Chapitre 10 : Proportionnalité-Vitesse-Pourcentage. I- Proportionnalité. 1) Rappels de 5 ème. Un tableau est un tableau de proportionnalité si on passe d une ligne à l autre en multipliant par un même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité. Application : Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité? Poids des pêches (en kg) 1 3 5 Prix (en ) 2,50 7,50 12,50 = 2,5 = 2,5 et = 2,5 On constate que : Réponse : Ce tableau est un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la 1 ère à la 2 ème ligne est 2,5 et le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la 2 ème à la 1 ère ligne est 0,4. (2,5 et 0,4 sont des inverses). 2) Calcul d une quatrième proportionnelle. Activité : Partie A : Mise en évidence du produit en croix. On considère le tableau: Nombre de fleurs 3 5 8 Questions : Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de fleurs? = 1,4 = 1,4 et = 1,5 Les trois quotients sont égaux. Donc, Le prix à payer est proportionnel au nombre de fleurs. Quel est le prix d une fleur? Une fleur coûte 1,40 euros. Prix (en ) 4,2 7 11,2 On choisit deux colonnes du tableau : Calculer : 3 7 = 21 et 4,2 5 = 21 3 5 4,2 7 Que remarquez-vous? On remarque que les produits en croix sont égaux. Partie B : Généralisation du produit en croix. On considère le tableau de proportionnalité ci-contre : a 0 ; b 0 ; c 0 et d 0. Ce tableau étant un tableau de proportionnalité, on peut écrire : a b c d
On multiplie les deux membres par b : donc a On multiplie les deux membres par d : a d donc a d Conclusion : Si le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité alors : a b c d Pour calculer une quatrième proportionnelle, on peut utiliser la propriété d égalité des produits en croix. Exemple 1 : 2,5 kg de pommes coûtent 3. Combien coûtent 3,6 kg? prix : 3 x poids : 2,5 3,6 L égalité des produits en croix donne : 2,5 x = 3 3,6 donc x = = 4,32 3,6 kg de pommes coûtent 4,32. Remarque : Il n est pas utile de calculer le coefficient de proportionnalité. Exemple 2 : Résoudre les équations : a) x = x = La solution de l équation est. b) x = x = La solution de l équation est. c) x = -22 La solution de l équation est -22. d) -6(4x 3) = 2(5 3x) -24x + 18 = 10 6x -24x + 6x = 10 18-18x = - 8 x = x = La solution de l équation est. 3) Représentations graphiques. Activité 1 : Partie A. Ce tableau donne la consommation d essence d un automobiliste effectuant un trajet. Distance parcourue (km) 150 300 600 900 Quantité d essence consommée (L) 10 20 40 60 1) Ce tableau décrit-il une situation de proportionnalité? Distance (km) =15 =15 =15 et =15 Ces quotients sont égaux donc la distance parcourue et la quantité d essence consommée sont proportionnelles. 2) Construire dans ce repère le graphique représentant la distance parcourue en km en fonction de la quantité d essence consommée. (La quantité d essence en abscisse, la distance en ordonnée). 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Quantité (L)
Partie B : Ce tableau donne le prix d un forfait téléphonique en fonction de sa durée mensuelle : Prix (en ) 15 21 33 45 Durée (h) 1 2 4 6 1) Ce tableau décrit-il une situation de proportionnalité? = 15 et = 10,5 Ces quotients ne sont pas égaux donc le prix et la durée ne sont pas proportionnels. 2) Construire dans ce repère le graphique représentant le prix (en ) en fonction de la durée (en h). 6 (La durée en abscisse, le prix en ordonnée). 3) Décrire la représentation graphique correspondant à la situation de proportionnalité. 0 1 2 3 4 5 6 Durée (h) On peut conjecturer la propriété suivante : Si on représente graphiquement une situation de proportionnalité, alors on obtient des points alignés entre eux et avec l origine du repère. Activité 2 : Électricité. Prix ( ) 42 36 30 24 18 12 Tension (en V) Au cours d une séance de TP, un groupe d élèves mesure la tension (en V) et l intensité (en A) aux bornes d une résistance. A la fin du TP, ils obtiennent le graphique ci-contre. Les points A, B, C, D, E et F représentent les mesures effectuées par les élèves. On constate que les points sont alignés avec l origine du repère. a) Compléter le tableau suivant en lisant les coordonnées des points situés sur la droite : A B C D E F 13 12 11 10 9 8 7 D E F Intensité (en A) 0,05 0,1 0,15 0,25 0,30 0,40 6 Tension (en V) 1,5 3 4,5 7,5 9 12 b) Ce tableau décrit-il une situation de proportionnalité? = 30 ; = 30 ; = 30 ; 5 4 3 B C = 30 ; = 30 ; et = 30 Ces quotients sont égaux donc ce tableau est un tableau 2 1 A de proportionnalité. 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
