GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau

GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision Lionel Darondeau

Table des matières Énoncés 4 Corrigés 10 TD 1. Analyse combinatoire 11 TD 2. Probabilités élémentaires 16 TD 3. Probabilités conditionnelles 20 TD 4. Lois discrètes 23 TD 5. Variables aléatoires discrètes 28 3

Énoncés

I.U.T.de SCEAUX G.E.A.2 1ère année Liliane ALFONSI T.D. 1 : Analyse combinatoire Exercice 1 : De combien de façons peut on : a) répartir 5 voyageurs dans un hôtel de 10 chambres, un voyageur occupant une seule chambre? b) répartir 6 sacs à dos identiques entre 7 randonneurs, un randonneur n ayant qu un sac à dos? c) répartir 2 bonbons identiques parmi 3 enfants, un seul enfant ne pouvant pas avoir les 2? d) obtenir un sigle de 4 lettres avec les lettres G,E,A? e) obtenir un nombre de 3 chiffres avec les chiffres tous distincts? f) dans le dessin ci dessous, aller de A à B en utilisant le chemin le plus court, en ne suivant que les traits tracés? Exercice 2 : Une main est un ensemble de 5 cartes. On tire une main dans un paquet de 32 cartes. Combien a-t-on de mains différentes possibles? Parmi celles ci : a) combien ont un roi? b) combien ont au moins un roi? c) combien ont le roi de coeur? d) combien ont au moins un coeur? e) combien ont un roi et un coeur? f) combien ont un roi et au moins 3 coeurs? Exercice 3 : Combien de mots (un mot est un assemblage de lettres, par exemple: «zwqg»est un mot) de 4 lettres peut on écrire? Parmi ces mots combien contiennent les lettres M et E? Combien ont 3 fois la même lettre?

I.U.T.de SCEAUX G.E.A.2 1ère année Liliane ALFONSI T.D. 2 : Probabilités élémentaires Exercice 1 : On choisit 3 cartes dans un jeu de 32. Quelle est la probabilité d avoir : a) 3 as? b) au moins 2 as? c) 2 rois et 1 dame? d) au moins 2 rois et au moins une dame? e) au moins un valet et au plus un as? f) un roi et un pique? Exercice 2 : Dans une urne il y a 4 boules vertes, 2 bleues, et 3 rouges. Quelle est la probabilité de tirer : a) une de chaque couleur en tirant une poignée de 3? b) d abord une verte, puis, après remise, une bleue, puis après remise une rouge? c) une de chaque couleur en tirant les boules une à une avec remise? d) k vertes, (avec k=0, puis k=1, puis k=2, puis k=3) avec la règle: «on tire une boule, si elle est verte on la garde, sinon on la remet», sachant que l on fait 3 tirages? Exercice 3 : Vous montez dans un avion qui a 2 réacteurs sur chaque aile. Chaque réacteur a 2% de chances de tomber en panne, mais l avion peut continuer à voler avec au moins un réacteur sur chaque aile. Quelle chance avez vous d arriver à bon port? Exercice 4 : On lance 2 dés. Quelle est la probabilité d avoir: a) un double? b) un 2 et un 5? c) une somme égale à 5? à7? d) 2 nombres qui se suivent?

I.U.T.de SCEAUX G.E.A.2 Liliane ALFONSI T.D. 3 : Probabilités conditionnelles. Exercice 1 : Trois pannes P1, P2, P3, apparaissent avec les probabilités suivantes: 25% pour P1, 25% pour P2, 50% pour P3. Ces pannes de l appareil ont les probabilités respectives 7%, 33%, 12%, de provoquer un court circuit. Un court circuit a lieu, quelle est la panne la plus probable parmi P1, P2, P3? Exercice 2 : Dans le pays de Yellowland, un homme a 1 chance sur 2 d être blond et une femme 1 chance sur 3. Vous débarquez dans la capitale Yellowtown et vous apercevez de loin un habitant blond. Quelle est la probabilité que ce soit une femme? Exercice 3 : Un test T est destiné à contrôler si un réveil électronique est ou non défectueux. Dans l usine de production, on a constaté au fil des ans que la proportion de réveils fabriqués en bon état de marche est toujours de x. Le test T détecte un mauvais fonctionnement dans 95% des cas où le réveil est défectueux, et dans 3% des cas où le réveil fonctionne correctement. Quelle est la probabilité qu un réveil, détecté non valable par T, soit en fait en bon état? Exercice 4 : Un professeur mal réveillé, se rend chaque matin de son domicile A à l IUT, désigné par C, avec 1 chance sur 2 de prendre le bon chemin à chaque carrefour. Quelle est la probabilité qu il arrive en C? Ce matin il est bien arrivé à l IUT, quelle est la probabilité qu il soit passé par B?

