- Qu est-ce qu une fraction? DES FRACTIONS Une part d une grandeur donnée : de 60... 1% de 00 électeurs... Un quotient de deux nombres entiers :......... - Comment représenter une fraction? Les fractions précédentes sont représentées ci-dessous - Comment comparer des fractions? Plusieurs fractions peuvent représenter un même nombre : Lequel? Quelles sont ses différentes écritures?............. Ces deux dessins représentent des fractions différentes ; Compare-les:......... - Comment ajouter ou retrancher des fractions?............ - Comment multiplier des fractions? Chaque côté du carré mesure 1 (unité non définie).son aire est donc 1 x 1 1 L aire coloriée est : en fraction de l aire du carré :... longueur largeur... Conclusion :...
LES FRACTIONS PARTIE I - Définition Une fraction représente un quotient de deux nombres entiers. Les nombres écrits sous forme de fraction peuvent être : Des nombres entiers naturels comme : 1001 1 Des nombres décimaux comme : 1 1,6 Des nombres non décimaux comme : 6 1,19... Remarque : Dans ce dernier exemple, l écriture fractionnaire présente un avantage certain sur l écriture décimale illimitée! - Simplification de l écriture des fractions a) Si, dans le numérateur et le dénominateur d une fraction, on fait apparaître un facteur commun k, on peut simplifier l écriture de la fraction par ce facteur k. b) Exemple : a k b k 1 1 (on a simplifié par le facteur commun ) 0 On peut simplifier encore : 1 On pouvait écrire, plus rapidement : 1 (puisque le facteur commun est 1) 0 1 a b c) Lorsqu on ne peut plus simplifier (c est-à-dire lorsqu on ne trouve plus de facteur commun), on obtient l écriture irréductible de la fraction. C est, en fait, l écriture la plus simple de la fraction. est une fraction irréductible. - Écriture d un quotient de nombres décimaux sous la forme d une fraction Si on reprend la formule de simplification d une fraction, on peut l écrire aussi :
a a k b b k Exemples : 10 0 (On a rendu entier le diviseur) 0, 0, 10 Remarque : cette méthode est déjà employée pour la division des nombres à virgule.,1,1 100 1 100 00 Remarque : la fraction ainsi obtenue est simplifiable par le facteur 1 6 6 00 100 100 - Écriture d une fraction avec un autre dénominateur La formule du précédent paragraphe permet aussi d écrire une fraction donnée avec un autre dénominateur Exemple : La fraction peut s écrire avec les dénominateurs : 6 ; 9 ; 1 ; 1 ; 1 ; etc. (ils sont multiples du dénominateur ) 6 6 9 6 10 1... 1 6 9 1 1 1 10 1 6 1 6 1 - Équation ax a) Exemple : b où a et b sont des nombres entiers ou décimaux Un jardin rectangulaire a une aire de 16 m². Quelle est sa longueur x sachant qu il mesure 9 m de largeur? En utilisant la formule donnant l aire du rectangle, on écrit : 9 x 16 16 x 9 x 1 La longueur du terrain est 1 m (vérification :9 1 16) b) Cas général : L équation : a x b a une solution (si a n est pas égal à zéro) :
b x a b a b a b b Vérification : a b a a a 1 1 - Égalité de deux fractions a) Exemple : car 1 1 On remarque que : 0 et que : 1 0 On dit que les produits «en croix» sont égaux. On pourrait effectuer les divisions de par 1 et de par mais les quotients obtenus étant à partie décimale illimitée, on évite ce procédé. b) Règle : Deux fractions sont égales si les produits «en croix» sont égaux a b c lorsque a d b c d Vocabulaire : Deux fractions égales constituent une proportion. c) Application : Résoudre l équation : x x x x 1
