Chapitre n 6 : ONDES MECANIQUES PERIODIQUES

Physique - 7 ème année - Eole Européenne Chapitre n 6 : ONDES MECANIQUES PERIODIQUES I) Phénomènes périodiques : 1) Définition : Un phénomène périodique est un phénomène qui se reproduit identique à lui-même à intervalles de temps réguliers. La période T (en s) du phénomène est la plus ourte durée au bout de laquelle le phénomène se reproduit à l'identique. La fréquene f (en Hz) du phénomène est le nombre de fois qu'il se reproduit à l'identique par seonde. On a la relation : f = T 1 ou T = f 1 2) Instruments de mesure du temps : - Une lepsydre est un réipient qui se vide plus ou moins rapidement. Exemple : - Le vase de Tantale est une appliation partiulière de la lepsydre. - Le sablier est basé sur l'éoulement de grains de sable alibrés. - L'osillateur pendulaire (étudié en 6 ème année) sert à rythmer le temps. Exemple : Un pendule simple de longueur = 0,5 m, "bat" la seonde : T 0 = 2.π. = 2.π. g 0,5 1 s. 9,81 - Le strobosope est un système qui produit des "flashs" lumineux à intervalles de temps réguliers. La durée de la persistane des impressions rétiniennes étant de l ordre de 0,1 s dans les onditions ordinaires, lorsque les élairs produits par le strobosope ont une fréquene f é > 10 Hz don une période T é < 0,1 s, deux élairs onséutifs ne nous apparaissent plus séparés : nous avons, alors, une sensation d un élairement ontinu. Exemple : C'est le prinipe de fontionnement du inéma. On élaire, ave un strobosope, un disque muni d un seteur oloré et en rotation rapide. Lorsque la fréquene f é du strobosope est égale à la fréquene f de rotation du disque, elui-i semble s'immobiliser. On utilise e proédé pour visualiser un phénomène périodique rapide. 3) Déomposition en séries sinusoïdales : a) Série de Fourier : On démontre en mathématique, et on vérifie par l'expériene, qu'un phénomène périodique peut être onsidéré omme la superposition d osillations sinusoïdales. On parle de la déomposition en série de Fourier du phénomène périodique. Considérons un phénomène aratérisé par une grandeur u, périodique, de période T don de fréquene f = 1/T : don u(t + k.t) = u(t) où k est un entier La déomposition en série de Fourier s'érit : n u(t) = Σ = N n A n.sin(n. 2. π.t + ϕn ) = n = 1 T Σ = N A n.sin(2.π.n.f.t + ϕ n ) n = 1 n est un entier qui peut varier de 1 à N (N peut tendre vers l'infini pour ertaines fontions périodiques) ; T (ou f) est égal à la période (à la fréquene) de la fontion périodique u(t). Chaque terme A n.sin(n. 2. π.t + ϕn ) = A n.sin(2.π.n.f.t + ϕ n ) est appelé harmonique. T A n est l'amplitude et ϕ n est la phase de l'harmonique. Eole Européenne de Franfort Page 57

Ondes méaniques progressives périodiques Le terme A 1.sin( 2 π.t + ϕ1 ) = A 1.sin(2.π.f.t + ϕ 1 ) pour n = 1 est appelé fondamental. Ṫ Le terme A 2.sin( 4 π.t + ϕ2 ) = A 2.sin(4.π.f.t + ϕ 2 ) pour n = 2 est appelé 2 ème harmonique Ṫ Le terme A 3.sin( 6 π.t + ϕ3 ) = A 3.sin(6.π.f.t + ϕ 3 ) pour n = 3 est le 3 ème harmonique. Ṫ Le terme A 4.sin( 8 π.t + ϕ4 ) = A 4.sin(8.π.f.t + ϕ 4 ) pour n = 4 est le 4 ème harmonique. Ṫ Le terme général A n.sin(n. 2. π.t + ϕn ) = A n.sin(2.π.n.f.t + ϕ n ) est le n ème harmonique. T Exemple : Un signal périodique u(t) "arré" d'amplitude A et de fréquene f est égal à la somme (infinie) de signaux sinusoïdaux de phase nulle, d'amplitude A n = A/n et de fréquene f n = n.f où n = 2.k + 1 est un entier impair qui varie de 1 à l'infini : k u(t) = Σ = k A 2.k +.sin[(2.k + 1). 2. π.t] = T Σ =.sin[(2.k + 1).2.π.f.t] 2.k A+ k = 0 1 k = 0 1 Sur la figure, i-dessous, sont représentés, une fontion "arrée", le fondamental de la déomposition de ette fontion, les 5 premiers harmoniques non nuls ainsi que la ourbe obtenue en faisant la somme de es 6 premiers termes non nuls. "arré" (somme infinie) ---------- somme (tend vers un "arré") ---------- fondamental ---------- troisième harmonique ---------- b) Spetre : inquième harmonique ---------- septième harmonique ---------- neuvième harmonique ---------- onzième harmonique ---------- Le spetre d'un phénomène périodique est la donnée graphique des amplitudes A n en fontion des différentes fréquenes f n représentées dans la déomposition du phénomène en série de Fourier. Exemple : Début du spetre de la fontion "arré" A n en fontion de nxf A n = n A pour n = 2.k + 1 (impair) A n = 0 pour n = 2.k (pair) Page 58 Christian BOUVIER

II) Ondes progressives périodiques : 1) Définition : Physique - 7 ème année - Eole Européenne On appelle onde méanique progressive périodique, le phénomène qui aompagne la propagation d une perturbation se répétant indéfiniment, dans un milieu matériel linéaire. Exemple : Houle à la surfae de l eau, son émis par un diapason. 2) Double périodiité : a) Périodiité temporelle : Lorsqu on agite périodiquement un élément de l ondosope un autre élément plaé en un point M s agite périodiquement ave un ertain retard dans le temps. En un point M, le mouvement est périodique de même période que le mouvement de la soure. Chaque point d un milieu dans lequel se propage une onde progressive périodique a un mouvement périodique de même période T que la soure. La période T (en s) d un mouvement périodique est la durée minimale qui sépare la répétition du phénomène dans les mêmes ironstanes. La fréquene f = 1/T (en Hz) est l inverse de la période. Remarque : La fréquene f ou la période T d une onde est une aratéristique de l onde (hauteur d un son, ouleur d une radiation életromagnétique). b) Périodiité spatiale : Si on prend une photographie de la surfae de la mer, on observe la répétition à distane régulière de la forme des vagues. La distane qui sépare deux points suessifs qui se trouvent dans le même état d'élongation, à un instant donné, est appelée période spatiale ou longueur d'onde λ. III) Ondes progressives sinusoïdales : 1) Définitions : On onsidère une onde progressive périodique sinusoïdale se propageant ave une élérité, dans un milieu, à 1 dimension, linéaire et illimité suivant le sens positif d un axe Sx. L onde est générée en un point soure S par une perturbation périodique sinusoïdale de période T (en s), de fréquene f (en Hz) ou de pulsation ω = 2.π.f = 2.π/T (en rad.s 1 ). de la forme : u S (t) = A.sin(ω.t + ϕ) = A.sin(2.π.f.t + ϕ) = A.sin( 2 π.t + ϕ) Ṫ Un point M d absisse x reproduit le mouvement de S ave un retard τ = x/. Lorsqu une onde progressive sinusoïdale se propage dans un milieu linéaire, élastique, illimité, à 1 dimension, à partir d un point soure S, dans le sens positif d un axe Sx, tout point M, d absisse x a un mouvement sinusoïdal de la forme : u M (t) = A.sin[ω.(t -- x ) + ϕ] = A.sin[2.π.f.(t -- x ) + ϕ] = A.sin[ 2. π.(t -- x ) + ϕ] T Remarque : Pour une propagation de l onde dans le sens négatif de l axe Sx, l équation de propagation s érirait : u M (t) = A.sin[2.π.f.(t + x/) + ϕ] = A.sin[2.π/T.(t + x/) + ϕ]. Eole Européenne de Franfort Page 59

