Corrigés des exercices : Introduction aux Probabilités

Chapitre Corrigés des exercices : Introduction aux Probabilités? 1 * Quelle est la probabilité d avoir les 6 bons numéros sur une grille simple de loto? D en avoir exactement Dans une grille de loto, il faut donner 6 numéros parmi 49, l ordre n ayant pas d importance Ainsi, cardω C 6 49 Il n y a qu une grille simple qui donne les 6 bons numéros, donc la probabilité est p 1 1 C 6 49 7, 1510 8 Pour avoir exactement bons numéros, il faut en choisir parmi 6 (C 6 parmi les 49 6 mauvais (C 4 choix), donc finalement ici p C 6 C 4 C 6 49 choix), et les autres ** On prend 5 cartes au hasard dans un jeu de 1) Quelle est la probabilité qu elles soient toutes de hauteurs différentes? ) Quelle est la probabilité d avoir un full? (c est-à-dire cartes d une même hauteur et les autres cartes d une autre même hauteur) Il y a C 5 façons de choisir 5 cartes parmi (l ordre des cartes n a pas d importance) ; donc cardω C 5 1) Il y a 8 hauteurs différentes On choisit les 5 hauteurs, puis, dans chaque hauteur, on a 4 cartes possibles Donc p 1 C5 8 45 C 5 0, 507 ) On choisit la hauteur du brelan (C8 1 8 choix), puis les cartes qui le composent parmi 4(C4 4 choix) On choisit ensuite la hauteur de la paire (il n en reste que 7 possibles), puis les cartes qui la composent (C4 6 choix) On a alors p 8 4 7 6 C 5 0, 01 * Dans un jeu de cartes, on a remplacé une autre carte que l as de pique par un autre as de pique Une personne prend au hasard cartes du jeu Quelle est la probabilité qu elle s aperçoive de la supercherie? Il y a C façons de choisir cartes parmi (l ordre des cartes n a pas d importance) ; donc cardω C Pour s apercevoir de la supercherie, il faut tirer les as de pique du paquet et une autre carte parmi les 0 autres, soit 0 choix Ainsi, p 0 0 6 C 1 0 16 1 6, 0510 1

4 ** On distribue 8 cartes d un jeu de Calculer les probabilités d avoir: a) exactement cœurs et au moins un valet ; b) au moins un cœur et au moins un valet ; c) exactement un cœur et au moins un valet IlyaC 8 façons de choisir 8 cartes parmi (l ordre des cartes n a pas d importance) ; donc cardω C 8 a) Soit A l événement au moins un valet et B exactement cœurs On cherche P (A B) On a P (B) P (A B)+P (A B) avec cardb C 8 C6 4 et card(a B) C 7 C6 1 Ona alors P (A B) C 8 C6 4 C 7 C6 1 C 8 b) Soit C l événement au moins un cœur On cherche P (C A) On a P (C A) 1 P (C A) 1 P (C P (A)+P (C A) avec cardc C 8 4 (pas de cœur), carda C 8 8 (pas de valet) et card(c A) C 8 1 (ni cœur, ni valet) Ainsi, p 1 C8 4 + C8 8 C8 1 C 8 0, 654 c) On décompose en deux suivant qu on a le valet de cœur ou pas Avec le valet de cœur, on a pas d autre cœur, donc C4 7 choix pour les autres cartes Sans le valet de cœur, on a 7 choix possibles pour le cœur, puis pour les 7 autres cartes C4 7 C7 1 choix