PARTIE II - Savoir écrire des fractions avec le même dénominateur On utilise la méthode vue plus haut : a a k b b k Exemple : Écrire 11 et avec le même dénominateur : 9 Puisque : 9 1 Alors : 9 9 - Savoir comparer des nombres écrits sous forme fractionnaire a) Pour comparer deux fractions, il faut d abord les écrire avec le même dénominateur. On dit qu on les réduit au même dénominateur Les fractions sont alors dans le même ordre que leurs numérateurs a b < si a< b c c Exemple : Pour comparer 9 1 10 1 b) Remarque : et 10 1, on écrit 9 10 or 9 < 10 donc < 1 1 avec le dénominateur 1 Conclusion: 10 < 1 On peut faire certaines comparaisons en utilisant la calculatrice 11 0,1 11 Exemple : donc car 0,10 0,1 0 0 1 < <,1 1 On aurait d ailleurs des difficultés à écrire ces deux fractions avec le même dénominateur! c) Exercice : Comparer a et a où a est un nombre entier naturel quelconque (sauf zéro) a a a or: < donc: < soit : < a a a a a
- Savoir ajouter des fractions (et savoir les retrancher) a) Pour ajouter deux (ou plusieurs) fractions, il faut d abord les réduire au même dénominateur. Leur somme est une fraction dont le numérateur est la somme des numérateurs et dont le dénominateur est le dénominateur mis en commun. a + c b c a b + c b) On procède de même pour la soustraction : c) Exemples : a c b c a b c 6 + 6 + (On n a pas oublié de simplifier!) 1 1 1 1 6 1 6+ 1 1 6 1 + + + (On n est pas obligé de tout détailler : + + ) 1 1 10 1 10+ 1 11 + + + 1 (ou, plus simplement : 1 10 1 11 + + 1 1 1 (ou, plus simplement : ) 9 9 9 9 9 9 9 1 1 9 - Savoir multiplier des fractions a) Le produit de deux (ou plusieurs) fractions est une fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs et dont le dénominateur est le produit des dénominateurs. b) Exemples : a c a c b d b d 1 (On remarque que cette fraction est irréductible) 0 1 1 1 1 1 (On a pensé à simplifier avant d effectuer les produits) 1 (C est un rappel du cours de 6 ème ) 6 6 9 9 16 (On a simplifié par 9 9 et encore par ) 6 6 9 6 9 6 1
- Savoir organiser des calculs avec des fractions Les règles de priorité et la distributivité sont applicables dans les calculs comportant des fractions. Exemples : 1 1 1 1 9 9 9 9 1 (priorité au calcul entre parenthèses) 1 1 1 1 (le même calcul en appliquant la règle de 9 9 9 1 1 1 distributivité de la multiplication sur la soustraction ; c est un peu plus long ) 9 9 + + + (priorité à la multiplication ; les simplifications n ont pas été 6 6 1 6 6 6 9 détaillées) 1 1 1 1 10 1 1 1 + + + - Savoir résoudre des problèmes (on a mis 1 en facteur commun) a) Pendant une heure d étude, Lucas a consacré la moitié du temps à bavarder, le tiers du temps à rêver et le sixième du temps à dormir profondément. Quel temps a-t-il pu passer à travailler? Cet exercice peut se faire en cherchant la durée de chaque activité en minutes. Mais on peut aussi faire ce calcul en fractions d heure : 1 1 1 6 1 6 1 0 1 0 (1 représente une heure) 6 6 6 6 6 6 6 Lucas n a pas eu assez de temps pour travailler! b) Les deux tiers d une somme d argent sont à partager équitablement entre quatre personnes. Quelle est la part de chacune? On ne connaît pas la somme totale ; la part de chacun s exprime donc en fonction de ce total inconnu. si x est la somme totale, la somme à partager est : x : Chaque personne en perçoit le quart, soit : 1 1 1 de x x x 1 x 6 c) Deux enfants devant une galette : «Moi, j en veux le tiers de la moitié» «Moi, j en veux le quart des deux tiers» Qui est le plus gourmand? 1 1 1 1 1 Si x représente la galette, la part du premier est : de de x x x 6 Le second réclame : 1 des de x 1 x 1 x 6 Chacun demande la même part.