Ondes méaniques progressives périodiques D'où : u M (t) = A.sin[ω.(t ± x ) + ϕ] = A.sin[2.π.f.(t ± x ) + ϕ] = A.sin[ 2. π.(t ± x ) + ϕ] T Ave un signe si l'onde se propage dans le sens positif de l'axe Ox et un signe + si l'onde se propage dans le sens négatif de l'axe Ox. Dans la suite, on prendra ϕ = 0 2) Périodiité spatiale ou longueur d onde : On onsidère une onde sinusoïdale se propageant à la élérité, le long d une orde. Le phénomène étant sinusoïdal : (shéma) - Un point donné de la orde s abaisse et se soulève à une fréquene f, le temps qui sépare deux instants suessifs où un point se retrouve au plus haut orrespond à une période T. - A un instant donné deux points hauts suessifs de la orde sont distants d une longueur d onde λ. La longueur d onde λ est égale à la distane dont le phénomène a progressé pendant une λ période : = = λ.f ou λ =.T = T f en m.s 1, λ en m, T en s et f en Hz. 3) Longueur d onde et mouvement des points du milieu : On onsidère une onde sinusoïdale se propageant à la élérité, le long d une orde. Le phénomène étant sinusoïdal : (shéma) Certains points ont, à haque instant, le même mouvement. D autres points ont, à haque instant, des mouvements opposés. Deux points, M 1 et M 2 d un milieu à 1 dimension, vibrent en phase si leur distane d est égale à un nombre entier de longueurs d onde λ : d(m 1, M 2 ) = k.λ. Deux points, M 1 et M 2 d un milieu à 1 dimension, vibrent en opposition de phase si leur distane d est égale à un nombre entier impair de demi-longueurs d onde λ : d(m 1, M 2 ) = (2.k + 1). 2 λ 4) Milieu à 2 ou 3 dimensions : a) Phénomène de dilution : On doit onsidérer le phénomène de propagation le long d un rayon de propagation. Dans un milieu à 2 ou 3 dimensions, le phénomène de dilution de l énergie se traduit par une diminution de l amplitude des osillations. Page 60 Christian BOUVIER

Physique - 7 ème année - Eole Européenne L élongation u M d un point M repéré par sa distane x à la soure S suivant un rayon de propagation Sx est : u M (t) = A(x).sin[2.π.f.(t -- x )] = A(x).sin[ 2. π.(t -- x )] T Où A(x) est une fontion déroissante de x. Exemple : Les sons s atténuent ave la distane. b) "Surfae d'onde" : Considérons une onde progressive périodique dans un milieu à 3 dimensions : L ensemble des points d égale perturbation à un instant donné est appelé surfae d onde. Dans un milieu à 2 dimensions les "surfaes d'onde" sont des "lignes d'onde" et dans un milieu à une dimension e sont des "points d'onde". - Ondes sphériques : Des ondes progressives périodiques dont les surfaes d'onde sont des sphères sont appelées ondes sphériques (ou ondes irulaires dans un milieu à 2 dimensions). Exemple : Les ondes émises à partir d'une soure pontuelle S dans un milieu isotrope sont des ondes sphériques : son émis par un haut-parleur (milieu à 3 dimensions), ondes engendrées à la surfae de l'eau par la hute d'un aillou milieu à 2 dimensions). - Ondes planes : Des ondes progressives périodiques dont les surfaes d'onde sont des plans, sont appelées ondes planes (ou ondes retilignes dans un milieu à 2 dimensions). Exemple : Ondes lumineuses émises par une soure pontuelle plaée au foyer d'une lentille et après le passage à travers ette lentille. A une très grande distane D d'une soure pontuelle S, une onde sphérique de longueur d'onde λ peut être assimilée à une onde plane si D >> λ. sens et diretion de propagation sens et diretion de propagation onde sphérique onde plane D λ Eole Européenne de Franfort Page 61

Ondes méaniques progressives périodiques 5) Onde plane dans un milieu à 3 dimensions : On onsidère une onde plane progressive sinusoïdale qui se propage parallèlement à un axe Ox orienté par le veteur unitaire e x : Tous les points M d'un plan orthogonal à l'axe Ox (plan d'onde) sont dans le même état d'élongation que elui du point P (intersetion du plan d'onde et de l'axe Ox) : u M (t) = u P (t) = A.sin[ω.(t -- x )] = A.sin[ω.t ω.x)] On peut faire apparaître un produit salaire : u M (t) = A.sin[ω.t ω.x)] = A.sin(ω.t -- k. OM ) = A.sin(ω.t -- k.x) On appelle veteur d'onde, le veteur k = (ω/). e x, qui a pour diretion l'axe de propagation, pour sens, le sens de propagation et pour mesure k = ω. IV) Effet Doppler (non relativiste) : 1) Soure immobile : Dans un référentiel (R A ) lié à l air, on onsidère une soure sonore pontuelle immobile S qui émet des ondes sinusoïdales sphériques, de période propre T S, et de fréquene propre f S = 1. T S Les surfaes d'onde sont des sphères onentriques dont le rayon roit ave la élérité des ondes. Un observateur O immobile entendra un son de même fréquene f S que elle du son émis par la soure. Imaginons un observateur O en mouvement par rapport à la soure S et dans (R A ). - Si l observateur O s approhe de la soure à une vitesse de mesure v : A la date t 1, la soure S émet un son de période T S. L observateur O, reevra l'onde en M 1, situé à la distane d 1 = SM 1 de la soure, à la date t 1 = t 1 + d 1. Au bout d une période, à la date t 2 = t 1 + T S, la soure S émet un son. L observateur O reevra l'onde en M 2, situé à la distane d 2 = SM 2 de la soure, à la date t 2 = t 2 + d 2. La période du son émis par la soure S est T S = t 2 t 1, la période du son reçu par l observateur O est T O = t 2 t 1 = t 2 + d 2 t1 + d 1 = t2 t 1 + 1.(d2 d 1 ) d 2 d 1 représente la distane de rapprohement parourue par l observateur O dans le référentiel (R A ) pendant la durée t' 2 t' 1 = T O : Don d 2 d 1 = v.(t' 2 t' 1 ) = v.t O. et T O = t 2 t 1 + (1/).(d 2 d 1 ) = T S (v/).t O D'où T O.(1 + (v/)) =T S Lorsque l observateur (O) s approhe de la soure (S) fixe : T O = T S.( 1 ) ou f O = f S.(1 + v ) 1+ v Page 62 Christian BOUVIER