I.U.T.de SCEAUX G.E.A.2 Liliane ALFONSI T.D.: Lois discrètes. Exercice 1: On jette trois pièces de monnaie. Chaque Pile rapporte 1 franc mais chaque F coûte 1 franc. Quel est l'espérance de gain? L'écart type? Exercice 2 : La probabilité pour une ampoule d'être défectueuse est 3,5%. Soit X le nombre de mauvaises ampoules dans les lots de trois. Qu'elle est la loi de X? Son espérance? Sa variance? Exercice 3 : Soit X un entier au hasard entre 1 et 10. Quelle est la loi de X? sa fonction de répartition? Exercice 4 : Un cheval a la probabilité 0,6 de gagner une course, sauf dans le cas où il a perdu la course précédente auquel cas il n'a plus que 0,4. Invaincu de la saison ce cheval prépare trois courses. Quelle est la distribution de la variable aléatoire : X = nombre de courses gagnées sur les trois? Son espérance? Sa variance? Exercice 5 : Dans un lot de 100 pièces, on en choisit 10 au hasard. Quelle est la probabilité d'avoir 2 pièces mauvaises sur les dix si l'on suppose : a) on prend les 10 pièces en une seule fois et on sait qu'il y a vingt pièces défectueuses parmi les 100? b) il y a environ 20 pour cent de pièces défectueuses dans la production en général?

I.U.T.de SCEAUX G.E.A.2 Liliane ALFONSI T.D. 4 : Variables aléatoires discrètes. Exercice 1 : L'entreprise Tina Rassi, grande spécialiste du "petit papa Noël", fabrique pour le 30 Novembre, et loue à la journée, pour les fêtes de fin d'année, des pères Noël robotisés pour distribuer les jouets aux enfants lors des arbres de Noël des écoles et des collectivités. Au 1er Janvier, en piteux état, ils partent à la casse. (Triste destin pour un père Noël! ). D'après une étude,l'entreprise sait qu'au mois de Décembre, la variable aléatoire X = «Nombre de clients par jour», obéit à la loi suivante: X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 p 0.05 0.05 0.1 0.05 0.2 0.3 0.1 0.1 0.05 Les frais de gestion et d'entretien de stock s'élèvent à 50 Euros par robot et par jour. Sachant que le prix de location d'un père Noël pour la journée est de 300 Euros, quel est le stock de robots donnant la meilleure espérance de gain total par jour? (on calculera l'espérance du gain pour un stock de 1 père Noël, de 2 pères Noël, de 3,de 4, 5,6,7, et 8 pères Noël ). Exercice 2 : Au 1er Décembre 2000, l'entreprise possèdera 6 robots dont chacun aura, chaque jour de sa brève existence, 95% de chances d'être en état de marche. Soit Y la variable aléatoire : «Nombre de pères Noël en état de marche chaque jour de Décembre». Donner toutes les valeurs de Y et les probabilités qui s'y rattachent. Exercice 3 : Soit Z la variable aléatoire : «Nombre de pères Noël loués effectivement par jour». Quelle est la loi de Z?, son espérance?, son écart type?, sa variance? sa fonction de répartition? Exercice 4 : On prévoit pour un autre objet, une vente V qui peut atteindre 1000 objets, 2000 objets, ou 3000 objets, avec les probabilités respectives de 0,25; 0,5; 0,25. Le bénéfice unitaire B, peut être de 100 Euros, avec la probabilité 1/6, 200 Euros, avec la probabilité 1/4, 300 Euros, avec la probabilité 1/3, 400 Euros, avec la probabilité 1/4. Quelle est la loi de CA=V.B? sa fonction de répartition? Comparer E(V.B) à E(V).E(B). Conclusion? Exercice 5 : Soient X et Y, 2 variables aléatoires indépendantes, dont les lois sont données par les tableaux suivants: X 0 1 2 3 Y 0 1 2 proba 1/4 1/4 1/4 1/4 proba 1/3 1/3 1/3 Donner laloi de X+Y, sa fonction de répartition, son espérance, sa variance.

Corrigés

TD 1. Analyse combinatoire Exercice 1 Revoir les corrections détaillées du tableau. Si on veut aller plus vite on peut écrire : (a) On répartit des voyageurs (p = 5) entre des chambres (n = 10). On peut diérencier les voyageurs donc il y a un ordre. Chaque voyageur a une seule chambre, donc il n'y a pas répétition. Le nombre de solution est donc le nombre d'arrangements : A 5 10 = 30240. (b) On répartit des sacs (p = 6) entre des randonneurs (n = 7). On ne peut pas diérencier les sacs, donc il n'y a pas d'ordre. On ne peut donner qu'un sac à chaque voyageur donc il n'y a pas répétition. Le nombre de solution est donc le nombre de combinaisons : C 6 7 = 7. (c) On répartit des bonbons (p = 2) entre des enfants (n = 3). On ne peut pas diérencier les bonbons, donc il n'y a pas d'ordre. On ne peut donner qu'un bonbon à chaque enfant donc il n'y a pas répétition. Le nombre de solution est donc le nombre de combinaisons : C 2 3 = 3. (d) On répartit des positions dans le mot (p = 4) entre les lettres de l'alphabet {G, E, A} (n = 3). On peut diérencier les positions dans le mot donc il y a un ordre. Une lettre peut apparaître à plusieurs positions, donc il y a répétition. Le nombre de solution est donc le nombre exponentiel : 3 4 = 81. (e) On répartit des positions dans le nombre (p = 3) entre les chires de l'alphabet {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (n = 10). On peut diérencier les positions dans le nombre donc il y a un ordre. Un chire ne peut pas apparaître à plusieurs positions, donc il n'y a pas répétition. Le nombre de solution est donc le nombre d'arrangements : A 3 10 = 720. (f) C'est l'exemple le plus dur. On répartit des pas verticaux (p = 2) dans les huit positions dans une marche de huit pas (n = 8). On ne peut pas diérencier deux pas verticaux donc il n'y a pas d'ordre. On ne peut pas faire deux k-ème pas, donc il n'y a pas de répétition. Le nombre de solution est donc le nombre de combinaisons : C 2 8 = 28.

