1 Systèmes triphasés symétriques

1 Systèmes triphasés symétriques 1.1 Introduction Un système triphasé est un ensemble de grandeurs (tensions ou courants) sinusoïdales de même fréquence, déphasées les unes par rapport aux autres. Le système est symétrique si les valeurs efficaces des grandeurs sinusoïdales sont égales et si le déphasage entre deux grandeurs consécutives vaut 2 ð. Par convention, on appelle système direct un système dans le diagramme des phaseurs est ordonné dans le sens trigonométrique négatif (sens horaire). Dans un système direct, les grandeurs passent par un maximum dans l ordre de numérotation. Dans le cas contraire, le système est dit inverse. On appelle homopolaire un système dans lequel toutes les grandeurs sont en phase. Pour un système triphasé direct (de tension) d ordre 1, on a : V 1 = V -j2p / V 2 = Vexp[-j2p/] = Ve -j4p / V = Vexp[-j4p/] = Ve [1] Le diagramme des phaseurs pour un système triphasé direct est le suivant : V V 1 V 2 Les formes d ondes des tensions instantanées sont représentées ci-dessous : 1 0,5 V 0-0,5 0 0 60 90 120 150 180 210 240 270 00 0 60-1 En tout instant, la somme des trois tensions est nulle : V 1 + V 2 + V = V(1 + e -j2p / + e -j4p / ) = 0 [2] JMROUSSEL Copyright 2001 / Page 41

1.2 Définitions Un circuit triphasé est équilibré quand la source et la charge sont toutes les deux équilibrées. Une source triphasée est équilibrée lorsque les trois tensions générées sont de même amplitude et déphasées de 2 ð l une par rapport à l autre. Une charge triphasée est équilibrée lorsque toutes les impédances de chacune des trois phases sont identiques en module et en argument. Il en résulte que dans un circuit équilibré, les trois courants de ligne sont de même amplitude et décalés de 2 ð l un par rapport aux autres. 1. Systèmes triphasés en tension 1..1 Définitions Le modèle simplifié usuel d une source de tension triphasé comprend trois sources monophasées connectées en étoile, c est à dire avec un point commun : PH1 V U1 U12 U2 I PH2 PH V I Chaque source correspond à une phase. Le point commun aux trois sources est appelé le neutre. On appelle ligne l ensemble des conducteurs transmettant l énergie. Elle comporte, en triphasé, trois conducteurs de phase complétés éventuellement par un conducteur de retour du courant appelé conducteur de neutre. On appelle tensions simples les trois tensions V 1, V 2, V, de module V, mesurées entre chaque conducteur de phase et le point neutre de la source triphasée. On les dénote conventionnellement par V 1, V 2, V. On appelle tensions composées les trois tensions mesurées entre deux conducteurs de phase : U 1, U 21, U 2. JMROUSSEL Copyright 2001 / Page 42

1..2 Relations entre tensions simples et tensions composées En application de la loi de Kirchhoff sur les tensions, les relations suivantes entre tensions simples et tensions composées peuvent être établies : U 12 = V 1 - V 2 = V(1 - e -j2p / jp /6 ) = Ve U 2 = V 2 - V = V(e -j2p / - e -j4p / -jp /2 ) = Ve U 1 = V - V 1 = V(e -j4p / j5p /6-1) = Ve [] On peut aussi mettre l équation [] sous la forme : jp /6 U 12 = V 1 - V 2 = V 1 e jp /6 U 2 = V 2 - V = V 2 e jp /6 U 1 = V - V 1 = V e [4] Les tensions composées forment donc également un système triphasé symétrique en avance de ð par rapport aux tensions simples. 6 Le diagramme des phaseurs est le suivant : U 1 V U 12 V 1 V 2 U 2 L équation [4] permet d établir que le module des tensions composées est tensions simples : U = V [5] fois celui des 1.. Intérêt du triphasé Un réseau triphasé permet d alimenter des récepteurs à l aide de trois conducteurs alors qu il faudrait trois fois deux conducteurs (aller et retour) avec un réseau monophasé, ou deux conducteurs passant le triple du courant. L économie sur la section de conducteur est évidente. Un réseau triphasé est à priori plus économique qu un réseau monophasé. De plus un système triphasé permet de créer un champ magnétique tournant dans les moteurs triphasés. 1..4 Remarque Dans le réseau d alimentation français, le module des tensions simples est de 240 V. Il en résulte que celui des tensions composées est de 415 V. JMROUSSEL Copyright 2001 / Page 4