On a donc p C7 4 +7(C7 4 C7 1 ) C 8 5 * Est-il plus probable d obtenir au moins 1 as en lançant 4 fois un dé ou au moins 1 double as en lançant 4 fois dés? expériences différentes et événements différents associés à celle-ci Expérience 1 : lancer d un dé 4 fois de suite Ω 1 {(x 1,x,x,x 4 ); 1 x i 6}, A 1 : faire au moins un 6 Tous les résultats ont même chance de se réaliser donc P (A 1 ) carda 1 cardω 1 Il est plus pratique de déterminer P (A 1 )oùa 1 est l événement pas de 6 P (A 1 )1 P (A 1 ) avec A 1 {(x 1,x,x,x 4 ); 1 x i 5} P (A 1 ) carda 1 cardω avec carda 1 5 4 et cardω 1 6 4 d où P (A 1 ) P (A 1 )1 Expérience : lancer de dés 4 fois de suite ( ) 5 4 0, 518 6 Ω {((x 1,y 1 ),, (x 4,y 4 )), 1 x i, y i 6}, ( ) 5 4 et 6 A : faire au moins un double 6 Tous les résultats ont même chance de se réaliser donc P (A ) carda cardω Il est plus pratique de déterminer P (A )oùa est l événement pas de double 6

P (A )1 P (A ) avec A {((x 1,y 1 ), (x 4,y 4 )) ; (x i,y i ) (6, 6)} On a 5 choix pour chaque (x i,y i ) donc carda (5) 4 Finalement P (A ) carda cardω ( ) 5 4 et 6 P (A )1 P (A )1 ( ) 5 4 0, 491 6 Conclusion : il est donc plus probable de faire au moins un 6 en 4 lancers 6 ** On a mélangé 10 paires de chaussettes et on choisit au hasard 4 chaussettes Quelle est la probabilité d obtenir a) paires? b) au moins une paire? c) exactement une paire? Un résultat est ici un ensemble de 4 chaussettes parmi 0 Ainsi, cardω C 4 0 0 19 18 17 4 15 17 19 a) Pour avoir paires, il faut les choisir parmi 10, soit C10 45 choix et p 45 1 15 17 19 0, 0099 17 19 b) Pour ne pas avoir de paire, il faut choisir 4 paires parmi 10 (C10 4 10 9 8 7 10 4 choix) et dans chaque paire, on a chaussettes possibles d où C10 4 4 10 16 façons de ne pas avoir de paire et p 1 C4 10 4 C0 4 0, 06 c) On a au moins une paire si on a exactement 1 paire ou bien exactement paires (probabilité p 1 Ainsi p p + p 1 et p p p 1 0, 97 7 ** Un domino porte nombres de {0, 1,,, 4, 5, 6}, éventuellement identiques 1) Quelle est la probabilité que dominos tirés au hasard soient compatibles? ) Quelle est la probabilité d avoir au moins un double parmi 5 dominos tirés au hasard? 1) On a C8 14 7 choix possibles de dominos Pour que dominos soient compatibles, il faut qu ils aient un numéro en commun On choisit le numéro en commun (7 choix), puis on choisit dominos parmi les 7 qui comportent ce numéro, soit C7 1 choix possibles Ainsi, p 7 C 7 C 8 7 1 14 7 7 0, 9 18 ) On tire 5 dominos ici Donc cardω C8 5 Pour ne pas avoir de double, il faut choisir les 5 dominos parmi les 1 dont les côtés sont différents (C1 5 choix) et p 1 C5 1 C8 5 0, 79 8 * On compose au hasard un numéro de téléphone à 8 chiffres Quelle est la probabilité : 1) que tous les chiffres soient distincts? ) que les chiffres forment une suite strictement croissante?

