PROBABILITÉS Table des matières I Rappels : Vocabulaire des événements 2 I. Vocabulaire.............................................. 2 I.2 Intersection et réunion d événements................................ 3 I.3 Représentation des évenements................................... 4 II Rappels : Calcul de probabilités 4 III Probabilités conditionnelles 6 III. Définition............................................... 6 III.2 Propriétés............................................... 7 III.3 Exemple de calcul de probabilités conditionnelles par différentes méthodes........... 8 III.4 Evénements indépendants...................................... 9 IV Espérance et variance 0 IV. Espérance............................................... 0 IV.2 Variance et écart-type........................................ 0 V Loi de Bernouilli et loi binomiale 2 V. loi de bernouilli............................................ 2 V.2 loi binomiale............................................. 2 --
Le but des probabilités est d essayer de rationaliser le hasard : quelles sont les chances d obtenir un résultat suite à une expérience aléatoire? Quelles chances ai-je d obtenir "pile" en lançant une pièce de monnaie? Quelles chances ai-je d obtenir "6" en lançant un dé? Quelles chances ai-je de valider la grille gagnante du loto? I Rappels : Vocabulaire des événements I. Vocabulaire Définition Chaque résultat possible et prévisible d une expérience aléatoire est appelé éventualité liée à l expérience aléatoire. Exemple Lancer un dé à six faces : "obtenir 2" est une éventualité de cette expérience aléatoire. Tirage des six numéros gagnants du Loto : "obtenir la combinaison 2 5 7 23 36 4" est une éventualité. Définition 2 L ensemble formé par les éventualités est appelé univers, il est très souvent noté Ω. Exemple 2 Lancer d une pièce de monnaie : Ω ={pile ;face}. Lancer un dé à six faces : Ω ={; 2; 3; 4; 5; 6}. Définition 3 Un événement d une expérience aléatoire est une partie quelconque de l univers, Un événement ne comprenant qu une seule éventualité est un événement élémentaire. Exemple 3 Lors du lancer d un dé à 6 faces : A = "obtenir un 5" est un événement élémentaire que l on peut notera ={5}, B = "obtenir un numéro pair" est un événement que l on peut noterb={2; 4; 6}. -2-
Définition 4 L événement qui ne contient aucune éventualité est l événement impossible, noté, L événement composé de toutes les éventualités est appelé événement certain. Exemple 4 Tirage des six numéros gagnants du loto : "obtenir la combinaison 3 25 38 59 67 9" est un événement impossible (les numéros vont de à 49). Lancer d un dé à six faces : "obtenir un nombre positif" est un événement certain. Définition 5 Pour tout événementail existe un événement notéaet appelé événement contraire dea, qui est composé des éléments de Ω qui ne sont pas dans A. On a en particuliera A = Ω. Exemple 5 Lancer d une pièce de monnaie : sia ={pile} alors son événement contraire esta ={face}. Lancer d un dé à six faces : siaest l événement "obtenir un nombre inférieur ou égal à 4", alors son événement contraire A est l événement "obtenir 5 ou 6". Dans toute la suite du cours, on suppose que Ω est l univers associé à une expérience aléatoire, etaetb deux événements associés à cet univers. I.2 Intersection et réunion d événements Définition 6 Intersection d événements : événement constitué des éventualités appartenant à A et à B noté A B (se lit "A interb" ou "A etb"), Réunion d événements : événement constitué des éventualités appartenant àaou àb notéa B (se lit "A unionb" ou "A oub"). Remarque SiA B =, on dit que les événements sont disjoints ou incompatibles. Exemple 6 On considère l ensemble des chiffres. On note A l événement "obtenir un chiffre pair" et B l événement "obtenir un chiffre strictement inférieur à six" A B = "obtenir un chiffre pair et inférieure strictement à six" :A B ={2; 4}, A B = "obtenir un chiffre pair ou inférieur strictement à six" :A B ={; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 0}. -3-
I.3 Représentation des évenements Diagrammes ou patates A B A B Tableaux On jette deux dés à quatre faces (tétraèdre régulier) et on calcule la produit obtenu : 2 3 4 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 2 4 4 8 2 6 Arbres On lance une pièce de monnaie deux fois, on peut schématiser cette expérience par un arbre : pile face pile face pile face II Rappels : Calcul de probabilités Définition 7 La probabilité d un événement d univers Ω est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constitue. Définition 8 On dit qu il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. nombre d éléments dea Dans ce cas, on a :P(A) = nombre d éléments de Ω = Card(A) Card(Ω). -4-
