EXERCICES Électromagnétisme me Equations de Maxwell - Induction E 1 Densité de charges dans les conducteurs On considère un conducteur ohmique de conductivité γ. Comment évolue la densité de charge globale ρ en un point du conducteur où on la suppose égale à ρ à l instant t =? Evaluer pour un conducteur comme le cuivre le temps caractéristique d évolution. Que se passe-t-il alors si l on injecte une charge dans un conducteur primitivement neutre? E Vecteur de Poynting et effet Joule Un fil conducteur cylindrique, de rayon a, de conductivité γ, est parcouru par un courant de densité uniforme j parallèle à son axe. 1 ) Déterminer l expression du vecteur de Poynting sur la surface latérale du conducteur. Calculer alors le flux de ce vecteur à travers la surface d une hauteur H de fil. Commenter. ) Le conducteur possède une conductivité thermique λ. La température sur son axe est T. Déterminer sa température de surface ainsi que le flux thermique qui y est évacué. E 3 Vecteur de Poynting dans un condensateur plan Un condensateur plan a des armatures circulaires de rayon R, distantes de e dans le vide. On néglige les effets de bord et on suppose qu à tout instant, le champ électrique entre les armatures est uniforme. 1 ) Déterminer le vecteur de Poynting et calculer son flux sortant à travers la surface latérale cylindrique de rayon R. ) Comparer ce flux à la dérivée, par rapport au temps, de l énergie électrostatique. Interpréter et justifier. E 4 Champs et énergie dans un câble coaxial Entre les armatures d'un câble coaxial de rayons intérieur a et extérieur b, aux parois parfaitement conductrices (on admettra que dans un conducteur parfait le champ électromagnétique variable est identiquement nul), règne un champ électromagnétique dont le vecteur E est de la forme : E = E(r) exp( jkz " #t) e r en coordonnées cylindriques; Le champ, lui, sera cherché sous la forme : = (r) exp( jkz " #t) 1 ) Sachant que E(r) tend vers une limite E quand r tend vers a, calculer E(r). Calculer (r). ) Calculer les densités surfaciques de courant et de charge apparaissant sur les armatures du câble. Quelle est la relation traduisant la conservation locale de la charge? 3 ) Déterminer le vecteur de Poynting et la densité d énergie électromagnétique. Vérifier la relation de conservation de l énergie entre les armatures du câble. 4 ) En utilisant l énergie localisée entre les armatures, montrer qu on peut associer à ce câble une capacité et une inductance linéiques que l on déterminera en fonction des caractéristiques géométriques du câble. Rép : E(r) = a/r E ; = ka rω E k ; σ = ε E exp j(kz - ωt) ; j s = E ωµ exp j(kz - ωt) ; k c = ω et divjs + σ/ t =
E 5 Courants de Foucault - Champ magnétique induit Un cylindre métallique de conductivité γ, de rayon a et de longueur l est placé à l intérieur d un long solénoïde de même rayon a que le cylindre et possédant n spires par unité de longueur toutes parcourues par un courant alternatif de basse fréquence et d intensité i(t) = I cos(ωt). 1 ) Déterminer la densité volumique de courant induit dans le cylindre en fonction de I, n, γ et ω. ) En déduire le champ magnétique crée à l intérieur du cylindre par ce courant. Quelle hypothèse a permis de négliger ce champ pour la résolution de la première question? E 6 Rotation d une tige par induction A l'intérieur d'un long solénoïde comportant n spires par unité de longueur, on place une tige isolante de longueur a, uniformément chargée avec la densité linéique λ. La tige, centrée sur l'axe du solénoïde, est mobile autour de celui-ci. Son moment d'inertie par rapport