Résolution de problèmes

6 Résolution de problèmes HISTOIRE : Al-Khwārizmī était un astronome et un mathématicien. Il fut un des membres les plus connus de la Maison de la sagesse de Bagdad au IX e siècle. Dans l un de ses livres, Kit b al-mukhta ar f is b al-jabr wa l-muq balah, (plus connu comme L Abrégé), il présente une classification des équations et des méthodes de résolution pour chacune d entre elles. La parution de ce livre marque le début de l algèbre. EXPOSÉ Rechercher les noms d autres mathématiciens de la civilisation arabo-musulmane et citer quelques-uns de leurs travau. La statue d Al-Khwārizmī à Khiva en Ouzbékistan. Un problème de bijou d Al-Kāshi Un bijou est composé d or et de perles et son poids est de trois miskals et sa valeur est de vingt-quatre dinars. La valeur d un miskal d or est de cinq dinars et celui d un miskal de perles est de quinze dinars. Nous voulons connaître le poids de chacun des deu «composants» du bijou. AHMED DJEBBAR, L Algèbre arabe, genèse d un art. 108 CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

Dans ce chapitre, je vais Découvrir CONNAISSANCES Apprendre à CAPACITÉS la notion d équation du premier degré à une inconnue résoudre un problème, avec ou sans équation [SC] résoudre une équation mettre un problème en équation 1 2 3 Je me prépare à l oral 1 a. 3 stylos identiques coûtent 18. Combien coûte un stylo? b. Un saladier vide pèse 320 g et, plein de fruits, pèse 850 g. Quelle est la masse des fruits? c. L aire d un rectangle est 35 cm 2. Sa longueur est 7 cm. Quelle est sa largeur? d. Un quart de la carafe est remplie d eau, cela représente 30 cl. Quelle est la capacité totale de la carafe? e. Je mesure 1,25 m, il ne me manque que 6 cm pour atteindre la taille de ma sœur. Quelle est la taille de ma sœur? 2 Trouver le nombre manquant : a. 8 + = 56 b. 8 = 56 c. 17 = 10 d. 8 = 6 e. 5,4 : = 0,9 f. 5 : = 10 3 a. Quel est le nombre qui ajouté à 5 donne 1? b. Quel est le nombre qui divisé par 3 donne 4? c. Quel est le nombre qui, lorsqu on lui soustrait 4, donne 10? 4 a. Mon double est égal à 11, qui suis-je? b. Mon quart est égal à 5, qui suis-je? c. Mon triple est égal à 3, qui suis-je? d. Mon diième est égal à 27, qui suis-je? 5 QCM Élisa a reçu 4 fois plus de SMS que Salomé qui en a reçu 24. Élisa en a reçu : a. 6 b. 20 c. 28 d. 96 6 QCM L égalité 7 + 5 = 5 + 11 est-elle vraie pour : a. = 1 b. = 2 c. = 3 d. = 4? 7 QCM Il y a deu fois moins de garçons que de filles dans la classe. Si on désigne par G le nombre de garçons et par F le nombre de filles, alors : a. F = 2G b. F = G + 2 c. F = G 2 d. G = 2F 8 Trouver le nombre désigné par pour lequel l égalité est vraie : a. + 7 = 2 b. 3 = 21 c. 2 = 15 d. 7 = 5 e. 1 2 = 7 f. 4 = 3 5 Je me prépare à l écrit 9 Je pense à un nombre, j ajoute 5 et je multiplie le résultat par 3. J obtiens 24. a. Traduire ce problème par une égalité. b. Trouver un nombre pour lequel cette égalité est vraie. 10 Soit l égalité 4 + 3y = 2 + 16. a. Tester si cette égalité est vraie pour : = 3,5 et y = 3 = 5 4 et y = 9 2 b.trouver des valeurs de et de y pour lesquelles cette égalité n est pas vraie. CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES 109

Activités 1 Des petits problèmes à résoudre Résoudre les problèmes suivants. Problème 1 Aujourd hui Anne a 40 ans, sa fille Marion a 12 ans. Dans quelques années, Anne aura le double de l âge de sa fille. Quel sera alors l âge d Anne? Problème 2 Je dépense les trois cinquièmes de mon argent pour l achat d un Problème 3 Trois élèves gardent les billes des cartouches d encre de leur stylo plume. Ils ont ensemble 171 billes. Chang a si fois plus de billes que Timothé et Chloé a deu fois plus de billes que Timothé. Combien chaque élève possède-t-il de billes? skateboard, le tiers pour des chaussures de skate. Il me reste 12 après ces achats. Quelle était ma somme d argent de départ? Problème 4 Cathy, Léa et Nat sont inscrites sur un réseau social. Cathy a trois fois plus d amis que Léa et sept fois plus d amis que Nat. Cathy a 504 amis. Combien Léa et Nat ont-elles d amis? Problème 5 Le périmètre d un rectangle est 80 m. Quelles sont ses dimensions si : a. sa longueur est 4 fois plus grande que sa largeur ; b. sa longueur fait 10 m de plus que sa largeur. Problème 6 L entrée à la galerie de Paléontologie du Muséum d Histoire naturelle coûte 5 en tarif réduit et 7 en plein tarif. Lundi dernier, un groupe de 30 personnes a payé 170 pour la visite. Combien y avait-il de tarif réduit dans ce groupe? BILAN Leïla collectionne les plumes d oiseau, elle en a 14 de plus qu Emma. Elles ont 68 plumes en tout. Combien de plumes chaque fille a-t-elle? Proposer plusieurs méthodes pour résoudre ce problème. Je fais les eercices 57 et 58 page 123. 110 CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