Un résultat est ici une suite de 8 chiffres (de 0 à 9) et card(ω) 10 8 1) On a A 8 10 numéros dont les chiffres sont tous distincts Donc p 1 A8 10 0, 018 108 ) Le produit est divisible par si l un au moins des chiffres qui le compose est divisible par Il est plus simple de considérer l événement contraire aucun chiffre divisible par c est-à-dire tous les chiffres dans {1,, 5, 7, 9} ( ) Ainsi, p 1 58 1 8 10 8 1 0, 996 De même, le produit est divisible par si l un au moins des chiffres est divisible par et aucun chiffre n est divisible par si tous les chiffres sont dans {1,, 4, 5, 7, 8} ( ) Ainsi, p 68 8 1 10 8 1 5 ) On a une suite strictement croissante si les 8 chiffres sont distincts (C10 8 choix), et il n y a alors qu un ordre possible Ainsi p C8 10 10 8 9 ** On considère le mot ATTACHANT 1) Donner le nombre d anagrammes de ce mot ) On tire au hasard et sans remise 4 lettres de ce mot Quelle est la probabilité de pouvoir écrire le mot CHAT avec les lettres obtenues? D écrire directement le mot CHAT? ) Reprendre les questions du ) dans le cas de tirages avec remise ATTACHANT comporte A, T, 1 C, 1 H et 1 N 1) Les anagrammes de ce mot sont les mots de 9 lettres ayant même composition On place les A (C9 choix), puis les T parmi les 6 places restantes(c6 choix), puis le C parmi les places restantes, le H parmi les places restantes et enfin le N On a donc C9 C 6 10080 anagrammes ) Le nombre total de tirages en tenant compte de l ordre est 9 8 7 6 Le nombre de tirages permettant d écrire directement le mot CHAT est 1 1 et la probabilité d écrire directement le mot CHAT est p 9 8 7 6 1 0, 00 6 Pour pouvoir écrire le mot CHAT, il suffit de tirer les lettres de ce mot dans n importe quel ordre (soit 4! permutations) et p 1 4!p 1 0, 071 14 ) Le nombre total de tirages de 4 lettres avec remises est 9 4 p 9 9 4 1 79 1, 710 et p 1 4!p 8 0, 0 4 10 * Un atelier comporte machines A, B et C Les probabilités de défaillence sont respectivement P (A) 0, 1;P (B) 0, ;P (C) 0, Quelle est la probabilité d avoir exactement une machine en panne? 4

On cherche p P ((A B C) (Ā B C) (Ā B C)) ; les événements sont disjoints donc la probabilité est égale à la somme des probabilités de chacun d entre eux On utilise alors l indépendance de A, B et C Ainsi, soit p 098 p P (A)P ( B)P ( C)+P (Ā)P ( B)P ( C)+P (Ā)P ( B)P (C) 01 08 07+09 0 07+09 08 0 0056 + 016 + 016 11 ** Un ascenseur prend 6 personnes au rez-de-chaussée d un immeuble de 8 étages Quelle est la probabilité que : 1) personnes descendent au même étage, les autres descendent chacune à des étages différents et différents du précédent? ) 1 personne descende à un étage, à un autre et à un autre? Il y a en tout card(ω) 8 6 6144 répartitions possibles des personnes dans les étages 1) Il faut choisir les personnes, soit C6 6 5 15 choix, puis l étage où il descendent (8 choix) Il y a ensuite, pour les 4 autres personnes 7 6 5 4 choix d étages Donc car(a) 100800 et P (A) card(a) card(ω) 08 ) On choisit les personnes : C6 6 5 4 0, leur étage (8 choix), les personnes C, leur étage (7 choix) puis l étage de la dernière personne (6 choix) Finalement, 1 card(b) 0 8 7 6 0160 et P (B) card(b) card(ω) 0077 1 ** Une boîte A contient 1 boule blanche et boules rouge Une boîte B contient 5 boules blanches et boules rouge On tire au hasard une boule de A et une boule de B, puis on les change de boîte 1) Quelle est la probabilité pour qu après l échange la boîte A ne contienne que des boules rouges? ) Quelle est la probabilité pour qu après l échange chaque boîte ait retrouvé, en nombre de boules de chaque couleur, sa composition initiale 1) Pour qu après