion à la réquence 0 : (1) ( 0) ( 0)H( 0) ( 0) Si H() est régulièrement décroissant, le maximum de distorsion a lieu à la réquence de coupure de x(t). On verra en TD le cas de l échantillonneur moyenneur h(t) = Π T (t) 18 / 48 Modulation d impulsion L échantillonnage permet d envisager d autre type de modulation, en particulier la modulation d impulsions codées. Soit trois signaux, après échantillonnage moyenneur, si la condition de Shannon est respectée et si la distorsion est limitée, on peut reconstruire les trois signaux. Mais rien n oblige à échantillonner les trois sinaux en même temps! En basculant l échantillonneur, on peut donc transmettre = θ/f e signaux qui occuperont la bande passante d un seul signal. m 1(t) m (t) m 3(t) 1 Fe θ t t t t 19 / 48 7
Reconstruction du signal De même que l échantillonnage idéal est irréalisable, la reconstitution du signal x(t) à partir de la ormule d interpolation de Shannon est impossible. On utilise donc des interpolateurs plus simples. ITERPOLATEUR D ORDRE 0 OU BLOQUEUR Appelons y(t) le signal reconstitué. y(t) est constant par morceaux. () y(t) = x e(kt e) pour t [kt e, (k + 1)T e[ ou encore : (3) y(t) = x e(kt e)π Te t kt e Te 0 / 48 Reconstruction du signal (4) y(t) = posons : (5) h(t) = Π Te x e(kt e)π Te t Te t kt e Te (6) (7) (8) y(t) = = = " x e(kt e)h(t kt e) x e(kt e)[δ(t kt e) h(t)] x e(kt e)δ(t kt e) # h(t) = x e(t) h(t) TF Y () = e()h() La reconstruction du signal est une opération de iltrage! 1 / 48 8
Distorsion et Suréchantillonnage Pour l interpolation idéale, on a convolué par un sinus cardinal. Autremment dit, on a multiplié en réquence par ne porte rectangulaire. Avec un bloqueur, on convolue par une porte rectangulaire (excentrée). Autrement, on multiplie en réquance par un sinus cardinal (déphasé). () e() F e F e F c F c F e F e l élimination des hautes réquences parasites introduites par l échantillonnage n est pas paraite! / 48 Distorsion et Suréchantillonnage Le seul parametre sur lequel on peut jouer, c est la période d échantillonnage. Mais, bien qu augmenter T e (diminuer F e) resserre le spectre de la onction porte (le sinus cardinal), cette opération rapproche d autant les répliques du spectre. e() e() e() e() F e F c e() F c F e F e F e e() F c F c F e F e 3F e F e F e F c F c F e F e 3F e F e F c F c F e F e F e F c F c F e F e 3F e F e F e F c F c F e F e 3F e Le suréchantillonnage limite le parasitage par des réquences trop proches du spectre initial, tout en limitant sa distorsion. 3 / 48 9
Reconstruction du signal ITERPOLATEUR D ORDRE 1 les points sont reliés par des segments de droite.» xe((k + 1)T e x e(kt e) (9) y(t) = x e(kt e) + (t kt e) pour t [kt e, (k + 1)T e[ T e On peut montrer qu il s agit d un iltrage passe-bas (intégrateur numérique du 1 er ordre). L objecti est donc de trouver des iltres dont la réponse ne réquence s apporche d une porte rectangulaire : très plat dans la bande passante avec une transition très abrupte à la réquence de coupure. Un compromis doit être ait entre ces perormances et la complexité numérique de la convolution associée. 4 / 48 Transormée de Fourier discrète 5 / 48 TF d un signal périodique et discret Soit x(t) un signal déini aux instants kt e, et périodique de période T = T e : (30) (31) x(t) = x(kt e)δ(t kt e) k= x(t) = x(t + T e) Le signal tronqué sur une période, x T(t), s écrit : (3) x T(t) = d où : 1 x(kt e)δ(t kt e) (33) x(t) = x T(t) T (t) = " 1 x(kt e)δ(t kt e) # k= δ(t kt e) 6 / 48 10