2 Le tableur pour résoudre des problèmes TICE @ Voici 3 programmes de calculs. Programme R Choisir un nombre Le multiplier par 4 Ajouter 7 Programme S Choisir un nombre Ajouter 8 Multiplier le résultat par 2 Ajouter 1 Programme T Choisir un nombre Le multiplier par 3 Ajouter 1 Multiplier le résultat par 2 On vous propose d utiliser un tableur pour répondre au questions qui suivent. A Avec les programmes R et S On va chercher un nombre qui donne le même résultat final avec les deu programmes R et S. 1. Ouvrir un tableur. Écrire dans la cellule B2 une formule donnant le résultat final du programme R et en C2 une formule donnant le résultat final du programme S. 2. Entrer différents nombres (entre 0 et 15) dans la cellule A2 jusqu à trouver une solution du problème. B Avec les programmes R et T On va chercher un nombre qui donne le même résultat final avec les programmes R et T. 1. Écrire dans la colonne D1 «Programme T». Écrire dans la cellule D2 une formule donnant le résultat final du programme T. 2. Entrer les nombres de 0 à 10 dans la colonne A. À l aide de la poignée de recopie, recopier vers le bas les formules des cellules B2 et D2. 3. Observer les résultats des programmes R et T. Entre quels entiers semble se situer le nombre qu il faut choisir pour que les 2 programmes donnent le même résultat? 4. Tester des valeurs entre ces 2 entiers et trouver une solution du problème. C Avec les programmes S et T Eiste-t-il un nombre qui donne le même résultat final avec les programmes S et T? Si oui, le trouver. BILAN Voici un nouveau programme. 1. Trouver un nombre qui donne le même résultat final avec a. Les programmes T et U? b. Les programmes R et U? Programme U Choisir un nombre Prendre son opposé Ajouter 30 2. Peut-on trouver, à l aide du tableur, un nombre qui donne le même résultat final avec les programmes S et U? CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES 111

Activités 3 Vers une équation Afefe et Romane prennent leur calculatrice. Elles commencent par taper toutes les deu le même nombre : 6. Puis Afefe tape la séquence de touches : 8 + 2 = Romane tape la séquence : + 1 = 5 + 4 1. Obtiennent-elles le même résultat? 2. Elles recommencent avec un autre nombre. À leur grande surprise, elles obtiennent le même résultat. Est-il possible de trouver le nombre qu elles ont choisi au départ en testant des valeurs? 3. Cherchons le nombre dont elles sont parties à l aide d un tableur. a. Écrire les formules qui permettent d obtenir les nombres des cellules B2 à F2. b. La copie d écran ci-dessus fournit-elle le nombre de départ cherché? c. Proposer à Afefe une méthode pour trouver le nombre de départ. 3. Romane décide de désigner par la lettre le nombre choisi au départ. a. Écrire en utilisant une epression qui désigne le résultat obtenu par Afefe. b. Écrire en utilisant une epression qui désigne le résultat obtenu par Romane. Développer et réduire l epression. c. Écrire une égalité entre les epressions trouvées au questions 3a et 3b. 4. Afefe a écrit : 8 + 2 = 5 + 9 5 + 3 + 2 = 5 + 9 c est égal Donc 3 + 2 = 9 Continuer le travail de Afefe pour trouver le nombre de départ. BILAN Résoudre à la manière de Afefe les équations suivantes : a. 7 + 8 = + 20 b. 13 + 1 = 9 + 15 c. 5 + 17 = 2 + 21 Je fais l eercice 20 page 118. 112 CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

4 Mettre un problème en équation A Le quadrilatère LUNA Problème 1 Trouver la valeur de pour que le quadrilatère LUNA soit un parallélogramme. L 7 3 5 U 5 A 5 + 5 N 1. Quelles conditions doivent respecter les côtés de LUNA pour qu il soit un parallélogramme? 2. En déduire une équation qui permet de trouver la solution du problème. B Les billes de Lucien et Loubna Problème 2 Lucien a 6 paquets de billes plus 42 billes. Loubna avait 9 paquets de billes mais elle a perdu 3 billes. Lucien et Loubna s aperçoivent qu ils ont le même nombre de billes. Les paquets de billes sont tous identiques. Combien y-a-t-il de billes dans un paquet? 1. Que cherche-t-on à connaître dans cet eercice? On désigne par ce nombre que l on ne connaît pas. 2. Quelle phrase de l énoncé eprime l égalité de deu quantités? Quelles sont ces deu quantités? Les eprimer en fonction de. 3. En déduire une équation qui permet de trouver la solution du problème. C Les SMS du mois de décembre Problème 3 Candice, Lisa et Yohan comptabilisent le nombre de SMS envoyés au mois de décembre. Candice a envoyé 2 fois plus de SMS que Lisa, et Yohan a envoyé 12 SMS de moins que Lisa. À eu 3, ils en ont envoyés 96. Combien chacun en a-t-il envoyé? 1. Que cherche-t-on à connaître dans cet eercice? Combien y-a-t-il de nombres que l on ne connaît pas? Choisir un de ces nombres et l appeler. 2. Eprimer les autres nombres que l on ne connaît pas en fonction de. 3. Quelle phrase dans l énoncé eprime une égalité? En déduire une équation qui permet de trouver la solution du problème. 4. Comparer les équations obtenues dans la classe. BILAN Donner les étapes qui permettent de mettre un problème en équation. Je fais les eercices 58 et 61 page 123. CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES 113

