Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la fonction définie par f x = 1 x 2 e x pour tout nombre réel x. Un carré est toujours positif dans R donc 1 x 2 0. La fonction exponentielle est strictement positive donc la fonction f est strictement positive et la courbe représentative de f est au-dessus de l'axe des abscisses. L'affirmation est vraie. d'équation fausse. 2_ Soit g la fonction définie par g x =2 x 1 1 x La fonction dérivée de g est : g ' x =2 1 1 x 2 Le coefficient directeur de la tangente en A 0 pour tout nombre x de ] 1 ; [. f 0 est g ' 0 =3 donc la droite y=2 x 1 n'est pas la tangente à la courbe représentative de g en A. L'affirmation est 3_ Soit deux évènements A et B. La probabilité de A est 0,4 donc p A =1 p A =0,6. La probabilité de A B est 0,12 donc : p A B = p A B = 0,12 p A 0,6 =0,2 L'affirmation est vraie. 4_ On lance deux dés cubiques équilibrés et on lit la somme des résultats des faces supérieures. On suppose que les dés sont discernables ( il y a un dé rouge et un dé noir par exemple, cette supposition ne change pas la probabilité ). L'univers a donc 36 issues équiprobables. Le tableau ci-dessous donne les valeurs de la somme obtenue pour chaque issue. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 La probabilité d'obtenir une somme égale à 5 est donc 4 égale à 36 =1 9 L'affirmation est fausse. 6 7 8 9 10 11 12 Thierry Vedel page 1 sur 10 www.amemath.net
Exercice 2 4points Dans cet exercice, on s intéresse à la propriété «le nombre 3 2n 2 n est divisible par 7», où n est un nombre entier naturel. Appelons u n la suite définie par u n =3 2 n 2 n ( j'utilise simplement cette notation pour simplifier la rédaction, cette exercice ne demande pas de connaissance sur les suites. De plus, si le jour du baccalauréat vous «tombez» sur un exercice mélangeant des «thèmes» différents vous ne serez pas dépaysés. ) 1_a_ Pour n = 0, u 0 =0 donc est divisible par 7. 1_b_ 3 2 =1 7 2 donc le reste de la division euclidienne de 32 par 7 est 2. 2_a_ 9 3 2 n 2 n 7 2 n = 3 2 3 2n 2 n 7 2 n = 3 2 3 2n 3 2 2 n 7 2 n = 3 2 n 1 2 n 3 2 7 = 3 2 n 1 2 n 2 9 3 2 n 2 n 7 2 n = 3 2 n 1 2 n 1 2_b_ Si u n =3 2 n 2 n est divisible par 7 alors u n =7 q D'après le résultat précédent : 3 2 n 1 2 n 1 = 9 3 2 n 2 n 7 2 n = 9 7q 7 2 n 3 2 n 1 2 n 1 = 7 9q 2 n u n 1 =3 2 n 1 2 n 1 est divisible par 7 Donc, si u n =3 2 n 2 n est divisible par 7 alors u n 1 =3 2 n 1 2 n 1 est divisible par 7. 3_ On note P n la proposition «le nombre 3 2n 2 n est divisible par 7». Première méthode. On est typiquement dans le cas d'une démonstration par récurrence (pour les lecteurs qui savent ce que c'est). Initialisation. D'après le résultat de la question 1_a_ P 0 est vraie. Hérédité. D'après le résultat de la question 2_b, si P n est vraie alors P n 1 est vraie. Conclusion. P n est vraie pour tout n. Pour tout n, entier naturel, le nombre 3 2n 2 n est divisible par 7. Thierry Vedel page 2 sur 10 www.amemath.net