l échange, il n y ait que des boules rouges dans A, il faut tirer dans A la boule blanche (événement A b ) et dans B une boule rouge (événement B r ) On a P (A b ) 1 4 et P (B r) Les tirages étant indépendants, on a alors : 8 p 1 P (A b B r )P(A b )P (B r ) 1 4 8, soit p 1 ) Pour qu après l échange, l urne ait retrouvé sa composition initiale, il faut tirer dans A et dans B des boules de même couleur soit soit 1 boule blanche dans A et 1 boule blanche dans B (événement A b B b ); soit 1 boule rouge dans A et 1 boule rouge dans B (événement A r B r On a ainsi p P ((A b B b ) (A r B r )) P (A b B b )+P(A r B r )(événements disjoints) et, comme les tirages dans A et dans B sont indépendants, P (A b B b )P(A b )P (B b ) 1 4 5 8 5 et P (A r B r )P(A r )P (B r ) 4 8 9 5

et ainsi, p 5 + 9 14, soit p 7 16 1 * Dans un jeu de cartes, on tire une carte au hasard Calculer la probabilité que la carte tirée soit un roi sachant que l événement la carte tirée est un pique est réalisé? Soit A on tire un roi et B on tire un pique On cherche P (A/B) est l événement on tire le roi de pique On a alors P (A B) 1 P (A/B) 1 8 P (A B) où A B P (B) 8 et P (B) donc 14 * Un dé est jeté fois successivement et les résultats des expériences sont tous différents Quelle est la probabilité qu il y ait un as? Soit A on tire un as et B les résultats sont tous différents On cherche P (A/B) P (A B) où A B est l événement on tire des dés de hauteurs différentes dont l as On a P (B) alors P (B) C 6! 6 (on choisit numéros, mais l ordre a de l importance) et P (A B) C5! 6 (on choisit les deux autres numéros, toujours en tenant compte de l ordre) On a donc P (A/B) C 5 C 6 10 0, soit P (A/B) 1 15 * On tire 4 cartes d un jeu de cartes Sachant que l une des cartes tirées est un roi, quelle est la probabilité d obtenir as et rois? Soit A on tire as et rois et B on tire au moins un as On cherche P (A/B) où A B A puisque A B On a alors P (B) 1 P (B) 1 C4 8 C 4 P (A B) P (B) (on choisit 4 cartes parmi, et pour B, on en choisit 4 parmi les 8 qui ne sont pas des as) et P (A) C 4 C 4 C 4 (choix de rois parmi 4 ET de as parmi 4) On a donc P (A/B) (C 4 ) C 4 C4 8 P (A/B) 0, 00 6 15485, soit 16 * Un sac contient 7 billes rouges, 5 billes blanches et billes noires On tire successivement billes Quelle est la probabilité pour que la première bille tirée soit rouge, la deuxième blanche et la troisième noire si chaque bille est: a) remise dans le sac après tirage ; b) non remise dans le sac a) On remet les billes dans le sac : les tirages sont indépendants et la composition de l urne ne varie pas On considère les événements R 1 la bille 1 est rouge, B la bille est blanche et N la bille est noire Les événements R 1, B et N étant ici indépendants, on a donc P (R 1 B N )P (R 1 )P (B )P (N ) 7 15 5 15 15, 6

soit P (R 1 B N ) 7 5 b) On ne remet pas les billes dans le sac, la composition de celui-ci dépend donc des tirages précédents D après la formule des probabilités composées, P (R 1 B N )P (R 1 )P (B /R 1 )P (N /(R 1 B )) avec P (R 1 ) 7 15, P (B /R 1 ) 5 14 et P (N /(R 1 B )) 1 d où P (R 1 B N ) 7 15 5 14 1, soit P (R 1 B N ) 1 6 17 ** Soient A 1 et A deux ensembles de boules On suppose que A 1 contient 75% de boules blanches et que A en contient 50% En outre, on suppose que A 1 contient fois plus de boules que A On place les boules de A 1 et de A dans une même urne et on en tire une au hasard: on constate qu elle est blanche Quelle est la probabilité que cette boule provienne de A 1? Soit A la boule provient de A 1 etb la boule est blanche On cherche P (A/B) P (A B) où A B est l événement la boule est blanche et provient