d) Maxime a dépensé le cinquième de sa fortune puis les trois quarts de ce qui lui reste. Quelle fraction de sa fortune lui reste-t-il? Si x est le montant de sa fortune, Maxime dépense d abord : 1 x 1 1 1 Il lui reste alors : x x 1 x x 1 x x Il dépense à nouveau : de x x x x Il lui reste finalement : (la somme totale diminuée de la somme des dépenses) : 1 1 1 x x + x x + x x x 1x x 1 x x x On a mis à deux reprises le facteur x en commun et on a sous-entendu le signe de la multiplication. Il reste à Maxime le cinquième de sa fortune. e) Écrire en fraction d heure chacune des durées suivantes : 1 1, h + 0, + + h ou, h h 10 6 1 6 min h 60 1 1 10 1 h min + + + + h 60 1 10 6 1 1 10 min h 60 6 10 10 1 1, h h 100 f) Un article subit une baisse de 0 % puis une nouvelle baisse de 10 % De combien a-t-il baissé en tout? La réponse est à donner en pourcentage du prix initial. 0% de x 0 100 0 0 x x x x x x 100 100 100 100 Après la première baisse, l article coûte 0 % de son prix initial. Il va à nouveau baisser, mais de 0 % de ce nouveau prix : 0 0% de 0% de x 0 0 0 0 x x x x x x x 100 100 100 100 100 100 100 100 Après cette deuxième baisse, l article ne coûte plus que % du prix initial. 100 Il a donc baissé de : x x x x x 100 100 100 100 La baisse, en pourcentage du prix initial, est donc de %. g) Remarque : Tous les exercices qui utilisent l inconnue x peuvent être «vérifiés» en donnant une valeur numérique au nombre x.
EXERCICES 1 LES FRACTIONS Écris les quotients suivants sous forme de fraction : 000,,... 19,... 1, 0 00, 10, 0, 000...... 10, 0, 0000 0, - Simplifie l écriture des fractions suivantes : 6 1 10 9 9... 6 6...... 0 6......... 1 0...... 0... 66............ 6 0... 10... 1x... 1x... - Recherche les fractions représentant les mêmes nombres : 1 ; ; 6 0 1 ; 1 ; 00 1 ; 0 1 0 ; ; ; ; 6 ; ; ; ;............ - Résous les équations suivantes : Tu écriras leurs solutions sous forme irréductible. 1 x 9 x 6 x 0.................................... - Écris chacune des fractions suivantes avec le dénominateur 6 : 6 ; 1 9 ; 1 ; ; ; 1......
EXERCICES LES FRACTIONS - Réduis les fractions suivantes au même dénominateur et compare - les : 1 et... 1 et... 1 et... 6 1 1 et... 1 - Effectue les calculs suivants et donne les résultats sous la forme de fractions irréductibles : + 11... 1 + 1... 1 1... 11... +... 6... 9 +...... 10 10 100 +...... 10 1 1 + 1... + +... + + 1 9... 6 1... - Écris les nombres suivants sous forme d une somme d un entier et d une fraction inférieure à 1 : Exemple : 16 1 1 + + 1 9 6... 1 11... Compare alors ces deux fractions :... - Calcule : La moitié du quart de 0 :... Les de trois quarts d heure :... Les des de 00 km :...
EXERCICES LES FRACTIONS - Calcule les produits suivants et exprime les résultats sous forme irréductible : 1............ 1 1 1...... 1 1............ 9 9 1... - Calcule de deux façons différentes : 6 6 1 +... 1 +...... 6 1... 6 1 - Calcule, en respectant les règles de priorité : +...... ( ) +... ( )... 1 19... +... ( 1 )... ( 19 + )... - Qu y a-t-il de plus intéressant, les trois quarts des d une certaine somme d argent ou les du triple de cette même somme?............
Devoir 1 - Un terrain de 0 m² comprend un verger, un potager et une pelouse. L aire du potager est 10 m² et le verger occupe les du terrain. Que reste-t-il pour la pelouse? Exprime cette aire en m² puis en fraction de l aire totale. - Trois basketteurs, Anthony, Nicolas et Arnaud, ont participé à un concours d adresse. Ils ont obtenu les scores suivants : Anthony : 6 réussites sur 60 tentatives. Nicolas : réussites sur essais. Arnaud : 1 réussites sur essais. Exprime la performance de chacun sous la forme d une fraction du nombre total de paniers tentés. Écris chaque fraction, après l avoir simplifiée, avec le dénominateur 100 et compare alors les résultats des trois champions. - Écris en fraction d heure chacune des durées suivantes : 6 min ; h min ; 10min ; 1,h. - Monsieur Delaroue désire acheter une voiture d occasion. Un ami «expert en automobile» a visité les deux garages de la ville et l informe que : Le garage Tartempion propose 6 voitures dont 6 bonnes occasions. Le garage Schtroumpf propose 1 voitures dont 9 bonnes occasions. Dans quel garage Monsieur Delaroue, qui n y connaît rien, a-t-il le plus de chances de «tomber» sur une bonne occasion?
