Multiples et diviseurs

TS spé Plan du chapitre : Multiples et diviseurs I. Rappels sur les ensembles de nombres II. Divisibilité III. Ensemble des diviseurs d un entier IV. Exercices d application de la définition V. Parité d un entier VI. Propriétés VII. Exercices d application des propriétés VIII. Une caractérisation de la divisibilité IX. Lemme a bc d X. Nombres premiers XI. Bases de numération XII. Logique et raisonnements L arithmétique est la partie des mathématiques qui étudie les nombres, les opérations et les relations entre les nombres. Le mot arithmétique vient du grec : arithmos (nombre). L arithmétique est un domaine des mathématiques extrêmement riche où de nombreux problèmes restent encore verts. Les démonstrations du chapitre sont à étudier et à savoir refaire. I. Rappels sur les ensembles de nombres : ensemble des entiers naturels (c est-à-dire positifs nuls) 0 ;1; ; 3 ;... a un plus petit élément 0 mais n a pas de plus grand élément. On appelle ces nombres naturels car ce sont les premiers qui ont été décverts par les hommes. Ils ont été inventés pr dénombrer (compter les bêtes d un trpeau par exemple). Les exercices de comptage font partie des premiers exercices que l on fait à l école maternelle. : ensemble des entiers relatifs (positifs négatifs)... ; 1; 0 ;1; ;... : ensemble des décimaux relatifs Exemples : 1,54 ; 3,075 La partie décimale doit s arrêter. : ensemble des nombres rationnels (nombres qui peuvent s écrire comme quotient de deux entiers relatifs c est-à-dire qui peuvent s écrire ss la forme x y avec x et * y ). Exemples : 1 0,3333... 3 ; 4 0,8 ; 5 5 7 : ensemble des nombres réels Exemples :, sont des réels qui ne sont pas rationnels ; on dit que ce sont des irrationnels. est inclus dans 1

L ensemble des nombres complexes ne figure pas sur ce schéma. Attention dans l écriture a b ; il y a un ordre. Par exemple : 3 7 mais 7 3. On évite d écrire 7 : 3 9. 0 1 1 3,07,1 3 ) Remarques Tt entier relatif divise 0 (car 0 a 0 ). 0 ne divise aucun entier b 0 (car b k 0 pr tt k ). 1 et 1 divisent ts les entiers ( b b 1 et b b 1 ). Les diviseurs entiers naturels d un entier relatif non nul sont aussi appelés «diviseurs positifs» au sens de «diviseurs positifs nuls» «diviseurs strictement positifs» puisque 0 n est pas un diviseur. 1 4 3 7 3 III. Ensemble des diviseurs d un entier 1 ) Propriété Énoncé : Dans tt le chapitre, le mot «entier» désignera un «entier relatif». II. Divisibilité 1 ) Définition a et b sont deux entiers relatifs ( a, b ). a divise b (on note a b) signifie qu il existe un entier relatif k tel que b k a. On dit que : - «b est divisible par a» ; - «a est un diviseur de b» ; - «b est un multiple de a». On utilise bien une barre verticale et non horizontale de quotient. Cette notation n a rien à voir avec la notation d un quotient. Lorsqu un entier ne divise pas un autre entier, on peut utiliser le symbole qui signifie «ne divise pas» (barre normale qui est barrée). Tt entier non nul admet un nombre fini de diviseurs. Démonstration : L idée de démonstration repose sur le résultat suivant : Soit a et b deux entiers relatifs tels que b 0. Si a b, alors a b. a b signifie qu il existe k tel que : b k a (1). b 0 donc k 0. (1) donne alors b k a. k est un entier non nul donc k est un entier naturel non nul. Par suite, k 1. On a donc k a a. Par conséquent, b a. Conséquence : ) Exemples 3 7 car 7 9 3. On peut dire que 3 est un diviseur de 7. On peut dire aussi que 7 est un multiple de 3. Soit b un entier relatif non nul. Les diviseurs de b appartiennent à l intervalle b ; b et sont des entiers relatifs. Ils sont donc en nombre fini (inférieur égal à b 1). n n 1 n 1 car n 1 n 1 n 1 avec n 1. 3 4