Deuxième méthode. On se sert des congruences modulo 7, notées n[7] (la congruence modulo 7 d'un nombre n est le reste dans la division euclidienne de n par 7. Les règles de calcul avec les congruences sont les même que dans N. On peut le voir aussi comme le chiffre des unités quand on écrit les nombres en base 7. On sait que le chiffre des unités d'une somme ou d'un produit ne dépend que des chiffres des unités des nombres de départ.) Voici les résultats obtenus dans un tableur libre et gratuit : reste de la division par 7 Ecriture en base 7 n 3 2n 2 n 3 2n 2 n 3 2n [7] 2 n [7] 3 2n 2 n [7] 3 2n 2 n 3 2n 2 n 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 9 2 7 2 2 0 12 2 10 2 81 4 77 4 4 0 144 4 140 3 729 8 721 1 1 0 2061 11 2050 4 6561 16 6545 2 2 0 25062 22 25040 5 59049 32 59017 4 4 0 334104 44 334060 On s'aperçoit que les congruences de 3 2 n et 2 n sont cycliques de période 3. On va démontrer ce résultat. 3 6 =729=7 104 1 donc 3 6 =1[7] Effectuons la division euclidienne de n par 3 : n = 3p + r, r < 3. 3 2 n =3 2 3 p r =3 6 p 2 r =3 6 p 3 2 r = 3 6 p 3 2 r 3 6 =1[7] donc 3 2 n = 3 6 p 3 2 r [7]=1 p 3 2r [7]=3 2r [7] De même 2 n =2 3 p r =2 3 p 2 r = 2 3 p 2 r 2 3 =8=1[7] donc 2 n =1 p 2 r [7]=2 r [7] Le reste r est égal à 0, 1 ou 2 donc il suffit de démontrer que P n est vraie pour n=7 p, n=7 p 1 et n=7 p 2. Pour n = 7p, r = 0, 3 2 n =3 0 =1[7] et 2 n =2 0 =1[7] donc 3 0 2 0 =0[7] et P n vraie. Pour n = 7p + 1, r = 1, 3 2 n =3 2 =2[7] et 2 n =2 1 =2 [7 ] donc 3 2 2 1 =0 [7] et P n est vraie. Pour n = 7p + 2, r = 2, 3 2 n =3 4 =4[7] et 2 n =2 2 =4[7] donc 3 4 2 2 =0[7] et P n est vraie. Pour tout n, entier naturel, le nombre 3 2 n 2 n est divisible par 7. Troisième méthode. On factorise 3 2 n 2 n en utilisant l'identité remarquable : a n b n = a b a n 1 a n 2 b a n 3 b 2... a 2 b n 3 a b n 2 b n 1 p=n 1 = a b p=0 a n p 1 b p Thierry Vedel page 3 sur 10 www.amemath.net
3 2 n 2 n = 3 2 n 2 n = 9 n 2 n = 9 2 9 n 1 9 n 2 2 9 n 3 2 2... 9 2 2 n 3 9 2 n 2 2 n 1 3 2 n 2 n = 7 9 n 1 9 n 2 2 9 n 3 2 2... 9 2 2 n 3 9 2 n 2 2 n 1 Pour tout n, entier naturel, le nombre 3 2n 2 n est divisible par 7. Si ça vous intéresse. Une démonstration de cette identité remarquable. Cette identité remarquable peut être démontré à partir de la somme des termes d'une suite géométrique. 1 q q 2... q n 1 = 1 q n 1 q 1 q q 2... q n 1 1 q = 1 q n ou 1 q n = 1 q q 2... q n 1 1 q En posant q= b on obtient : a 1 b n a 1 bn = 1 b a 1 b a b 2 a = a 1 b n a 1 b a b2 a a n b n = a a b n a a n b n a n =... b a n 1 bn 1... 2 a n 1 an 1 a n 2 b a n 3 b 2... b n 1 a n 1 a b a n 1 a n 2 b a n 3 b 2... b n 1 a n a n b n = a b a n 1 a n 2 b a n 3 b 2... b n 1 C.Q.F.D. Thierry Vedel page 4 sur 10 www.amemath.net
Exercice 3 6points On effectue un coloriage en plusieurs étapes d un carré de côté de longueur 2cm donc l'aire du carré est 4. Partie A. 1_ Soit A n l'aire totale coloriée à l'étape n. Première étape du coloriage. On partage ce carré en quatre carrés de même aire et on colorie le carré situé en bas à gauche comme indiqué sur la figure ci-dessous donc l'aire coloriée est A 1 =1 Deuxième étape du coloriage. On partage chacun des 3 carrés non encore colorié en quatre carrés de même aire donc ces 12 petits carrés ont chacun pour aire 1 4. On colorie dans chacun, le carré situé en bas à gauche, comme indiqué sur la figure ci-dessous donc l'aire coloriée a augmentée de L'aire coloriée est donc A 2 =A 1 3 4 = 7 4. 3 4. Troisième étape du coloriage. On partage chaque carré non encore colorié en quatre carrés de même aire et on colorie dans chacun, le carré situé en bas à gauche on a donc colorié à cette étape 1 4 de l'aire non coloriée à l'étape précédente. L'aire totale est 4 donc l'aire totale coloriée est A 3 = 37 16 A 3 = A 2 1 4 4 A 2 = 3 4 A 2 1= 3 4 7 4 1 Thierry Vedel page 5 sur 10 www.amemath.net
