Chapitre IV- Induction électromagnétique

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1 37 Chapitre IV- Indution életromagnétique IV.- Les lois de l indution IV..- L approhe de Faraday Jusqu à maintenant, nous nous sommes intéressés essentiellement à la réation d un hamp magnétique à partir d un ourant permanent. Cei fut motivé par l expériene de Oersted. A la même époque, le physiien anglais Faraday était préoupé par la question inverse : puisque es deux phénomènes sont liés, omment produire un ourant à partir d un hamp magnétique? Il fit un ertain nombre d expérienes qui éhouèrent ar il essayait de produire un ourant permanent. En fait, il s aperçut bien de ertains effets troublants, mais ils étaient toujours transitoires. Exemple d expériene : on enroule sur un même ylindre deux fils életriques. L un est relié à une pile et possède un interrupteur, l autre est seulement relié à un galvanomètre, permettant ainsi de mesurer tout ourant qui serait engendré dans e seond. En effet, Faraday savait que lorsqu un ourant permanent irule dans le premier, un hamp magnétique serait engendré et il s attendait don à voir apparaître un ourant dans le deuxième. En fait rien de tel n était observé : lorsque l interrupteur était fermé ou ouvert, rien ne se passait. Par ontre, lors de son ouverture ou de sa fermeture, une déviation fugae de l aiguille du galvanomètre pouvait être observée (ela n a pas été perçu immédiatement). Une telle déviation pouvait également s observer lorsque, un ourant irulant dans le premier, on déplaçait le deuxième. Autre expériene : prenons un aimant permanent et plaçons le à proximité d une boule onstituée d un fil onduteur relié à un galvanomètre. Lorsque l aimant est immobile, il n y a pas de ourant mesurable dans le fil. Par ontre, lorsqu on déplae l aimant, on voit apparaître un ourant dont le signe varie selon qu on approhe ou qu on éloigne l aimant. De plus, e ourant est d autant plus important que le déplaement est rapide. Ces deux types d expérienes ont amené Faraday à érire ei : «Quand le flux du hamp magnétique à travers un fermé hange, il apparaît un ourant életrique.» Dans les deux expérienes, si on hange la résistane R du, alors le ourant I apparaissant est également modifié, de telle sorte que e=ri reste onstant. Tous les faits expérimentaux mis en évidene par Faraday peuvent alors se résumer ainsi : Loi de Faraday : la variation temporelle du flux magnétique à travers un fermé y engendre une fém induite d e = Φ (expression ) L indution életromagnétique est don un phénomène qui dépend intrinsèquement du temps et, au sens strit, sort du adre de la magnétostatique (étude des phénomènes magnétiques

2 38 stationnaires). Nous allons toutefois l étudier, l indution étant l équivalent magnétique de l influene életrostatique. IV..- La loi de Faraday Posons-nous la question de Faraday. Comment rée-t-on un ourant? Un ourant est un déplaement de harges dans un matériau onduteur. Ces harges sont mises en mouvement grâe une différene de potentiel (ddp) qui est maintenue par une fore életromotrie ou fém (elle s exprime don en Volts). Une pile, en onvertissant son énergie himique pendant un instant, fournit don une puissane P (travail W par unité de temps) modifiant l énergie inétique des dq porteurs de harge et produisant ainsi un ourant I. Soit P q la puissane néessaire pour ommuniquer une vitesse v à une partiule de harge q. Sahant que dans un onduteur il y a n porteurs de harge par unité de volume, la puissane totale P que doit fournir le générateur (par ex une pile) est P = np dv = dl np ds= dl nf v ds nqv ds F = dl = q F dl = I = Ie q On pose don que la fém d un est V q ( ) setion q F dl q setion se tion P F e = = I q dl se tion ( j ds) où F est la fore qui s exere sur les harges mobiles q. Or, la fore de Coulomb est inapable de produire une fém, puisque la irulation du hamp életrostatique (don le travail) est nulle sur un fermé, e= Es dl = V( A) V( A) = Pour réer un ourant ontinu dans un fermé, il faut don un hamp életromoteur dont la irulation le long du ne soit pas nulle. L expériene de Faraday montre don que est l existene d un hamp magnétique qui permet l apparition d un ourant. Cela signifie que la fore de Lorentz doit être responsable de l apparition d une fém, est à dire e= ( E+ v B) dl (expression ) Reprenons maintenant l expériene qui onsiste à déplaer un fermé ave une vitesse v dans un hamp magnétique B et un hamp életrique E s statiques. Que se passe-t-il pendant un instant?