Activités 5 @ Un jeu pour résoudre une équation Lucien et Loubna jouent ensemble. Lucien cache un nombre, toujours le même, dans chaque boîte bleue. Loubna doit deviner ce nombre. 4 A B 10 Matériel : 2 plateau A et B, des boîtes et des étiquettes. Déroulement du jeu : un des joueurs écrit le même nombre au fond de chaque boîte puis il les referme. But : l autre joueur doit trouver le nombre caché. Règle : la somme des nombres présents sur chaque plateau est la même. 1. On appelle le nombre écrit dans les boîtes. a. Écrire en fonction de la somme des nombres du plateau A. b. Écrire en fonction de la somme des nombres du plateau B. c. Écrire une équation qui traduit le fait que les deu sommes sont égales. 2. Loubna enlève trois boîtes de chaque plateau. a. Le nombre inscrit dans les boîtes a-t-il changé? b. Écrire en fonction de la somme des nombres du plateau A et la somme des nombres du plateau B. c. Epliquer pourquoi ces sommes sont égales. 4 10 3. Loubna ajoute une étiquette sur chaque plateau. a. Epliquer pourquoi les sommes des nombres présents sur les deu plateau sont toujours égales. b. Écrire une équation qui traduit la nouvelle disposition sur les plateau et réduire les deu membres si c est possible. 4 4 4 4 10 4. Loubna annonce le nombre inscrit dans les boîtes. Quel est ce nombre? Comment a-t-elle fait? 5. Lucien veut faire une 2 e partie. Il décide de rajouter un autre type de boîtes marquées dans lesquelles il inscrit l opposé du nombre écrit dans les boîtes. a. Écrire l équation correspondante à la situation ci-contre. b. Loubna ajoute 3 boîtes marquées sur chaque plateau. Dessiner la nouvelle situation. Écrire l équation correspondante. c. Que doit faire Loubna pour obtenir l équation 5 = 9. Faire le dessin correspondant. d. Quel est le nombre inscrit dans les boîtes? 2 7 BILAN Résoudre l équation 4 + 6 = 3 7. 114 CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

Connaissances et méthodes 1 Résoudre un problème sans équation EXEMPLE Léo, Clara et Mehdi ont à résoudre le problème suivant. Comment partager une somme de 60 entre Arthur et Bertrand, en donnant à Bertrand 8 de plus qu à Arthur? Beaucoup de problèmes peuvent se résoudre sans utiliser d équation. A Méthode par essais successifs Clara fait des essais 20 à A (Arthur) et 20 + 8 = 28 à B (Bertrand). Elle a partagé 48. Ce n est pas assez. Elle donne plus à A et B pour essayer d arriver à un total de 60 : 30 à A et 38 à B. Elle a partagé 68. C est trop. 25 à A et 33 à B. Elle a partagé 58. Ce n est pas assez. 26 à A et 34 à B. Elle a partagé 60. Si on pense devoir faire beaucoup d essais, on peut utiliser une calculatrice ou un tableur. B Méthode arithmétique Léo commence par donner 8 à Bertrand. Il lui reste 60 8 = 52 à partager équitablement entre A et B. Il donne à chacun 52 : 2 = 26. Finalement, Arthur a reçu 26 et Bertrand a reçu 8 + 26 = 34. C À l aide d un schéma Mehdi fait un schéma. On voit que la part d Arthur est (60 8 ) : 2 = 26 et que celle de Bertrand est 26 + 8 = 34. Arthur 60 Bertrand 8 Eercices Je vérifie que j ai compris 1 [SC] Résoudre ce problème par essais successifs. Marie a 38 ans, sa fille a 11 ans. Quel âge aura Marie quand elle aura le double de l âge de sa fille. 2 [SC] Résoudre de façon arithmétique. La boîte de crayons d Éloi pèse 80 g lorsqu elle est vide et 140 g lorsqu elle est pleine. Sachant qu elle peut contenir 12 crayons, combien pèse un crayon? 3 [SC] Résoudre ce problème à l aide d un schéma. Si je double un nombre et que je rajoute 7, j obtiens 89. Quel est ce nombre? 4 [SC] Résoudre ce problème. Jérémy veut acheter des stylos qui valent tous le même pri. S il en achète cinq, il lui restera 2,30. Il lui manque 50 centimes pour acheter 6 stylos. Quel est le pri d un stylo? 5 [SC] Résoudre ce problème. En additionnant un nombre entier, son double et son triple, je trouve 102. Quel est ce nombre? 6 [SC] Résoudre ce problème. 3 Lucie a dépensé les de son argent pour acheter un livre à 12. 4 Combien d argent Lucie avait-elle avant l achat? CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES 115

Connaissances et méthodes 2 Résoudre une équation On cherche à savoir s il eiste des nombres par lesquels remplacer pour que l égalité 2 + 3 = 5 6 soit vraie, et si oui, lesquels? Répondre à cette question, c est résoudre l équation 2 + 3 = 5 6 dont est l inconnue. Si en remplaçant par un nombre, l égalité 2 + 3 = 5 6 est vraie, ce nombre est appelé une solution de l équation. EXEMPLES Pour = 2, on a 2 + 3 = 2 2 + 3 = 7 et 5 6 = 5 2 6 = 4, donc 2 + 3 5 6. Donc 2 n est pas une solution de l équation 2 + 3 = 5 6. Pour = 3, on a 2 + 3 = 2 3 + 3 = 9 et 5 6 = 5 3 6 = 9, donc 2 + 3 = 5 6. Donc 3 est une solution de l équation 2 + 3 = 5 6. Vocabulaire Dans l équation 2 + 3 = 5 6 2 + 3 s appelle le 5 6 s appelle le premier membre de l équation second membre de l équation Propriétés Pour résoudre une équation, on peut : additionner ou soustraire le même nombre au deu membres de l équation. [P1] multiplier ou diviser les deu membres par un même nombre non nul. [P2] EXERCICE RÉSOLU 1 MÉTHODE Résoudre l équation 2 + 5 = 8 7. SOLUTION 2 + 5 = 8 7 2 2 5 = 6 7 + 7 + 7 12 = 6 On échange les deu membres 6 = 12 : 6 = 12 : 6 6 = 2 La solution de l équation 2 + 5 = 8 7 est 2. 1 On applique la propriété P1 pour ne plus avoir d inconnue dans un membre : ici on soustrait 2 à chaque membre. 2 On applique P1 à nouveau pour isoler le terme en dans un membre : ici on ajoute 7 à chaque membre. 3 On échange les deu membres si on le veut. 4 On multiplie ou on divise chaque membre par un même nombre : ici on divise par 6. 5 On obtient la seule solution de l équation. Eercices Je vérifie que j ai compris 7 Parmi les nombres 3 ; 5 ; 2 ; 2 ; quels sont ceu qui sont solutions de l équation : 3 a. 3 + 1 = 5 9 b. 3 + 4 = 15 4 c. + 4 = + 10 8 Résoudre les équations : a. 6 + 4 = 3 8 b. 3 5 = 2 + 4 c. 2 + 3 = 3 + 18 d. 5 + 3 = 2 4 e. 2 3 = 3 + 4 116 CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