TD 1. ANALYSE COMBINATOIRE 12 Exercice 2 Une main est un ensemble de p = 5 cartes non-ordonnées. Chaque carte peut avoir n = 32 valeurs. Il n'y a pas d'ordre car la main n'est pas ordonnée. Il n'y a pas de répétition car chaque carte de la main n'a qu'une valeur à la fois. Le nombre total de mains Card(Ω) est donc le nombre de combinaisons : Card(Ω) = C 5 32 = 201376. Dans toute les questions suivantes. On divise le paquet de carte en plusieurs paquets, suivant un critère, puis on regarde combien de carte on prend dans chaque paquet. (a) paquet 1: les cartes qui sont des rois, n 1 = 4, p 1 = 1. paquet 2: les cartes qui ne sont pas des rois, n 2 = 32 4 = 28, p 2 = 5 1 = 4. On obtient : C4 1 choix pour les rois et C4 28 choix pour les "non-rois". Donc pour le nombre de main avec (exactement) un roi on obtient : C 1 4 C 4 28 = 81900. Il y a 81900 mains avec exactement un roi. (b) On compte les mains sans rois. 1 paquet 1: les cartes qui sont des rois, n 1 = 4, p 1 = 0. paquet 2: les cartes qui ne sont pas des rois, n 2 = 32 4 = 28, p 2 = 5 0 = 5. On obtient : C4 0 choix pour les rois et C5 28 choix pour les "non-rois". Donc pour le nombre de main avec aucun roi on obtient : C 0 4 C 5 28 = 98280. Le nombre de mains avec au moins un roi est donc : 201376 98280 = 103096 Il y a 103096 mains avec au moins un roi. 1. Comme avoir au moins un roi a beaucoup de sous-cas 1, 2, 3 ou 4 rois on compte plutôt le nombre de mains dans le complémentaire, c'est à dire le nombre de mains sans rois. Ensuite il sut de soustraire. Soit A = {mains avec au moins un roi} alors A = {mains avec 0 rois}, et l'égalité : permet de conclure. Card(A) = Card(Ω) Card(A)

TD 1. ANALYSE COMBINATOIRE 13 (c) paquet 1: les cartes qui sont le roi de c ur, n 1 = 1, p 1 = 1. paquet 2: les cartes restantes, n 2 = 32 1 = 31, p 2 = 5 1 = 4. Le nombre de mains avec le roi de c ur est donc : C 1 1 C 4 31 = 31465 Il y a 31465 mains avec le roi de c ur. (d) On compte plutôt les mains sans c ur. paquet 1: les cartes qui sont des c urs, n 1 = 8, p 1 = 0. paquet 2: les cartes restantes, n 2 = 32 8 = 24, p 2 = 5 0 = 5. Le nombre de mains sans c urs est donc : C 0 8 C 5 24 = 42504. Puis, le nombre de mains avec au moins un c ur est : 201376 42504 = 158872 Il y a 158872 mains avec au moins un c ur. (e) Ici, on est obligé de considérer des sous-cas. On fait 4 paquets : 2 paquet 1: les cartes qui sont le roi de c ur, n 1 = 1. paquet 2: les autres c urs, n 2 = 8 1 = 7. paquet 3: les autres rois, n 3 = 4 1 = 3. paquet 4: les cartes restantes, n 4 = 32 1 7 3 = 21. puis on fait un tableau : p 1 p 2 p 3 p 4 nombre de solutions 1 0 0 0 C 1 1 C0 7 C0 3 C0 21 = 1 0 1 1 0 C 0 1 C1 7 C1 3 C0 21 = 21 Pour nir, on fait la somme sur tous les sous-cas : 1 + 21 = 22. Il y a 22 mains avec (exactement) un roi et (exactement) un c ur. (f) On utilise les mêmes paquets mais il y a plus de cas : 2. ATTENTION au roi de c ur, qui est un roi ET un c ur