Lorsqu on caractérise un réseau triphasé par une seule tension, il s agit toujours de la tension composée. On parle ainsi de réseau triphasé à 415 V. 1..5 Couplage d une source triphasé Couplage étoile ' V I I La tension aux bornes de chaque impédance est égale à la tension simple. Lorsque la source triphasée est couplée en étoile, les courants de ligne sont égaux aux courants de la charge. Le circuit étant équilibré, on a : V 1 + V 2 + V = 0 et I 1 + I 2 + I = 0. Puisque les courants ont une somme nulle, on peut supprimer le conducteur de neutre et réaliser une forte économie! Couplage triangle 1 U12 U1 V U2 I La tension aux bornes de chaque impédance est égale à la tension composée. On voit apparaître deux types de courant : - les courants en ligne I 1, I 2, I - les courants dans le triangle I 21, I 2, I 1 JMROUSSEL Copyright 2001 / Page 44

Les courants dans le triangle I 21, I 2, I 1 forment un système équilibré : I 21 = I -j2p / I 2 = Ie -j4p / I 1 = Ie [6] En application de la loi de Kirchhoff sur les courants, les relations suivantes peuvent être établies : -jp /6 I 1 = I 21 I 1 = I 21 e -jp /6 I 2 = I 2 I 21 = I 2 e -jp /6 I = I 1 I 2 = I 1 e [7] L équation [7] permet d établir que le module des courants de ligne est courants du triangle : I i = I ij [8] fois celui des 2 Charge en étoile ou en triangle 2.1 Charge triphasée équilibrée Une charge (utilisateur) triphasée équilibrée est caractérisée par impédances identiques (même module et même argument) : = e jj que l on appelle les phases de l utilisateur. Ces trois impédances peuvent être connectées en étoile ou en triangle. 2.2 Définitions Les trois tensions de phase de la charge sont les tensions aux bornes de chaque impédance : V z1, V z2, V z. Les trois courants de phase de la charge sont les courants traversant chaque impédance : I z1, I z2, I z. Dans un système symétrique à charge équilibrée, les trois tensions aux bornes de chaque impédance ont même module ainsi que les trois courants traversant chaque impédance : 2. Connexion en étoile I z = Vz [9] Dans le montage étoile (symbolisé par le signe Y), les trois impédances de la charge triphasée ont un point commun, appelé point neutre de la charge, et sont alimentées par les trois tensions simples : Iz1 Vz1 Iz2 Vz2 ' V I Iz Vz JMROUSSEL Copyright 2001 / Page 45

Si la charge est équilibrée, les tensions aux bornes de chaque impédance se confondent avec les tensions simples de la source d alimentation et possèdent le même module : V z1 = V 1 ; V z2 = V 2 ; V z = V [11] On en déduit les courants traversant chaque impédance : I z1 = I 1 = I z2 = I 2 = V z1 V = 1 = V e -jj V z2 V = 2 = V e j(-j -2p /) I z = I = V z V = = V e j(-j -4p /) [12] Dans un montage étoile, les courants de ligne se confondent avec les courants de phase de la charge. Le diagramme des phaseurs est le suivant : I V V 1 I 2 V 2 I 1 Le courant de retour entre les points neutres de la charge et de la source vaut : I = I z1 + I z2 + I z = V e -jj [1 + e -j2p / + e -j4p / ] = 0 [1] Dans le cas d une source symétrique avec charge équilibrée, il n est pas nécessaire de relier le point neutre de la charge à celui de la source. JMROUSSEL Copyright 2001 / Page 46