Physique - 7 ème année - Eole Européenne - Si l observateur O s éloigne de la soure à une vitesse de mesure v : A la date t 1, la soure S émet un son de période T S. L observateur O reevra l'onde en M 1, situé à la distane d 1 = SM 1 de la soure, à la date t 1 = t 1 + d 1. Au bout d une période, à la date t 2 = t 1 + T S, la soure S émet un son. L observateur O reevra l'onde en M 2, situé à la distane d 2 = SM 2 de la soure, à la date t 2 = t 2 + d 2. La période du son émis par la soure S est T S = t 2 t 1, la période du son reçu par l observateur O est T O = t 2 t 1 = t 2 + d 2 t1 + d 1 = t2 t 1 + 1.(d2 d 1 ) d 2 d 1 représente la distane d éloignement parourue par l observateur O dans le référentiel (R A ) pendant la durée t' 2 t' 1 = T O : Don d 2 d 1 = + v.(t' 2 t' 1 ) = v.t O. et T O = t 2 t 1 + 1.(d2 d 1 ) = T S + v.to Lorsque l observateur (O) s éloigne de la soure (S) fixe : 2) Soure en mouvement : T O = T S.( 1 ) ou f O = f S.(1 v ) 1 v Dans le référentiel (R A ) lié à l air, la soure S se déplae à une vitesse de mesure onstante v suivant un axe x'x sur lequel se trouve un observateur O : v est appelée vitesse radiale de S par rapport à l'observateur. La propagation des ondes est isotrope et a lieu à la élérité dans le référentiel (R A ). Comme la soure est en mouvement par rapport à (R A ), les différentes surfaes d'onde se propagent de façon isotrope à partir du point où se situe la soure S au moment de l'émission : les surfaes d'ondes sont des sphères dont les entres sont déalés. La soure émet une onde (1) au point S 1 à la date t 1, puis, au bout d une période T S, une onde (2) au point S 2 à la date t 2 = t 1 + T S. - On onsidère un observateur O, plaé en M, "devant" la soure qui arrive vers lui. L'onde (1) qui a parouru la distane S 1 M = d 1 à la élérité, arrive en M à la date t' 1 = t 1 + d 1. L'onde (2) qui a parouru la distane S 2 M = d 2 à la élérité, arrive en M à la date t' 2 = t 2 + d 2. Pour l'observateur en M, les deux signaux arrivent ave une période : T O = t' 2 t' 1 = t 2 + d 2 t1 + d 1 = t2 t 1 + 1.(d2 d 1 ) d 2 d 1 représente la distane de rapprohement de la soure S dans le référentiel (R A ) pendant la durée t 2 t 1 = T S, mesurée entre les dates t 1 et t 2 dans le référentiel (R A ) : Don d 2 d 1 = v.(t 2 t 1 ) = v.t S et T O = t 2 t 1 + 1.(d2 d 1 ) = T S v.ts Eole Européenne de Franfort Page 63

Ondes méaniques progressives périodiques Lorsque l observateur fixe (O) voit la soure (S) se rapproher de lui : T O = T S.(1 v ) ou fo = f S.( 1 ) 1 v - On onsidère un observateur O, plaé en N, "derrière" la soure qui s'éloigne de lui. d 2 d 1 représente la distane d'éloignement de la soure S dans le référentiel (R A ) pendant la durée t 2 t 1 = T S, mesurée entre les dates t 1 et t 2 dans le référentiel (R A ) : Don d 2 d 1 = v.(t 2 t 1 ) = v.t S et T O = t 2 t 1 + 1.(d2 d 1 ) = T S + v.ts Lorsque l observateur fixe (O) voit la soure (S) s'éloigner de lui : V) Réfration et réflexion d'une onde : 1) Définition : T O = T S.(1 + v ) ou fo = f S.( 1 ) 1+ v Dans l'espae à 3 dimensions, la surfae qui sépare deux milieux de propagation dans lesquels la élérité des ondes est différente s'appelle un dioptre. Remarque : Dans l'espae à 2 dimensions, un dioptre est une ligne qui sépare les deux milieux. Dans un espae à 1 dimension, un dioptre est un point partiulier. On onsidère une onde plane qui arrive sur un dioptre lui-même plan. On appelle angle d'inidene i, l'angle que forme, la diretion de propagation de l'onde ave la perpendiulaire au dioptre. Remarque : C'est aussi l'angle dièdre i que forme les surfaes d'onde ave le dioptre. 2) Expériene : On onsidère un dioptre plan qui sépare deux milieux de propagation (1) et (2) homogènes et parfaitement élastiques et dans lesquels les élérités sont respetivement 1 et 2. Diretion de propagation Diretion de propagation de l'onde plane inidente de l'onde plane réfléhie milieu (1), élérité 1 onde inidente longueur d'onde λ 1 angle d'inidene θ 1 onde réfléhie longueur d'onde λ r angle de réflexion r dioptre plan milieu (2), élérité 2 angle de réfration θ 2 longueur d'onde λ 2 onde réfratée Diretion de propagation de l'onde réfratée Page 64 Christian BOUVIER

Physique - 7 ème année - Eole Européenne L'onde plane, se propageant dans le milieu (1), arrive sur le dioptre sous une inidene θ 1 : - une partie de l'onde est réfléhie sur le dioptre sous un angle de réflexion r = θ 1 ('est l'expression de la 2 ème loi de Desartes). - une autre partie de l'onde est transmise mais sa diretion de propagation hange et forme un angle θ 2 ave la normale : 'est le phénomène de réfration. 3) Loi de la réfration : Lorsqu'un point du dioptre est atteint par une surfae d'onde, l'énergie passe d'un milieu à l'autre : Il y a ontinuité des surfaes d'onde lorsqu'on passe d'un milieu (1) à un milieu (2). AB = λ 1 représente la longueur d'onde dans le milieu (1) et CD = λ 2 la longueur d'onde dans le milieu (2). Sur la figure, on voit que géométriquement : AB = λ 1 = CB.sin(θ 1 ) et CD = λ 2 = CB.sin(θ 2 ) sin( θ D'où 1) sin( θ = 2) et ave 1 λ1 λ2 λ = f et 1 1 1 λ = f 2 2 sin(θ1) sin(θ2) = ou sin(θ 2 ) = 2.sin(θ1 ) 1 2 1 C'est l'expression de la 3 ème loi de Desartes dans laquelle : sin(θ 2 ) = n 12.sin(θ 1 ) où 2 / 1 = n 12 est l'indie de réfration relatif. VI) Phénomène de dispersion : 1) Définition : L étude de la propagation d onde périodique à la surfae de l eau, montre que la élérité dépend de la fréquene de l onde. Par exemple pour une fréquene f = 20 Hz on obtient une élérité = 0,178 ms 1 et pour une fréquene f = 40 Hz on obtient une élérité = 0,208 ms 1. Un milieu de propagation est dispersif quand la élérité de propagation d une onde périodique dépend de sa fréquene f. Remarque : C est la fréquene f ou la période T d une onde qui est une aratéristique de l onde (hauteur d un son, ouleur d une radiation életromagnétique). La longueur d onde λ dépend du milieu de propagation. 2) Conséquenes : Une onde sinusoïdale de fréquene f se propage dans un milieu homogène et isotrope sans se déformer. Au ontraire, pour une onde périodique quelonque (onsidérée omme la superposition d ondes sinusoïdales), deux as peuvent se produire : - si le milieu n est pas dispersif, haque omposante sinusoïdale de l onde se propage ave la même élérité et la forme de l onde est onservée pendant la propagation. - si le milieu est dispersif, la élérité dépend de la fréquene, haque omposante sinusoïdale de l onde se propage à des élérités différentes et la forme de l onde qui est la superposition des différentes omposantes est différente de e qu elle était. Exemple : - L'ar en iel est un phénomène lié à la dispersion de la lumière du Soleil dans les gouttes d'eau de pluie. - La dispersion de la lumière visible lors de la traversée d'un prisme de verre donne le phénomène d'irisation. Eole Européenne de Franfort Page 65