3 Résoudre un problème à l aide d une équation EXERCICE RÉSOLU 2 On considère à nouveau le problème de la page 115. MÉTHODE Comment partager une somme de 60 entre Arthur et Bertrand, en donnant à Bertrand 8 de plus qu à Arthur? SOLUTION On sait que la somme reçue par Arthur plus celle reçue par Bertrand est égale à 60. On choisit comme inconnue la somme reçue par Arthur :. On eprime la somme reçue par Bertrand en fonction de : c est + 8. On eprime la somme totale reçue par les deu garçons en fonction de cette inconnue : + + 8 = 2 + 8. L équation à résoudre est : 2 + 8 = 60 8 8 2 = 52 : 2 = 52 : 2 2 = 26 26 + 8 = 34 26 et 34 sont deu nombres positifs inférieurs à 60 qui peuvent représenter une somme d argent. 2 26 + 8 = 52 + 8 = 60 Donc Arthur a reçu 26 et Bertrand 34. 1 Je mets le problème en équation (voir p. 120). 2 Je résous l équation. 3 Je contrôle que la solution est possible. 4 Je vérifie que le nombre trouvé est bien solution du problème. 5 Je réponds à la question. Eercices Je vérifie que j ai compris 9 Le nombre contenu dans une case est égal à la somme des nombres contenus dans les deu cases situées en dessous. 21 Combien vaut? 5 10 On eécute le programme de calcul suivant avec un nombre : Choisir un nombre Le multiplier par 4 Ajouter 9 Rajouter le double du nombre choisi On trouve 21. Quel nombre a été choisi au départ? 4 11 Jean a si fois plus de timbres que Denis et Alain a deu fois plus de timbres que Denis. On appelle t le nombre de timbres de Denis. 1. Eprimer en fonction de t le nombre de timbres de Jean et d Alain. 2. Eprimer en fonction de t le nombre de timbres qu ont Jean, Denis et Alain tous ensemble. 3. Les trois enfants possèdent ensemble 198 timbres. Quelle équation peut-on écrire? 4. Trouver la valeur de t et déterminer le nombre de timbres de chaque enfant. 12 Trouver pour que le triangle et le rectangle aient le même périmètre. 2 CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES 117

Eercices Je vérifie que j ai compris Solutions ou pas 13 Dire si les nombres suivants : 2 ; 0 ; 4 sont solutions de l équation : 2 7= 3. 14 Dire si les nombres suivants : 3 ; 1 ; 5 sont solutions de l équation : 4 + 7 = 2 + 1. 15 Un élève a résolu l équation suivante : 5 4 = 7 8 et a trouvé 3 comme solution. Sans résoudre l équation, epliquer pourquoi il s est trompé. 16 Écrire trois équations différentes qui ont pour solution 2. Résoudre une équation 17 1. Recopier et compléter la résolution de l équation 2 + 4 = 2. 2 + 4 = 2 On soustrait à chaque membre : + 4 = On soustrait 4 à chaque membre : = 2. Quelle est la solution de l équation? 3. Comment peut-on vérifier que le résultat est juste? 18 Résoudre les équations suivantes : a. 2 + 6 = 0 b.4 = 0 c. 5 = 15 d.3 + 3 = 12 19 Résoudre les équations suivantes : a. 3 = 4 b. 2 5 = 6 c. 1 3 = 4 d. 3 7 = 2 20 Résoudre les équations suivantes : a. 4 + 6 = 3 + 8 b.3 + 1 = + 9 c. 2 + 8 = 5 + 2 d. + 7 = 3 + 1 21 Résoudre les équations suivantes : a. 5 + 3 = 2 + 6 b.3 4 = 4 + 17 c. 2 2 = 3 + 11 d.3 + 1 = 2 + 11 22 Résoudre les équations suivantes : a. 4 + 3 = 2 + 6 b.7 + 2 = 3 + 9 c. 5 3 = 2 + 8 d.5 + 3 = 2 3 23 Résoudre les équations suivantes : a. 3 1 = 2 + 1 b.2 1 = 4 7 c. 5 + 6 = 2 + 9 d.3 + 1 = 4 + 4 Problèmes 24 [SC] Quelle doit être la largeur du rectangle pour que son périmètre soit égal à 24? 9? 25 [SC] Dans chaque cas, quelle est la mesure des angles du triangle? a. 110 b. c. 3 5 26 [SC] Voici un programme de calcul : Choisir un nombre Ajouter 4 Mutiplier la somme par 7 Retirer 6 Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat soit égal à 71? 27 Quelle doit être la valeur de pour que le triangle et le carré aient le même périmètre? + 2 + 3 28 Clara, Hardy et Youssef collectionnent des cartes. Hardy a 13 cartes de plus que Clara, et Youssef a trois fois plus de cartes que Clara. On appelle le nombre de cartes de Clara. 1. Eprimer en fonction de le nombre de cartes de Hardy, puis de Youssef. 2. Eprimer en fonction de le nombre total de cartes que possèdent les enfants. 3. Sachant qu il y a au total 48 cartes, trouver le nombre de cartes de Clara. 118 CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

