SERIE 1 Probabilités

TELETRAFIC (TTR) SERIE 1 Probabilités Septembre 2013 Problème 1 (Axiomes) Soit A et B deux événements. Faites usage des axiomes des probabilités pour prouver ceci : a) P(A B) P(A) + P(B) - 1 b) La probabilité que un et seulement un des événements A ou B se réalise est donnée par P(A) + P(B) - 2 P(A B). Problème 2 (Variables aléatoires) Une source d information produit des symboles aléatoirement depuis un alphabet de cinq lettres : S = {a,b,c,d,e}. Les probabilités d apparition des symboles sont les suivantes : P(a) = 0.5, P(b) = 0.25, P(c) = 0.125, P(d) = P(e) = 0.0625. Un système de compression de données code les lettres sous forme de chaîne de caractères binaires : a 1 b 01 c 001 d 0001 e 0000 Soit une variable aléatoire Y qui représente la longueur de la chaîne binaire à la sortie du système. Quelle est la distribution de Y? Problème 3 (Distributions) Considérez une variable aléatoire exponentiellement distribuée X avec le paramètre λ. Soit F une fonction de distribution. Trouvez le nombre réel µ qui satisfait : F(µ) = 1/2. Problème 4 (facultatif) Soient les événements A, B, C. Montrez que l identité suivante est vérifiée : P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(B C) - P(A C) + P(A B C) Problème 5 (Approximation de la loi binômiale) Comparez l approximation de Poisson pour la distribution binômiale et la distribution binômiale pour k = 0, 1, 2, 3,... et a) n = 10, p = 0.1 b) n = 20, p = 0.05 c) n = 100, p = 0.01 1

Problème 6* (Probabilités conditionnelles) Avant de partir au travail, Mr. X écoute les nouvelles du temps pour décider s il va ou non emporter un parapluie. Si les nouvelles prédisent de la pluie la probabilité qu il pleuve est de 80%. Au contraire si les nouvelles ne prédisent pas de pluie il y a une probabilité de 10% qu il pleuve. Au printemps il y a une probabilité de 70% que les nouvelles annoncent de la pluie. Par contre, en automne, il y a une probabilité de 20% que les nouvelles annoncent de la pluie. a) Un jour Mr. X a oublié d écouter les nouvelles et il a plu. Quelle est la probabilité que les nouvelles aient annoncé de la pluie si nous sommes au printemps? Et si nous sommes en automne? b) La probabilité que Mr. X oublie d écouter les nouvelles le matin est de 0.2 au printemps comme en automne. S il manque les nouvelles, Mr. X tire au sort, avec une pièce de monnaie, s il prend un parapluie ou non. Quand Mr. X écoute les nouvelles et qu elles annoncent de la pluie, Mr. X va toujours prendre son parapluie et si elles n annoncent pas de pluie il ne va jamais prendre son parapluie. Est-ce que les événements Mr. X prend son parapluie et Les nouvelles n annoncent pas de pluie sont indépendants? Est-ce que la réponse dépend de la saison? c) Mr. X porte un parapluie et il ne pleut pas. Quelle est la probabilité que Mr. X ait écouté les nouvelles? EXERCICES SUPPLEMENTAIRES D ECHAUFFEMENT 1 Exercice 7 (Evénements et espace fondamental) Nous considérons l expérience suivante : jetons une pièce de monnaie trois fois de suite. a) Quel est l espace fondamental de cette expérience si nous voulons observer les séquences exactes dans lesquelles les côtés face et pile apparaissent? b) Quel est l espace fondamental de cette expérience si nous nous intéressons à compter le nombre de faces apparaissant lors de l expérience? c) Et si l expérience consiste à jeter la pièce de monnaie quatre fois au lieu de trois? Quels sont les espaces fondamentaux dans ce cas? Exercice 8 (Evénements et espace fondamental) L expérience consiste à jeter deux dés (6 faces). a) Quel est l espace fondamental de cette expérience? b) Quel est l événement A dont la somme des nombres obtenu est 7? c) Quel est l événement B dont la somme des nombres obtenu est supérieur à 12? 1. tirés pour la plupart de livres de la série Schaum 2

Exercice 9 (Evaluation de probabilités) Nous tirons une carte au hasard dans un jeu de 36 cartes. a) Quel est l espace fondamental si on ne se préoccupe pas des couleurs des cartes (un as de trèfle est équivalent à un as de coeur dans cette expérience. Nous ne discriminons pas les as)? b) Quel est l espace fondamental si on tient compte des couleurs? c) Quelle est la probabilité de tirer un as? d) Quelle est la probabilité de tirer une dame de trèfle ou un roi de coeur? e) Quelle est la probabilité de ne tirer ni une dame ni un roi? Exercice 10 (Evaluation de probabilités) Nous tirons une boule au hasard d un récipient contenant 6 boules rouges, 4 boules blanches et 5 boules bleues. a) Quelle est la probabilité que la boule soit rouge? b) Quelle est la probabilité que la boule soit bleue? c) Quelle est la probabilité que la boule ne soit pas rouge? Exercice 11 (Probabilités conditionnelles et événements indépendants) Un dé est lancé deux fois de suite. a) Quelle est la probabilité d obtenir un 4, 5 ou 6 au premier jet et 1, 2 ou 3 au second? b) Quelle est la probabilité que la somme des deux nombres ne soit ni égal à 5 ni à 6? c) Quelle set la probabilité de tirer un 4 au moins une fois? Exercice 12 (Probabilités conditionnelles et événements indépendants) Nous tirons trois boules au hasard d un récipient contenant 6 boules rouges, 4 boules blanches et 5 boules bleues (cf. ex 10). Quelles sont les probabilités pour tirer dans l ordre : - boule rouge, - boule blanche et - boule bleue si a) chaque boule est replacée dans le récipient b) les boules ne sont pas replacées dans le récipient Exercice 13 (Probabilités conditionnelles et événements indépendants) On a deux boites. La première contient 4 boules blanches et 2 boules noires. La seconde contient 3 boules blanches et 5 boules noires. On tire une boule dans chaque boite. a) Quelle est la probabilité que les deux boules soient blanches? b) Quelle est la probabilité que les deux boules soient noires? c) Quelle est la probabilité qu une boule soit blanche et l autre noire? 3