TD 1. ANALYSE COMBINATOIRE 14 p 1 p 2 p 3 p 4 nombre de solutions 1 2 0 2 C1 1 C2 7 C0 3 C2 21 = 4410 1 3 0 1 C1 1 C3 7 C0 3 C1 21 = 735 1 4 0 0 C1 1 C4 7 C0 3 C0 21 = 35 0 3 1 1 C1 0 C3 7 C1 3 C1 21 = 2205 0 4 1 0 C1 0 C4 7 C1 3 C0 21 = 105 Pour nir, on fait la somme sur tous les sous-cas : 4410 + 735 + 35 + 2205 + 105 = 7490. Il y a 7490 mains avec (exactement) un roi et au moins trois c ur. Exercice 3 (a) On répartir p = 4 positions dans le mot entre n = 26 lettres de l'alphabet. Il y a un ordre car on peut diérencier les positions. Il y a répétition car une lettre peut apparaître à plusieurs positions. Le nombre de mot de quatre lettres est donc le nombre exponentiel : n p = 26 4 = 456976 (b) Il ya beaucoup de sous cas. On compte plutôt les mots sans M ou sans E 3. Soit A = {les mots sans E}; B = {les mots sans M}. Le nombre de mots sans E ou sans M est card(a B). On utilise la formule : Donc : card(a B) = card(a) + card(b) card(a B) Calcul de card(a) : les mots sans E. paquet 1: la lettre E, n 1 = 1, p 1 = 0. paquet 2: les lettres restantes, n 2 = 26 1 = 25, p 2 = 4. Calcul de card(b) : les mots sans M. paquet 1: la lettre M, n 1 = 1, p 1 = 0. paquet 2: les lettres restantes, n 2 = 26 1 = 25, p 2 = 4. Calcul de card(a B) : les mots sans E ni M. paquet 1: les lettres E, M, n 1 = 1, p 1 = 0. paquet 2: les lettres restantes, n 2 = 26 2 = 24, p 2 = 4. card(a B) = C 0 1 C 4 25 + C 0 1 C 4 25 C 0 1 C 4 24 = 14674 3. ATTENTION : le complémentaire de avec E ET avec M et sans E OU sans M.

TD 1. ANALYSE COMBINATOIRE 15 Finalement le nombre de mots contenant M et E est : 456976 14674 = 442302. (c) Un mot qui a (exactement) trois fois la même lettre a deux lettres et si on connaît la position de la lettre diérente des autres, on connaît le mot. Donc il y a : 26 25 C 1 4 = 2600 mots diérents avec trois fois la même lettre.

TD 2. PROBABILITÉS ÉLÉMENTAIRES 16 TD 2. Probabilités élémentaires Exercice 1 L'univers est constitué des mains de 3 cartes. Pas d'ordre, pas de répétition. Card(Ω) = C 3 32 = 4960 (a) paquet 1 : les as n 1 = 4, p 1 = 3 C 3 4 paquet 2 : les cartes restantes n 2 = 28, p 2 = 0 C 0 28 p(a) = Card(A) Card(Ω) = C3 4 C0 28 C 3 32 = 4/4960 (b) On utilise les mêmes paquets et les sous-cas sont : On fait la somme : p 1 p 2 nombre de solutions 2 0 C 2 4 C1 28 = 168 3 0 C 3 4 C0 28 = 4 168 + 4 = 172 Finalement la propabilité d'avoir au moins deux as est de 172/4960. (c) paquet 1 : les rois n 1 = 4, p 1 = 2 paquet 2 : les dames n 2 = 4, p 2 = 1 paquet 3 : les cartes restantes n 3 = 24, p 3 = 0 Le nombre de solution est donc : C 2 4 C 1 4 C 0 24 = 24. La probabilité d'avoir deux rois et une dame est donc de 24/4960. (d) Comme on n'a que trois cartes, c'est le même cas que la question c). (e) paquet 1 : les valets n 1 = 4, p 1 1 paquet 2 : les as n 2 = 4, p 2 1 paquet 3 : les cartes restantes n 3 = 24, p 3 =? On fait un tableau des sous-cas : Au total on a p 1 p 2 p 3 nombre de solutions 1 1 1 C 1 4 C1 4 C1 24 = 384 1 0 2 C 1 4 C0 4 C2 24 = 1104 2 1 0 C 2 4 C1 4 C0 24 = 24 2 0 1 C 2 4 C0 4 C1 24 = 144 3 0 0 C 3 4 C0 4 C0 24 = 4 384 + 1104 + 24 + 144 + 4 = 1660

TD 2. PROBABILITÉS ÉLÉMENTAIRES 17 mains. La probabilité d'avoir au moins un valet et au plus un as est donc de 1660/4960. (f) Attention au roi de pique!!! paquet 1 : le roi de pique n 1 = 1 paquet 2 : les autre rois n 2 = 3 paquet 3 : les autres piques n 3 = 7 paquet 4 : les cartes restantes n 4 = 32 1 3 7 = 21 On fait le tableau des cas : p 1 p 2 p 3 p 4 nombre de solutions 1 0 0 2 C 1 4 C0 4 C0 7 C2 21 = 840 0 1 1 1 C 0 4 C1 4 C1 7 C1 21 = 588 En tout : 840 + 588 = 1428 mains donc la probabilité d'avoir un roi et un pique est de 1428/4960 Exercice 2 On a n 1 = 4 boules vertes, n 2 = 2 boules bleues et n 3 = 3 boules rouges. On note p 1, p 2, p 3 les nombres respectifs de boules vertes, bleues, rouges qu'on ramasse. (a) Il n'y a pas d'ordre et pas de répétition. Ici, n = 9,p = 3 donc : On note Card(Ω) = C 3 9 = 84. A = {p 1 = 1, p 2 = 1, p 3 = 1} les poignées avec une boule de chaque couleur. Alors : La probabilité est donc : Card(A) = C 1 4 C 1 2 C 1 3 = 24. p(a) = Card(A) Card(Ω) = 24 84 = 2 7. (b) Maintenant il y a a ordre et répétition. Ici, n = 9, p = 3 donc : Card(Ω) = 9 3 = 729. Les tirages sont indépendants. Pour chaque tirage de une boule il n'y a pas d'ordre, pas de répétition (puisqu'on qu'une boule!) et donc la probabilité de tirer une couleur est le nombre de boules de cette couleur (nombre de cas favorables) sur le nombre de boules total (nombre total de cas). Donc p(v ) = 4/9, p(b) = 2/9 et p(r) = 3/9. Pour la suite de trois tirages, par indépendance : p(v, B, R) = p(v ) p(b) p(r) = 24/729.