3 39 ds n dl dr La fore de Lorentz (due à e mouvement d ensemble) agissant sur haque partiule q du onduteur s érit F = q( Es + v B), fournissant ainsi une fém e= ( Es + v B) dl = ( v dl) B = dsn B où dsn est la surfae orientée élémentaire, dérite lors du déplaement v du. On reonnaît alors l expression du flux dr= v oupé à travers ette surfae élémentaire. On a don dφ dφ e = d = = Φ puisque la variation du flux oupé est égale à elle du flux total à travers le (onservation du flux magnétique, f théorème de Maxwell). Attention au sens de dl : il doit être ohérent ave dφ = dφ. Nous venons de démontrer la loi de Faraday dans le as d un rigide, déplaé dans un hamp életromagnétique statique. Nous avons vu apparaître naturellement l expression du flux oupé. En fait, la seule hose qui ompte, est l existene d un mouvement d ensemble du tout ou d une partie du (revoir démonstration pour s en onvainre). Ainsi, l expression de la fém induite d e = Φ (expression 3) reste valable pour un déformé et/ou déplaé dans un hamp magnétique statique. Cette démonstration s est faite à partir de la fore de Lorentz et est don a priori indépendante du référentiel hoisi. Première diffiulté Prenons l expériene de la roue de Barlow. L appareil onsiste en un disque métallique mobile autour d un axe fixe, plongeant dans un hamp magnétique et touhant par son bord extérieur une uve de merure. Un életrique est ainsi établi entre la uve et l axe et on ferme e sur un galvanomètre permettant de mesurer tout ourant. Lorsqu on fait tourner le disque, un ourant életrique est bien déteté, en ohérene ave la formule idessus. Cependant, il n y a pas de variation du flux total à travers la roue! Ce résultat d expérimental semble don ontraditoire ave e = Φ! Comment omprendre ela? Même si, globalement, il n y a pas de variation du flux total, il n en reste pas moins que les harges du disque onduteur se déplaent dans un hamp magnétique. On pourrait don faire fi de l égalité dφ = dφ et utiliser l expression 3 et aluler ainsi une fém non nulle. Cependant, la ause physique fondamentale de son existene réside dans l expression. Il faut don utiliser les expressions et 3 uniquement omme des moyens parfois habiles de aluler ette fém.

4 4 Deuxième diffiulté Si on se plae maintenant dans le référentiel du rigide, on verra un hamp magnétique variable ( est le as, par ex, lorsqu on approhe un aimant d un immobile). Dans e as, le flux oupé est nul et on devrait don avoir une fém nulle, e qui n est pas le as d après l expériene de Faraday. Ce résultat expérimental semble ette fois-i en ontradition ave d e = Φ! Résolution de e paradoxe Puisque, dans e dernier as, le hamp magnétique dépend du temps, il n y a plus de lien diret entre le flux oupé et le flux total à travers le. Si on revient à l expression, on voit que dans le référentiel du la fore «magnétique» est nulle et il ne reste plus que le terme «életrique». Or, nous avons déjà vu que e hamp életrique n est pas simplement onstitué d un hamp életrostatique. Si on rassemble e que nous dit d un oté la théorie et de l autre l expériene, on obtient dφ e = (expériene de Faraday) = E dl (notre théorie) est à dire m dφ d B = B ds = ds = Em dl t Autrement dit, la seule façon de onilier notre théorie ave l expériene, est d admettre qu une variation temporelle du hamp magnétique engendre un hamp életrique. Nous avons ii un nouvel effet physique, totalement indépendant de tout e que nous avons vu jusqu à présent : l indution est un phénomène életromagnétique. Résumé/Bilan Que se passe-t-il si on déplae un (rigide ou non) dans un hamp magnétique variable? Quelle expression faut-il utiliser? En fait, il faut revenir à la fore de Lorentz dans le as général de hamps variables. On aura alors une fém induite e= ( E+ v B) dl = Em dl dφ B = = ds t dφ dφ Le premier terme dérit la irulation non nulle d un hamp életromoteur, assoié à la variation temporelle du hamp magnétique, tandis que le deuxième terme dérit la présene d un flux oupé dû au déplaement du et/ou à sa déformation. Remarque importante : Dans le alul i-dessus, nous n avons pris en ompte que la vitesse ommuniquée au et non la vitesse totale des partiules. En effet, s il existe un ourant, ela signifie que les partiules hargées se déplaent à l intérieur du. En fait, la fore magnétique assoiée à