Exercice 14 (Théorème de Bayes) On a deux boites. La première contient 3 boules rouges et 2 billes bleues. La seconde contient 2 billes rouges et 8 billes bleues. On lance une pièce de monnaie. Si le résultat est face, on tire une boule de la première boite. Si le résultat est pile on tire une boule de la seconde boite. Supposons que le lanceur cache le résultat obtenu de telle sorte à ce que nous ne sachions pas dans quelle boite la boule a été tirée. Par contre nous savons que la boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité pour que la première boite ait été choisie? Rappel : analyse combinatoire (combinaisons et arrangements) Arrangements : Nous avons n objets distinct et on veut en aligner r. Combien de possibilités existet-il? La réponse est P r n = n(n 1)(n 2)... (n r + 1) = n! (n r)! Cas particulier : n = r. Dans ce cas P n n = n(n 1)(n 2)... 1 = n! (avec 0! = 1) Exemple : Nous avons 3 boules : Rouge (R), Bleue (B), Jaune (J). Combien d arrangements à 2 boules pouvons-nous faire? P r n = P 2 3 = 3.2 = 6 : RB/RJ/BJ/BR/JR/JB. Combinaisons. Dans le cas d arrangements nous nous intéressons à l ordre dans lequel les objets sont alignés : abc est un arrangement et bca un autre arrangement. Dans plusieurs situations nous nous préoccupons à sélectionner des objets sans nous préoccuper de l ordre dans lequel ils sont disposés. dans de tels cas nous parlons de combinaisons. Le nombre de combinaisons de n objets par groupe de r objets est de ( n r ) = Cn r = n(n 1)... (n r + 1) r! = n! r!(n r)! Exemple : Nous avons 3 boules : Rouge (R), Bleue (B), Jaune (J). Combien de combinaisons à 2 boules pouvons-nous faire? C r n = C 2 3 = 3.2/2 = 3 : RB/RJ/BJ. Exercice 15 (Arrangements et combinaisons) Combien y a-t-il de façons différentes de ranger en ligne 5 boules colorées (de couleurs différentes)? Exercice 16. (Arrangements et combinaisons) Combien y a-t-il de façons différentes d asseoir 10 personnes sur un banc de 4 places? Exercice 17 (Arrangements et combinaisons) Combien peut-on former de comités de 5 personnes parmi un groupe de 9 personnes? 4

Exercice 18 (Arrangements et combinaisons) Un groupe est formé de 5 ingénieurs et de 7 économistes et on doit former un comité comprenant 2 ingénieurs et 3 économistes. Quel est le nombre de possibilités si a) le comité peut comprendre n importe quel ingénieur ou économiste b) un économiste particulier doit être membre du comité c) deux ingénieurs doivent être exclus du comité Exercice 19 (Probabilités, arrangements et combinaisons) Une boite comprend 8 boules rouges, 3 blanches et 9 bleues. On tire 3 boules sans les remplacer. a) Quelle est la probabilité que les 3 boules soient rouges? b) Quelle est la probabilité que les 3 boules soient blanches? c) Quelle est la probabilité que 2 boules soient rouges et une soit blanche? d) Quelle est la probabilité qu au moins une boule soit blanche? e) Quelle est la probabilité qu il y ait une boule de chaque couleur (1 rouge, 1 blanche et 1 bleue)? f) Quelle est la probabilité qu il y ait une boule de chaque couleur et qu elles soient tirées dans l ordre suivant : rouge, blanche, bleue? Exercice 20 (Variables aléatoires discrètes et distributions) Soit X une variable aléatoire représentant la somme obtenue lors du lancement de 2 dés. a) Quelle et la loi de probabilité (densité) de X? b) Construire le graphe de cette distribution c) Construire le graphe de la fonction de répartition d) Calculer l espérance mathématique et la variance de X Exercice 21 (Variables aléatoires continues et distributions) La fonction de densité de probabilité d une variable aléatoire X est donnée par où < x <. a) Quelle est la valeur de la constante c? f(x) = c x 2 + 1 b) Quelle la probabilité que X 2 soit compris entre 1/3 et 1? c) Quelle est la fonction de répartition correspondant à la densité de probabilité donnée cidessus? 5

Exercice 22 (Variables aléatoires continues et distributions) La fonction de répartition d une variable aléatoire X est donnée par { 1 e 2x x 0 F (x) = 0 x < 0 a) Quelle est la densité de probabilité correspondant à la fonction de répartition donnée cidessus? b) Quelle est la probabilité que X soit supérieur à 2 (ou la probabilité P (X > 2)? c) Quelle est la probabilité que X soit compris entre 3 et 4 (ou la probabilité P ( 3 < X 4))? d) Evaluez E[X], E[X 2 ] et la variance 6