à cet axe sera noté J. On fait passer le courant dans le solénoïde de à I. Etudier le mouvement de la barre en négligeant les champs qu'il produit. Rép : mouvement de rotation de pulsation : ω = - "µ na3 3J E 7 Entraînement par induction I Un cerceau isolant, de masse m et rayon a, uniformément chargé avec la densité λ, est mobile sans frottement autour de l'axe orthogonal à son plan et passant par son centre O. Une petite spire, de même centre et de même axe, de rayon r << a, est parcourue par un courant i(t) qui croît linéairement de à I pendant le temps τ. Etudier l'évolution de la vitesse angulaire du cerceau, initialement immobile. E 8 Dissipation d énergie par courants de Foucault Un barreau conducteur (conductivité σ) a la forme d'un cylindre de rayon a et de hauteur H. Il est soumis à un champ magnétique sinusoïdal parallèle à son axe. 1 ) Déterminer la puissance moyenne dissipée dans le barreau en négligeant les phénomènes d'autoinduction. ) On remplace le système précédent par N barreaux de même hauteur, de rayon plus faible, mais occupant globalement le même espace (on supposera que N est suffisamment grand pour négliger l'espace vide entre les barreaux). Calculer la nouvelle puissance moyenne dissipée. Commenter. Rép : P = 1 $ d ' "#H& ) 8 % dt ( a 4 ; P = P/N. E 9 Translation d une tige par induction Deux rails conducteurs horizontaux supportent deux tiges conductrices mobiles sans frottement qui se déplacent perpendiculairement aux rails. L'écartement des rails étant a, la masse de chaque tige m et leur résistance R (seules résistances non négligeables du circuit), l'ensemble est placé dans un champ magnétique uniforme et constant, orthogonal au plan des rails. On communique aux deux tiges des vitesses initiales v 1 et v. Etudier leur mouvement ultérieur. Rép : v 1 = v 1 " v e " t # + v 1 + v et v = v " v 1 e " t # + v 1 + v, avec " = mr ( a )
E 1 Rails de Laplace Deux rails conducteurs horizontaux de résistance négligeable supportent une tige conductrice de résistance r, mobile sans frottement et qui glisse perpendiculairement aux rails. L'écartement des rails est a, et la masse de la tige m. La tige est reliée en son milieu à un ressort de raideur k dont l autre extrémité est fixée et dont l axe est parallèle à celui des rails. Le circuit des rails est fermé sur une résistance extérieure R variable. Le dispositif est soumis à l action d un champ magnétique permanent vertical, permanent et uniforme. On écarte la tige de la quantité a, puis on l abandonne sans vitesse initiale. 1 ) Ecrire l équation différentielle du mouvement de la tige. On exprimera le facteur de qualité Q de l oscillateur et sa pulsation propre ω en fonction des caractéristiques du problème. ) Pour quelle valeur R = R de la résistance le retour de la tige à sa position d équilibre est-il atteint le plus rapidement? 3 ) Une source idéale de tension de f.é.m. e ( t) = e cos! t est maintenant branchée entre les deux rails. ae On pose V = X! =. On définit V M comme étant l amplitude de la vitesse de la tige en régime R k m sinusoïdal forcé. Le graphe ci-dessous donne la représentation de V M /V en fonction de! /!. Déduire de ce graphe, la valeur du facteur de qualité du système. V M /V ω/ω E 11 Le cadre résiste x L Un fil, supposé infini, est parcouru par un courant électrique I. Un cadre métallique de hauteur H et de largeur a est positionné dans le même plan vertical que le fil. Le cadre peut se déplacer librement suivant x et se trouve initialement à une distance L supposée très grande devant a. On note R la résistance électrique du cadre.