TD 2. PROBABILITÉS ÉLÉMENTAIRES 18 (c) Comme les trois tirages sont indépendants, la probabilité de R, V, B dans n'importe quel ordre est toujours la même, égale à proba : p(v ) p(b) p(r) Le nombre d'ordres qu'on peut donner à ces trois couleurs, c'est 3! : on choisit la première puis la deuxième, puis on n'a plus de choix. Finalement : la proba. totale est : 3! (24/729) = 144/729. (d) Les tirages ne sont plus indépendants. Proba conditionnelles. On fait donc un arbre V 3/8 V 2/7 5/7 V (k = 3) V (k = 2) 4/9 5/8 V 3/8 5/8 V (k = 2) V (k = 1) 5/9 4/9 V 3/8 5/8 V (k = 2) V (k = 1) V 5/9 V 4/9 5/9 V (k = 1) V (k = 0) P(k = 3) = 4/9 3/8 2/7 = 1/21 0, 05 P(k = 2) = 4/9 3/8 5/7 + 4/9 5/8 3/8 + 5/9 4/9 3/8 = 955/3024 0, 32 P(k = 1) = 4/9 5/8 5/8 + 5/9 4/9 5/8 + 5/9 5/9 4/9 = 5425/11664 0, 47 P(k = 0) = 5/9 5/9 5/9 = 125/729 0, 17

TD 2. PROBABILITÉS ÉLÉMENTAIRES 19 Exercice 3 Il est plus facile de calculer la probabilité de l'évenement complémentaire : l'avion tombe en panne. Les cas d'accidents sont : les deux réacteurs d'une même aile tombent en panne en même temps. Le fonctionnement des réacteurs est indépendant donc on peut considérer les deux ailes séparément, et sur une aile la probabilité que les deux moteurs tombent en panne en même temps est : p ( M 1 en panne et M 2 en panne ) = p(m 1 en panne) p(m 2 en panne) = 2% 2% = 4 10000. Pour nir, on chercher la probabilité de : aile 1 en panne OU aile 2 en panne. Ce ne sont pas des événements disjoints! Notons A 1 l'aile 1 tombe en panne et A 2 l'aile 2 tombe en panne. La formule pour obtenir cette probabilité est donc : p(a 1 ou A 2 ) = p(a 1 ) + p(a 2 ) p(a 1 et A 2 ) Il nous manque p(a 1 et A 2 ), qui est la probabilité que les quatres réacteurs soient en panne en même temps, soit : (2/100) 4. Finalement, la probabilité de tomber en panne est : 2 (2/100) 2 (2/100) 4 8 10000. Donc la probabilité de ne pas tomber en panne est : 9992 10000. Exercice 4 Les résultats des deux dés sont indépendants, donc on peut considérer deux lancers successifs. Pour un dé : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et les résultats sont équiprobables, donc de probabilité 1/6. Le résultat de deux lancers est un couple ordonné (x, y) où x Ω, y Ω, et par indépendance, chaque couple a une probabilité (1/6) 2 = 1/36 d'apparaître. Il sut maintenant de compter les couples qui donnent les cas qui nous intérêssent. a) Il y a 6 doubles. Donc la proba est 6/36 b) Il y a deux couples ordonnés : (2, 5) et (5, 2) donc la proba est 2/36 c) Il y a 4 couples ordonnés dont la somme fait 5 donc 5/36 et 6 dont la somme fait 7 donc 6/36. d) Il y a 10 tels couples, donc la probabilités est 10/36.

TD 3. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 20 TD 3. Probabilités conditionnelles Pour les exercices de probabilités conditionnelles, on fait toujours un arbre. Exercice 1 Soit C : il y a un court-circuit. 0, 07 P 1 C P 1 1 0, 07 P 1 C 0, 25 0, 33 P 2 C 0, 25 P 2 1 0, 33 P 2 C 0, 50 0, 12 P 3 C P 3 1 0, 12 P 3 C On calcule la probabilité de chaque panne sachant qu'il y a un courtcircuit. Par dénition : P C (P 1 ) = P( P 1 C ) On calcule : Donc : P(C) P(C) = P ( P 1 C ) + P ( P 2 C ) + P ( P 3 C ) = 0, 25 0, 07 + 0, 25 0, 33 + 0, 50 0, 12 = 0, 16. P C (P 1 ) = P( P 1 C ) = P(C) P C (P 2 ) = P( P 2 C ) = P(C) P C (P 3 ) = P( P 3 C ) = P(C) 0, 25 0, 07 0, 16 0, 25 0, 33 0, 16 0, 50 0, 12 0, 16 0, 11 0, 52 0, 38 La panne la plus probable sachant qu'on a un court-circuit est donc la panne P 2.