2_ On considère l algorithme suivant : Entrée : P un entier naturel non nul. Initialisation: N=1 ; U=1. Traitement: Tant que N P Afficher U Affecter à N la valeur N+1 5 Affecter à U la valeur 4 U 1 2 2_a_ On fait tourner cet algorithme pour P = 3. Première étape. N = 1 P = 3 on effectue la boucle «tant que». Affichage : U = 1 Affectation : N vaut 2 U vaut 5 4 1 1 2 = 7 4 Deuxième étape. N = 2 P = 3 on effectue la boucle «tant que». Affichage : U= 7 4 Affectation : N vaut 3 5 U vaut 4 7 4 1 2 = 43 16 Troisième étape. N = 3 P = 3 on effectue la boucle «tant que». Affichage : U= 43 16 Affectation : N vaut 4 5 U vaut 4 43 16 1 2 = 257 64 Fin du traitement. N = 4 > P = 3, fin de l'algorithme. 2_b_ Cet algorithme permet d afficher les P premiers termes d une suite U de terme général U n U 2 = 7 4 =A 2 donc il existe un entier naturel n strictement supérieur à 1 tel que U n =A n.. La proposition 1 est vraie. Thierry Vedel page 6 sur 10 www.amemath.net
U 3 = 43 16 A 3 donc A n n'est pas égal à U n pour tout n naturel non nul. La proposition 2 est fausse. Partie B On admet que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, A n 1 = 3 4 A n 1 Remarque. On obtient ce résultat en généralisant à n le raisonnement fait à l'étape 3 du coloriage. Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, B n =A n 4 1_a_ B 1 = A 1 4= 3 1_b_ Pour tout n 1 : B n 1 = A n 1 4 = 3 4 A n 1 4 = 3 4 A n 4 B n 1 = 3 4 B n 1_c_ Pour tout n 1, B n 1 = 3 4 B n donc la suite B n est géométrique de premier terme B 1 = 3 et de raison q= 3 4 1_d_ B n = 3 3 n 4 2_ B n est une suite géométrique de raison 1 3 4 1 donc la suite B n tend vers 0. 3 4 B n =A n 4 donc lim A n 4=0 n La suite A n converge vers 4. A la limite, le carré sera complètement colorié. Thierry Vedel page 7 sur 10 www.amemath.net
Exercice 4 5points A, B, C, D, E, F, G et H sont les sommets d un cube opaque dont la face ABCD est posée sur le sol. 1_ Ombre projetée en perspective parallèle. EFF'E' est un parallélogramme donc on a construit le milieu I de la diagonale [E'F] puis le symétrique F' de E par rapport à I. Même construction pour G'. L'ombre est le polygone rose. Thierry Vedel page 8 sur 10 www.amemath.net
2_ Cube en projection cavalière. abcd est un carré donc l'angle bac mesure 45. La diagonale [ac] est parallèle à la ligne d'horizon donc l'angle entre cette droite et la ligne d'horizon est égal à 45. Le point d'intersection de ces deux droites est donc le point de distance d 1. De même le point de distance d 2 est le point d'intersection de (bc) et de ligne d'horizon. Thierry Vedel page 9 sur 10 www.amemath.net
3_ Cube entouré d'une ficelle en perspective centrale. On trace la droite (fg) qui coupe la ligne d'horizon en M. La face abfe est frontale donc M est le point de fuite principal. On trace les diagonales du carré efgh qui se coupent au centre I du carré. On trace la droite (MI) et on obtient les milieux J de [hg] et K de [ef]. [JK] est un morceau de la ficelle. On trace la parallèle à (ef) passant par I, la médiane du carré efgh ainsi définie est un morceau de la ficelle. On trace le segment vertical passant par K, la médiane du carré efba ainsi définie est un morceau de la ficelle. La diagonale (eb) coupe cette médiane en son milieu L. On trace le segment horizontal passant par L, la médiane du carré efba ainsi définie est un morceau de la ficelle. Cette médiane coupe [fb] en son milieu N. On trace (MN) puis la médiane verticale de fgcb. Il y a bien sûr d'autres constructions. Thierry Vedel page 10 sur 10 www.amemath.net