de A 1 Si N est le P (B) nombre de boules de A, le nombre de boule de A 1 est N (car A 1 contient fois plus de boules que A ) Dans A 1, il y a alors 9N 4 boules blanches et N 4 noires et dans A,ilya N boules blanches et N boules noires Finalement, il y a au total 4N boules dont 5N 4 11N 4 blanches On a alors P (B) 4N 11 9N 16 et P (A B) 4 4N 9 16, d où P (A/B) 9 11 On peut également obtenir directement le résultat à l aide du théorème de Bayes : P (A/B) P (B/A)P (A) P (B/A)P (A)+P (B/A)P (A) On a P (B/A) 4, P (B/A) 1 et P (A) 4 donc P (A/B) 4 4 4 4 + 1 1 4 11N noires et 4 9 9+ 9 11 18 ** 10 000 personnes sont atteintes du SIDA en France (58 000 000 habitants) Soit 0, 998 la fiabilité d un test de dépistage (probabilité que le test reconnaisse un malade) Soit 10 la probabilité que le test soit à tort positif Quelle est la probabilité d être effectivement négatif alors que le résultat du test est positif? Soit M l événement être malade du sida et T + l événement le test est positif On cherche P T + (M) P (M T +) P (T + ) On connaît P (T + /M) 10, P (M) 10 58000 1 1, P (M) 1 5800 5800 5787 5800 fiabilité du test est P (T + /M )0, 998 P (M T + )P (T + /M)P (M) 7 et la

d où finalement : P (T + )P (T + M)+P (T + M) P (T + /M )P (M)+P (T + /M)P (M) P (M/T + ) P (T + /M)P (M) P (T + /M )P (M)+P(T + /M)P (M) 10 5787 5800 10 5787 1 5800 +0, 998 5800 5, 787 5, 787 0, 1 5, 787 + 1, 974 18, 761 Il y a environ 1% de chances de ne pas avoir le sida alors que le test est positif 19 * Une urne contient 4 boules noires et boules blanches ; une autre boules noires et 4 boules blanches On effectue une succession de tirages avec remise dans une des urnes choisie qu hasard Quelle est la probabilité que la troisième boule tirée soit blanche sachant que les deux premières l étaient? On cherche P (B /(B 1 B )) P (B 1 B B ) P (B 1 B ) ( (1 ) + ( ) ) 1 6 donc P (B /(B 1 B )) 5 Or P (B 1 B )P(B 1 B /U 1 )P (U 1 )+P(B 1 B /U )P (U ) 1 ( (1 de même, P (B 1 B B ) 1 ) + ( ) ) 5 18 et 0 * Une usine d ampoules dispose de machines qui fabriquent respectivement 0, 0 et 50% de la production Sachant que la probabilité qu une ampoule défectueuse ait été fabriquée par A, B, C est P (D/A) 0, 05 ; P (D/B) 0, 04 ; P (D/C) 0, 01 Calculer la probabilité : a) qu une ampoule soit défectueuse ; b) qu une ampoule défectueuse provienne de A ; c) qu une ampoule non défectueuse provienne de C On note D l événement l ampoule est défectueuse et A (resp B, C) l ampoule vient de A (resp B, C) a) On a, d après les probabilités totales Ainsi P (D) 007 b) P (A/D) c) P (C/ D) P (D) P (D/A)P (A)+P(D/B)P (B)+P(D/C)P (C) 005 0+004 0+001 05 001 + 001 + 0005 P (A D) P (D) P (C D) P ( D) P (D/A)P (A), soit P (A/D) 10 P (D) 7 07 P ( D/C)P (C) P ( D) (1 P (D/C))P (C) 1 P (D) donc P (C/ D) 009 05 097 45 97 051 1 ** Des pièces mécaniques sont fabriquées en grande série On effectue un test sur chacune d elles pour en contrôler la qualité On appelle p la probabilité pour qu une pièce choisie au hasard soit bonne ; a la probabilité pour que le test indique comme bonne une pièce qui est effectivement bonne ; b la probabilité pour que le test indique comme bonne une pièce qui en réalité est mauvaise 8