Remarque 2 Dans un exercice, pour signifier qu on est dans une situation d équiprobabilité on a généralement dans l énoncé un expression du type : on lance un dé non pipé, dans une urne, il y a des boules indiscernables au toucher, on rencontre au hasard une personne parmi... Exemple 7 On lance un dé équilibré à six faces. On considère l événementa:"obtenir un chiffre pair" et l événementb : "obtenir un diviseur de six". Le dé est équilibré, on est donc dans une situation d équiprobabilité. A ={2; 4; 6} etb={; 2; 3; 6}, donc,p (A) = 3 6 = 2, etp (B) = 4 6 = 2 3. Propriété SoitAetB deux événements, on a les propriétés suivantes : P( ) = 0. P(Ω) =. 0 P(A). P(A) = P(A). P(A B) =P(A) +P(B) P(A B). Exemple 8 On considère l ensemblee des entiers de à 20. On choisit l un de ces nombres au hasard. A est l événement : «le nombre est multiple de 3» : A ={3; 6; 9; 2; 5; 8}, B est l événement : «le nombre est multiple de 2» : B ={2; 4; 6; 8; 0; 2; 4; 6; 8; 20}, Calul des probabilités : P (A) = 6 20 = 3 = 0, 3. 0 P (A) = P (A) = 3 0 = 7 = 0, 7. 0 P (B) = 0 20 = = 0, 5. 2 P (A B) = 3 = 0, 5. 20 P (A B) =P (A) +P (B) P (A B) = 6 20 + 0 20 3 20 = 3 = 0, 65. 20-5-
III Probabilités conditionnelles III. Définition Définition 9 On suppose quep(b) 0. On appelle probabilité conditionnelle de A relativement à B ou de A sachant B la probabilité que l événement A se réalise sachant que B est réalisé. Cette probabilité vautp B (A) = P(A B). P(B) Remarque 3 On trouve aussi la notationp(a/b) pourp B (A). Exemple 9 On considère l expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces, équilibré. On suppose que toutes les faces sont équiprobables, et on définit les événements : B : "la face obtenue porte un numéro pair" ; A : "la face obtenue porte un numéro multiple de 3". Déterminons la probabilité d obtenir un numéro multiple de 3, sachant qu on a un numéro pair de deux manières différentes. L événement (A/B) correspond à l événement "obtenir un numéro multiple de 3" parmi les éventualités de B, autrement dit parmi{2; 4; 6}. Il n y a donc que l issue "obtenir 6" qui correspond. Et comme on est en situation d équiprobabilité, on obtientp B (A) = 3. Par le calul, on ap (B) = 3 6 etp (A B) = 6 donc, d après la formule :P B(A) = P (A B) P (B) = 6 2 = 3. Arbre de probabilité et probabilité conditionnelle : P A (B) B P(A B) P(A) A P A (B) B P(A B) P(A) P A (B) B P(A B) A P A (B) B P(A B) -6-
III.2 Propriétés Propriété 2 Pour tous événementsaetb de probabilité non nulle, on ap(a B) =P(B)P B (A) =P(A)P A (B). Démonstration : PourP(B) 0 etp(a) 0, on peut écrire : P B (A) = P(A B) P(B) P A (B) = P(A B) P(A) d oùp(a B) =P(B)P B (A). d oùp(a B) =P(A)P A (B). Propriété 3 SoitS un événement de probabilité non nulle, on a : Une probabilité conditionnelle est un nombre compris entre 0 et ; La probabilité conditionnelle d un événement certain est ; La probabilité conditionnelle d un événement impossible est 0 ; P S (Ā) = P S(A) ; P S (A B) =P S (A) +P S (B) P S (A B) ; SiAetB sont des événements incompatibles, alorsp S (A B) =P S (A) +P S (B) ; Remarque 4 Ce théroème revient à dire qu une probabilité conditionnelle relative à un événement S a toutes les propriétés habituelles du calcul des probabilités. Propriété 4 (Formule des probabilités totales) Pour tousaetb de probabilité non nulle : P(A) =P(A B) +P(A B), P(A) =P B (A)P(B) +P B (A)P(B). -7-
III.3 Exemple de calcul de probabilités conditionnelles par différentes méthodes Exemple 0 Dans un atelier, deux machinesm etm 2 découpent des pièces métalliques identiques.m fournit 60% de la production (parmi lesquelles 6, 3% sont défectueuses), le reste étant fourni parm 2 (dont 4% de la production est défectueuse). La production du jour est constituée des pièces produites par les deux machines, et on en tire en fin de soirée une pièce au hasard (tous les prélèvements sont supposés équiprobables).. Utilisation des formules des probabilités conditionnelles. (a) Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu elle est produite parm? (b) Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu elle est produite parm 2? (c) Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse? 2. Utilisation d un tableau On suppose maintenant que la production est composée de 0000 pièces. (a) Reproduire et compléter le tableau suivant qui décrit la production du jour : Nombre de pièces défectueuses Nombre de pièces conformes Total Nombre de pièces produites parm Nombre de pièces produites parm 2 (b) Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu elle est produite parm? (c) Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu elle est produite parm 2? (d) Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse? 3. Utilisation d un arbre des probabilités conditionnelles (a) Dresser un arbre des probabilités conditionnelles relatif à la situation proposée. (b) Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu elle est produite parm? (c) Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu elle est produite parm 2? (d) Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse? Total Solution Soit D l événement "La pièce prélevée est défectueuse". (a)p M (D) = 0, 063. 