Devoir - Calcule aussi astucieusement que possible: 1 1 1 1 1 + + + + + 9 9 - Les dépenses de la famille Pensatout sont représentées dans le diagramme circulaire suivant: Budget du mois 6 voiture reste loyer 9 scolarité 1 1 vêtements 1 6 nourriture Trouve la fraction du budget de cette famille représentant le total des dépenses. Quelle fraction du budget lui reste-t-il? - Calcule les nombres suivants: tu écriras les résultats sous forme fractionnaire irréductible 1 1 + 1 6 + + 6 1 + 10 1 - Un feuilleton télévisé commence à 1 h 0. Il dure trois quarts d'heure. À quelle heure se termine-t-il? Mehdi n'a vu que les deux tiers des 111 épisodes. Combien d'heures de loisir a-t-il consacrées à ce feuilleton? - Une bouteille contient de litre. Quelle fraction de litre représentent les de cette bouteille?
Devoir - Un terrain a la forme d un rectangle dont les deux côtés mesurent : Quel est son périmètre? - Trois amis se partagent une somme d argent : 1 6 hm et 1 hm. Le premier en obtient les, le second les et le dernier le reste. 1 Qui en a le plus? - Madame C. Ramique possède un stock de 10 assiettes. Elle en vend les au prix de,0 l assiette et le reste avec 0% de réduction. Quelle est la recette réalisée par Mme Ramique? - Les d un terrain sont cultivés. Les de la partie cultivée sont plantés de maïs et le reste de blé. Quelle fraction du terrain représente le champ de blé?
Des FRACTIONS de a à z Calcule les nombres suivants. Écris chaque résultat sous sa forme irréductible. 9 a 10 10 9 b + 9 1 c + 1 d + e 9 6 f + + 1 1 1 1 1 g + 6 1 9 h + 1 1 i j 10 1 k 9 1 1 l + 1 m + n 11 11 10 10 + o + 60 + 0 1 + 0 6 p + 9 q r 1 9 1 s 0 9 1 t + 6 1 u + 1 1 1 v + 1 6 9 10 1 w + 0 1 1 x + + + + + y, 1 z
Fractions de a à z (Corrigé) 9 1 9 1 1 a b + 10 10 10 9 1 1 1 1 9 c + d + + 1 6 9 6 60 e f + + + + 9 9 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 6 + 1 1 g + + 6 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 h + + 1 1 1 1 1 1 i j 1 10 1 10 1 1 k l + 9 1 9 1 9 1 1 1 11 m + + n 1 11 11 10 11 10 11 10 + 60 + 1 6 1 6 o 0 + 1 + 16 16 0 6 0 6 1 p + + + + 9 9 9 q 9 11 r 1 9 1 1 9 1 s 0 9 0 9 9 0 9 10 0 1 1 t + + 6 6 6 6 6 6 6 1 1 1 1 1 9 9 u 1 1+ + 16 1 1 16 1 1 v + + + 6 9 6 6 6 6 9 10 1 9 10 1 9 10 1 0 1 0 1 10 w + + + + + 0 0 10 0 0 0 0 0 1 1 1 1 6 1 1 x + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 1 y, 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 z
- Qu est-ce qu une fraction? DES FRACTIONS Une part d une grandeur donnée : 1 de 60 60 0 1% de 00 électeurs 00 60 électeurs 100 Un quotient de deux nombres entiers : 0,6666666 0, 1,11 - Comment représenter une fraction? Les fractions précédentes sont représentées ci-dessous 1 + - Comment comparer des fractions? Plusieurs fractions peuvent représenter un même nombre : Lequel? Quelles sont ses différentes écritures? Ces deux dessins représentent des fractions différentes ; Compare-les: Ces quatre surfaces représentent la même fraction du rectangle donné 6. 6 1 9 - Comment ajouter ou retrancher des fractions? 1 + + La première surface est plus étendue que la seconde ; donc : 1. > 1 - Comment multiplier des fractions? 1 + + 1 6 1 1 1 1 6 6 6 6 1 1 1 1 Chaque côté du carré mesure 1 (unité non définie).son aire est 1 x 1 1 L aire coloriée est : en fraction de l aire du carré :. ( petits rectangles sur un total de 1) 1 longueur largeur (largeur multipliée par longueur) Conclusion : soit : 1 produit des numérateurs produit des dénominateurs / /
