Transformateur et transfert de puissance

PSI Moissan 0 TD Transformateur électrique Mars 03 I. Transformateur et transfert de puissance i e u Z u La loi des mailles donne ce qui donne Or u Z u i donc E i Z u i p R u jx u qi E i R u jx u u E R u jx u R u jx u On peut alors calculer la puissance moyenne avec la formule xp y {Rtui u soit donc, en utilisant l expression de i En simplifiant dans le cas particulier, on obtient xp y RtZ uii u RtZ uu i R u xp y E p R u q Xu xp y E p q 4Rg xp y E 3. i i e u u Z u.a. Coté primaire, la tension aux bornes de la bobine est en convention récepteur, donc u e N. Au secondaire, on est en convention générateur donc u e N. La notation des bornes homologues permet de déduire que φ φ (en raison de l orientation des courants), donc u N u N

PSI Moissan 0 TD Transformateur électrique Mars 03 Par ailleurs, d après la loi des mailles dans le circuit primaire u e g i donc e g i u m Il nous reste à connaitre l intensité dans le secondaire. On obtient cette intensité en utilisant la conservation de la puissance dans le transformateur idéal u i u i, donc i mi. On obtient la relation donnant l intensité en passant en notation complexe et en utilisant la définition de l impédance complexe u Z u i, ce qui donne soit et i m e g mi Z ui m e g Z u m me g m R u jx u u me g R u jx u m R u jx u On obtient la puissance moyenne par la même méthode que précédemment xp y RtZ uu i R m E u pm R u q Xu.b. Il faut dériver l expression précédente par rapport à m xp y R ue m m R u Xu m m R u mrg pm R u q Xu soit xp y R ue m m R u mxu m 4 Rgm pm R u q Xu 4m 4 R u donc xp y mr ue m 4 Rg Ru m R u Xu m 4 Rg m R u pm R u q Xu qui se simplifie (un peu) xp y mr u E Ru Xu m 4 Rg pm R u q Xu La dérivée s annule pour m 4 0 R u R g X u m 0 4 d Ru Xu Rg 4 d Z u R g d Z u La dérivée changeant de signe en m m 0, l extremum est bien un maximum.

PSI Moissan 0 TD Transformateur électrique Mars 03.c. m 0 E xp y R u pm 0 R u q Xu R u Z u E p Zu R u q X u R u Z u E p Z u R u q donc xp y R u Z u E Z u Ru Xu R u Z u E Z u R u 4 Z u p Z u R u q R u E 4 Z u R u Dans le cas particulier proposé xp y E 4 p? E 8 q 9, 7 Ce montage permet donc d augmenter la puissance transmise à la charge. X u II Bornes homologues u i n spires i i 3 n spires u u 3 n 3 spires i 4 n 4 spires u 4 On commence par la relation entre courants qui est la plus simple. Les courants entrants par des bornes homologues sont comptés avec le même signe dans le théorème d Ampère, donc ¾ ÝÑH d l n i n i n 3 i 3 n 4 i 4 Or ÝÑ B µ 0 µ r ÝÑ H avec µr Ñ 8 dans un transformateur parfait. Comme ÝÑ B doit rester borné, alors ÝÑ H est nul, donc n i n i n 3 i 3 n 4 i 4 0 Pour la tension aux bornes des enroulements, on regarde si elle est en convention générateur (conformément à la loi de Faraday) ou en convention récepteur, ce qui donne la relation entre la tension aux bornes de l enroulement et la fém induite par le flux commun φ dans le cas d une canalisation parfaite du flux. On a alors u e, u e (convention générateur) et u 3 e 3, u 4 e 4, donc $ '& '% u n u n u 3 n 3 u 4 n 4 ce qui permet facilement de calculer les rapports de transformation u n u 3 ; n 3 u 4 ; n 4 u n u n u n 3

PSI Moissan 0 TD Transformateur électrique Mars 03 III Transformateur réel de tension i i v v ÝÑ S S eθ.a. Par symétrie, l excitation magnétique ÝÑ H est un vecteur orthoradial, puisque le plan po, e z q est plan de symétrie. Par ailleurs, il y a invariance par rotation autour de po, e z q, donc ÝÑ H ne dépend pas de θ. Pour finir, on suppose que le tore est suffisamment grand pour que l excitation soit homogène dans une section du tore, donc la valeur de ÝÑ H est constante. On a donc ÝÑ H H eθ On applique le théorème d Ampère à un cercle d axe po, e z q et de rayon R pour calculer l excitation magnétique ¾ ÝÑ H d l πrh N i N i Γ Le signe venant de l orientation relative des spires parcourues par i et ÝÑ S. On a donc ÝÑ B µ0 µ r ÝÑ H donc ÝÑ B a les mêmes propriétés géométriques que ÝÑ H. On peut alors calculer le flux magnétique commun à travers la section S du tore φ ÝÑ B ÝÑ S N i N i µ 0 µ r S πr On en déduit N i πr µ 0 µ r S φ N i donc i πr N µ 0 µ r S φ N i N Si le secondaire ne débite pas de courant, on constate cependant que l intensité i est non nulle. Ce courant est appelé courant magnétisant i m πr N µ 0 µ r S φ.b. La puissance absorbée par le transformateur n est alors pas nulle. Par ailleurs, on peut remarquer que u N N N µ 0 µ r S di m N µ 0µ r S di m di m L m πr πr ce qui montre qu on peut modéliser le courant magnétisant par une inductance placée en parallèle à l entrée du transformateur. i i u L m u i m 4

