PANORAMA 12 - Aire des polygones réguliers / polyèdres 12.1 Aire d un polygone régulier Apothème: c est le segment qui relie le centre du polygone régulier au milieu d un de ses côtés. L apothème est perpendiculaire au côté du polygone. Aire d'un polygone régulier = c a 2 n c : mesure d un côté du polygone a : mesure de l apothème du polygone n : nombre de côtés du polygone Ex : Trouve l aire d un heptagone dont le côté mesure 4,8cm et l apothème 5 cm. A = c a 2 n A = 4,8 5 7 2 A = 84 cm 2 RAPPEL NOM DES POLYGONES RÉGULIERS 3 triangle / 4 carré / 5 pentagone / 6 hexagone / 7 heptagone / 8 octogone 9 ennéagone / 10 décagone / 11 hendécagone / 12 dodécagone 12.2 / 12.3 Aire des polyèdres Solide: c est une portion d espace limitée par une surface fermée. On décrit un solide à l aide de FACES, D ARÊTES et de SOMMETS. Face: surface plane ou courbe délimitée par des arêtes. Arête: ligne d intersection entre deux faces d un solide. Sommet: point commun à au moins deux arêtes d un solide. Polyèdre: solide limité par des FACES PLANES qui sont des POLYGONES. 19
PRISME : Polyèdre ayant deux faces isométriques et parallèles appelées BASES. Les bases sont reliées par les FACES LATÉRALES. FAMILLE DES POLYÈDRES PYRAMIDE : Polyèdre constitué D UNE SEULE BASE ayant la forme d un polygone et dont les faces latérales sont des TRIANGLES ayant un sommet commun appelé APEX. Prisme droit : prisme dont les faces latérales sont des rectangles. 1. Prisme à bases rectangulaires 2. Prisme à bases triangulaires Pyramide droite : pyramide dont le segment abaissé depuis l apex, de manière perpendiculaire à la base, arrive au centre du polygone formant cette base. 1. Pyramide à base rectangulaire 3. Prisme à bases hexagonales 2. Pyramide à base hexagonale 3. Pyramide à base carrée 4. Prisme à bases pentagonales Prisme régulier : prisme dont la base est un polygone régulier. (Alors les faces latérales sont des rectangles isométriques.) Parmi les prismes ci-dessus, seuls les prismes 3 et 4 sont des prismes réguliers. 4. Pyramide à base pentagonale Pyramide régulière : pyramide droite dont la base est un polygone régulier. (Alors les faces latérales sont des triangles isométriques.) Parmi les pyramides ci-dessus, seules les pyramides 2, 3 et 4 sont des pyramides régulières. Hauteur d un prisme ou d une pyramide Apothème d une pyramide régulière 20
CALCUL DE L AIRE D UN POLYÈDRE PRISME PYRAMIDE Ex : Prisme régulier à base pentagonale Ex : Pyramide à base carrée Aire de la base 12 8,3 A une base = 5 = 249cm 2 2 A des bases = 2 249 = 498cm 2 Ex : Prisme droit à base trapézoïdale A base = 6 2 = 36cm 2 Ex : Pyramide à base rectangulaire Aire latérale = 3 4 + 6 4 + 5 4 + 6 4 =12 + 24 + 20 + 24 = 80cm 2 = 2 8 9,3 + 2 3 10 2 2 = 74,4 + 30 =104,4cm 2 A totale = A de la ou des base(s) + Aire totale Quand le polyèdre est constitué de plusieurs polyèdres réunis, il faut le décomposer en polyèdres plus simples. ATTENTION! Certaines surfaces disparaissent du calcul lorsque deux polyèdres sont réunis 21
12.4 Déterminer une mesure manquante Lorsqu on vous demande de trouver une mesure manquante sur un polygone ou sur un polyèdre, on doit OBLIGATOIREMENT vous donner des informations. Le plus souvent, on vous donne : Toutes les mesures de longueur SAUF une (celle qui est cherchée) L aire (de la ou des base(s), l aire latérale ou l aire totale) En partant de ces informations, puisque vous connaissez : Toutes les formules d aire (des polygones et des polyèdres) Vous devez : 1. Écrire la formule d aire impliquée 2. Remplacer les éléments connus par leur valeur 3. Isoler la variable recherchée (pano 10 chapitre 10.3) 4. VALIDER la solution en remplaçant dans la formule de départ!!! Ex : Voici un prisme à base triangulaire. Les mesures connues sont illustrées sur le dessin. On cherche la hauteur de ce prisme sachant que l aire totale est 139,2 cm 2. 1. A totale = A des 2 bases triangulaires + A des 3 rec tan gles 139,2 = 2 6 4 + 2 5 h 2 ( ) + 6 h 139,2 = 2 24 2 + 2 5h ( ) + 6h 139,2 = 24 +10h + 6h 139,2 = 24 +16h 139,2 = 24 +16h 24 24 115,2 =16h Validation 115,2 16 = 16h 16 139,2 = 2 6 4 + 2 5 7,2 2 ( ) + 6 7,2 h = 7,2 cm 139,2 =139,2 ok! 22
Notes personnelles et autres exemples 23
Notes personnelles et autres exemples 24