1) Calculer la probabilité pour qu une pièce indiquée par le test comme bonne soit effectivement bonne ) A quelle condition le test est-il utile? (c est-à-dire à quelle condition cette probabilité est-elle supérieure à p?) Soit B l événement la pièce est bonne et T le test indique la pièce comme bonne On connait P (B) p, a P (T/B)etb P (T/B) 1) On cherche P (B/T) et pour cela, on utilise la formule de Bayes : P (B/T) P (T/B)P (B) P (T/B)P (B)+P (T/B)P (B), ap ce qui donne ici P (B/T) ap + b(1 p) a ) Le test est jugé utile si P (B/T) >P(B), c est-à-dire si > 1, soit encore ap + b(1 p) a>ap+ b(1 p) ou encore a(1 p) >b(1 p) : le test est utile si a>b(p (T/B) >P(T/B)) * Une urne contient boules rouges et 7 boules blanches On tire une boule et on remet dans l urne une boule de l autre couleur Quelle est la probabilité que la deuxième boule tirée soit rouge? On cherche P (R )où R est l événement la deuxième boule tirée est rouge, et pour cela, on utilise les probabilités totales faisant intervenir la couleur de la première boule tirée P (R )P (R /R 1 )P (R 1 )+P (R /R 1 )P (R 1 ) avec P (R 1 ) 10, P (R /R 1 ) 10 et P (R /R 1 ) 4 10 donc P (R ) 6 100 + 8 100 4 100, soit P (R )04 ** Une urne contient 5 boules rouges et 1 noire Déterminer la probabilité qu il faille retirer successivement boules, sans remise dans l urne, pour extraire la boule noire On cherche en fait P (R 1 R N ) et, pour cela, on utilise les probabilités composées : P (R 1 R N )P(R 1 )P (R /R 1 )P (N /(R 1 R )) avec P (R 1 ) 5 6, P (R /R 1 ) 4 5 et P (N /(R 1 R )) 1 4 On a donc P (R 1 R N ) 5 6 4 5 1 4, soit P (R 1 R N ) 1 6 4 ** On cherche un parapluie qui se trouve dans un immeuble de 7 étages (rez-de-chaussée compris) avec la probabilité p (p ]0, 1[) On a exploré en vain les 6 premiers niveaux Quelle est la probabilité que le parapluie se trouve au 7-ième étage? Soit A l événement le parapluie se trouve au 7-ième étage et B le parapluie n est pas dans P (A B) les 6 premiers étages On cherche P (A/B) P (A) P (B) P (B) car A B On a P (A) p 7 9

(chaque étage a la même probabilité et la somme vaut p) etp (B) 1 P (B) 1 6p 7 7 6p 7 Donc, finalement, P (A/B) p 7 6p 5 * On considère 100 dés à 6 faces dont 50 sont pipés et 50 sont corrects Pour chaque dé pipé, la probabilité d obtenir la face 6 est 1/ On prend un dé au hasard parmi les 100, on le jette et on constate que la face 6 apparaît Quelle est la probabilité que le dé soit pipé? Soit A l événement la face 6 apparaît et B le dé est correct On cherche P (B/A) et on connait P (B) P (B) 1, P (A/B) 1 6 et P (A/B) 1 On utilise la formule de Bayes : P (B/A) car P (B) P (B) et donc P (B/A) 1 1 6 + 1 P (A/B)P (B) P (A/B)P (B)+P (A/B)P (B), soit P (B/A) 4 P (A/B) P (A/B)+P (A/B) 6 * On suppose que l on a dans un magasin des machines provenant de usines différentes A et B : 70% viennent de A et 0% viennent de B Parmi celles qui viennent de A, 0% présentent un défaut ; parmi celles qui viennent de B, 10% présentent un défaut 1) Déterminer le pourcentage de machines dans le magasin qui présentent un défaut ) Une machine donnée présente un défaut Quelle est la probabilité qu elle provienne de l usine B? On note D l événement la machine est défectueuse et A (resp B) la machine vient de l usine A (resp B) On a P (A) 07, P (B) 0, P (D/A) 0 etp (D/B) 01 1 D après les probabilités totales Ainsi P (D) 01 P (D) P (D/A)P (A)+P(D/B)P (B) 0 07+01 0 014 + 007 01 On cherche P (B/D), P (B/D) P (B D) P (D) P (D/B)P (B), soit P (B/D) P (D) 17 0176 Remarque : exercice comparable à celui sur les ampoules en plus simple 7 * Un sac contient jetons L un de ces jetons a faces noires, un autre faces blanches et le troisième a une face noire et l autre blanche On tire au hasard un jeton du sac et on le pose sur la table: la face visible est noire Quelle est la probabilité que le jeton tiré ait faces noires? Soit N l événement le jeton tiré a faces noires et V l événement la face visible est noire On cherche P (N/V ) P (N V ) P (N) P (V ) P (V ) car N V On a P (N) 1, P (V ) 6 1 et donc P (N/V ) 1 1 soit P (N/V ) 10