Ondes méaniques progressives périodiques VII) Phénomène de diffration : 1) Théorème de Huygens : Huygens, physiien et himiste Hollandais (1629-1695), énone une règle pratique qui permet de omprendre la propagation d'une onde diffratée : Chaun des points d'une surfae d'onde atteints par l'onde se omporte omme une soure seondaire qui émet des ondelettes sphériques dans un milieu isotrope. La position d'une nouvelle surfae d'onde à un instant postérieur est alors l'enveloppe de toutes les ondelettes. Exemple : Constrution d'un front d'onde par appliation du théorème de Huygens : On trae des ars de erles de même rayon (propagation dans un milieu isotrope) entrés sur des points de la surfae d'onde onnue. L'enveloppe des différents ars donne la nouvelle surfae d'onde. onde sphérique onde plane onde quelonque Remarque : Lorsqu'une onde plane arrive sur un "trou" plaé dans un obstale, seule la partie de l'onde plaée fae au trou donne des ondelettes : on retrouve les surfaes de l'onde diffratée. 2) Expériene : Lorsqu on plae un obstale dans la uve à ondes, les ondes planes se déforment au passage de l obstale. Des ondes se propagent derrière l'obstale, dans la partie que l'on pourrait qualifier de "zone d'ombre" : On dispose deux obstales rapprohés formant un "trou" dont on peut faire varier la largeur. On onstate que le phénomène ne se manifeste lairement que lorsque les propriétés du milieu de propagation varient (dimension du trou) sur une éhelle de l ordre de grandeur de la longueur d onde qui se propage. On appelle diffration l ensemble des phénomènes qui aompagne la propagation d une onde, après interation ave un obstale matériel dont la dimension, typique d, est omparable à la longueur d onde λ de l onde. L analyse des phénomènes de diffration permet de reueillir des informations sur des objets dont les dimensions sont de l ordre de grandeur de la longueur d onde de l onde utilisée. Page 66 Christian BOUVIER

VIII) Phénomène d'interférene : 1) Expériene : Physique - 7 ème année - Eole Européenne Lorsque différentes ations agissent simultanément sur un point M d un milieu, son déplaement à un instant est la somme vetorielle des déplaements orrespondant à haque ation agissant séparément à et instant. On onsidère deux ondes progressives périodiques générées par deux soures synhrones à la surfae de l'eau plaée dans une uve à onde. Deux soures sont synhrones lorsqu'elles génèrent des ondes de même fréquene. Lorsque les deux soures synhrones fontionnent, on observe une image très mobile à la surfae de l'eau. A l'aide d'un strobosope, on immobiliser le phénomène. Deux soures synhrones sont en phase si elles atteignent leur élongation maximum au même instant. Les deux soures sont en opposition de phase si l'une atteint son élongation maximum à l'instant où l'autre atteint son élongation minimum. Remarque : Attention, il ne faut pas onfondre élongation u S (t) et l'amplitude A S. Pour des osillations sinusoïdales u Smax = + A S et u Smin = -- A S. 2) Interprétation intuitive du phénomène : Nous supposerons que les soures S 1 et S 2 sont synhrones de fréquene N et en phase. Les ondes se propagent d'une façon isotrope ave une élérité à la surfae de l'eau et elles ont une longueur d'onde λ = /N. Considérons un point M situé à une distane d 1 de la soure S 1 et à une distane d 2 de la soure S 2. On appelle "différene de marhe δ en un point" la valeur absolue de la différene des distanes aux deux soures : δ = d 1 d 2 Si, au point M 1, la différene de marhe δ est égale à un nombre entier k de longueurs d'onde λ, les ondes arrivant de haune des soures sont en phase : M 1 vibre ave une amplitude maximum : A M = A S1 + A S2 L'ensemble des points M tels que : δ = d 1 d 2 = k.λ - ont une amplitude maximum - sont situés sur un faiseau d'hyperboles : (------------) Si, au point M 2, la différene de marhe δ est égale à un nombre entier impair (2.k + 1) de demi-longueurs d'onde λ/2, les ondes arrivant de haune des soures sont en opposition de phase : M 2 vibre ave une amplitude minimum (ou nulle) : A M = A S1 -- A S2 L'ensemble des points M tels que : δ = d 1 d 2 = (2.k + 1).λ/2 - ont une amplitude minimum (ou nulle) - sont situés sur un faiseau d'hyperboles : (--------) Eole Européenne de Franfort Page 67

Ondes méaniques progressives périodiques L'ensemble des points M tels que : d 1 + d 2 = te - sont en phase (dans le même état de vibration à haque instant) - sont situés sur un faiseau d'ellipses (d 1 + d 2 = te ) de foyers S 1 et S 2 : (------------) 3) Etude mathématique dans un as simplifié : a) Hypothèses : On rappelle des relations utiles : sin(a) + sin(b) = 2.sin[(a + b)/2].os[(a -- b)/2] [1] Les deux soures synhrones de fréquene f (pulsation ω = 2.π.f) sont en phase et génèrent des ondes progressives sinusoïdales de même amplitudes A 1 = A 2 = A. On a don : u S1 (t) = A.sin(ω.t) = u S2 (t) Nous admettrons, pour simplifier, que l'amplitude des ondes arrivant en un point M quelonque n'est pas atténuée (même par dispersion!). L'élongation des osillations d'un point M quelonque, situé à une distane d 1 de la soure S 1 et à une distane d 2 de la soure S 2, à un instant de date t, est la somme des élongations des ondes arrivant en e point : u M (t) = A.sin[ω.(t d 1 )] + A.sin[ω.(t d 2 )] D'après l'équation [1], on peut érire : u M (t) = A.sin[ω.(t -- d 1 )] + A.sin[ω.(t -- d 2 )] = 2.A.os[ ω.(d2 d 1 )].sin[ω.t -- 2. ω.(d2 + d 1 )] 2. On voit qu'en un point M quelonque, l'élongation u M (t) est une fontion sinusoïdale du temps : u M (t) = A M.sin(Ω.t +φ) - l'amplitude est A M = 2.A.os[ ω.(d2 d 1 )] où 0 < A M < 2.A - la fréquene des osillations est la même que elle des ondes émises : Ω = ω ou N = f - la phase est φ = ω.(d2 + d 1 ) 2. b) Amplitude maximum, amplitude minimum et points en phase : - L'amplitude est maximum en tout point M 1 tel que A M1 = 2.A.os[ ω.(d2 d 1 )] = 2.A 2. Don en tout point tel que : os[ ω.(d2 d 1 )] = ± 1 ou ω. d2 d 1 = k.π 2. 2. Ave ω = 2.π./λ, on obtient : d 2 d 1 = k.λ Les points M 1 sont sur un "faiseau" d'hyperboles de foyers S 1 et S 2 (ensemble des points dont la différene des distanes à deux points fixes est onstante). k est un entier appelé "ordre d'interférene". Remarque : Les points M 1 d'ordre k = 0 sont situés sur la médiatrie des points S 1 et S 2. - L'amplitude est minimum en tout point M 2 tel que A M2 = 2.A.os[ ω.(d2 d 1 )] = 0 2. Don en tout point tel que : os[ ω.(d2 d 1 )] = 0 ou ω. d2 d 1 = (2.k + 1). π 2. 2. 2 Ave ω = 2.π./λ, on obtient : d 2 d 1 = (2.k + 1). λ 2 Les points M 2 sont sur un "faiseau" d'hyperboles de foyers S 1 et S 2 (interalées). - L'ensemble des points qui ont le même déphasage sont tels que : φ = ω.(d2 + d 1 ) = te 2. Ces points sont tels que la somme des distanes à deux points fixes est onstante. Les points en phase sont situés sur les ellipses de foyers S 1 et S 2. Page 68 Christian BOUVIER