) Vocabulaire a b k tel que b k a On dit que k est le diviseur associé à a. Exemple : 17 153 car 153 17 9 9 est le diviseur de 153 associé à 17. On dit aussi que 17 et 9 sont deux diviseurs associés de 153. Si d est un diviseur de n, son diviseur associé est l entier n Autrement dit, son diviseur associé est d '. d d ' tel que Si n est un entier naturel non nul (c est-à-dire strictement positif), il est évident que deux diviseurs associés de n sont de même signe d après la règle du signe d un produit (puisque n 0 ). En particulier, le diviseur associé à un diviseur positif est lui-même un entier positif. 3 ) Notations dd ' n. Pr le logiciel XCas : cmds entier idivis Le logiciel XCas donne seulement les diviseurs positifs ; il ne les donne pas dans l ordre croissant. On peut par exemple chercher l ensemble des diviseurs de plusieurs entiers par exemple 014, 015, 360 Pr 360, les diviseurs sont mis dans un ordre inexplicable. IV. Exemples d application de la définition 1 ) Exemple 1 Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs quelconques est divisible par 3. Trois entiers consécutifs peuvent s écrire ss la forme n 1, n, n 1. n 1 n n 1 3n. On a : La somme est donc bien divisible par 3. Autre façon : Les trois entiers consécutifs peuvent s écrire n, n 1, n. n n 1 n 3n 3 3 n 1 Pr tt entier b, on note : D b l ensemble des diviseurs de b dans ; D b l ensemble des diviseurs entiers naturels de b. Exemples : D D 15 15 ; 5 ; 3 ;1 ; 1 ; 3 ; 5 ; 15 15 1; 3 ; 5 ;15 Pr tt entier b, on a D b D b. Conséquence : Pr tt entier b non nul, D b est fini (car on a démontré que b D est fini). Il est possible pr s entraîner de faire le même pr 5 entiers naturels consécutifs. Démontrer que la somme de cinq entiers consécutifs quelconques est divisible par 5. Pr rédiger : On commence par dire : «Considérons cinq entiers consécutifs.» Ensuite, au choix, on écrit : Notons n l entier du «milieu». Notons n le plus petit des cinq entiers. 4 ) Recherche de l ensemble des diviseurs d un entier La recherche de ts les diviseurs d un entier peut être fastidieuse. On étudiera dans un chapitre ultérieur un moyen à l aide de la décomposition d un entier en facteurs premiers. Sinon, on prra utiliser un programme (voir chapitre sur la division euclidienne) un logiciel de calcul formel (par exemple, le logiciel XCas). 5 ) Exemple Quel est l ensemble des entiers n tels que 7 divise n 4? 7 n 4 signifie qu il existe b tel que n 4 7k c est-à-dire n 7k 4. L ensemble cherché est l ensemble des entiers de la forme 7 k 4 k. 6

3 ) Exemple 3 Déterminer les entiers n tels que n 1 divise 10. Il s agit d un ensemble infini. Les diviseurs de 10 sont : 1,, 5, 10, 1,, 5, 10. On effectue un raisonnement par équivalences (en rédigeant par chaîne d équivalences). n 1 10 n 1 1 n 1 n 1 5 n 1 10 n 1 1 n 1 n 1 5 n 1 10 n n 3 n 6 n 11 n 0 n 1 n 4 n 9 n 1 n 3 n 0 n Les équations n 3, n 11, n 1, n 9 n ont pas de solution dans. Les solutions cherchées sont 1, 3, 0 et. On peut faire une vérification (ici facultative) pr chacune de ces valeurs. Par exemple, pr n 1, n 1 1 et 1 divise bien 10. De même, pr n 3, n 1 5 et 5 divise bien 10. Etc. 7 8