J utilise les TICE Apprendre à résoudre des équations Télécharger le logiciel Thôt : http://www.emmanuelmorand.net/thot/telechargement.php Compétences B2i 1.1, 1.2, 2.4 Le logiciel Thôt est un logiciel de transformation d équations. Il permet de trouver la solution de certaines équations, comme celles qui sont étudiées en quatrième. 1. Ouvrir le logiciel Thôt. 2. Cliquer sur et saisir l équation 9 7 = 5 + 2. Cliquer sur Valider. 3. Cliquer sur pour ajouter 7 et valider. Le logiciel doit afficher l écran ci-dessous. Epliquer ce qu a fait le logiciel. 4. Essayer les touches. À quoi servent-elles? 5. Quelle opération faut-il faire maintenant sur le logiciel pour que le membre de droite de l équation ne comporte plus de terme en? Pour revenir en arrière, utilise la flèche de retour. 6. Quelle dernière opération faut-il faire pour obtenir la solution de l équation, c est-à-dire la valeur de? Trouver cette valeur de. 7. Résoudre à l aide de Thôt les équations suivantes : a. 5 8 = 4 + 2 b. 6 + 3 = 8 6 c. 7 + 5 = 4 6 d. 8 + 7 = 4 1 e. 3 + 3 = 7 8 f. 5 = 9 + 1 8. Que fait la touche? À votre avis, cela change-t-il les solutions de l équation? 9. Résoudre sur le cahier à la manière de Thôt les équations suivantes : a. 3 7 = 7 + 4 b. 6 + 7 = 8 + 9 c. 2 3 = 7 + 9 CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES 119

J apprends à raisonner Mettre un problème en équation A. Trouver l'égalité Pour mettre un problème en équation, il faut trouver une égalité. Dans chacun des cas suivants, il faudra trouver deu grandeurs ou deu nombres qui sont égau. Repérer l epression «est égal à» La somme de trois nombres consécutifs est égale à 138. Quels sont ces nombres? Reformuler le problème en utilisant l epression «est égal à» J ai acheté un livre à 19,60 et trois cahiers. J ai dépensé 25. Quel est le pri d un cahier? Utiliser une propriété de géométrie 7 3 Chercher une grandeur ou un nombre eprimé de deu façons différentes 5 + 1 Pour quelles valeurs de ce rectangle est-il un carré? Jérémy veut acheter des stylos qui valent tous le même pri. S il en achète cinq, il lui restera 2,30. Il lui manque 50 centimes pour acheter 6 stylos. Quel est le pri d un stylo? B. Choisir l'inconnue Pour résoudre un problème à l aide d une équation, il est important de bien choisir l inconnue. Dans chacun des cas suivants, il faut indiquer quelle est l inconnue. L inconnue est déjà donnée 3 2 + 4 Quelle doit être la valeur de pour que le périmètre du rectangle soit égale à 24? Il n y a qu un seul nombre à trouver, dans ce cas on le choisit comme inconnue Lorsque j ajoute 5 à un nombre, j obtiens son triple. Quel est ce nombre? Il y a plusieurs nombres à trouver, il faut : en choisir un comme inconnue et eprimer les autres en fonction de ce nombre Un DVD coûte 2 de plus qu un CD. Cinq DVD et 6 CD coûtent 87. Combien coute un DVD? un CD? Attention, l équation dépend du choi de l inconnue, deu inconnues différentes conduisent à deu équations différentes. On n est pas obligé d appeler l inconnue. Moi, quand je cherche un nombre de canard je l appelle c, une longueur je l appelle l, ça m aide. 120 CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

GUIDE POUR LA MISE EN ÉQUATION Étape 1 : Quel nombre dois-je trouver pour répondre à la question? Étape 2 : Quelle égalité le tete fournit-il et quels sont les nombres inconnus qui interviennent dans cette égalité? Étape 3 : Je choisis parmi ces nombres celui que je vais prendre comme inconnue. Étape 4 : Je traduis les deu membres de l égalité par une epression algébrique utilisant l inconnue. 29 Dans chaque cas, réécrire la phrase en utilisant l epression «est égal à». a. Il y a autant de filles que de garçons. b. Il y a trois fois plus de boîtes rouges que de boîtes vertes. c. Pour l achat de sa nouvelle veste il paie 45. d. Il manque 12 à Marie pour acheter une paire de chaussures. e. En effectuant le calcul on trouve 143. f. Les longueurs AB et CD sont égales. g. Marie a envoyé 30 SMS de plus que Justine. On ne demande pas de résoudre les problèmes 30 à 32 mais seulement de trouver l égalité. 30 Trouver la valeur de. 2 70 31 Ce rectangle a pour longueur 12 cm. Il contient deu carrés comme indiqué sur la figure et le petit rectangle qui reste a pour largeur 1 cm. 12 Combien vaut le côté du petit carré? 1 cm 32 Le nez de Pinocchio s est allongé du quart de sa longueur. Il mesure maintenant 13 cm, combien mesurait-il à l origine? 33 Dans un café, un coca coûte 0,50 de plus qu un diabolo fraise. Un groupe de personnes commande 5 diabolos et 4 cocas. Ils paient en tout 20. Soit le pri d un diabolo. 1. Dire ce que représentent les epressions suivantes : A = + 0,50 B = 4 ( + 0,50) C = 5 + 4 ( + 0,50) D = 5 2. Développer et réduire l epression C. 3. Quelle égalité traduit que le montant total de la commande est 20? 4. Résoudre l équation obtenue. 5. Quel est le pri d un diabolo? Quel est le pri d un coca? 34 Voici un problème. La somme de trois nombres entiers consécutifs est égale à 138. Quels sont ces trois nombres? 1. Quels sont les choi possibles pour l inconnue? 2. Eprimer les deu autres nombres en fonction de l inconnue choisie. 3. Résoudre le problème. 35 Voici un problème. Si je multiplie la largeur de ce rectangle par 3 et que j ajoute 2, j obtiens sa longueur. Le périmètre du rectangle est 36. Quelles sont les dimensions du rectangle? 1. Quelles égalités peut-on écrire? 2. Pour résoudre ce problème à l aide d une équation, quelle inconnue peut-on choisir : a. la longueur du rectangle? b. la largeur du rectangle? c. le périmètre du rectangle? d. autres? Préciser. 3. Parmi les choi d inconnues possibles, quel est le plus judicieu? Justifier. 36 Voici un problème. Luc et Akim collectionnent des badges. Ils en ont le même nombre. Luc donne 15 badges à Akim et ils s aperçoivent qu Akim a alors deu fois plus de badges que Luc. Combien chacun avait-il de badges au départ? Julie a choisi comme inconnue le nombre de badges qu ils avaient chacun au départ et elle a obtenu l équation : 2 ( 15) = + 15. Quelle égalité a-t-elle utilisée pour obtenir cette équation? Résoudre cette équation et donner la réponse au problème. CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES 121