TD 3. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 21 Exercice 2 Soit H : c'est un homme ; F : c'est une femme ; B : la personne est blonde. 1/2 H 1/2 1 1/2 H B H B 1/2 F 1/3 F B 1 1/3 F B La probabilité qu'une personne soit blonde est : P(B) = P ( B H ) + P ( B F ) = 1/2 1/2 + 1/2 1/3 = 5/12. Donc, sachant qu'une personne est blonde, la probabilité que ce soit une femme est : P B (F ) = P( F B ) 1/2 1/3 = = 0, 40. P(B) 5/12 Exercice 3 Soit T : le test dit qu'il y a un mauvais fonctionnement ; D : L'appareil a (vraiment) un défaut. D 0, 95 D T 1 x 1 0, 95 = 0, 05 D T x D 0, 03 D T 1 0, 03 = 0, 97 D T La probabilité totale de T est : P(T ) = P ( T D ) + P ( T D ) = 0, 95 (1 x) + 0, 03 x = 0, 95 0, 92x.

TD 3. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 22 Donc, sachant que le test dit que le produit est non valable, la probabilité que le produit n'ait pas de défaut est : ( ) P ( D T ) 0, 03 x P T D = = P(T ) 0, 95 0, 92x = 3x 95 92x. Exercice 4 [Je corrige le problème avec des sens uniques, comme au tableau.] Soit C : le prof arrive à l'iut, C : il est perdu. B : le prof passe par B. 1/2 1/2 1/2 C 1/2 C 1/2 1/2 C 1/2 C 1/2 1/2 1/2 B 1 1 C C La probabilité d'arriver en C est la somme des probabilités des trois branches qui arrivent en C : P(C) = (1/2) 4 + (1/2) 2 1 + (1/2) 2 1 = 1/16 + 1/4 + 1/4 = 9/16. La probabilité qu'il arrive en C en passant par B est la probabilité de la seule branche qui arrive en C en passant par B : P(B C) = (1/2) 2 1 = 1/4. Sachant qu'il est arrivé en C, la probabilité qu'il soit passé par B est donc : P C (B) = P(B C) P(C) = 1/4 9/16 = 4 9.

TD 4. LOIS DISCRÈTES 23 TD 4. Lois discrètes Exercice 1 Les expériences sont identiques et indépendantes. On considère donc chaque lancer séparément. Soit X 1 la variable aléatoire comptant le gain pour un unique lancer. Les valeurs pouvant être prises par X 1 sont : X 1 (Ω) = { 1, 1} et les probabilités correspondantes sont : P(X 1 = 1) = 1/2 P(X 1 = 1) = 1/2. Par dénition, l'espérance de X 1 est donc : E(X 1 ) = P(X 1 = 1) 1 + P(X 1 = 1) ( 1) = 1/2 1/2 = 0. De même, l'espérance du carré de X 1 est : E ( (X 1 ) 2) = P(X 1 = 1) 1 2 + P(X 1 = 1) ( 1) 2 = 1/2 + 1/2 = 1. Finalement, la variance de X 1 est : V (X 1 ) = E ( (X 1 ) 2) ( E(X 1 ) ) 2 = 1 0 2 = 1. Si on considère maintenant les trois lancers. On dénit la variable aléatoire X = X 1 + X 2 + X 3 comme le gain cumulé lors des trois lancers d'une unique pièce X 1, X 2 et X 3. Comme les trois lancers sont identiques ils ont la même loi 4. Alors : E(X) = E(X 1 + X 2 + X 3 ) E(X) = 0. = E(X 1 ) + E(X 2 ) + E(X 3 ) = 3 E(X 1 ) 4. donc même espérance et même variance

TD 4. LOIS DISCRÈTES 24 et par indépendance : V (X) = V (X 1 + X 2 + X 3 ) = V (X 1 ) + V (X 2 ) + V (X 3 ) = 3 V (X 1 ) V (X) = 3. On obtient nalement l'écart type en prenant la racine carrée : σ(x) = 3 1, 732. Exercice 2 Les expériences sont identiques et indépendantes. On considère donc une seule ampoule. Soit X 1 la variable aléatoire qui vaut 1 si l'ampoule est cassée et zéro si elle marche. La variable aléatoire X 1 suit la loi de Bernouilli de paramètre p = 3, 5/100. Son espérance est donc : et sa variance est : E(X 1 ) = p = 0, 035, V (X 1 ) = p p 2 = p (1 p) = 0, 035 0, 965. Si on considère maintenant la variable X = X 1 + X 2 + X 3 comptant les nombre d'ampoules cassées, c'est la somme de (n = 3) variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernouilli de paramètre p = 0.035. On obtient donc une loi binomiale B(n, p) de paramètres n = 3 et p = 0.035 : les valeurs possibles sont : X(Ω) = {0, 1, 2, 3}, et pour toute valeur k que X peut prendre : On a donc : P(X = k) = C k n p k (1 p) n k. P(X = 0) = (0, 965) 3 P(X = 1) = 3 0, 035 (0, 965) 2 P(X = 2) = 3 (0, 035) 2 0, 965 P(X = 3) = (0, 035) 3 On calcule maintenant l'espérance et la variance de X = X 1 + X 2 + X 3. Comme les variables X 1, X 2, X 3 ont la même loi : E(X) = 3 E(X 1 ) = 3 0, 035 Comme ces variables sont de plus indépendantes : V (X) = 3 V (X 1 ) = 3 0, 035 0, 965.