) Conlusion : Physique - 7 ème année - Eole Européenne Les points de la surfae de l'eau vibrent (se soulèvent et s'abaissent) ave des amplitudes qui varient d'un point à l'autre : 'est le phénomène d'interférene. IX) Ondes stationnaires dans un milieu à une dimension : 1) Définition : Lorsqu'une onde progressive périodique est générée dans un milieu fini, elle se propage jusqu'à e qu'elle renontre un dioptre où une ertaine fration de l'énergie de l'onde se réfléhit. Le milieu s'emplit des ondes qui se propagent dans un sens et dans l'autre. Dans le as d'une onde plane progressive sinusoïdale, l'onde "aller" et l'onde "retour" se superposent et interfèrent pour ne former qu'une seule onde, appelée onde stationnaire. L'onde stationnaire est formée d'une suession de fuseaux. Lorsque deux trains d'onde, de même longueur d'onde et de même intensité mais se propageant en diretions opposées se renontrent, il résulte une distribution de noeuds, où la résultante est nulle et, à mi-hemin entre eux, des ventres où la résultante est maximum. L'ensemble des points situés entre deux nœuds osille en phase, haun ave sa propre amplitude : Il n'y a auun transfert d'énergie d'un fuseau à un autre. 2) Etude mathématique simplifiée : a) Présentation : On onsidère une onde progressive sinusoïdale de fréquene f, d'amplitude A qui se propage à la élérité dans un milieu à une dimension parfaitement élastique. Une soure pontuelle S située à l'origine des absisses, génère l'onde de la forme : u S (t) = A.sin(2.π.f.t) Le milieu est limité à une extrémité P, située à une distane SP = L de la soure S. En tout point, l'onde (transversale ou longitudinale) est aratérisée par son élongation u. La position d'un point M du milieu est repérée par son absisse x sur l'axe de propagation. - En un point d'absisse x, l'onde "aller" peut s'érire : u a (x,t) = A.sin[2.π.f.(t x )] - En e même point, l'onde "retour" est de la forme : u r (x,t) = r.a.sin[2.π.f.(t + 2.L x )] Après un aller-retour, l'onde a parouru une distane L + L x, mais se propage dans le sens négatif de l'axe ; r est le oeffiient de réflexion en amplitude. - En tout point les deux ondes se superposent, on a : u(x,t) = A.sin[2.π.f.(t x )] + r.a.sin[2.π.f.(t -- 2.L x )] b) Réflexion totale : Nous n'envisagerons que le as où le oeffiient de réflexion r est réel (déphasage nul). On rappelle que : sin(a) + sin(b) = 2.sin( a + b ).os( a b ) [1] 2 2 sin(a) -- sin(b) = 2.os( a + b ).sin( a b ) [2] 2 2 Dans la suite, pour simplifier, nous poserons : ω = 2.π.f Lorsque le oeffiient de réflexion est tel que r = 1, la réflexion est totale et auune énergie n'est transmise après l'extrémité. Eole Européenne de Franfort Page 69

Ondes méaniques progressives périodiques - r = 1 : réflexion totale et extrémité "libre". u(x,t) = A.sin[ω.(t x )] + A.sin[ω.(t -- 2.L x )] = 2.A.os[ ω.(l x)].sin[ω.(t -- L )] En un point M quelonque de l'axe de propagation, l'élongation u M (t) est une fontion sinusoïdale du temps : u M (t) = A M.sin(Ω.t -- φ) * l'amplitude est A M = 2.A.os[ ω.(l x)] ave 0 < AM < 2.A * la fréquene des osillations est la même que elle de l'onde : Ω = ω ou N = f * la phase φ = -- ω.l est indépendante de la position du point M. u M (t) est le produit d'une fontion 2.A.os[ω/.(L x)] qui dépend de la position du point M mais qui est indépendante du temps et d'une fontion sin[ω.(t L/)] qui dépend du temps mais qui ne dépend pas de la position du point M : ondes stationnaires. * On appelle "ventre" de l'onde stationnaire, tout point M 1 dont l'amplitude est maximum : A M1 = 2.A.os[ ω.(l x)] = 2.A Don tout point de l'axe (x < L) tel que : os[ ω.(l x)] = ± 1 ou ω.(l x) = k.π Ave ω = 2.π./λ, on obtient : L x = k. 2 λ L'extrémité P (x = L) est un "ventre" Considérons deux ventres suessifs, d'absisse x, assoié à l'entier k (L x = k.λ/2), et x', assoié à l'entier k + 1 (L x' = (k + 1).λ/2) : x x' = λ/2 : deux ventres suessifs sont distants d'une demi-longueur d'onde. * On appelle "nœud" de l'onde stationnaire, tout point M 2 dont l'amplitude est nulle : A M2 = 2.A.os[ ω.(l x)] = 0 Don tout point de l'axe (x < L) tel que : os[ ω.(l x)] = 0 ou ω.(l x) = (2.k + 1). 2 π Ave ω = 2.π./λ, on obtient : L x = (2.k + 1). 4 λ Considérons deux nœuds suessifs, d'absisse x, assoié à l'entier impair 2.k + 1 (don L x = (2.k + 1).λ/4), et x', assoié à l'entier impair 2.k + 3 (L x' = (2.k + 3).λ/4) : x x' = λ/2 : deux nœuds suessifs sont distants d'une demi-longueur d'onde. ventre nœud λ/2 λ/2 - r = -- 1 : réflexion totale et extrémité "fixe". u (x,t) = A.sin[ω.(t x )] -- A.sin[ω.(t -- 2.L x )] = 2.A.sin[ ω.(l x)].os[ω.(t -- L )] On peut érire : u(x,t) = 2.A.os[ ω.(l x) + π ].sin[ω.(t -- L ) + π ] 2 2 En un point M quelonque de l'axe de propagation, l'élongation u M (t) est une fontion sinusoïdale du temps : u M (t) = A M.sin(Ω.t -- φ) * l'amplitude est A M = 2.A.os[ ω.(l x) + π ] ave 0 < AM < 2.A 2 Page 70 Christian BOUVIER