4 ) Exemple 4 On dit que deux entiers naturels sont «amicaux» si la somme des diviseurs positifs autres que lui-même de chacun de ces nombres est égale à l autre nombre. Démontrer que 0 et 84 sont amicaux. On peut obtenir facilement la liste des diviseurs positifs de 0 et de 84 grâce à un logiciel de calcul formel. D D 0 1; ; 4 ; 5 ;10 ;11; 0 ; ; 44 ; 55 ;110 ; 0 84 1; ; 4 ; 71;14 ; 84 1 4 5 10 11 0 44 55 110 84 1 4 7114 0 On en déduit que 0 et 84 sont amicaux. V. Parité d un entier 1 ) Définition On dit qu un entier est pair s il est divisible par. On dit qu un entier est impair s il n est pas divisible par. ) Propriété n est un entier. n est pair n est de la forme p où p est un entier. n est impair n est de la forme p 1 où p est un entier. VI. Propriétés 1 ) Énoncés a, b, c sont trois entiers relatifs. (1) Transitivité Si a b et b c, alors a c. () Réflexivité a a (3) Si a b, alors, pr tt entier a b. (4) Si a b et b a, alors a b a b. (5) Propriété fondamentale Si a b et a c, alors a divise tte combinaison linéaire de b et c à coefficients entiers. Autrement dit, a b c où et sont des entiers quelconques. ) Démonstrations (1) a b donc k tel que b k a b c donc k ' tel que c k ' b Donc ' D où a c. () c k k a avec k k ' a a 1 donc a a (3) a b donc k tel que b k a b k a avec k (4) a b donc k tel que b k a b a donc k ' tel que a k ' b On obtient : b k k b d où b 1 kk ' 0 soit b 0 kk ' 1. Si b 0, alors comme a k ' b, a 0 donc a b. Si kk ' 1, alors ( k 1 et k ' 1) ( k 1 et k ' 1). Donc a b a b. 9 10

Autre méthode : 1 er cas : a 0 On a alors b 0. La propriété est vérifiée. e cas : b 0 On a alors a 0. La propriété est vérifiée. 3 e cas : a 0 et b 0 On a alors : a b et b a. Par suite, a (5) b. Donc a b a b. a b et a c donc il existe des entiers relatifs k et On considère deux entiers quelconques et. On a : ' ' k ' tels que b k a et c k ' a. b c k a k a k k a avec k k '. Donc a b c. 3 ) Commentaire sur la propriété () Tt entier naturel a est tjrs divisible par 1 et par lui-même (en effet : a a 1). Il en résulte que tt entier naturel a distinct de 1 admet tjrs au moins deux diviseurs positifs, à savoir 1 et lui-même. 4 ) Cas particulier de la propriété (5) Si a b et a c, alors a b c et a ; 1; 1 b c (combinaisons linéaires particulières pr ; 1;1 On retiendra la propriété suivante qui est un corollaire de la propriété (5). Si un entier divise deux entiers, alors il divise leur somme et leur différence. et VII. Exercices d application des propriétés 1 ) Exercice 1 (raisonnement par implication) n et a sont des entiers relatifs. Démontrer que si a n 5 et a 3n 1, alors a 17. a n 5 et a 3 n 1 donc a divise tte combinaison linéaire de n 5 et 3 n 1 à coefficients entiers. En particulier, a 3n 5 3 n 1 c est-à-dire a 17. Remarque : Les valeurs possibles de a sont 17, 1, 1 et 17. ) Exercice (exemple de raisonnement par équivalence) Déterminer les entiers n tels que n n 8. n n 8 et par ailleurs n n. Donc n divise tte combinaison linéaire de n 8 et n à coefficients entiers. En particulier, n n 8 n (la somme et la différence de deux entiers sont des combinaisons linéaires particulières) c est-à-dire n 8. Réciproquement, si n 8, comme n n, alors n n 8. On a démontré que n n 8 n 8. Les entiers cherchés sont 8, 4,, 1, 1,, 4, 8. 3 ) Exercice 3 (exemple de raisonnement exhaustif) a) Déterminer D 56. b) Déterminer les cples, x y d entiers relatifs tels que x 1 y 56. a) D 56 ; ; 1;1; 56 ; 56 ; 8 ; 8 ; 4 ; 4 ; 14 ;14 ; 8 ; 8 ; 7 ; 7 5 ) Définition [combinaison linéaire de deux entiers relatifs à coefficients entiers] a et b sont deux entiers relatifs. On appelle combinaison linéaire de a et b à coefficients entiers tte expression de la forme a b où et sont des entiers. 11 b) x 1 y 56 donc x 1 est un diviseur impair de 56 (il faut tjrs penser à la parité). On a donc 4 cas possibles : x 1 7 d où y 8 x 1 1 d où y 56 x 1 7 d où y 8 x 1 1 d où y 56 1