Eercices Je m entraîne À l oral 37 Trouver la longueur du rectangle dans chaque cas : a. l aire est 36 cm 2 ; b.le périmètre est 36 cm.? cm 4 cm 38 Je paie 60 pour l achat de 5 livres identiques. Combien coûte un livre? 39 Trouver la longueur manquante?? m 7 m 15 m 40 Calculer la valeur de : 20 41 Associer un problème à l une de ces équations. a. 2 ( + 6) = 10 b.2 + 6 = 10 c. 2 ( 6) = 10 A. À la librairie, j achète 2 stylos et 4 gommes valant chacune 1,5. Je paye 10. Quel est le pri d un stylo? 2 Ligne 1 9 3 = 5 + 4 Ligne 2 4 3 = 4 Ligne 3 4 = 7 Ligne 4 = 7 4. 43 Pour résoudre l équation 9 12 = 17 quelle opération faire en premier : a. soustraire 12 dans chaque membre? b.diviser par 9 dans chaque membre? c. ajouter 12 dans chaque membre? 44 Donner dans l ordre les opérations à faire pour résoudre ces équations : a. 3 + 4 = 7 b.5 + 6 = 26 c. 7 ( + 11) = 49 d. 3 (2 + 4) = 5 45 Résoudre les équations suivantes : a. 2 = 50 b.3 = 15 c. 4 = 10 d. 6 = 21 e. 2 = 13 f. 8 = 12 46 Résoudre les équations suivantes : a. 4 + = 13 b. 6 = 15 c. = 8 d. 3 = + 6 47 Résoudre les équations suivantes : a. 7 = 3 + 18 b.3 + 2 = 2 + 7 c. 3 6 = 9 d.4 + 5 = 18 e. 18 = 21 15 f. 8 = 15 48 Résoudre les équations suivantes : a. 3 4 = 15 b. 3 4 = 11 c. 25 = 5 6 d. 2 3 = 5 B. Soit le programme de calcul : Choisir un nombre Soustraire 6 Multiplier le résultat par 2 Quel nombre choisir pour obtenir 10? C. Quelle est la largeur d un rectangle de longueur 6 cm lorsque son périmètre est égal 10 cm? 42 On a résolu l équation 9 3 = 5 + 4. Epliquer comment on est passé de chaque ligne à la suivante. 49 Réduire les epressions suivantes : a. 3 + 7 b.4 11 c. + d.3 + 6 11 e. 3 + 2 2 f. 2 6 + 5 + 7 50 Développer et réduire les epressions suivantes : a. 2(7 6) b. 2(3 4) c. 1 (4 + 6) d. ( + 5) 2 51 1. Quel est le terme en 2 dans le développement des epressions suivantes : a. ( + 4)(2 6) b.(8 7)(8 + 7) c. (6 + 1) 2 d.( + 1)( + 3) 2. Donner maintenant le terme constant. 122 CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

Résoudre une équation 52 QCM Les nombres suivants sont-ils solution de l équation? Équation a b c 7 + 5 = 1 3 0 1 1 2 2= 2 4 3 3 2 3 2 = 4 7 3 3 4 4 6 6 4 5 60 [SC] Brevet des collèges a. Dans un parc zoologique, la visite coûte 6 pour les adultes et 5 pour les enfants. À la fin de la journée, on sait que 630 personnes ont visité le zoo et que la recette du jour est 3 270. b.parmi les personnes qui ont visité le zoo ce jour-là, quel est le nombre d enfants? Quel est le nombre d adultes? 53 1. Écrire une équation dont la solution est 7. 2. Inventer une situation qui peut se traduire par cette équation. 54 Résoudre les équations suivantes : a. 3( + 2) = 2 5 b.11 4(2 9) = 0 c. 3 (2 + 5) = 7 55 Résoudre les équations suivantes : a. 5( 3) = 7(3 3) b.2( + 4) 3 = 5( 3) c. 12(2 ) = 24 61 [SC] Voici le plan de mon jardin de forme carrée. Je souhaite faire un potager de forme carrée également. P 25 m O 56 Brevet des collèges Résoudre l équation : 2(3 + 4) 5(1 2) = 7(2 3) + 12 E R Avec équation ou sans? 57 [SC] 3 amis se partagent 100 bonbons. Le deuième reçoit 4 fois le nombre de bonbons du premier. Le troisième reçoit 10 bonbons de plus que le deuième. Combien de bonbons chacun reçoit-il? 58 [SC] Résoudre le problème suivant. Dans un troupeau il y a des chameau (à deu bosses) et des dromadaires (à une bosse). On compte 34 têtes et 47 bosses. Combien y a-t-il de chameau, de dromadaires? 59 [SC] Une bouteille et son bouchon pèsent 110 g. La bouteille pèse 100 g de plus que le bouchon. Combien pèse le bouchon? G A T J ai un paquet de graines de gazon permettant d ensemencer 544 m 2. Quel est le côté de mon potager lorsque j utilise toutes les graines du gazon? 62 [SC] Trois nombres entiers consécutifs sont écrits dans les bulles bleue, orange et verte. 1. Remplir les autres bulles de couleur sachant que chaque bulle contient la somme des 2 bulles qui se trouvent sous elle. 4 5 6 2. Quels nombres entiers consécutifs faut-il choisir dans les bulles bleue, orange et verte pour obtenir 84 dans la bulle rouge? CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES 123