Physique - 7 ème année - Eole Européenne * la fréquene des osillations est la même que elle de l'onde : Ω = ω ou N = f * la phase φ = -- ω.l + π est indépendante de la position du point M. 2 On est en présene d'un phénomène d'ondes stationnaires. * On appelle "ventre" de l'onde stationnaire, tout point M 1 dont l'amplitude est maximum : A M1 = 2.A.os[ ω.(l x)] + 2 π ] = 2.A Don tout point (x < L) tel que : os[ ω.(l x)] + 2 π ] = ± 1 ou ω.(l x) + 2 π = k.π Ave ω = 2.π./λ, on obtient : L x = (2.k + 1). 4 λ Considérons deux ventres suessifs, d'absisse x, assoié à l'entier impair 2.k + 1 (don L x = (2.k + 1).λ/4), et x', assoié à l'entier impair 2.k + 3 (L x' = (2.k + 3).λ/4) : x x' = λ/2 : deux ventres suessifs sont distants d'une demi-longueur d'onde. * On appelle "nœud" de l'onde stationnaire, tout point M 2 dont l'amplitude est nulle : A M2 = 2.A.os[ ω.(l x) + 2 π ] = 0 Don tout point (x < L) tel que : os[ ω.(l x) + 2 π ] = 0 ou ω.(l x) + 2 π = (2.k + 1). 2 π Ave ω = 2.π./λ, on obtient : L x = k. 2 λ Considérons deux nœuds suessifs, d'absisse x, assoié à l'entier k (L x = k.λ/2), et x', assoié à l'entier k + 1 (L x' = (k + 1).λ/2) : x x' = λ/2 : deux nœuds suessifs sont distants d'une demi-longueur d'onde. L'extrémité P (x = L) est un "nœud" ventre nœud λ/2 λ/2 ) Réflexion partielle : Lorsque le oeffiient de réflexion est tel que r < 1, la réflexion est partielle et une partie de l'énergie est transmise ou absorbée après l'extrémité. On observe des ondes quasi-stationnaires, l'onde retour ayant une amplitude A r = r.a plus petite que elle de l'onde aller : - les ventres ont une amplitude A M1 = (1 + r ).A < 2.A - les nœuds ont une amplitude A M2 = (1 -- r ).A 0 (non nulle) ventre nœud ou ventre λ/2 λ/2 nœud λ/2 λ/2 Eole Européenne de Franfort Page 71

Ondes méaniques progressives périodiques Comme A M2 0, on défini le taux d'ondes stationnaires : T.O.S. = A 1+ r M1 = AM2 1 r X) Ondes stationnaires résonnantes : 1) Considérations générales : Dans un milieu limité à une seule extrémité, n'importe quelle onde (quelle que soit sa fréquene f, ou sa période T) donne lieu à un système d'ondes stationnaires. On étudie un milieu à une dimension de longueur L, limité aux deux extrémités, S d'absisse x S = 0 et P, d'absisse x P = L. On onsidère une onde sinusoïdale (monohromatique), de fréquene f (de période T), générée dans e milieu. L'onde générée dans le milieu limité aux deux extrémités va se réfléhir un très grand nombre de fois à haune des extrémités. Un grand nombre d'ondes de même fréquene se propagent don dans les deux sens et leurs effets se superposent : haque point du milieu subit la somme des effets de es ondes : la plupart des fréquenes f donnent un effet moyen nul : les différents points du milieu restent immobiles. Pour ertaines fréquenes f (ou périodes T) il apparaît un phénomène de résonane : Dans un milieu limité aux deux extrémités, seules ertaines fréquenes f k (périodes T k ) peuvent donner lieu à un système d'ondes stationnaires résonantes. On appelle mode de résonane d'ordre k, une onde stationnaire résonante sinusoïdale de fréquene f k (ou de période T k ). Dans un milieu, l'onde stationnaire résonante de plus basse fréquene est le fondamental. 2) Etude mathématique simplifiée : On a vu que dans le as partiulier d'une réflexion totale sur une extrémité P : - "fixe", l'onde stationnaire pouvait s'érire u(x,t) = 2.A.os[ ω.(l x) + π ].sin[ω.(t -- L ) + π ] 2 2 - "libre", l'onde stationnaire pouvait s'érire u(x,t) = 2.A.os[ ω.(l x)].sin[ω.(t -- L )] L'amplitude des osillations 2.A.os[ ω.(l x) + 2 π ] ou 2.A.os[ ω.(l x)] de haque point dépend de son absisse x : 'est la aratéristique du phénomène d'ondes stationnaires. L'existene d'une deuxième extrémité du milieu impose des ontraintes supplémentaires, appelées onditions aux limites. On peut envisager quatre as : a) Extrémités S et P "fixes" : Si l'extrémités P est fixe, elle orrespond à un nœud : u(x P,t) = 0, e qui est vérifié si u(x,t) est de la forme u(x,t) = 2.A.os[ ω.(l x) + π ], en effet u(l,t) = 2.A.os( π ) = 0. 2 2 On sait que ette ontrainte impose le phénomène d'ondes stationnaires. Si l'extrémité S est également fixe, elle orrespond à un nœud : u(x S,t) = 0, or x S = 0 D'où u(0,t) = 2.A.os[ ω.(l 0) + π ] = 2.A.os[ ω.l + π ] = 0 2 2 Soit Soit ω.l + π = π + k.π ou ω.l = 2. π.l = k.π où k est un entier et.t = λ 2 2. T L = k. λ 2 Page 72 Christian BOUVIER

Physique - 7 ème année - Eole Européenne Les seules ondes stationnaires résonantes dans un milieu de longueur L, dont les deux extrémités sont fixes sont elles dont la longueur d'onde λ est telle que : L = k.λ/2. k = 1 (mode fondamental) k = 2 k = 3 b) Extrémités S et P "libres" : Si l'extrémité P est libre, elle orrespond à un ventre u(x P,t) = 2.A, e qui est vérifié si u(x,t) est de la forme u(x,t) = 2.A.os[ ω.(l x)], en effet u(l,t) = 2.A.os(0) = 2.A. Cette ontrainte impose le phénomène d'ondes stationnaires. Si l'extrémité S est également libre, elle orrespond à un ventre : u(x S,t) = 2.A, or x S = 0 D'où u(0,t) = 2.A.os[ ω.(l 0)] = 2.A.os[ ω.l] = 2.A don os[ ω.(l 0)] = 1 Soit Soit ω.l = 2. π.l = k.π où k est un entier et.t = λ. T L = k. λ 2 Les seules ondes stationnaires résonantes dans un milieu de longueur L, dont les deux extrémités sont libres sont elles dont la longueur d'onde λ est telle que : L = k.λ/2. k = 1 k = 2 k = 3 ) Extrémité S "fixe" et P "libres" (ou inversement) : Si l'extrémité P est libre, elle orrespond à un ventre u(x P,t) = 2.A, e qui est vérifié si u(x,t) est de la forme u(x,t) = 2.A.os[ ω.(l x)], en effet u(l,t) = 2.A.os(0) = 2.A. Si l'extrémité S est fixe, elle orrespond à un nœud : u(x S,t) = 0, or x S = 0 D'où u(0,t) = 2.A.os[ ω.(l 0)] = 2.A.os[ ω.l] = 0 Soit Soit ω.l = π + k.π ou ω.l = 2 2. π.l = π + k.π où k est un entier et.t = λ. T 2 L = (2.k + 1). λ 4 Eole Européenne de Franfort Page 73

Ondes méaniques progressives périodiques Les seules ondes stationnaires résonantes dans un milieu de longueur L, dont l'une des extrémités est fixe et l'autre "libre", sont elles dont la longueur d'onde λ est telle que : L = (2.k + 1).λ/4. k = 0 (L = λ/4 k = 1 (L = 3.λ/4 k = 2 (L = 5.λ/4 3) Appliations : Le phénomène d'ondes stationnaires résonnantes est fréquent : dans haque type d'instrument de musique, dans une avité laser dans la bouhe lorsque nous parlons, dans les avités de l'oreille quand nous éoutons. Tous les instruments de musiques à ordes ont des ordes fixées aux deux extrémités. Les deux extrémités de la orde sont don des nœuds. Lorsqu'une orde est mise en vibration, en général, plusieurs modes résonnent. Le mode fondamental donne la note de musique. Pour amplifier ertains harmoniques on utilise une "aisse de résonane : le lavein et la guitare donnent des sons pratiquement identiques, mais la forme de la guitare et surtout, le fait que la rosae (le trou) de la aisse se situe au 1/7 ème de la longueur des ordes, élimine le 7 ème harmonique dans les sons de la guitare. On montre que 'est e 7 ème harmonique présent dans les sons du lavein qui rendent es sont "aigrelets"! Les instruments de musiques à vent sont formés de "tubes" qui peuvent être ouvert ou fermé à l'une ou aux deux extrémités. La flûte de Pan ou l'orgue sont onstitués de plusieurs tuyaux de différentes longueurs. Dans la flûte de Pan l'embouhure est ouverte alors que le fond est fermé. Le trombone à oulisse est formé d'un tube replié sur lui-même et dont l'instrumentiste peut faire varier la longueur. L'embouhure est une anhe et le fond est ouvert. Page 74 Christian BOUVIER