2.4 Connexion en triangle Les circuits électriques en régime sinusoïdal triphasé Dans le montage étoile (symbolisé par le signe ), les trois impédances de la charge triphasée sont alimentées par les trois tensions composées de la source triphasée et forment un circuit fermé sur lui-même. La charge en montage triangle n a pas de point neutre : Iz1 Vz1 U12 U1 Iz2 Vz2 V I U2 Iz Vz Les tensions aux bornes de chaque impédance se confondent ici avec les tensions composées de la source d alimentation et possèdent le même module : V z1 = U 12 ; V z2 = U 2 ; V z = U 1 [14] On en déduit les courants traversant chaque impédance : V I z1 = z1 U = 12 = e V -jj I z2 = I z = V z2 U = 2 = j(-j -2p /) e V U 1 = V V z = j(-j -4p /) e [15] Les courants de ligne sont obtenus en appliquant la loi de Kirchhoff sur les courants : -jp /6 I 1 = I z1 I z = I z1 e -jp /6 I 2 = I z2 I z1 = I z2 e -jp /6 I = I z I z2 = I z e [16] L équation [16] permet d établir que le module des courants de ligne est courants traversant la charge connectée en triangle : I = I z [17] fois celui des 2.5 Schéma monophasé équivalent Lorsqu un circuit triphasé est équilibré, on cherche à n étudier qu une phase sachant que ce qui se passe dans les deux autres est identique à 2 ð ou 4 ð près. On peut donc considérer un circuit triphasé équilibré comme la juxtaposition de circuits monophasés. JMROUSSEL Copyright 2001 / Page 47

Charge connectée en étoile I V I ' V En application de la loi de Kirchhoff sur les tensions, les relations suivantes peuvent être établies : V V = V 1.I 1 V V = V 2.I 2 V V = V.I D où ( V V ) =( V 1 + V 2 + V ) (I 1 + I 2 + I ) Puisque V 1 + V 2 + V = 0 et I 1 + I 2 + I = 0, on alors V = V. Les points neutres sont donc équipotentiels, on peut alors écrire : V 1 =.I 1 V 2 =.I 2 V =.I On peut étudier une phase en n ayant pas à tenir compte des deux autres à l aide du schéma monophasé équivalent. Charge connectée en triangle Iz1 Vz1 I V I U12 U2 U1 Iz2 Iz Vz2 Vz V / Les relations [15] et [16] permettent d écrire : I = I z = V = V = V Ä Ä Y Y = Ä [18] On peut remplacer l impédance en triangle par l impédance en étoile équivalente Y. JMROUSSEL Copyright 2001 / Page 48

Puissance en régime triphasé Les circuits électriques en régime sinusoïdal triphasé.1 Puissance absorbée par une charge triphasée La puissance absorbée par une charge triphasée est la somme des puissances absorbées par chaque phase. Pour la puissance instantanée : p(t) = v 1 (t)i 1 (t) + v 2 (t)i 2 (t) + v (t)i (t) [19] Pour la puissance active : P = V 1 I 1 cosj 1 + V 2 I 2 cosj 2 + V I cosj [20] Pour la puissance réactive : Q = V 1 I 1 sinj 1 + V 2 I 2 sinj 2 + V I sinj [21].2 Puissance dans un système triphasé à charge équilibrée Dans le cas d une charge équilibrée alimentée par des tensions formant un système symétrique, les valeurs instantanées des tensions et des courants dans les phases de la charge sont : v 1 (t) = V 2 coswt v 2 (t) = V 2 cos(wt - v (t) = V 2 cos(wt - i 1 (t) = I 2 cos(wt - j) i 2 (t) = I 2 cos(wt - j - i (t) = I 2 cos(wt - j - 2ð ) 4ð ) 2ð ) 4ð ) [22] En remplaçant dans [19], il vient : p(t) = VIcosj + VI[cos(2wt - j) + cos(2wt - j - 2ð ) + cos(2wt - j + 2ð )] [2] Or, la somme des fonctions trigonométriques du terme entre crochets est nulle, on a alors la relation fondamentale suivante : p(t) = P = VIcosj [24] La puissance instantanée est constante (pas de composante pulsante) et égale à la puissance active. Le triphasé a fait donc disparaître la puissance fluctuante, c est là sa propriété fondamentale! Pour la puissance réactive, on obtient : Q = VIsinj [25] La puissance apparente totale vaut : S = VI [26] JMROUSSEL Copyright 2001 / Page 49