Donc : x 4 et y 8 x 1 et y 56 x 0 et y 56 x 3 et y 8 On trve 4 cples : 4 ; 8, 1; 56, 0 ; 56, Réciproquement, on vérifie que les 4 cples sont solutions. Donc les cples solutions de (E) sont 3; 8. 4 ; 8, 1 ; 56, 0 ; 56, 3 ; 8. VIII. Une caractérisation de la divisibilité 1 ) Propriété a et b sont deux entiers relatifs tels que b 0. b a a b ) Commentaires Cette caractérisation sera utilisée plus tard en programmation. 4 ) Exercice 4 (exemple d équation diophantienne) Déterminer les cples x, y d entiers relatifs tels que x y 9 (E). Ns avons choisi de ne pas utiliser cette caractérisation dans les démonstrations du chapitre mais de tjrs privilégier des égalités (b k a avec k ). Dans ce chapitre, on évite en effet d écrire des quotients. De plus, la caractérisation comporte l hypothèse supplémentaire b 0. IX. Lemme a bc d Notons que si x, y est solution de (E), il en va de même des cples x, y,, On a donc 4 cples associés dont l un est forcément un cple d entiers naturels. On va donc résdre (E) avec x et y. On a alors x y x y. (E) x yx y 9 x y,, x y. Cette dernière égalité exprime que x y et x y sont donc des diviseurs associés de 9 avec x y x y. Or D 9 1; 3; 9 x y 1 x y 3 D où. x y 9 x y 3 x 10 x 6 Donc. x y 1 x y 3 x 5 x 3 D où. y 4 y 0 On trve 6 cples : 5 ; 4, 5 ; 4, 5 ; 4, 5 ; 4, 3; 0, 3 ; 0. On vérifie que ts ces cples sont solutions (à faire au moins pr l un des cples). 1 ) Énoncé Soit a, b, c, d quatre entiers relatifs tels que a bc d. b divise a si et seulement si b divise d. ) Démonstration (à savoir refaire) On effectue la démonstration en deux étapes. 1 ère étape : Supposer que b divise a et démontrer qu alors b divise d. e étape : Supposer que b divise d et démontrer qu alors b divise a. 1 ère étape : Supposons que b divise a. On a b b de manière évidente. Donc b divise tte combinaison linéaire de a et de b à coefficients entiers relatifs. D où b a bc. Par suite, b d. e étape : Supposons que b divise d. On a b b de manière évidente. Donc b divise tte combinaison linéaire de d et de b à coefficients entiers relatifs. D où b bc d. Par suite, b a. Donc les cples solutions de (E) sont 5 ; 4, 5 ; 4, 5 ; 4, 5 ; 4, 3 ; 0, 3 ; 0. 13 14

3 ) Application - utilisation en exercices - utilisation pr démontrer les critères de divisibilité (voir fiche à part sur les critères de divisibilité) 4 ) Exemple d utilisation (reprise de l exercice du paragraphe VII) Déterminer les entiers n tels que n n 8. On applique le lemme avec a n 8, b n, c 1, d 8. n n + 8 n 8 Les diviseurs de 8 sont 8, 4,, 1, 1,, 4, 8. Donc les entiers cherchés sont 8, 4,, 1, 1,, 4, 8. On notera que l utilisation du lemme permet de faire un raisonnement par équivalence. X. Nombres premiers 1 ) Définition On dit qu un entier naturel est premier s il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. ) Exemples et contre-exemples 3 est premier. 6 n est pas premier. 0 et 1 ne sont pas premiers. 3 ) Liste des premiers nombres premiers ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 3 ; 9 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 etc. Ns démontrerons plus tard qu il y a une infinité de nombres premiers. 