Equations d état pour des écoulements compressibles Lois de conservation Lois de comportement Conditions aux limites Equations d état? Modèle du fluide visqueux Newtonien
Modèle de gaz idéal Un exemple d équation d état pour la masse volumique Constante du gaz Ecoulements compressibles Propagation des sons au sein de l air : c est un effet de la compressibilité de l écoulement. Caractérisation par le nombre de Mach
Presque comme en thermo Masse volumique [kg/m 3 ] Concentration molaire [mole/m 3 ] Masse molaire [kg/ mole] Constante des gaz Constante du gaz
Et la relation d état pour l enthalpie (1)? Chaleur massique à pression constante Chaleur massique à volume constant (1) ou l énergie interne Coefficient de dilatation thermique Coefficient de compressibilité
Il s agit donc de définir une équation d état pour la chaleur massique à pression constante et Chaleur massique à pression constante
On ne peut pas écrire n importe comment ces relations d état! Second principe de la thermodynamique Il faut respecter certaines règles! En particulier, il faut les écrire afin que le second principe de la thermodynamique soit toujours satisfait.
Qu implique le second principe? Considérons deux états distincts
En allant très très très lentement et en revenant très très très lentement Nul, car lent et isotherme
En allant plus rapidement On vient de montrer que ce terme est nul
Peut-on faire quelque chose d utile de cela? On exige que ds soit une différentielle exacte
Conséquence pour une équation d état de gaz idéal
Conséquence pour un écoulement incompressible
Nombre de Mach Born: 18 Feb 1838, Turas, Moravia Died: 19 Feb 1916, Munchen, Germany caractérise un écoulement d un fluide! Vitesse caractéristique du fluide Vitesse caractéristique de propagation du son
Calcul de la vitesse du son : l erreur de Newton! Petites pertubations de vitesse, pression et de densité. Les effets visqueux sont négligeables. L air est un gaz idéal.
Que devient la conservation de la masse? Equation linéarisée en termes de petites perturbations Par paresse de notations, nous noterons désormais les perturbations sans apostrophe :-)
Modèle 1 : Ecoulement isotherme :-(
Modèle 1 : Ecoulement isotherme :-( La vitesse du son ainsi prédite ne correspond pas aux valeurs mesurées expérimentalement...
Modèle 2 : Ecoulement adiabatique :-) Petites pertubations de vitesse, pression et de densité. Les effets visqueux sont négligeables : pas de dissipation. L air est un gaz idéal. Il s agit donc d un écoulement adiabatique réversible ou encore d un écoulement isentropique L air est un mauvais conducteur! C est même un bon isolant!
Un peu d algèbre fastidieuse C est irréaliste d imaginer que ce rapport est proportionnel au temps...
Modèle 2 : Ecoulement adiabatique :-)
Modèle 2 : Ecoulement adiabatique :-) La vitesse du son ainsi prédite correspond bien aux valeurs mesurées expérimentalement...
Quelques mots sur le transfert de masse... Un écoulement compressible d un seul fluide! Trop facile! Et si on considérait un mélange de DEUX fluides Difficile, difficile, difficile...
Loi de Fick Et il faut encore estimer ce coefficient de diffusion massique qui dépend en général de la concentration... Peu de solutions pratiques... Oui, c est étonnant, mais c est le même coefficient!
Purement calculatoire et seulement pour vous en convaincre... Toute démonstration plus élégante est la bienvenue :-) Equivalence des deux formes de la loi de Fick
C est toujours la même chose...
Nombre de Schmidt caractérise un fluide! Ernst Heinrich Wilhelm Schmidt Born: 1892 in Vögelsen bei Lüneburg, Germany Died: 1975 in Munchen, Germany Effets de transport de masse / effets de diffussion massique Reynold = Effets d inertie / effets de viscosité à savoir!
Mélanges binaires visqueux Et il faut encore estimer les paramètres matériels qui dépendent en général de la concentration... Peu de solutions pratiques...
Lois de comportement On ne peut pas tout imaginer... Quoique :-)