PSI Moissan 0 TD Transformateur électrique Mars 03. R i L f L f R i u L µ u i m.a. Ces pertes correspondent au pertes cuivre dues aux résistances des enroulements et donc à l effet Joule impliqué par ces résistances. On joue principalement sur la qualité du conducteur utilisé pour diminuer les pertes par effet Joule..b. C est le phénomène de fuite de flux qui est du à l imperfection de la canalisation du flux du champ dans le matériau ferromagnétique..c. Les pertes fer sont dues au courant de Foucault dans le matériau ferromagnétique et aux pertes par hystérésis. On choisit un matériau feuilleté pour diminuer les courants de Foucault et on utilise un matériau ferromagnétique doux pour limiter les pertes par hystérésis liées à l aire du cycle parcouru dans la représentation BpHq. IV Détermination expérimentale des pertes par hystérésis i i R voie Y eptq u u C v Y R 0 v X voie X.a. l " S permet de considérer l excitation magnétique constante sur une section droite du tore. C est une hypothèse facilitant le calcul..b. On a un pont diviseur de tension entre u et v Y, donc v Y u Z R Z C Z C jcω R jcω jrcω Le montage a un comportement intégrateur Hpωq {ω, ce qui est vrai si la fréquence utilisée est très supérieure à la fréquence de coupure. Ici f c πrc, il faut donc RCω ", ce qui implique C " Rω πrf 3.8 0 8 F 5

PSI Moissan 0 TD Transformateur électrique Mars 03.c. On applique le théorème d Ampère, les courants i et i entrant tous les deux par une borne homologue. ÝÑ H est orthoradial par symétrie, on utilise donc un contour circulaire de centre O et de rayon r T et de circonférence l. ¾ ÝÑ H d l lh n i n i Comme n i " n i, alors lh n i et donc, avec v X R i Γ H n R l v X Pour exprimer ÝÑ B, on exprime la tension u, qui en convention récepteur vaut u e, e étant la fém induite calculée par le loi de Faraday, donc u e n Or le flux commun a pour valeur φ BS puisque le champ est constant sur une section droite, donc Enfin, pour le filtre intégrateur u n S db et donc v Y RC» t 0 u pt q» t RC n db S 0 n S rbptq Bp0qs RC Bptq Bp0q RC n S v Y On peut donc visualiser en mode XY sur l oscilloscope le cycle d hystérésis parcouru BpHq. Si Bp0q 0, alors le cycle n est pas centré sur l origine..d. Le champ rémanent est le champ B 0 quand H 0. Le champ coercitif, appelé aussi excitation coercitive est la valeur de H 0 quand B 0. Ici le cycle est centré donc Bp0q 0. On mesure les tensions v Y r, 5 V donc B r 0.5 T et v Xc 0.5 V, donc H c.5 A m.. Pertes par hystérésis 6

PSI Moissan 0 TD Transformateur électrique Mars 03.a. Par définition P H T» T 0 u i u étant noté en convention récepteur, les pertes cuivres étant négligeables On peut calculer i à partir de lh n i, soit u e n n S db et donc P H T» T 0 n S db i lh n lh» T n T Sl HdB 0 L intégrale correspond au parcourt d un cycle d hystérésis. On peut donc exprimer les pertes fer sous la forme P H V A T où V Sl est le volume de matériau et A l aire du cycle d hystérésis..b. Sur l axe X, un carreau correspond à 0.5 V, donc à 00 A m. Sur l axe Y, un carreau correspond à V donc à 0. T. Une aire de un carreau correspond donc, en unité SI, à 0 SI. L aire vaut six carreaux, donc la puissance dissipée vaut P H 0 0 4 0.5 6 0 6 w {50 dissipée par période. 3. Il est souhaitable de limiter les pertes dans le matériau et donc de choisir un matériau à champ coercitif faible. V Méthode des pertes séparées. Le secondaire est en circuit ouvert. Les pertes cuivre au secondaire sont donc nulles puisque i 0. La puissance correspond donc à priori aux pertes fer et aux pertes cuivre dans le primaire. Cependant, l intensité vaut, 0 A, alors qu en régime nominal elle vaut I p P n {U n. 0 3 {30 9, 5 A. L intensité est donc 0 fois plus faible qu en régime nominal, et les pertes par effet Joule sont donc 00 fois plus faibles. La puissance correspond donc essentiellement aux pertes fer. Remarque : le courant existant dans le primaire alors que le secondaire est ouvert est le courant magnétisant..a. Le secondaire est en court-circuit, donc V scc le tension au secondaire correspondante est quasi nulle, en pratique égale à R s I scc si la résistance de l enroulement secondaire est R s. Le rapport de transformation donne alors pour la tension au primaire V pcc mr s I scc qui est donc très petit. 7

PSI Moissan 0 TD Transformateur électrique Mars 03.b. Les tensions au primaire et au secondaire sont très faibles. Elles sont liées, au termes résistifs près (pour les enroulements), aux variations du flux V p N p V s N s qui sont donc très faibles. Les variations du champ magnétique sont donc très faibles aussi. Les pertes par courant de Foucault et par hystérésis sont donc négligeables et la puissance consommée correspond au pertes cuivre totales. Par ailleurs, comme les intensités sont à leur valeurs nominales, les pertes cuivre mesurées correspondent au pertes cuivre en régime nominal. 3. La puissance fournie au primaire est intégralement consommée au secondaire ou dans les pertes. η P ut P cons 0 3 0 3 75 80 93 % 8