5 4 ette omposante de la vitesse est, en régime quasi-statique, exatement ompensée par le hamp életrostatique de Hall. IV..3- La loi de Lenz Enoné : l indution produit des effets qui s opposent aux auses qui lui ont donné naissane. Cette loi est, omme la règle du flux maximum, déjà ontenue dans les équations et don n apporte rien de plus, hormis une intuition des phénomènes physiques. En l ourrene, la loi de Lenz n est que l expression du signe ontenu dans la loi de Faraday. Exemple : si on approhe un du pôle nord d un aimant, le flux augmente et don la fém induite est négative. Le ourant induit sera alors négatif et produira lui-même un hamp magnétique induit opposé à elui de l aimant. Deux onséquenes :. L augmentation du flux à travers le est amoindrie.. Il apparaît une fore de Laplae F = I grad Φ négative, s opposant à l approhe de l aimant. Ce signe dans la loi de Faraday (la loi de Lenz) dérit le fait que dans des onditions normales, il n y a pas d emballement possible (ex, ourant ne faisant qu augmenter). Remarque sur la onvention de signe La détermination du sens du ourant induit se fait de la façon suivante :. On se hoisit arbitrairement un sens de irulation le long du.. Ce sens définit, grâe à la règle du bonhomme d Ampère, une normale au. 3. Le signe du flux est alors déterminé en faisant le produit salaire du hamp magnétique par ette normale. 4. En utilisant ensuite la loi de Faraday, on obtient la valeur et le signe de la fém. 5. Enfin, le ourant est obtenu à partir de la loi d Ohm (son signe peut aussi être diretement onnu en utilisant la loi de Lenz). IV.- Indution mutuelle et auto-indution IV..- Indution mutuelle entre deux s fermés Soient deux s fermés, orientés, traversés par des ourants I et I. ds ds I I

6 4 Le premier rée un hamp magnétique B dont on peut aluler le flux Φ à travers le deuxième, Φ = = µ dl PM 3 B ds 4π ds I S S C PM où P est un point quelonque du C (l élément de longueur valant dl = dop) et M un point quelonque de la surfae délimitée par C, à travers laquelle le flux est alulé. De même, on a pour le flux réé par le C sur le C = = µ 4π S Φ B ds S C dl PM ds I PM 3 où P est ette fois-i un point du C et M un point de la surfae délimitée par C, à travers laquelle le flux est alulé. Les termes entre rohets dépendent de la distane entre les deux s et de fateurs uniquement géométriques liés à la forme de haque. Comme, dans le as général, ils sont diffiiles voire impossible à aluler, il est ommode de poser Φ = MI Φ = M I Le signe des oeffiients dépend de l orientation respetive des s et suit la même logique que pour le ourant induit. D après les hoix pris pour le sens de irulation le long de haque (voir figure), les flux sont négatifs pour des ourants I et I positifs. Don les oeffiients sont négatifs. Théorème : Le oeffiient d indution mutuelle ou indutane mutuelle (unités : Henry, H) M = M = M Il met en jeu une énergie potentielle d interation magnétique entre les deux s W = m MII + Constante Il nous faut démontrer que les indutanes sont bien les mêmes pour haque. La raison profonde réside dans le fait qu ils sont en interation, don possèdent haun la même énergie potentielle d interation. Si on déplae C, il faut fournir un travail dw = IdΦ = IIdM Mais e faisant, on engendre une variation du flux à travers C et don un travail dw = IdΦ = IIdM Puisqu ils partagent la même énergie d interation (haque travail orrespond au mouvement relatif de C par rapport à C ), on a dw = dw et don dm = dm M = M + Constante Cette onstante d intégration doit être nulle puisque, si on éloigne les s l un de l autre à l infini, l interation tend vers zéro et don les indutanes s annulent.