TF d un signal périodique et discret On prend la TF : " 1 # (34) () = x(kt e)e jπkte Alors : (35) () = 1 T e (36) () = 1 T e " 1 1 T e jπ nk x(kt e)e (n)δ n T e # " 1 δ n T e jπ nk x(kt e)e # {z } (n) δ n T e 7 / 48 TF d un signal périodique et discret (37) () = 1 (n)δ n T e T e REMARQUES : Le spectre n est déini qu aux réquences multiples de 1/T e car le signal est périodique (T = T e) ;le signal x(t) étant discret ( échantillonné avec une période T e), le spectre est périodique et de période F e = 1/Te 8 / 48 TF d un signal périodique et discret DÉMOSTRATIO : (38) + 1Te = 1 T e En posant n = n : (39) + 1Te = 1 T e Avec (40) (n + ) = on obtient : (41) + 1Te 1 = 1 T e n = (n)δ ( n) T e (n + )δ n T e x(kt e)e jπ(n +) k = n = 1 (n )δ n = () x(kt e)e jπ n k = (n ) 9 / 48 TF d un signal périodique et discret Conclusion : Le spectre () est entièrement déini par les raies (n), pour n variant de 0 à 1. 30 / 48 11
Transormée de Fourier Discrète (TFD) DÉFIITIO : La transormée de Fourier discrète (TFD), sur points, du signal discret x(k) est déinie par : (4) TFD {x(k)} = (n) = 1 x(k)w nk La transormée de Fourier discrète inverse, sur points, est déinie par : (43) x 1(k) = TFD 1 {(n)} = 1 1 (n)w +nk avec W = e pij, appelé Facteur de Rotation. 31 / 48 Transormée de Fourier Discrète (TFD) REMARQUE : Attention : Si x(k) est périodique alors x 1(k) = x(k). Sinon x 1(k) est la périodisation de x(k) tronqué sur points. Ceci aura des conséquences sur le calcul de la convolution ou de la corrélation par TFD.Les notations x(k) (échantillonnage temporel) et (n) (échantillonnage réquentiel) sont abusives. On devrait écrire : (44) x(kt e) (n ) avec = 1 T e = 1 T est appelé pas en réquence, ou résolution. 3 / 48 Propriétés Le acteur de rotation présente une symétrie : (45) W k = 1 = W 0 ; W = 1 ; W k = ( 1)k ; W αk = W k α La TFD est périodique sur points : (46) (n) = (n + ) La résultat de la TFD inverse est un signal périodique sur points : (47) x 1(k) = x 1(k + ) Si x(k) est réel alors : (48) ( n) = ( n) = 1 x(k)w +nk = " 1 x(k)w nk # = (n) Cette propriété permet de diviser par le temps de calcul. En eet, la connaissance de (n) pour n allant de 0 à / suit à calculer (n), pour tout n. 33 / 48 1
Lien entre TF et TFD Les signaux physiques ne sont pas aussi tous discrets et périodiques. Ils sont le plus souvent quelconques (continus et apériodiques). Pour étudier ces signaux, à l aide d une TFD, il aut procéder à un échantillonnage une troncature une périodisation du signal On peut alors appliquer la T.F.D. Ces trois opérations ont pour eet de modiier le spectre () du signal x(t). 34 / 48 Lien entre TF et TFD EEMPLE : Soit x(t) = e at u(t), avec a > 0 alors : (49) () = 1 a + πj ; () = 1 p a + 4π lcolwidth=5.5cm,rcolwidth=5.5cm Signal Spectre Après échantillonnage, troncature sur points et périodisation du signal. REMARQUES : Si le signal est déjà à durée limitée alors, le clapotis disparaît, seul le phénomène de recouvrement subsiste. Pour atténuer les clapotis on utilise en pratique des enêtres de pondération discrètes (50) p(n) = 1 w(k)x(k)w nk 35 / 48 13
Cas des signaux continus périodiques Prenons l exemple du signal x(t) déini par : (51) x(t) = cos(π 0t) TF () = 1 [δ( 0) + δ( + 0)] Après troncature du signal, sur une durée T = T e, le spectre () est la somme de deux sinus cardinaux centrés en 0 et 0. Après échantillonnage à la réquence F e, le spectre devient périodique. () est inalement représenté, sur la bande de réquence [0, F e], par : 0 F e 0 F e Deux cas se présentent pour le calcul de la T.F.D. 36 / 48 Cas des signaux continus périodiques 0 F e 0 F e Si 0 = p/t e, avec p entier [0, 1], alors le spectre (n) est donné par : (5) (n) = ( si n = p si n = p 0 ailleurs Dans ce cas la p ieme composante correspond exactement à la réquence 0. Les raies éloignées de n/t e correspondent alors aux zéros du sinus cardinal. 