Eercices Je m entraîne 63 Un marchand de foulards participe pendant 3 jours à une foire. Le deuième jour, il vend 2 fois plus de foulards que le premier jour, et le troisième jour il vend 13 foulards de plus que le deuième jour. Il vend en tout 128 foulards. Combien a-t-il vendu de foulards le premier jour? Avec équation 67 Voici l énoncé d un eercice : Annabelle a onze ans de moins que Baptiste. Dans sept ans Baptiste aura le double de l âge d Annabelle. Quel est l âge des enfants? Pour résoudre cet eercice trois élèves ont choisi une inconnue différente : Fatia a appellé l âge d Annabelle aujourd hui. Laure a appellé l âge de Baptiste aujourd hui. Maime a appellé l âge qu aura Baptiste dans sept ans. 1. Associer à chaque élève l équation qu il a obtenue. a. + 7 = 2 ( 4) b. + 18 = 2 ( + 7) c. 2 ( 11) = 2. Résoudre le problème en utilisant la mise en équation qui semble la plus simple. 64 [SC] Quickies Charles Trigg, ingénieur et mathématicien américain, a donné ce nom à des questions relativement simples dont la résolution peut être laborieuse, sauf si on fait preuve d un peu d astuce! On étudie la seconde langue vivante des élèves d une classe : la moitié font de l espagnol, un siième de l italien, un cinquième de l allemand et le reste soit 4 élèves font du chinois. Combien y-a-t-il d élèves dans la classe? 68 1. Quelle doit être la valeur de pour que le rectangle ci-contre soit un carré? 2. Quelle est alors la longueur de son côté? 69 Pourquoi le parallélogramme ci-contre n est sûrement pas un losange? + 6 4 3 4 2 7 65 [SC] Brevet des collèges On considère le programme de calcul suivant. Choisir un nombre de départ Multiplier ce nombre par ( 2) Ajouter 5 au produit Multiplier le résultat par 5 Écrire le résultat obtenu 1. a. Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5. b. Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on? 2. Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu soit 0? 3. Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir 17? D après Brevet 2010 66 La somme de deu nombres est 22, leur différence est 8. Quels sont ces deu nombres? 70 Voici un programme de calcul : Choisir un nombre Ajouter 3 Mutiplier la somme par 6 Retirer deu fois le nombre de départ Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat soit égal à 0? 71 Un chocolatier propose des boîtes de chocolats. La boîte «Gourmande» contient 8 chocolats de plus que la boîte «Minceur». La boîte «Minceur» contient 4 fois moins de chocolats que la boîte «Plaisir». On appelle le nombre de chocolats d une boîte «Minceur». 1. Eprimer en fonction de le nombre de chocolat d une boîte «Gourmande» puis d une boîte «Plaisir». 2. Le chocolatier avec 288 chocolats a rempli 3 boîtes «Gourmande», 7 boîtes «Plaisir» et 13 boîtes «Minceur». Combien y-a-t-il de chocolats dans une boîte «Plaisir»? 124 CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

Eercices Je m évalue Les capacités travaillées dans le chapitre 6 JE RELIS JE REFAIS CAPACITÉ 1 Je sais résoudre un problème, avec ou sans équation [SC] les eemples page 115 les eercices 57 et 58 CAPACITÉ 2 Je sais résoudre une équation l eercice résolu 1 l eercice 20 CAPACITÉ 3 Je sais mettre un problème en équation l eercice résolu 2 l eercice 67 JE FAIS LE POINT en faisant les eercices ci-dessous. (Réponses et capacités correspondantes page 307) 1 J ai 40 ans et mes trois filles ont 8 ans, 12 ans et 14 ans. Dans combien d années la somme de leurs âges sera égale au mien? 2 Dans ce train, 5 des passagers habitent dans 12 les côtes d Armor. Cela représente 150 personnes. Combien y a t-il de passagers dans ce train? 3 Mon jardin est rectangulaire. Sa longueur fait 10 m de plus que sa largeur. Je l entoure d un grillage dont la longueur fait 64 m. Quelles sont les dimensions de mon jardin? 4 QCM Choisir la bonne réponse. Myrtille va à la boulangerie, elle achète une tarte à 8 et 5 croissants. Elle paie 15,5. Quel calcul faire pour avoir le pri d un croissant? a. 15, 5 + 8 5 c. 15, 5 8 5 5 Voici un programme de calcul. Choisir un nombre Le multiplier par 8 Ajouter 7 Retirer le triple du nombre choisi b.8 15, 5 5 d. 15,5 (8 + 5) Écrire une équation qui permet de trouver le nombre à choisir pour obtenir 22 comme résultat. 6 QCM Choisir la bonne réponse. On cherche pour que les périmètres du rectangle et du losange soient les mêmes. 7 Quelles équations permettent de résoudre ce problème? a. 4( + 5) = 7 + 3 b.( + 5) 2 = 7 3 c. 4 + 20 = 14 + 6 d.4 ( + 5) = 2(7 + 3) 7 Le contenu de chaque brique est la somme des 2 briques qui se trouvent sous elles. a. Compléter la pyramide. b. Quelle équation permet 42 de trouver? 3 8 + 5 8 Donner dans l ordre les opérations à effectuer pour résoudre les équations suivantes : a. 2 + 3 = 9 b.2( 5) = 8 9 Résoudre les équations suivantes : a. 7 8 = 10 3 b. 14 + 9 = 12 5 6 J ai moins de 5 bonnes réponses, j ai le niveau 1 : je refais les eercices corrigés. J ai entre 5 et 7 bonnes réponses, j ai le niveau 2 : je refais les eercices corrigés qui correspondent à ce que je n ai pas réussi. J ai plus de 8 bonnes réponses, j ai le niveau 3 : je maîtrise les nouvelles capacités de ce chapitre, mais je m assure que j ai bien compris les eercices que je n ai pas réussis. CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES 125