La tension et l intensité sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est la valeur de la résistance R : R = 30 ohms c) On peut conjecturer la propriété suivante : Si les points d un graphique sont alignés entre eux et avec l origine d un repère, alors ces points représentent une situation de proportionnalité. d) Les points G, H, I, J, K et L sont aussi des points de la droite. Retrouver dans chaque cas la tension ou l intensité manquante dans le tableau. G H I J K L Intensité (en A) 0,5 0,6 0,75 1,1 1,52 1,76 Tension (en V) 15 18 22,5 33 45,6 52,8 II. Vitesse moyenne. Dans un mouvement uniforme, la distance d est proportionnelle à la durée t du parcours. Le coefficient de proportionnalité v est appelé vitesse moyenne. Exemple : Un automobiliste roule à la vitesse moyenne de 120 km/h. Traduction : A vitesse constante, il parcourt 120 km durant 1 heure. Compléter alors le tableau : Distance (en km) 240 600 60 30 180 2 270 Temps 2h 5h ½ h ¼ h 1h30 = 1,5h 1min 2h15 = 2,25h Remarque : km/h se note également km.h -1 Vitesse moyenne (en km/h) = ou v = Conséquence : = donc : d = v t et t = Applications : En m/s En s 1) La vitesse du son est de 1 224 km/h. Exprimer cette vitesse en m/s. 1 224 km = 1 224 000 m et 1 h = 3600 s (60 60 = 3600) = 340 Donc 1 224 km.h -1 = 340 m.s -1 2) La vitesse du son dans l acier est de 5 700 km/h. Exprimer cette vitesse en m/s. 1583,3 Donc 5 700 km.h -1 représente environ 1 583,3 m.s -1 Tous ceux qui lisent Lucky Luke ont en tête l'image des Indiens collant leur oreille sur les rails pour vérifier si un train approche : Le son va plus vite sur les rails que dans l air 3) La vitesse de la lumière dans le vide est de 300 000 km/s. Exprimer cette vitesse en km/h et en m/s. 300 000 3600 = 1 080 000 000 Donc 300 000 km/s représente 1,08 10 9 km.h -1. 300 000 km = 300 000 000 m Donc 300 000 km/s représente 3 10 8 m.s -1. En m
Source Météo France : En comptant le nombre de secondes qui séparent la vision de l'éclair et le bruit du tonnerre et en divisant ce nombre par 3, on aura la distance nous séparant de l'orage en kilomètres. (Par exemple, si 6 secondes séparent l'éclair du tonnerre, alors on sait que l'orage est situé à 2 km de lieu où l'on est.) 4) La vitesse de la lumière dans l eau est de 225 000 km/s. Exprimer cette vitesse en km/h et en m/s. 225 000 3600 = 810 000 000 Donc 225 000 km/s représente 8,1 10 8 km.h -1. 225 000 km = 225 000 000 m Donc 225 000 km/s représente 2,25 10 5 m.s -1. 5) Le Jamaïquain Usain Bolt a remporté le 100 m des championnats du monde, en établissant un nouveau record du monde avec un temps de 9s58, le 16 août 2009 à Berlin. Calculer sa vitesse moyenne en m.s -1 v = = 10,4 m.s -1 Il a parcouru en moyenne 10,4 mètres par seconde! III- Calcul d un pourcentage. Un collège compte 760 élèves dont 418 externes et 35% de demi-pensionnaires. 1 ère question : Quel est le nombre de demi-pensionnaires? 35 % = 760 = 266 Le collège compte 266 demi-pensionnaires. 2 nde question : Quel est le pourcentage d élèves externes? = 0,55 = = 55% Donc 55% des élèves sont externes. Applications : 1) Un ordinateur portable vaut normalement 800. Il est vendu avec une réduction de 20%. Quel est son prix après la réduction? 800 = 160 et 800 160 = 640 Après le réduction l ordinateur coûte 640 euros. 2) Quel est le pourcentage de réduction sur le prix d une imprimante qui vaut normalement 140 et qui est vendue 112? Etape 1 : On calcule le montant de la réduction : 140 112 = 28 euros. Etape 2 : On calcule le pourcentage : = 0,2 = = 20% La réduction est de 20 %. 3) Un téléviseur est vendu 192 avec une réduction de 20 %. Quel était le prix initial? Pour calculer le prix initial, il faut utiliser un tableau de proportionnalité : Prix avant (en euros) : x 100 Prix après (en euros) : 192 80-20% x = = 240 Le prix initial était de 240 euros. 4) L entreprise A emploie 2800 personnes dont 60 % de femmes. L entreprise B emploie 2 200 personnes dont 70 % d hommes. Calculer le pourcentage de femmes lorsque les deux entreprises sont réunies. 2800 = 1 680 Dans l entreprise A, il y a 1 680 femmes. 2200 = 1 540 et 2200 1540 = 660 Dans l entreprise B, il y a 660 femmes. 1680 + 660 = 2340 2800 + 2200 = 5000 = 0,468 = 46,8 % Lorsque les deux entreprises sont réunies, les femmes représentent 46,8 % des employés.