Exercice 3 La variable X est tirée au hasard dans : TD 4. LOIS DISCRÈTES 25 X(Ω) = {1, 2,..., 10}. Il y a donc équiprobabilité et X suit la loi uniforme, c'est à dire pour toute valeur k possible : P(X = k) = 1/10. La fonction de répartition F de X vaut : 0 si t 1 F (t) = P(X < t) = k/10 si 1 k 9 et k < t k + 1. 1 si t > 10 Exercice 4 On note X la variable aléatoire comptant les nombre de victoires. On a : X(Ω) = {0, 1, 2, 3} Comme on a des probabilités conditionnelles, les expériences ne sont pas indépendantes. On doit donc construire un arbre. On note V une victoire et V une défaite. L'arbre des probabilités est : V (X = 3) V 0, 6 0, 6 V 0, 4 0, 6 V 0, 4 0, 4 0, 6 V (X = 2) V (X = 2) V (X = 1) V (X = 2) 0, 4 V 0, 6 V 0, 6 0, 4 V 0, 4 0, 4 V (X = 1) V (X = 1) 0, 6 V (X = 0)

On a donc : P(X = 0) = (0, 4 0, 6 0, 6) = 144/1000 TD 4. LOIS DISCRÈTES 26 P(X = 1) = (0, 6 0, 4 0, 6) + (0, 4 0, 4 0, 4) + (0, 4 0, 6 0, 4) = 304/1000 P(X = 2) = (0, 6 0, 6 0, 4) + (0, 6 0, 4 0, 4) + (0, 4 0, 4 0, 6) = 336/1000 P(X = 3) = (0, 6 0, 6 0, 6) = 216/1000 On calcule E(X) avec cette loi : E(X) = 3 P(X = 3) + 2 P(X = 2) + 1 P(X = 1) + 0 P(X = 0) 216 = 3 1000 + 2 336 1000 + 1 304 = 1, 624. 1000 On calcule aussi E(X 2 ) : E(X 2 ) = 3 2 P(X = 3) + 2 2 P(X = 2) + 1 2 P(X = 1) + 0 2 P(X = 0) 216 = 9 1000 + 4 336 1000 + 1 304 = 3, 592. 1000 Finalement : V (X) = E ( X 2) ( E(X) ) 2 = 3, 592 1, 624 2 V (X) = 0, 955. Exercice 5 Soit X la variable aléatoire qui compte les fausses pièces (a) La probabilité que X = 2 est le nombre de lancer de dix pièces où on obtient deux fausses pièces, divisé par le nombre total de lancers de dix pièces. Soit Ω = {ensembles non ordonnés de dix pièces sur les cents} A = {ensembles non ordonnés de dix pièces sur les cents où deux sont fausses (et donc huit vraies)} = (X = 2) Par dénition : P(A) = Card(A) Card(Ω) = C2 20 C8 80 C 10 100 0, 318.

TD 4. LOIS DISCRÈTES 27 (b) Les lancers sont indépendants. Chaque lancer suit la loi de Bernouilli de paramètre p = 0, 2. L'ensemble des dix lancers suit donc la loi binomiale B(n, p) de paramètres n = 10 et p = 0, 2, donc on obtient le résultat : P(X = 2) = C 2 10 (0, 2) 2 (0, 8) 8 0, 302. NB. En faisant un arbre, on voit que la diérence entre les deux cas est que dans le premier, on utilise des probabilités conditionnelles, alors que dans le deuxième les lancers sont indépendants.

TD 5. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 28 TD 5. Variables aléatoires discrètes Exercice 1 Soit V, la variable aléatoire nombre de ventes. Soit S le stock du magasin. Le nombre de ventes est le minimum de l'ore et de la demande 5 donc : V = min(x, S). Le gain est relié au nombre de ventes et au stock par la formule : L'espérance de gain vaut donc : G = 300 V 50 S. E(V ) = 300 E(V ) 50 S. Calculons E(V ) pour les diérentes valeurs de S : (1) Si S = 1, les valeurs que V peut prendre sont : et : V (Ω) = {0, 1}, p(v = 0) = 0.05, p(v = 1) = 0.95. On en déduit : E(V ) = 0.95. (2) Si S = 2 les valeurs que V peut prendre sont : V (Ω) = {0, 1, 2}, et : p(v = 0) = 0.05, p(v = 1) = 0.05, p(v = 2) = 0.90. On en déduit : (3) Si S = 3, on obtient : (4) Si S = 4, on obtient : E(V ) = 1.85. E(V ) = 2.65. E(V ) = 3.40. 5. Une autre façon de le dire est : tant qu'il ya moins de clients que le stock, on vend autant d'articles qu'il y a de clients. S'il y a plus de clients que le stock, on n'a pas assez d'articles pour tout le monde. On vend le stock et certains clients repartent sans rien