I) Phénomènes périodiques : 1) Définition : Physique - 7 ème année - Eole Européenne A RETENIR Un phénomène périodique est un phénomène qui se reproduit identique à lui-même à intervalles de temps réguliers. La période T (en s) du phénomène est la plus ourte durée au bout de laquelle le phénomène se reproduit à l'identique. La fréquene f (en Hz) du phénomène est le nombre de fois qu'il se reproduit à l'identique par seonde. On a la relation : f = T 1 ou T = f 1 3) Déomposition en séries sinusoïdales : a) Série de Fourier : On démontre en mathématique, et on vérifie par l'expériene, qu'un phénomène périodique peut être onsidéré omme la superposition d osillations sinusoïdales. b) Spetre : Le spetre d'un phénomène périodique est la donnée graphique des amplitudes A n en fontion des différentes fréquenes f n représentées dans la déomposition du phénomène en série de Fourier. II) Ondes progressives périodiques : 1) Définition : On appelle onde méanique progressive périodique, le phénomène qui aompagne la propagation d une perturbation se répétant indéfiniment, dans un milieu matériel linéaire. 2) Double périodiité : a) Périodiité temporelle : Chaque point d un milieu dans lequel se propage une onde progressive périodique a un mouvement périodique de même période T que la soure. La période T (en s) d un mouvement périodique est la durée minimale qui sépare la répétition du phénomène dans les mêmes ironstanes. La fréquene f = 1/T (en Hz) est l inverse de la période. b) Périodiité spatiale : La distane qui sépare deux points suessifs qui se trouvent dans le même état d'élongation, à un instant donné, est appelée période spatiale ou longueur d'onde λ. III) Ondes progressives sinusoïdales : 1) Définition : L onde est générée en un point soure S par une perturbation périodique sinusoïdale de période T (en s), de fréquene f (en Hz) ou de pulsation ω = 2.π.f = 2.π/T (en rad.s 1 ). de la forme : u S (t) = A.sin(ω.t) = A.sin(2.π.f.t) = A.sin( 2 π.t) Ṫ Eole Européenne de Franfort Page 75

Ondes méaniques progressives périodiques Un point M d absisse x reproduit le mouvement de S ave un retard τ = x/. Lorsqu une onde progressive sinusoïdale se propage dans un milieu linéaire, élastique, illimité, à 1 dimension, à partir d un point soure S, dans le sens positif d un axe Sx, tout point M, d absisse x a un mouvement sinusoïdal de la forme : u M (t) = A.sin[ω.(t -- x )] = A.sin[2.π.f.(t -- x )] = A.sin[ 2. π.(t -- x )] T Une onde lumineuse sinusoïdale est une onde monohromatique : d'une seule ouleur. 2) Périodiité spatiale ou longueur d onde : La longueur d onde λ est égale à la distane dont le phénomène a progressé pendant une λ période : = = λ.f ou λ =.T = T f 3) Longueur d onde et mouvement des points du milieu : Deux points, M 1 et M 2 d un milieu à 1 dimension, vibrent en phase si leur distane d est égale à un nombre entier de longueurs d onde λ : d(m 1, M 2 ) = k.λ. Deux points, M 1 et M 2 d un milieu à 1 dimension, vibrent en opposition de phase si leur distane d est égale à un nombre entier impair de demi-longueurs d onde λ : d(m 1, M 2 ) = (2.k + 1). 2 λ 4) Milieu à 2 ou 3 dimensions : L ensemble des points d égale perturbation à un instant donné est appelé surfae d onde. Dans un milieu à 2 dimensions les "surfaes d'onde" sont des "lignes d'onde" et dans un milieu à une dimension e sont des "points d'onde". Des ondes progressives périodiques dont les surfaes d'onde sont des sphères sont appelées ondes sphériques (ou ondes irulaires dans un milieu à 2 dimensions). Des ondes progressives périodiques dont les surfaes d'onde sont des plans, sont appelées ondes planes (ou ondes retilignes dans un milieu à 2 dimensions). A une très grande distane D d'une soure pontuelle S, une onde sphérique de longueur d'onde λ peut être assimilée à une onde plane si D >> λ. IV) Effet Doppler (non relativiste) : Lorsque l observateur (O) s approhe de la soure (S) fixe : T O = T S.( 1 ) ou f O = f S.(1 + v ) 1+ (v / ) Lorsque l observateur (O) s éloigne de la soure (S) fixe : T O = T S.( 1 ) ou f O = f S.(1 v ) 1 (v / ) Lorsque l observateur fixe (O) voit la soure (S) se rapproher de lui : T O = T S.(1 v ) ou fo = f S.( 1 ) 1 (v / ) Lorsque l observateur fixe (O) voit la soure (S) s'éloigner de lui : T O = T S.(1 + v ) ou fo = f S.( 1 ) 1+ (v / ) Page 76 Christian BOUVIER

Physique - 7 ème année - Eole Européenne V) Réfration et réflexion d'une onde : Dans l'espae à 3 dimensions, la surfae qui sépare deux milieux de propagation dans lesquels la élérité des ondes est différente s'appelle un dioptre. On appelle angle d'inidene i, l'angle que forme, la diretion de propagation de l'onde ave la perpendiulaire au dioptre. 3 ème loi de Desartes dans laquelle : sin(θ 2 ) = n 12.sin(θ 1 ) où 2 / 1 = n 12 est l'indie de réfration. VI) Phénomène de dispersion : Un milieu de propagation est dispersif quand la élérité de propagation d une onde périodique dépend de sa fréquene f. VII) Phénomène de diffration : Chaun des points d'une surfae d'onde atteints par l'onde se omporte omme une soure seondaire qui émet des ondelettes sphériques dans un milieu isotrope. La position d'une nouvelle surfae d'onde à un instant postérieur est alors l'enveloppe de toutes les ondelettes. On appelle diffration l ensemble des phénomènes qui aompagne la propagation d une onde, après interation ave un obstale matériel dont la dimension, typique d, est omparable à la longueur d onde λ de l onde. VIII) Phénomène d'interférene : Lorsque différentes ations agissent simultanément sur un point M d un milieu, son déplaement à un instant est la somme vetorielle des déplaements orrespondant à haque ation agissant séparément à et instant. Deux soures sont synhrones lorsqu'elles génèrent des ondes de même fréquene. Deux soures synhrones sont en phase si elles atteignent leur élongation maximum au même instant. Les deux soures sont en opposition de phase si l'une atteint son élongation maximum à l'instant où l'autre atteint son élongation minimum. On appelle "différene de marhe δ en un point" la valeur absolue de la différene des distanes aux deux soures : δ = d 1 d 2 L'ensemble des points M tels que : δ = d 1 d 2 = k.λ - ont une amplitude maximum - sont situés sur un faiseau d'hyperboles ( d 1 d 2 = te ) de foyers S 1 et S 2. L'ensemble des points M tels que : δ = d 1 d 2 = (2.k + 1).λ/2 - ont une amplitude minimum (ou nulle) - sont situés sur un faiseau d'hyperboles ( d 1 d 2 = te ) de foyers S 1 et S 2. L'ensemble des points M tels que : d 1 + d 2 = te - sont en phase (dans le même état de vibration à haque instant) - sont situés sur un faiseau d'ellipses (d 1 + d 2 = te ) de foyers S 1 et S 2. Les points de la surfae de l'eau vibrent (se soulèvent et s'abaissent) ave des amplitudes qui varient d'un point à l'autre : 'est le phénomène d'interférene. IX) Ondes stationnaires dans un milieu à une dimension : 1) Définition : Dans le as d'une onde plane progressive sinusoïdale, l'onde "aller" et l'onde "retour" se superposent et interfèrent pour ne former qu'une seule onde, appelée onde stationnaire. L'onde stationnaire est formée d'une suession de fuseaux. Eole Européenne de Franfort Page 77