7 43 IV..- Auto-indution Si on onsidère un isolé, parouru par un ourant I, on s aperçoit qu on peut produire le même raisonnement que i-dessus. En effet, le ourant I engendre un hamp magnétique dans tout l espae et il existe don un flux de e hamp à travers le lui-même, Φ= = µ dl PM B ds π 3 ds I 4 S S C PM qu on peut simplement érire Φ=LI où L est le oeffiient d auto-indution ou auto-indutane (ou self), exprimé en Henry. Il ne dépend que des propriétés géométriques du et est néessairement positif (alors que le signe de l indutane mutuelle dépend de l orientation d un par rapport à l autre). IV.3- Régimes variables IV.3.- Définition du régime quasi-statique Ave les lois que nous avons énoné jusqu à présent, nous sommes en mesure d étudier ertains régimes variables. En effet, tous les raisonnements basés sur la notion d un hamp (életrique ou magnétique) onstant au ours du temps peuvent aisément être appliqués à des systèmes physiques variables (hamps dépendant du temps), pourvu que ette variabilité s effetue sur des éhelles de temps longues par rapport au temps aratéristique d ajustement du hamp. Voii tout de suite un exemple onret. La plupart des lois de la magnétostatique supposent un ourant permanent, est à dire le même dans le tout le. Lorsqu on ferme un interrupteur, un signal életromagnétique se propage dans tout le et est ainsi que peut s établir un ourant permanent : ela prend un temps de l ordre de l/, où l est la taille du et la vitesse de la lumière. Si l on a maintenant un générateur de tension sinusoïdale de période T, alors on pourra malgré tout utiliser les relations déduites de la magnétostatique si T >> l/ Ainsi, bien que le ourant soit variable, la réation d un hamp magnétique obéira à la loi de Biot et Savart tant que le ritère i-dessus reste satisfait. Ce type de régime variable est également appelé régime quasi-statique. IV.3.- Fores életromotries (fém) induites Considérons tout d abord le as d un isolé rigide (non déformable). Nous avons vu qu une fém induite apparaissait dès lors que le flux variait. D après la loi de Faraday et l expression i-dessus, ette fém vaudra e= L di (L étant onstant pour un rigide). En régime variable, si le ourant diminue, on verra don apparaître une fém positive engendrant un ourant induit qui va s opposer à la