2. (a) (b)p M2 (D) = 0, 040. (c)p(d) =P(M D) +P(M 2 D) =P(M )P M (D) +P(M 2 )P M2 (D) = 0, 6 0, 063 + 0, 4 0, 040 = 0, 0538. Nombre de pièces produites parm Nombre de pièces produites parm 2 Total Pièces défectueuses 378 60 538 Pièces conformes 5622 3840 9462 (b)p M (D) = 378 = 0, 063. 6000 (c)p M2 (D) = 600 = 0, 040. 4000 (d)p(d) = 538 0000 Total 6000 4000 0000 = 0, 0538. -8-
3. (a) arbre de probabilités pondéré : 0, 063 D 0, 6 M 0, 937 D 0, 4 M 2 0, 04 0, 96 D D (b)p M (D) = 0, 063 d après l arbre de probabilités. (c)p M2 (D) = 0, 040 d après l arbre de probabilités. (d)p(d) =P(M D) +P(M 2 D) =P(M )P M (D) +P(M 2 )P M2 (D) = 0, 6 0, 063 + 0, 4 0, 040 = 0, 0538. III.4 Evénements indépendants Définition 0 On dit queaetbsont des événements indépendants si et seulement sip(a B) =P(A).P(B). Exemple On considère le tirage au hasard d une carte d un jeu de 32 cartes. A = "Tirer un as", B = "Tirer un coeur" et C = "Tirer un as rouge". Indépendance deaetb : P (A) = 4 32 = 8. P (B) = 8 32 = 4. P (A B) = =P (A)(B), les événementsaetb sont donc indépendants. 32 Indépendance deb etc : P (B) = 4. P (C) = 2 32 = 6. P (B C) = P (B)(C), les événementsb etc ne sont donc pas indépendants. 32 Remarque 5 Dans le cas oùaetb sont des événements de probabilités non nulles, on a P(A B) =P(B)P B (A) =P(A)P A (B) =P(A).P(B), d où : P B (A) =P(A) etp A (B) =P(B). -9-
IV Espérance et variance IV. Espérance Définition Etant donné une loi : x i x x 2 x 3... x n p(x =x i ) p p 2 p 3... p n On appelle espérance le réel notée qui vaut : E =p x +p 2 x 2 +... +p n x n = n p i x i. i= Remarque 6 Ce nombre important en probabilités représente une valeur moyenne. Exemple 2 On considère le tableau suivant : Calcul de l espérance : E = 0 5 8 + 8 + 3 8 + 4 8 E = 8 8 =. x i 0 3 4 p(x =x i ) 5 8 Concretement, cela signifie "qu en moyenne", la valeur dex i est de. 8 8 8 IV.2 Variance et écart-type Définition 2 On considère la loi numérique suivante : x i x x 2 x 3... x n p(x =x i ) p p 2 p 3... p n On appelle variance le réel notév qui vaut : V =p [x E] 2 +p 2 [x 2 E] 2 +... +p n [x n E] 2 = On appelle écart-type le réel notéσdéfini par : σ = V. n p i [x i E] 2. i= -0-
Exemple 3 Calcul de la variance pour la loi précédente : V= 5 8 [0 ]2 + 8 [ ]2 + 8 [3 ]2 + 8 [4 ]2 V= 5 8 + 0 + 4 8 + 9 8 = 9 4 D où l écart-type : 9 σ = 4 = 3 =, 5. 2 = 2, 25. Le théorème suivant permet un calcul plus facile de la variance : Théorème (De Kœnig) V =p x 2 +p 2x 2 2 +... +p nx 2 n E2 = n (p i x i ) E 2. i= Exemple 4 Autre méthode de calcul de la variance pour la loi précédente : V= 5 8 02 + 8 2 + 8 32 + 8 42 2 V= 0 + 8 + 9 8 + 6 8 = 9 = 2, 25. 4 Propriété 5 La variance et l écart-type sont des nombres positifs. L écart-type mesure la dispersion des valeurs par rapport à son espérance. --
V Loi de Bernouilli et loi binomiale V. loi de bernouilli Définition 3 Une expérience de Bernouilli est une expérience qui n a que deux issues possibles, l une appelée «succès» qui a pour probabilitép, l autre appelée «échec» qui a pour probabilitéq= p. Définir une loi de Bernouilli de paramètrep, c est associer une loi de probabilité discrète à cette expérience aléatoire en faisant correspondre la valeur à l apparition d un succès et 0 à celle d un échec. x i 0 p(x =x i ) p p Exemple 5 Si on lance un dé et qu on nomme «succès» l apparition de la face 6, on obtient la loi de Bernouilli suivante : x i 0 p(x =x i ) 6 5 6 Propriété 6 L espérence mathématique d une loi de Bernouilli est égale à p. V.2 loi binomiale Définition 4 La loi de probabilité du nombre de succès dans la répétition de n expériences de Bernouilli de paramètre p identiques et indépendantes est la loi binomiale de paramètresnetp. Cette loi est notéeb(n;p). Exemple 6 On lance 2 fois un dé bien équilibré. On s intéresse à l apparition ( de la face 6. Chaque lancer est une expérience de Bernouilli de paramètre 6. O.n obtient donc une loi binomialeb 2; ). 6 nombre de succès 0 2 probabilité 25 36 0 36 36 Propriété 7 L espérence mathématique de la loi Binomiale de paramètresnetpest égale ànp. -2-