. Puissance complexe en triphasé Quels que soient le couplage de la source d alimentation et de la charge, l expression de la puissance complexe absorbée par une charge triphasée est : S = P + jq = V 1 I 1 * + V 2 I 2 * + V I * [27] Dans le cas d une charge équilibrée alimentée par des tensions formant un système symétrique, les valeurs complexes des tensions et des courants dans les phases de la charge sont : V 1 = V -j2p / V 2 = Ve -j4p / V = Ve I 1 * = Ie +jj I * +j(j + 2p /) 2 = Ie I * +j(j + 4p /) = Ie [28] En remplaçant dans [27], il vient : S = VIe +jj [29] On peut alors exprimer les autres puissances : P = Re{ S } = VIcosj [0] Q = Im{ S } = VIsinj [1].4 Théorème de Boucherot Dans un circuit triphasé fonctionnant en régime sinusoïdal la puissance active se conserve, sa conservation relève du principe général de conservation de l énergie : P = k P k [2] La puissance réactive, à condition qu il n y ait pas de changement de fréquence, se conserve au même titre que la puissance active : Q = k Q k [] La puissance réactive n est pas une puissance au sens physique du terme, elle n a donc aucune raison à priori de se conserver, et elle se conserve en fait que s il n y a pas de changement de fréquence (elle ne se conserve pas dans le cas d un redresseur par exemple). JMROUSSEL Copyright 2001 / Page 50

.5 Mesure des puissances active et réactive en triphasé équilibré.5.1 Appareil de mesure Pour mesurer la puissance active dans un circuit, on utilise un wattmètre. Un wattmètre peut être considéré comme un appareil combinant un voltmètre et un ampèremètre. W I V La résistance entre les bornes du circuit courant est très faible, tandis que celle entre les bornes de tension est très élevée..5.2 Méthode de mesure utilisant un seul wattmètre Cette méthode n est valable que pour une charge triphasée équilibrée. Le schéma de montage est le suivant : * W ' V I Mesure de la puissance active W = Re{ V 1 I 1 * } = VIcosϕ P = W = VIcosϕ Un wattmètre unique, alimenté par un courant de ligne et la tension simple correspondante, mesure donc P/. C est la méthode dite «du point neutre artificiel», car dans la majorité des cas le conducteur de neutre n existe pas. Mesure de la puissance active Le montage ci-dessus ne permet pas de mesurer la puissance réactive à moins d utiliser une pince multimétrique avec l option varmètre. JMROUSSEL Copyright 2001 / Page 51

.5. Méthode de mesure utilisant deux wattmètres Cette méthode n est valable que pour une charge triphasée équilibrée. Le schéma de montage est le suivant : * W1 U1 * W2 ' V I U2 Mesures W 1 = Re{U 1 I 1 * }et W 2 = Re{U 2 I 2 * } Or U 1 = V 1 - V = Ve -jπ/6 et U 2 = V 2 - V = Ve -jπ/2 I 1 * = Ie +jϕ +j(ϕ + 2π/) et I 2 * = Ie Donc W 1 = Re{ VIe +j(ϕ - π/6) } = W2 = Re{ VIe +j(ϕ + π/6) } = VIcos(ϕ - π/6) VIcos(ϕ + π/6) Puissance active P = W 1 + W 2 = VIcosϕ Puissance réactive W 1 W 2 = UIsinϕ = Q = Q [W 1 W 2 ] = VIsinϕ Argument tanϕ = P Q = W W W W 1 2 1+ 2 JMROUSSEL Copyright 2001 / Page 52