8 44 déroissane du ourant dans le. La self d un tend don à atténuer les variations de ourant. Dans les shémas életriques la self est symbolisée par une bobine. C est en effet la façon la plus ommode de produire une self : plus le nombre de spires est élevé et plus grande sera l auto-indutane L (le ylindre sur lequel on fait l enroulement est d ailleurs onstitué de fer doux, matériau ferromagnétique, pour amplifier le hamp, don L). Cei se omprend aisément. La fém s érit en effet e= ( E + v B) dl= N ( E + v B) dl e qui d ailleurs justifie la règle Φ = N Φ Si l on onsidère maintenant deux s ouplés C et C, alors l expression des flux totaux à travers es s s érit Φ = Φ + Φ = LI + MI Φ = Φ + Φ = LI + MI On aura don en régime variable des fém induites dans haque e e spire spire L di M di = M di L di = Cei peut avoir des onséquenes importantes (parfois désastreuses), omme l apparition soudaine d un ourant dans un fermé non alimenté. En effet, supposons que I soit nul à un instant et qu il y ait à e moment là une variation de ourant I. L indution mutuelle va alors engendrer un ourant I induit, qui va à son tour modifier I. IV.3.3- Retour sur l énergie magnétique Dans le Chapitre III, nous avons vu que l énergie magnétique d un parouru par un ourant permanent I plaé dans un hamp magnétique extérieur B s érit Wm = IΦ. Or, un tel produit un flux Φ=LI à travers lui-même, e qui semblerait impliquer une énergie magnétique négative. Etrange. D autant plus que nous avions interprété ette énergie omme une énergie potentielle d interation entre le et le hamp extérieur. Peut-on parler d énergie d interation du ave lui-même? Manifestement, ela n a pas de sens. Il nous faut raisonner autrement. Tout effet a néessité un travail (hélas) et est don porteur d énergie. Un onduteur portant une harge életrique Q possède une énergie életrostatique W Q = e C où C est la apaité du onduteur. Cette énergie est stokée dans (portée par) le hamp életrostatique. Nous avons alulé ette énergie en évaluant le travail fourni pour onstituer e réservoir de harges. Il nous faut faire un raisonnement similaire ii.

9 45 S il existe un ourant I, est qu un générateur a fourni une puissane P = ei pendant un ertain temps. Cela signifie que le (dérit par une self L) a reçu une puissane P = ei = Li di d m = Li puisque elui-i rée un hamp magnétique (on néglige ii toute dissipation). Partant d un ourant nul à t=, on obtient après un temps t un ourant I et une énergie emmagasinée t Wm = Pm = LI Cette énergie est stokée dans le hamp magnétique qui est réé par un ourant d amplitude I, irulant dans un de self L. Le fateur / provient de l ation du sur lui-même. Si l on prend en ompte la dissipation (voir plus bas), on obtient que l énergie néessaire à la réation d un ourant I (ou la génération du hamp B assoié) doit être supérieure. Si l on plae maintenant e dans un hamp magnétique extérieur B ext, l énergie magnétique totale sera Wm = LI IΦext où l on a supposé impliitement que l existene du ne perturbe pas la soure du hamp B ext (elui-i n est pas affeté par des variations éventuelles du ourant irulant dans le ). En général, de tels as orrespondent à une énergie d interation dominante sur l énergie emmagasinée. Prenons maintenant le as de deux s en interation. Chaun est parouru par un ourant permanent et engendre ainsi un hamp magnétique. L énergie magnétique totale emmagasinée est alors W = ei ei m t t t LI di MI di t = + L I di MI di + + = ( LI + L I )+ MII On voit don que W m W + W les deux s. : il y a un troisième terme, orrespondant à l interation entre IV.3.4- Bilan énergétique d un életrique D après la relation établie en életroinétique, la tension entre deux points A et B d un vaut V V = RI e A B où e est la fém située entre A et B, R la résistane totale et le ourant I irulant de A vers B. Etant parouru par un ourant, e (ou ette branhe du ) va engendrer un hamp

10 46 magnétique, don produire un flux à travers lui-même qui, si le hamp varie, va engendrer une fém (loi de Faraday) et on aura alors V V RI L di A B = + Si le est plaé dans un hamp magnétique extérieur B ext, le hamp total sera la somme du hamp induit et du hamp B ext et l équation sera V V RI L di d A B = + Φ ext Ainsi, un omposé d un générateur délivrant une tension U, d une résistane R, d une bobine de self L et d un ondensateur de apaité C ( RLC) aura pour équation U = RI + L di Q + C dq où I = est le ourant irulant dans le et Q la harge sur l une des armatures du ondensateur. La puissane fournie par le générateur se transmet au qui l utilise alors de la façon suivante : P = UI IRI L di Q d d Q = + + = RI + LI + C C est à dire d P = P W W J + ( m + e) Une partie de la puissane disponible est don onvertie en haleur (dissipation par effet Joule), tandis que le reste sert à produire des variations de l énergie életro-magnétique totale du. Dans un «libre» (où U=), on voit que ette énergie totale diminue au ours du temps, entièrement reonvertie en haleur.