4 ) Propriété immédiates Un nombre premier est tjrs strictement supérieur à 1 (c est-à-dire supérieur égal à ). Un nombre premier admet exactement deux diviseurs strictement positifs. Le seul nombre premier pair est. 5 ) Problèmes liés aux nombres premiers De nombreux problèmes se posent encore concernant les nombres premiers et n ont jamais été résolus. Exemple : La conjecture de Goldbach qui date du XVII e siècle stipule que tt nombre pair supérieur égal à 4 est égal à la somme de deux nombres premiers (exemples : 5 3, 8 3 5, 16 3 13 ). Cette conjecture dont on pense qu elle est vraie tjrs pas été démontrée à ce jr. 6 ) Suite du crs Un chapitre spécial sera consacré plus tard aux nombres premiers. Dans ce chapitre, il ne s agit que d une initiation. XI. Bases de numération 1 ) Décomposition d un entier en base 10 Cas d un nombre à trois chiffres Exemple : 74 710 10 4 Cette égalité donne la décomposition du nombre 74 en base 10. Définition : Si l on considère le nombre noté abc dans le «système décimal» «système de base 10» où a, b, c 1 sont des entiers naturels compris entre 0 et 9, on peut écrire abc a10 b10 c. a désigne le chiffre des centaines, b désigne le chiffre des dizaines et c représente le chiffre des unités. Cas général Chaque entier naturel peut s écrire comme une somme finie de puissances de 10. Par sa position, chacun des chiffres indique la puissance dont il est le coefficient. On dit que la numération décimale est une numération de position. Origine de la base 10 On considère 74 pièces. On fait des paquets de 10. Ça ne tombe pas juste et il reste 4 pièces isolées. On obtient 7 paquets contenant 10 10 pièces, paquets contenant 10 pièces et 4 pièces. ) Autres bases En utilisant le même principe que pr la base 10, on peut définir des systèmes de numération de base b où b est un entier naturel quelconque supérieur égal à. 15 16

Définition Dire que l entier naturel N a pr écriture anan 1... aa1a 0 en base b signifie que n n 1 N a b a b... a b a b a. n n1 1 0 Remarques sur la notation Le trait de surlignement permet de distinguer le nombre écrit en base b du produit an an 1... a a1 a0. b On écrit parfois anan 1... aa1a0 pr signaler la base dans laquelle on écrit le nombre sauf pr la base 10 qui est considérée comme la base usuelle. Les principaux systèmes utilisés en informatique sont le système binaire (base ) où l écriture d un nombre n utilise que le 0 et le 1, et le système hexadécimal (base 16). La base 10 utilisée en numération crante tient sûrement son origine du fait que ns ayons 10 doigts. Il reste cependant des traces d anciennes bases de numération dans le langage crant comme la base 1 quand on parle d une dzaine d œufs la base 60 pr la mesure du temps en heures, minutes et secondes. Exemples : 9 14 désigne le nombre 19 4 13 en numération décimale. 5 14 désigne le nombre 15 4 9 en numération décimale. 6 41 désigne le nombre 46 6 1 144 1 1 157 en numération décimale. 4 3 10001 désigne le nombre 1 0 0 0 1 16 1 17 en numération décimale. XII. Logique et raisonnements 1 ) Rappels sur les implications Réciproque d une implication Définition : La réciproque de l implication A B est l implication B A. Propriété : Si l implication A B est vraie, l implication réciproque B A n est pas forcément vraie. Propriété : Si l implication A B est vraie, l implication contraposée (non B) (non A) est également vraie. ) Quelques types de raisonnements Raisonnement par déductions (implications) Ce type de raisonnement s appuie sur le principe suivant : si A B est vraie et si A est vraie, alors B est vraie. On peut ainsi faire une «chaîne de déductions». Ce type de raisonnement se traduit par l utilisation de mot de déduction tels que «donc», «d où», «par conséquent». Pr ce type de raisonnement, il est svent nécessaire de faire une vérification. Raisonnement par équivalences Ce type de raisonnement se traduit en général par des «chaînes d équivalences» (utilisation du «si et seulement si» du symbole d équivalence logique ). Raisonnement par examen de ts les cas