Eercices J utilise mes connaissances et capacités 72 [AB] est un segment de longueur 10 cm. Où placer le point M sur le segment [AB] pour que le carré et le triangle équilatéral aient le même périmètre? A M B 73 QCM Choisir la ou les bonne(s) réponse(s). Le chien est neuf fois plus lourd que le chat, la souris est vingt fois plus légère que le chat et le navet est si fois plus lourd que la souris! Alors, le chien est certainement plus lourd que le navet, mais combien de fois? a. 30 b. 2,7 c. 1 080 d. 15 e. C est fau, le chien est moins lourd que le navet. Source : Kangourou 1999 74 Dans la pyramide, chaque case contient la somme des 2 cases situées juste en dessous. Pour quelle valeur de obtient-on 35 au sommet de la pyramide? 7 2 5 1 75 Brevet des collèges Les parents de Charlotte souhaitent l inscrire dans le club d équitation le plus proche de chez eu. Le club leur propose deu formules différentes : Formule A : 18 la séance. Formule B : un abonnement à 120 puis 10 la séance. 1. Vérifier que le coût pour 7 séances est de 126 pour la formule A, 190 pour la formule B. 2. Calculer le coût de 20 séances pour ces deu formules. Quelle est la formule la plus avantageuse dans ce cas? 3. Chercher le nombre de séances pour lequel les deu formules coûtent le même pri. D après Brevet 2009 76 Brevet des collèges On propose deu programmes de calcul. Programme A Choisir un nombre Multiplier ce nombre par 3 Ajouter 7 Programme B Choisir un nombre Multiplier ce nombre par 5 Retrancher 4 Multiplier par 2 1. On choisit 3 comme nombre de départ. Montrer que le résultat du programme B est 22. 2. On choisit ( 2) comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A? 3. a. Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit ( 2)? b. Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit 0? 4. Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deu programmes? Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée. Même si cette démarche est incomplète, il en sera tenu compte dans l évaluation. Métropole et La Réunion, Septembre 2009 77 Carrelage Je souhaite poser du carrelage dans ma cuisine. Les carreau blancs de forme octogonale sont coupés dans des carreau carrés de 15 cm de côté. Je sais que les carreau verts ont une aire 8 fois plus petite que celle d un carreau blanc. Quel est le côté d un carreau vert? AIDE : dans un carré de 15 cm de côté, on rentre un carreau blanc plus combien de carreau verts? 78 TICE 12 cm ABCD est un carré de côté 12 cm. On enlève un même carré à chaque coin de ABCD pour obtenir le patron d une boîte (sans couvercle). 1. a. Fabriquer un patron pour obtenir la boîte (sans languettes). b. Prendre les mesures nécessaires sur ce patron pour calculer le volume de cette boîte. 2. a. Préparer une feuille de calcul d un tableur ainsi : b. Entrer les formules de calcul nécessaires dans les cellules B2, C2, D2 et E2 puis les recopier vers le bas. c. À l aide du tableur, peut-on trouver une boîte de volume 64 cm 3? 3. Vers une équation On nomme la mesure en cm du côté d un carré blanc découpé dans un coin? Eprimer en fonction de les mesures du côté du fond de la boîte en cm, de l aire du fond de la boîte en cm 2 puis du volume de la boîte en cm 3. 126 CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

4. Vérifier que la solution trouvée sur le tableur est bien solution de l équation trouvée. 5. À l aide du tableur, donner une valeur approchée au millième près d une autre solution de l équation trouvée. 79 Suite du problème d Al-Khwārizmī (chapitre 5, activité 7) Le terrain est un triangle isocèle de côté 10 coudées et de hauteur 8 coudées. Al-Khwārizmī poursuit ses calculs en écrivant : Quant à l aire du triangle supérieur, c est en multipliant huit moins une chose, et c est la hauteur, par la moitié d une chose ; il vient quatre choses moins la moitié d un bien. a. Justifier que l aire du triangle supérieur est celle donnée par Al-Khwārizmī. On désigne une chose par. Écrire cette aire en fonction de. Ceci est l aire du carré et des trois triangles, et c est di choses, qui égalent quarante-huit, et c est l aire du grand triangle. b. Calculer l aire du grand triangle. Pourquoi l aire du carré et des trois triangles est-elle égale à di choses? Quelle équation obtient Al-Khwārizmī? De cela la chose est quatre coudées et quatre cinquièmes de coudée et c est chacun des côtés de la terre carrée. c. Vérifier la solution d Al-Khwārizmī. 80 Je dispose de deu sortes de cubes. Les uns font 3 cm d arête, les autres 7 cm. En posant ces cubes les uns sur les autres, j obtiens une pile de 5,2 m de hauteur. Et, si je veu remplir tous les cubes avec de l eau, il me faut eactement 10 litres. On cherche le nombre total de cubes. 1. En remarquant que 3 cm + 7 cm = 10 cm, trouver le nombres de cubes de 3 cm de côté d une pile de 5,2 m de hauteur contenant autant de cubes de chaque sorte. Quel est alors le volume total des cubes? 2. a. Combien doit-on enlever au minimum de cubes de 7 cm de côté pour pouvoir les remplacer par des cubes de 3 cm de côté sans changer la hauteur? b. Dans cette manipulation, trouver de combien diminue le volume total des cubes. 3. Résoudre le problème. 81 TICE Construction d une piscine On souhaite connaître la profondeur de la piscine (qui est la même que la largeur du fond) pour laquelle le volume d eau est égal de 85 m 3. A m D 4 m m C E 14,5 m 1. Ouvrir un tableur. Dans la case A1 : écrire : «profondeur», dans la case B1 : «aire du trapèze ABCD», dans la case C1 : «volume de la piscine». 2. Entrer des nombres entiers dans la première colonne. Entrer les formules nécessaires dans les cellules B2, C2. 3. Recopier les formules et répondre à la question de départ. AIDE : pour calculer l aire du trapèze, penser à le découper en 2 figures dont on sait calculer l aire. 82 Quickies O est le centre du carré ABCD. L aire de la partie verte est égale à 30,25 dm 2. Quelle est la longueur du côté du carré? 83 The weights in the puzzles below are kilograms. 2 20 a. Copy and complete the equation 5p + 2 = below for the balance puzzle. b. Solve the equation. c. Check your solution works for the puzzle. A D CHAPITRE 6 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES 127 B O F B C