1 ) Quelle force doit exercer un opérateur sur le cadre pour le faire avancer à vitesse constante V selon l axe x? ) L opérateur impose au cadre un mouvement sinusoïdal de faible amplitude δ (très petite devant L) suivant x. Déterminer la puissance moyenne qu il doit fournir pour entretenir ce mouvement. 3 ) L opérateur applique sur le cadre une force sinusoïdale d amplitude constante suivant x. Déterminer l amplitude du mouvement du cadre en fonction de la pulsation ω. E 1 Percussion électromagnétique Une barre cylindrique de rayon r et de longueur a, chargée uniformément en volume avec une charge totale Q, est suspendue par une de ses extrémités à un point fixe O. Cette barre peut tourner autour de l axe (Oy) sans frottements. On applique un champ magnétique uniforme et stationnaire = e. On relie O à la terre et la barre se décharge en une durée τ (on suppose la charge q(t) toujours uniformément répartie à l instant t). y O x 1 ) Expliquer qualitativement pourquoi la barre se met en mouvement. A quelle condition sur a, g et τ peut-on négliger le mouvement de la barre pendant la durée τ? On supposera cette condition remplie par la suite. dq ) Déterminer la densité de courant j(z,t) dans la barre en fonction de et des caractéristiques de la barre. dt 3 ) Déterminer la vitesse angulaire acquise par la barre à l instant τ. E 13 Freinage par induction Afin de freiner une luge en fin de piste, on imagine le dispositif suivant : on fixe un cadre métallique sous la luge et installe, en bout de piste (horizontale), un dispositif qui crée un champ magnétique stationnaire et perpendiculaire à la piste. Pour simplifier l étude, on supposera le champ magnétique uniforme dans une zone de largeur d et d intensité = 1, T. cadre patins z l L vue du dessus La luge et son passager arrivent en fin de piste à une vitesse V. Après avoir établi l équation différentielle vérifiée par la vitesse de l ensemble, déterminer la diminution de vitesse à la sortie de la zone de champ magnétique. On distinguera les deux cas L > d et L < d et on donnera le cas le plus favorable. Avec V = 3 m.s -1, combien de zones de champ magnétique identiques doit-on placer successivement pour arrêter complètement la luge? Quelle distance doit séparer chaque zone pour optimiser le freinage en ayant une distance d arrêt minimale? On prendra : masse de la luge et de son passager : m = 1 kg ; l = 3 cm ; L = d = 5 cm ; le cadre est en cuivre de résistivité ρ = 1,7.1-8 Ω.m, de section S =,5 mm.
E 14 Modifications d un mouvement pendulaire par induction Une tige conductrice O, de masse négligeable et de longueur l porte en une masse ponctuelle M. Elle fait partie du circuit électrique suivant : Le milieu de la tige A est en contact électrique mobile sans frottement avec un conducteur circulaire et le circuit est fermé en incluant un dipôle électrocinétique X ( X = R, L ou C ). L'ensemble est plongé dans un champ magnétique uniforme et constant parallèle à l'axe de rotation de la tige. Celle-ci étant écartée de sa position d'équilibre d'un petit angle " et lâchée sans vitesse initiale, étudier son mouvement ultérieur suivant la nature de X. X O A Rép : X = R : d " dt + #$ d" dt + $ g " = avec ω = l X = L : d " dt + # " = l 16ML θ avec : " = l 16ML + " X = C d " dt + #' " = = avec ω = Mgl 4Ml + l 4 C / 4 et σω = l 16MR E 16 Roues de arlow Deux roues de arlow identiques de masse m et de rayon a sont plongées dans un champ magnétique uniforme orthogonal à leur plan. Elles sont branchées en série avec un condensateur C et une inductance L. A t =, le condensateur est déchargé, une roue est immobile et l'autre lancée avec la vitesse angulaire ω. Déterminer la charge du condensateur et les vitesses angulaires des deux roues en fonction du temps. S 1 S L C Rép : d i/dt + Ω i = avec Ω = 1 LC + ( a ) JL
E 15 Pendules couplés par induction Le dispositif étudié comporte deux pendules identiques OA 1 et OA. Chaque pendule OA i est constitué d une barre de longueur a et de masse négligeable, et d une masselotte m accrochée en A i. Les deux masselottes glissent sans frottement sur une piste circulaire de centre O et de rayon a, de part et d autre pour qu il n y ait aucun contact entre elles et qu elles puissent se croiser. Tous les éléments du dispositif sont conducteurs, et seuls les pendules ont une résistance électrique non nulle. L ensemble est plongé dans un champ magnétique r = e r z uniforme et constant. Initialement, le pendule OA 1 est immobile dans sa position d équilibre, et le pendule OA est abandonné sans vitesse initiale depuis la position " t = ( ) = ". 1 ) Décrire qualitativement l évolution du système. ) Déterminer les équations différentielles vérifiées par " 1 et " dans le cas des petites oscillations ; en déduire les équations différentielles vérifiées par u = " 1 + " et v = " 1 # ". 3 ) Dans le cas d un amortissement faible (hypothèse que l on précisera), établir les expressions de " 1 ( t) et " ( t). Représenter l allure de " 1 ( t) et " ( t). Conclusion. 4 ) Effectuer un bilan de puissance sur le système.