37 / 48 Cas des signaux continus périodiques F e 0 F e 0 Si 0 p/t e, p [0, 1], alors le spectre (n) est un autre un échantillonnage du sinus cardinal! COCLUSIO : La TF et TFD de ce signal périodique sont identiques, à un terme d amplitude près, si 0 = p/t e. C est à dire si l on tronque le signal sur un nombre entier de périodes (T = T e = pt 0). 38 / 48 14
Convolution discrète 39 / 48 Convolution discrète Il existe un algorithme de calcul rapide de la TFD appelé Transormée de Fourier Rapide (FFT). Il serait donc avantageux en temps de calcul d utiliser la relation de PLACHEREL et d eectuer la convolution en passant par la TFD et la TFD inverse. ous allons déterminer une relation entre convolution et TFD. 40 / 48 Cas des signaux périodiques Soient x(k) et y(k) deux signaux périodiques et de période. Le produit de convolution de ces signaux est donné par : (53) z(k) = x(k) y(k) = 1 i=0 x(i)y(k i) On peut montrer que la TFD de z(k) est : (54) Z(n) = TFD{z(k)} = (n)y (n) On peut donc calculer le produit de convolution à partir du calcul de trois TFD, dont une inverse : (55) z(k) = TFD 1 {TFD {x(k)} TFD {y(k)}} 41 / 48 Démonstration (56) Z(n) = 1 " 1 i=0 x(i)y(k i) Posons k i = k k = i + k 1 1 i (57) Z(n) = x(i) 4 Soit : (58) S = i=0 1 i k = i k = i y(k )W nk = # y(k )W nk 1 k = i 1 W nk = 3 i=0 5 W ni x(i) " 1 y(k i)w nk 1 i y(k )W nk + y(k )W nk k= 0 # 4 / 48 15
Démonstration (59) S = 1 k = i 1 i y(k )W nk + y(k )W nk k= 0 Comme y(k ) et W nk sont périodiques sur points : (60) S = Par suite : (61) Z(n) = 1 k = i 1 i=0 1 i y(k )W nk + x(i)y (n)w ni k= 0 1 y(k )W nk = = (n)y (n) k =0 y(k )W nk = Y (n) 43 / 48 Cas des signaux à durée inie Soient x(k) et y(k) deux signaux déinis respectivement sur x et y points. Pour calculer le produit de convolution, à l aide de la relation précédente, il aut périodiser x(k) et y(k) sur une même période. On pourra alors calculer les TFD sur les signaux périodiques et en déduire z(k). Le problème est : Comment choisir?. Il est acile de montrer que que z(k) est déini sur = x + y 1 points. Sa TFD doit être déinie sur autant de points pour ne pas que la périodisation liée à la TFD inverse ne modiie z(k). 44 / 48 Cas des signaux à durée inie EEMPLE : Soit deux portes rectangulaires de la largeur respectives x = 5 et y = 6 : 0 4 0 5 (6) z(k) = x(k) y(k) = x(i)y(k i) i= 45 / 48 16
Cas des signaux à durée inie 46 / 48 Cas des signaux à durée inie COCLUSIO : Pour calculer le produit de convolution de signaux à durée inie il aut : Prolonger x(k) et y(k) par des zéros jusqu à k = 1 = x + y 1. Calculer les TFD des deux nouveaux signaux. Calculer la TFD inverse du produit. En principe le signal z(k) est réel, mais la TFD inverse restitue, le plus souvent, un signal complexe dont la partie imaginaire est non-nulle (très petite). Ceci est dù aux erreurs d arrondis durant le calcul. 47 / 48 Corrélation Les relations et propriétés de la corrélation sont analogues à celles établies pour la convolution. Si x(k) et y(k) sont à énergie inie : (63) C xy(k) = i= x(i)y (i k) Si x(k) et y(k) sont périodiques et de même période (64) C xy(k) = 1 i=0 x(i)y (i k) On peut montrer dans ce cas que : (65) S xy(n) = TFD {C xy(k)} = (n)y (n) Si les signaux x(k) et y(k) sont à durée inie, l intercorrélation C xy s obtient en calculant les TFD de x(k) et y(k) sur points, avec = x + y 1. (66) S xy(n) = TFD {x(k)}tfd {y(k)} 48 / 48 17