Université Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014 TD : Corrigé TD1 - partie 2 1 Mise en application Exercice 1 corrigé Exercice 2 corrigé - Vibration d une goutte La fréquence de vibration d une goutte d eau dépend de plusieurs paramètres. On supposera que la tension superficielle est le facteur prédominant qui assure la cohésion de la goutte, par conséquent, les paramètres identifiés comme intervenant dans l expression de la fréquence de vibration f sont les suivants : R, le rayon de la goutte ; ρ, la masse volumique de l eau ; A, la constante intervenant dans l expression de la force due à la tension superficielle (la dimension de A est celle d une force par unité de longueur). La tension superficielle est la force qu il faut appliquer par unité de longueur le long d une ligne perpendiculaire à la surface d un liquide en équilibre pour provoquer l extension de cette surface. 1. Justifier simplement le choix de ces paramètres. La cohésion d une goutte d eau sphérique est assurée par la tension de surface pour la goutte, elle va ici rappeler la goutte vers une forme sphérique, elle doit donc intervenir dans la fréquence de vibration de celle-ci. L inertie de la goutte va également intervenir dans ce mouvement, ce qui est donné par la masse volumique du fluide considéré ρ. Enfin la taille de la goutte paraît être un paramètre pertinent lui aussi car pour une goutte plus grosse d un fluide donné, la cohésion est plus difficile à assurer. Il y a donc un échange entre tension de surface et déformation de la goutte lors de la vibration dont il faut rendre compte ici. 2. On peut écrire : f k 1 R a ρ b A c, où k 1 est ici une constante sans dimension ; a, b et c sont les exposants de R, ρ et A. En déduire les valeurs de a, b et c par analyse dimensionnelle. f k 1 R a ρ b A c k 1 constante sans dimension rrs L, ras M.L.T 2 L 1 MT 2 et rρs M.L 3.
rfs T 1. D où T 1 L a.m b.l 3b.M c T 2c L a 3b.M b Donc a 3, b 1, c 1, soit f b k A 2 2 2 1 ρr 3 c.t 2c k 1 constante sans dimension Ce résultat avait été donné par Lord Rayleigh dans un article Nature, 95,66,1915. Exercice 3 corrigé - Astérosismologie L observation continue de milliers d étoiles avec une très bonne précision nous permet de faire de nombreuses études en astrophysique. L une d entre elles est l étude des oscillations de la surface des étoiles (des tremblements d étoiles ) qui se manifestent par de petites variations périodiques de la luminosité des étoiles. Ces observations peuvent être utilisées pour étudier la structure interne des étoiles, un peu comme nous utilisons les tremblements de Terre pour étudier la structure de la croûte terrestre. Nous allons faire ici les premiers pas de ce travail en cherchant une relation entre la fréquence f des oscillations observées et les propriétés de l étoile via l analyse dimensionnelle. On propose de s appuyer sur les grandeurs caractéristiques suivantes pour les propriétés d une étoile : G la constante universelle de gravitation ; R rayon de l étoile ; ρ la masse volumique de l étoile. 1. On rappele l ordre de grandeur de la masse et du rayon de l étoile la plus proche de nous, notre Soleil : M@ 2.10 30 kg R@ 7.10 5 km En déduire une estimation de la masse volumique moyenne du Soleil. Qu en pensez vous si vous la comparez à la masse volumique d objets que vous connaissez? On trouve 10 3 kg.m 3. Une masse volumique tout à fait usuelle...mais c est une moyenne, le soleil est loin d être homogène. 2. (a) Donner une expression de la force d interaction gravitationnelle entre deux corps célestes de masses respectives m 1 et m 2 éloignés d une distance r et qui fait apparaître la constante universelle de gravitation. En déduire les dimensions de G. en projetant sur e r F 1,2 Gm 1m 2 d 2 ; d où rgs L 3.T 2.M 1 Page 2
(b) Donner les dimensions de ρ et f respectivement masse volumique de l étoile et fréquence des oscillations de sa surface. rρs M.L 3 rfs T 1 3. Trouver une loi (à une constante multiplicative k sans dimension près) donnant la fréquence des oscillations de l étoile f en fonction des grandeurs caractéristiques mentionnées précédemment. f k? ρg Exercice 4 corrigé - Vitesse du son 1. On peut exprimer la célérité c (ou vitesse de propagation) du son dans un fluide en fonction de la pression p et de la masse volumique ρ de ce milieu. Justifier brièvement pourquoi ces paramètres paraissent pertinents. Trouver l expression de c par analyse dimensionnelle à une constante près sans dimension. Question pas facile, en effet on peut par expérience du quotidien penser à p, T et ρ (le son se propage plus vite quand...). Mais on a également l équation d état qui vient lier deux paramètres, on ne doit travailler que sur p et ρ. Or ce point du nombre d équations n est pas abordé en cours, car on met pas mal de choses sous le tapis. On peut donc les aider un peu ici ou accepter une réflexion simple sur une variation attendue avec ρ (le son se propage plus vite dans l eau que dans l air) et une variation avec la pression attendue (plus difficile à sentir ). Pour bien faire il faudrait changer cet exo à l avenir, je l avais repris d un ancien TD mais c était une erreur je pense, ils ne peuvent pas facilement faire cette question seuls. si c k.ρ α.p β, k sans dimension. Sachant rcs L.T 1, rρs M.L 3 et rps rfs{s M.L 1.T 2, on retrouve : c k.b p, avec k sans dimension. ρ 2. On cherche maintenant une autre expression de c faisant apparaître explicitement la dépendance en température. En supposant que l air se comporte comme un gaz parfait, exprimer ρ en fonction de p, de la température T et de la masse molaire M, puis exprimer c en fonction de T et M. En supposant que la constante de proportionnalité dans l expression de c vaut 1, faire l application numérique pour l air à 20 C. On rappelle les valeurs de la constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.mol 1.K 1 et de la masse molaire de l air : M = 29 g.mol 1. Page 3