Ondes méaniques progressives périodiques 2) Etude mathématique simplifiée : Lorsque le oeffiient de réflexion est tel que r = 1, la réflexion est totale et auune énergie n'est transmise après l'extrémité. u M (t) est le produit d'une fontion 2.A.os[ω/.(L x)] qui dépend de la position du point M mais qui est indépendante du temps et d'une fontion sin[ω.(t L/)] qui dépend du temps mais qui ne dépend pas de la position du point M : ondes stationnaires. * On appelle "ventre" de l'onde stationnaire, tout point M 1 dont l'amplitude est maximum : L'extrémité P (x = L) est un "ventre" x x' = λ/2 : deux ventres suessifs sont distants d'une demi-longueur d'onde. * On appelle "nœud" de l'onde stationnaire, tout point M 2 dont l'amplitude est nulle : x x' = λ/2 : deux nœuds suessifs sont distants d'une demi-longueur d'onde. On est en présene d'un phénomène d'ondes stationnaires. * On appelle "ventre" de l'onde stationnaire, tout point M 1 dont l'amplitude est maximum : x x' = λ/2 : deux ventres suessifs sont distants d'une demi-longueur d'onde. * On appelle "nœud" de l'onde stationnaire, tout point M 2 dont l'amplitude est nulle : x x' = λ/2 : deux nœuds suessifs sont distants d'une demi-longueur d'onde. L'extrémité P (x = L) est un "nœud" Lorsque le oeffiient de réflexion est tel que r < 1, la réflexion est partielle et une partie de l'énergie est transmise ou absorbée après l'extrémité. On observe des ondes quasi-stationnaires, l'onde retour ayant une amplitude A r = r.a plus petite que elle de l'onde aller : - les ventres ont une amplitude A M1 = (1 + r ).A < 2.A - les nœuds ont une amplitude A M2 = (1 -- r ).A 0 (non nulle) Comme A M2 0, on défini le taux d'ondes stationnaires : T.O.S. = A 1+ r M1 = AM2 1 r X) Ondes stationnaires résonnantes : Dans un milieu limité à une seule extrémité, n'importe quelle onde (quelle que soit sa fréquene f, ou sa période T) donne lieu à un système d'ondes stationnaires. Dans un milieu limité aux deux extrémités, seules ertaines fréquenes f k (périodes T k ) peuvent donner lieu à un système d'ondes stationnaires résonantes. On appelle mode de résonane d'ordre k, une onde stationnaire résonante sinusoïdale de fréquene f k (ou de période T k ). Dans un milieu, l'onde stationnaire résonante de plus basse fréquene est le fondamental. L'existene d'une deuxième extrémité du milieu impose des ontraintes supplémentaires, appelées onditions aux limites. On peut envisager trois as : Les seules ondes stationnaires résonantes dans un milieu de longueur L, dont les deux extrémités sont fixes sont elles dont la longueur d'onde λ est telle que : L = k.λ/2. Les seules ondes stationnaires résonantes dans un milieu de longueur L, dont les deux extrémités sont libres sont elles dont la longueur d'onde λ est telle que : L = k.λ/2. Les seules ondes stationnaires résonantes dans un milieu de longueur L, dont l'une des extrémités est fixe et l'autre libre, sont elles dont la longueur d'onde λ est telle que : L = (2.k + 1).λ/4. Page 78 Christian BOUVIER

Physique - 7 ème année - Eole Européenne POUR S'ENTRAINER I) Ondes, strobosope. Un vibreur, onstitué d'un pointeau, est disposé au milieu d'une uve à ondes. Il effetue des osillations vertiales périodiques sinusoïdales qui engendrent, à la surfae de l'eau, des ondes "irulaires", dont la longueur d'onde est λ = 1,0 m. a) La plus grande fréquene, des élairs d'un strobosope, pour laquelle la surfae de l'eau paraît immobile est N é = 15 Hz. i. Quelle est la fréquene N v du vibreur? ii. Caluler la élérité des ondes à la surfae de l'eau. b) Dérire brièvement quel serait l'aspet de la surfae de l'eau en élairage strobosopique de fréquene N é ' = 30 Hz. Quelle est la longueur d onde apparente λ ap? ) Dérire brièvement quel serait l'aspet de la surfae de l'eau en élairage strobosopique de fréquene N é " = 16 Hz. Préiser le sens et la élérité ap de la propagation apparente. II) Corde vibrante. Dans ette expériene, une orde noire est tendue horizontalement devant un éran blan. La orde AC, de longueur l 0 = 1,8 m, a une masse totale de m = 1,5 g. Son extrémité A est fixée à un vibreur de fréquene variable qui lui ommunique un mouvement retiligne sinusoïdal de diretion vertiale. La orde passe sur la gorge d'une poulie et on arohe à son extrémité C un solide de masse M = 192 g. La partie AB de la orde située entre le vibreur et la poulie a une longueur l = 1,20 m, elle est horizontale (les deux extrémités sont onsidérées omme fixes). La élérité des ondes transversales le long de la orde est donnée par = F / µ ou F (en N) est l intensité de la tension exerée sur la orde et µ (en kg.m 1 ) sa masse linéique. On prendra g = 10 m.s 2. a) Caluler la élérité de propagation des ondes le long de la orde. b) i. Pour quelles fréquenes du vibreur pourra-t-on observer des ondes stationnaires stables et de grande amplitude (ondes stationnaires résonnantes)? ii. Parmi es fréquenes du vibreur, on hoisit la plus petite f 0. Représenter shématiquement e qu'on observe sur le fond blan de l'éran lorsque l'expériene est élairée en permanene. iii. Un strobosope envoi des flashes à une fréquene N. Quelle doit être la valeur minimum N 1 de N pour obtenir l'immobilisation apparente de la orde? iv. Qu'observe-t-on si la fréquene du strobosope est fixée à N 2 = 2.N 1? ) i. La orde étant élairée en permanene, la fréquene du vibreur étant f' = 40 Hz, qu'observe-t-on si on remplae la masse M par une masse M' = 48 g? ii. La orde étant élairée en permanene, la masse étant M' = 48 g, qu'observe-t-on si la fréquene devient f" = 35 Hz? Eole Européenne de Franfort Page 79