possibles Ce type de raisonnement s utilise de temps en temps en arithmétique. Il en général assez fastidieux. On fait en général tt pr l éviter mais ce n est pas tjrs possible. Raisonnement par contraposée Démontrer que P Q est vraie revient à démontrer que (non Q) (non P) est vraie. Raisonnement par récurrence Raisonnement par analyse-synthèse 3 ) Erreurs classiques de raisonnement Une erreur grave consiste à confondre raisonnement implications et équivalences (c est-à-dire svent à utiliser des «si et seulement si» là où il faudrait employer des «donc» et vice-versa). On doit donc être particulièrement vigilant aux «ruptures» d équivalences dans un raisonnement (passage du «si et seulement si» au «donc») qui imposent de faire une vérification une réciproque à la fin de l exercice. C est un point fondamental dont les élèves n ont pas forcément conscience au début de la terminale. Contraposée d une implication Définition : La contraposée de l implication A B est l implication (non B) (non A). (non A) et (non B) désignent les négations de A et B. 17 18

4 ) Condition nécessaire - condition suffisante Lorsque l implication A B est vraie : on dit que B est une condition nécessaire pr A (pr que A soit vraie, «il est nécessaire» «il faut» que B soit vraie). on dit que A est une condition suffisante pr B (pr que B soit vraie, «il suffit» que A soit vraie). x x 1 x x 1 x x n n x 1 0 x 1 0 n 3n Lorsque l équivalence A B est vraie : on dit que A est une condition nécessaire et suffisante pr B (pr que B soit vraie, il faut et il suffit que A soit vraie). on dit que B est une condition nécessaire et suffisante pr A (pr que A soit vraie, il faut et il suffit que B soit vraie). On notera que les expressions «il faut» et «il suffit» sont des expressions mathématiques qui ne s emploient dans des énoncés que dans le sens précis donné ici. Elles ne sont pas interchangeables. Le terme de condition n a ici pas son sens habituel. Il faut prendre les expressions dans leur totalité «condition nécessaire» et «condition suffisante».. Ces quantificateurs seront utilisés essentiellement dans le crs (pr des énoncés de propriétés) mais peu dans la rédaction d exercices. 8 ) Cples La notation désigne l ensemble des cples d entiers relatifs x ; y. On rappelle qu un cple est noté avec des parenthèses et a un ordre (par exemple, le cple 1; 3 est différent du cple 3 ;1 ). 5 ) Méthodes pr démontrer une équivalence Pr démontrer que deux phrases A et B sont équivalentes, il y a deux méthodes. 1 ère méthode : On utilise des équivalences successives permettant de passer de A à B (svent en utilisant des «chaînes d équivalences»). e méthode : On démontre que A B (partie directe) puis que B A (partie réciproque). 6 ) Notations d ensembles finis Dans ce chapitre, ns avons vu qu un ensemble fini s écrit avec des accolades. Les éléments sont écrits dans n importe quel ordre. 7 ) Quantificateurs Dans le crs, ns utiliserons les deux symboles de quantification usuels (qu on appelle «quantificateurs») : qui signifie «quel que soit» ; qui signifie «il existe au moins un tel que». Ils permettent d alléger la rédaction par rapport à une quantification explicite en français. On rappelle que, par convention, le quantificateur s emploie tjrs avant (et non après) un prédicat en général rédigé avec des symboles mathématiques. Exemples : 19 0