pv nrt ρrt V car n ρv ρrt pm b d où p et ρ. Donc : M M M RT c k., avec k sans dimension qu on prend à 1 ensuite. RT M Calcul : attention aux unités c b 10.300 30.10 3? 10 5 300 m.s 1 3. Pour un fluide quelconque, on admet que la célérité du son ne dépend que de la masse volumiqueρ et de la compressibilité κ 1 dρ, où p est la pression. Par analyse dimensionnelle, donner l expression de c en fonction de ρ et de κ. Cette expression fait ρ dp intervenir une constante sans dimension. Quelle est sa valeur compte tenu de l hypothèse faite dans la question 2? Pour la première question on cherche par AD une fonction de ρ et κ à une constante A sans dimension près. On retrouve c A b 1. ρκ La question suivante est un peu bancale. Là aussi il faudrait la virer ou la modifier. En partant sur l hypothèse du GP, on peut retrouver dans ce cas une expression pour κ et en tirer par identification la valeur de A (qui vaut forcément 1 dans ce cas), mais c est assez circulaire. Vous pouvez leur dire de ne pas traiter cette dernière question. 4. On donne deux valeurs de compressibilité à 20 C : κ 1 7.10 6 Pa 1 et κ 2 5.10 10 Pa 1. L une de ces valeurs est celle de la compressibilité de l eau, l autre celle de la compressibilité de l air. Attribuer à chacun des deux fluides sa compressibilité, en justifiant votre réponse. Leur demande ce qu est une compressibilité pour eux, du coup : κ 1 c est l air, κ 2 c est l eau, l eau étant beaucoup moins compressible que l air. 5. Calculer les valeurs de la célérité du son dans l air et dans l eau à 20 C. c air 330 m.s 1 c eau 1, 4.10 3 m.s 1 6. Un soir d orage, vous voyez un éclair et vous entendez le tonnerre 3 s plus tard. A quelle distance la foudre est-elle tombée? D c. t D 900 m Page 4
Exercice 5 corrigé - Flexion d une tige On s intéresse à l équilibre d une tige mince, de longueur l et de masse négligeable, encastrée verticalement dans le sol. La tige n est pas complètement rigide, et peut fléchir sous l action de forces extérieures. Initialement, la tige est verticale. On observe expérimentalement le comportement suivant : on ajoute une première petite masse à son extrémité supérieure, la tige reste verticale. On ajoute ensuite ainsi progressivement des petites masses. La tige reste verticale, jusqu à ce que la masse m ajoutée atteigne une certaine valeur critique m c. Quand m est supérieure ou égale à m c, la tige fléchit (voir la figure). Le but de l exercice est trouver par analyse dimensionnelle une expression de m c en fonction des paramètres géométriques et physiques de la tige. Aucune connaissance préalable en élasticité des matériaux n est nécessaire. 1. Rappeler la dimension d une énergie et de l accélération de la pesanteur g. res M.L 2.T 2, rgs L.T 2. 2. La résistance à la flexion d une tige est liée à une grandeur physique ɛ nommée raideur en flexion, caractéristique du matériau et de l épaisseur de la tige. Sachant que pour donner à la tige de longueur l la forme d un arc de cercle de rayon R, il faut lui fournir une énergie E flexion ɛl 2R 2, donner la dimension de ɛ. rɛs M.L 3.T 2 Page 5
3. (a) On suppose que la masse critique m c ne dépend que de ɛ, de l et de g. Justifier brièvement le choix de ces paramètres. Pour faire fléchir la tige en accrochant une masse il y a une compétition entre le poids de la masse accrochée au sommet et la résistance de la tige à la flexion. Il y a donc intervention de g accélération de la pesanteur. Le paramètre ɛ caractérise la raideur d une tige. Par conséquent, si on considère deux tiges de míme longueur dont une a un paramètre de raideur est plus grand, il faudrait fournir une énergie plus grande (et donc atteindre une masse critique plus grande) dans le 2e cas pour arriver à faire fléchir la tige à un míme rayon minimal, le paramètre ɛ doit donc intervenir dans la définition de m c. La longueur l de la tige intervient également car il est plus difficile de faire fléchir une tige courte qu une tige longue (à constantes de raideur égales). Il faut donc fournir une masse critique plus grande pour faire fléchir une tige courte. (b) Trouver par analyse dimensionnelle la loi de puissance de m c en fonction de ces paramètres. On cherche une loi de la forme m c k.l α.g β.ɛ γ avec k constante sans dimension. On peut donc écrire sur les dimensions : M L α L β.t 2β M γ.l 3γ.T 2γ. On en tire : γ 1, α β 3γ 0 et β γ 0. Donc β 1 et α 2. Soit : m c k. ɛ g.l 2 avec k constante sans dimension. 4. On fait l expérience avec une réglette métallique. On trouve que la réglette fléchit pour une masse critique de 200 g. On coupe la réglette en deux en son milieu de faáon à ce que la nouvelle longueur considérée l 1 soit deux fois plus petite. Quelle est la nouvelle masse critique à appliquer pour que la réglette de longueur l 1 fléchisse? l 1 l 2 m 1 c k. ɛ g.l 12 k. 4.ɛ g.l 2 4m c. Il faut appliquer une masse critique de 800g. Page 6