(5) Si S = 5, on obtient : (6) Si S = 6, on obtient : (7) Si S = 7, on obtient : (8) Si S = 8, on obtient : TD 5. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 29 E(V ) = 3.95. E(V ) = 4.20. E(V ) = 4.35. E(V ) = 4.40. On peut maintenant remplacer S et E(V ) par leurs valeurs dans la formule donnant l'éspérance de G. On obtient le tableau suivant : S E(V ) E(G) 1 0.95 235 2 1.85 455 3 2.65 645 4 3.40 820 5 3.95 935 6 4.20 960 7 4.35 955 8 4.40 920 On en déduit que le stock optimal est six robots. Exercice 2 Soit Y la variable alatoire nombre de robots en état de marche. L'état de chaque robot est indépendants. D'après l'énoncé, un robot suit la loi de Bernouilli de paramètre 95% (quelque soit le jour), l'ensemble des six robots suit donc la loi binomiale B(6, 0.95). Les valeurs que Y peut prendre sont donc : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} et la probabilité de chaque valeur est donné par la loi : P(Y = k) = C k 6 (0.95) k (0.05) 6 k. k 0 1 2 3 4 5 6 p(y = k) 1.6 10 8 1.8 10 6 8.5 10 5 2.1 10 3 3.1 10 2 0.23 0.74 Exercice 3 Ici, l'exercice est similaire à l'exercice 1, mais le stock n'est plus un paramètre xé : c'est la variable aléatoire Y. On a donc à déterminer la loi de : Z = min(x, Y ). Comme c'est une fonction compliquée de deux variables aléatoires, on doit faire un arbre, qui permet de lister tous les cas donnant une certaine

TD 5. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 30 valeur de Z, ainsi que la probabilité de chacun de ces cas. Sur cet arbre, on lit : les valeurs possibles de Z sont : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} et 6 Z = 0 si : (Y = 0 et X 0) ou (Y 1 et X = 0) Z = 1 si : (Y = 1 et X 1) ou (Y 2 et X = 1) Z = 2 si : (Y = 2 et X 2) ou (Y 3 et X = 2) Z = 3 si : (Y = 3 et X 3) ou (Y 4 et X = 3) Z = 4 si : (Y = 4 et X 4) ou (Y 5 et X = 4) Z = 5 si : (Y = 5 et X 5) ou (Y 6 et X = 5) Z = 6 si : (Y = 6 et X 6) On en déduit : p(z = 0) = p(y = 0 et X 0) + p(y 1 et X = 0) p(z = 1) = p(y = 1 et X 1) + p(y 2 et X = 1) p(z = 2) = p(y = 2 et X 2) + p(y 3 et X = 2) p(z = 3) = p(y = 3 et X 3) + p(y 4 et X = 3) p(z = 4) = p(y = 4 et X 4) + p(y 5 et X = 4) p(z = 5) = p(y = 5 et X 5) + p(y 6 et X = 5) p(z = 6) = p(y = 6 et X 6) Et, comme X et Y sont des variables aléatoires indépendantes : p(z = 0) = p(y = 0) p(x 0) + p(y 1) p(x = 0) p(z = 1) = p(y = 1) p(x 1) + p(y 2) p(x = 1) p(z = 2) = p(y = 2) p(x 2) + p(y 3) p(x = 2) p(z = 3) = p(y = 3) p(x 3) + p(y 4) p(x = 3) p(z = 4) = p(y = 4) p(x 4) + p(y 5) p(x = 4) p(z = 5) = p(y = 5) p(x 5) + p(y 6) p(x = 5) p(z = 6) = p(y = 6) p(x 6) Cela permet de remplir le tableau de la loi de Z : k 0 1 2 3 4 5 6 P (Z = k) 0.050 0.050 0.10 0.052 0.22 0.35 0.19 On calcule ensuite l'espérance : E(Z) = 0 0.050+1 0.050+2 0.10+3 0.052+4 0.22+5 0.35+6 0.19 = 4.176 4.2. L'espérance du carré : E(Z 2 ) = 0 0.050+1 0.050+4 0.10+9 0.052+16 0.22+25 0.35+36 0.19 = 20.028. La variance : L'écart-type : V (Z) = E(Z 2 ) E(Z) 2 = 20.028 4.176 2 = 2.589024 2.6. σ(z) = V (Z) = 1.6 6. on regroupe certaines branches pour alléger l'écriture. Par exemple : Y 4 (Y = 4) ou (Y = 5) ou (Y = 6).

TD 5. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 31 Exercice 4 Faire un arbre, comme dans l'exercice précédent. (cet exercice est plus facile!) Exercice 5 Pour donner la loi, on est obligé de faire un arbre et de regarder à quelles valeurs de X et de Y correspond une certaine valeur de X + Y. On a toujours : E(X + Y ) = E(X) + E(Y ), et pour des variables indépendantes, on a aussi : V (X + Y ) = V (X) + V (Y ).