Complément : une propriété importante Un peu d histoire Pr tt cple (a ; b) d entiers relatifs et pr tt entier naturel n, a b divise a Démonstration : La démonstration repose sur la relation fondamentale de l algèbre : 1 1... a b a b a a b ab b n n n n n n n n b. Dans le second membre du produit de droite, la somme des exposants de a et de b est tjrs égale à n 1. Cette égalité se démontre aisément en développant le second membre. Arithmétique signifie : «étude des propriétés des nombres entiers» L arithmétique théorique s est constituée essentiellement dans la mathématique grecque avec les Pythagoriciens (vers 600 avant Jésus-Christ), Euclide (vers 300 avant Jésus-Christ), Diophante (entre 150 et 350 après Jésus-Christ), sans véritable scis d applications. Pierre de Fermat (1601-1655) donne un nvel essor à la théorie des nombres, suivi par Euler, Lagrange, Gauss et Legendre. De nos jrs cette théorie est un domaine central des mathématiques. C est en partie grâce à des théories d arithmétique appliquée à l informatique chiffrée que l on peut recevoir des images numériques, utiliser des cartes de crédit Dans ce chapitre, deux ensembles sont essentiels : - l ensemble des entiers naturels noté ; on a : 0 ;1; ; 3 ;.... Exemples de cas particuliers de la relation fondamentale de l algèbre : - l ensemble des entiers relatifs noté ; on a :...; 3; ; 1; 0 ;1; ;.... a b a b a b a b a b a ab b 3 3 a b a b a a b ab b 4 4 3 3 a b a b a a b a b ab b 5 5 4 3 3 4 Exercice d application : Démontrer que pr tt entier naturel n, 3 n 1 est divisible par 8. 1

La numération binaire Le 1-7-016 Extrait du livre «Calcul pratique Lucien Chambadal» Page 33 La numération binaire est la numération de base deux ; elle n utilise que les chiffres 0 et 1, appelés bits (abréviation de l anglais binary digit, signifiant chiffre binaire). La numération binaire est la numération employée en informatique et en automatique, mais on n est plus obligé de travailler en base deux pr converser avec les machines. Passage de la numération binaire à la numération décimale Ce passage ne pose aucun problème ; on se réfère à la définition en utilisant les puissances de. 3 1 0 L écriture binaire 1011 signifie 1 0 1 1 8 0 1 11. 5 4 3 1 0 L écriture binaire 100101 signifie 1 0 0 1 0 1 37. Des nombres très simples en numération décimale prennent très vite un aspect démesuré en binaire : il faut environ trois fois plus de bits que de chiffres décimaux. Passage de la numération décimale à la numération binaire Première méthode : On détermine les bits de gauche à droite en cherchant d abord la plus grande puissance de deux inférieure égale au nombre proposé, puis la plus grande puissance de inférieure égale à la différence des deux nombres précédents, etc. Exemples : Exemple 1 : Déterminons l écriture en base du nombre qui s écrit 5 en base 10. 4 On cherche la plus grande puissance de inférieure égale à 5. Il s agit de 16. On écrit 5 16 9. 10 La plus grande puissance de inférieure égale à 016 est 104. Le premier chiffre à partir de la gauche (un 1) est en onzième position à partir de la droite. Recommençons avec la différence 016 104 99. 9 La plus grande puissance de inférieure égale à 99 est 51. D où le bit 1 en dixième position à partir de la droite. 99 51 480 8 La plus grande puissance de inférieure égale à 480 est 56. D où le bit 1 en neuvième position à partir de la droite. 480 56 4 7 La plus grande puissance de inférieure égale à 4 est 18. D où le bit 1 en huitième position à partir de la droite. 4 18 96 6 La plus grande puissance de inférieure égale à 96 est 64. D où le bit 1 en septième position à partir de la droite. 96 64 3 5 La plus grande puissance de inférieure égale à 3 est 3. D où le bit 1 en sixième position à partir de la droite. On a : 10 9 8 7 6 5 016. On réécrit cette dernière égalité en utilisant ttes les puissances de de On peut aussi écrire : 0 10 à. 