EXERCICES 1 LES FRACTIONS Écris les quotients suivants sous forme de fraction : 0,00 0,00 1000 1, 1, 1000 100 1, 0 1, 0 100 10 10, 10, 100 100,, 10 19, 19, 100 190 0 0 10 00 0,0 0,0 100 0,000 0,000 100000 0 10 0 0,0000 0,0000 100000 0, 0, 10 - Simplifie l écriture des fractions suivantes : (les plus grands facteurs communs ont été recherchés) 1 1 0 1 6 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 6 66 11 6 6 10 6 11 11 11 9 9 6 1 0 1 1 1 0 1 9 6 9 9 9 6 1x x 1x x - Recherche les fractions représentant les mêmes nombres : 1 ; ; 6 0 1 ; 1 ; 00 1 ; 0 1 0 ; ; ; ; 6 ; ; ; ; On a représenté en couleur différente l écriture la plus simple de chaque nombre (forme irréductible) 1 0 1 6 00 0 0 6 1 1 Le nombre n est représenté par aucune autre fraction - Résous les équations suivantes : Tu écriras leurs solutions sous forme irréductible. 1x 9 x 6 x 0 9 6 0 x x x 1 9 1 x x x 9 1 x x x - Écris chacune des fractions suivantes avec le dénominateur 6 : 1 ; ; ; ; ; 6 9 1 1 6 0 6 6 6 6 6 9 1 1 9 9 6 1 1 6 1 0 1 6 1 1 6 6 6 6 6 Ici on a simplifié par
EXERCICES LES FRACTIONS - Réduis les fractions suivantes au même dénominateur et compare - les : 1 et 1 1 1 et 16 1 et 6 1 1 1 1 et 1 1 < car < donc 1 < 1 16 < car 1 < 16 donc 1 < 1 1 1 < car 1 < 1 donc < 1 6 6 1 1 1 6 1 < car < donc 1 < 1 1 1 - Effectue les calculs suivants et donne les résultats sous la forme de fractions irréductibles : + 10 11 11 6 + 1 1 1+ 6 1 1 + + 1 + + + + 6 6 6 6 6 6 6 1 1 1 1 1 11 1 11 11 11 1 9 10 9 0 9 1 + + + 10 10 10 10 10 10 100 10 10 100 100 100 100 0 10 10 + 10 + 10 1 1 + 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 + + 10 1 + + + + + + + 1 9 6 6 1 0 0 11 + + + + + + 9 9 9 9 9 9 9 6 1 1 1 1 1 1 - Écris les nombres suivants sous forme d une somme d un entier et d une fraction inférieure à 1 : Exemple : 16 1 1 + + 1 9 91+ 6 91 6 6 6 66 + 10 66 10 10 + + + 6 + 1 1 1 1 1 11 11 11 11 11 Compare alors ces deux fractions : 6 9 est inférieur à alors que 11 1 - Calcule : La moitié du quart de 0 : 1 1 1 0 1 0 1 0 0 6, Les 1 de trois quarts d heure : h Les des 00 0 10 de 00 km :. 00 90 km 0 6 9 est supérieur à donc : < 11 1
EXERCICES LES FRACTIONS 1 1 1 1 6 6 1 9 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 ( ) 9 9 9 9 9 9 ( ) 9 1 1 1 9 6 6 - Calcule de deux façons différentes : on applique la distributivité sur la multiplication (deuxième méthode) 1 + + 1 1 1 1 1 1 + + + + + 6 1 1 1 6 6 10 6 6 6 6 1 1 1 1 1 6 10 6 6 6 6 6 10 1 6 1 6 1 6 1 10 10 10 10 - Calcule, en respectant les règles de priorité : 1 + + + 16 16 16 16 10 ( + ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) 1 (en rouge, le calcul prioritaire) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 19 19 1 19 0 9 + + + 1 19 19 1 1 ( + ) + 6 - Qu y a-t-il de plus intéressant, les trois quarts des d une certaine somme d argent ou les du triple de cette même somme? Soit S la somme. Or : 0 de de S S S et : 6 6 0 donc : 6 < car : du triple de S S 6 S < 0 0 Les trois quarts des de la somme sont plus intéressants.