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 016 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0. Ainsi l écriture en base de de 016 est 11111100000. Deuxième méthode : Cette méthode est plus simple que la première méthode. Elle consiste à effectuer des divisions euclidiennes successives. Exemple : On recommence avec 9. 3 On cherche la plus grande puissance de inférieure égale à 9. Il s agit de 8. On écrit : 5 16 8 1. On s arrête là. On écrit 5 comme somme de puissances de. 4 3 0 On a : 5. On peut faire la réécriture suivante : On en déduit que 5 11001. Exemple : Cherchons la représentation binaire de 016. 4 3 1 0 5 1 1 0 0 1. 3 Cherchons la représentation binaire de 016. On divise le nombre donné par. Le reste est le premier bit à partir de la droite. On divise le quotient par ; le nveau reste est le deuxième bit à partir de la droite etc. 016 1008 0 1008 504 0 504 5 0 5 16 0 16 63 0 63 31 1 31 15 1 15 7 1 7 3 1 4

3 1 1 1 0 1 0 0 0 10 On obtient ainsi ts les bits à partir de la droite. Le dernier quotient, représentant le coefficient de est le bit le plus à gauche (c est-à-dire en onzième position). Octets En informatique et en bureautique on prend pr unité l octet, grpements de huit bits. Ttes les sciences utilisent différentes unités. Par exemple, on mesure les distances en mètres, l énergie en Jles, etc. En informatique, on mesure généralement en octets la quantité d informations. Un octet est constitué de 8 bits (8 zéros uns). En assemblant 8 zéros et uns, on peut faire 56 combinaisons différentes (00000000...00101110...11101011...11111111). Un octet a donc une valeur entre 0 et 55 Dans ttes les sciences, kilo a une définition très précise : c'est un facteur multiplicatif de 10 puissance 3. Cette définition est déposée au Bureau International des Poids et Mesures, qui est chargé de la normalisation des unités au niveau mondial (voir http://www.bipm.org/fr/si/prefixes.html). 3 Ainsi : 1 ko 1 kilo octet 10 1 000 octets Il y a également d autres facteurs multiplicatifs désignés par les préfixes Méga 6 9 10, Giga 1 10, To 10. 8 On obtient 56 éventualités différentes avec un seul octet. Les 56 cas servent par exemple pr coder : - les dix chiffres de 0 à 9 - les vingt-six lettres de l alphabet, en majuscules et en minuscules, en gras, en italique, etc. - les signes de ponctuation (point, virgule, point d interrogation, etc.) - les symboles typographiques ; - les lettres grecques Chaque caractère typographique est alors associé à un octet. 4 octets = 3 bits 8 octets = 64 bits Savoirs - Savoir la définition de a b ( b ka avec k : entier relatif) - Connaître les propriétés (énoncés et démonstrations) 1 Mo 1 Méga octet 1 000 000 octets 1 Go 1 Giga octet 1 000 000 000 octets 1 To 1 Tera octet 1 000 000 000 000 octets 10 Beaucp d informaticiens vs hurleront que 1 ko 104 octets, et que 1 Mo 1 048 576 octets, mais c'est une erreur. L'informatique est une science comme une autre et il n'y a aucune raison qu'elle déroge à la règle. (On ne fait pas des minutes de 64 secondes pr faire plaisir aux informaticiens...). L'organisme mondial de standardisation IEEE a d'ailleurs précisé que l'utilisation de ko pr désigner 104 octets est erronée mais tolérée. En anglais, octet se dit 'byte'. Ne confondez pas avec 'bit'. Et en anglais, ne confondez pas non plus bit (b) et byte (B). Français Anglais Unité Abréviation Unité Abréviation bit b bit b octet o byte B kilo-octet ko kilo-byte kb Méga-octet Mo Mega-byte MB Giga-octet Go Giga-byte GB 5 6