Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé 6-1 Chapitre 6. Effort tranchant (ource : Calcrete : the Concrete Centre) 6.1 Rupture par effort tranchant Nou avon vu juqu à préent le comportement du béton en flexion pure. En pratique, le élément en béton armé doivent réiter, en plu de la flexion, à d autre ollicitation comme l effort tranchant. 6.1.1 Poutre La figure uivante montre une rupture de poutre par effort tranchant prè de l appui : 6.1. Dalle De effort concentré, comme prè de colonne, peuvent provoquer une rupture de la dalle par poinçonnement : 6. Effet de armature d effort tranchant (étrier) ur le type de ruine La figure uivante montre deux poutre iotatique emblable mai dont la première ne comporte pa d armature d effort tranchant. Ce deux poutre ont été oumie à un chargement identique contitué de deux charge concentrée aux 1/3 et /3 de la portée. On a remarqué, pendant l eai, que la première poutre et ruinée prématurément par fiuration diagonale et décollement du béton itué au-deu de l armature de flexion.
Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé 6- Dan la deuxième poutre, on a intallé de armature d effort tranchant (étrier)et de armature de contruction en partie upérieure. On a contaté que cette poutre et bien ruinée en flexion à mi-portée comme prévu. 6.3 Réitance du béton armé au ciaillement an armature d'effort tranchant (étrier). 6.3.1 Introduction Avant d'enviager un calcul d'armature d effort tranchant, il importe de déterminer l'effort tranchant que le béton et uceptible de upporter eul. En effet, pour un niveau de contrainte particulièrement faible, ce qui et ouvent le ca dan le dalle qui ont une "largeur d'âme" importante, le expérience ont montré que le béton était capable de reprendre an armature péciale une certaine quantité d'effort tranchant. 6.3. Lecture : DOC5 (Source : Calcrete, The Concrete Centre)
Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé 6-3 reinforcement ratio reinforcement ratio 6.3.3 Réitance d une ection de béton armé an armature d effort tranchant On retrouvera, dan le formule reprie dan le MC au 13.3., le 3 facteur précité. 6.4 Réitance du béton armé au ciaillement avec armature d'effort tranchant (étrier). 6.4.1 Analogie de Mörch Lorque V Ed > V Rd,c, de armature tranverale deviennent néceaire pour aurer la reprie de effort de traction du à l'effort tranchant. Pour établir le équation d'équilibre, on e bae ur l'analogie de Mörch qui conite à comparer le fonctionnement d'une poutre en béton armé à celui d'une poutre fictive en treilli.
Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé 6-4 q Bielle de compreion Compreion de flexion / Etrier Armature longitudinale Poutre en Béton armé Treilli équivalent La membrure upérieure de la poutre fictive correpond à la zone de compreion dan le béton tandi que la membrure inférieure correpond à l'armature tendue. Le diagonale comprimée du treilli correpondent aux "bielle" de compreion dan l'âme de la poutre en béton et le diagonale tendue correpondent aux armature d effort tranchant, appelée «étrier». Cette modéliation à partir d'un treilli imple iotatique et écuritaire pour l'évaluation de la réitance de élément de tructure car elle e fonde ur le théorème tatique de la théorie de la platicité: "L'exitence d'une ditribution interne imaginaire de force en équilibre avec le force extérieure donne la certitude que la pièce conidérée et capable de upporter de force upérieure, ou au minimum égale aux force extérieure conidérée." Partant de ce théorème, il n'exite pa un treilli unique auquel on doit e référer mai bien une infinité de modèle dépendant de la dimenion de diagonale de béton et d'acier, de leur inclinaion, de leur degré d'encatrement... L'analogie de Mörch e complète notamment par un modèle de treilli en N dont la correpondance de dipoition verticale de étrier dan une poutre en béton et plu conventionnelle et tout aui acceptable pour reprendre l'effort tranchant au vu du théorème tatique. Etrier incliné Treilli en V équivalent Treilli en N équivalent Etrier droit 6.4. Utiliation de l'analogie La norme propoe la méthode dite de "bielle d'inclinaion variable" : elle et baée ur le modèle implifié du treilli, mai, 'inpirant de contatation expérimentale, permet de faire varier l'angle θ de la bielle comprimée dan de limite fixée entre 0,5 < cot θ <. Ce qui correpond à de angle de 63 > θ > 7. L inclinaion de étrier peut aui varier entre 45 α 90 La norme n'autorie pa de prendre en compte, dan cette approche la compoante V Rd,c (qui et implicitement exploitée par la variation poible de l'angle de la "bielle " de béton). Une limitation du pourcentage mécanique d'étrier et également ajoutée. Sauf ca particulier, le bra de levier "z" entre le membrure peut être pri, par implification, égal à 90% de la hauteur utile, oit: z 0,9.d. La modéliation de la poutre réelle en béton par un treilli, ne va pa an poer quelque problème de repréentation. Aini, l'effort externe réparti ur la longueur de la poutre doit être remplacé, dan le treilli, par de charge nodale appliquée aux nœud. En choiiant de charger le nœud de la membrure inférieure du treilli, on amplifie légèrement l'effet de traction dan le diagonale tendue. Cette z θ α hypothèe et plu écuritaire que celle qui conite à charger le nœud upérieur.
Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé 6-5 6.4.3 Equilibre de force Le formule de dimenionnement ou de contrôle ont baée ur l'équilibre de effort dan l'âme. Nou établiron ce formule dan le ca général d angle θ (inclinaion de la bielle de béton) et α(inclinaion de l étrier) quelconque. 6.4.3.1 Vérification de la compreion dan la bielle comprimée Soit le treilli de la figure uivante, dan lequel nou réalion une coupe à mi-ditance de nœud de la membrure inférieure. A z.(cot θ + cot α).in θ z z 0,9. d B θ z cot θ α C z cot α 45 α 90 6.56 θ 63.43 F Sc C M Ed F Scw θ V Ed α F St L équilibre vertical nou donne l effort de compreion dan la bielle de béton comprimée : F Scw inϑ Cet effort de compreion doit être repri par la bielle de béton inclinée de θ. Cette bielle a comme dimenion tranverale une largeur b w et une hauteur z.(cotϑ + cot α).inϑ (voir figure précédente). La réitance de calcul de la bielle comprimée vaut alor: F b. z.(cotϑ + cot α).in ϑν.. f C Rcw w 1 cd On notera qu'un coefficient réducteur ν 1 corrige la réitance du béton. Il rend compte d'une nette perte de la capacité de réitance de l'âme qui et fiurée.
Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé 6-6 f ck L Eurocode propoe : ν 1 0,6.(1 ). 50 En exprimant que, pour ne pa avoir de rupture de la bielle, il faut toujour avoir F Scw F Rcw, on obtient: bw. z.(cotϑ cot α).in ϑν. 1. fcd inϑ + d'où V Ed < V Rd,max exprimant la capacité de réitance de la bielle comprimée de béton. avec V b. z.. f.(cot + cot ).in Rd,max w ν1 cd ϑ α ϑ 6.4.3. Vérification de la traction dan le étrier Faion à préent une coupe dan le treilli en veillant à couper un étrier. L équilibre vertical nou donne l effort de traction dan l étrier : F Sw inα F Sc D F Sw M Sd θ V Ed α F St D Si A w repréente la ection coupée dan l étrier (c-à-d, i l étrier et de forme rectangulaire, la ection de brin) et que le étrier ont écarté d'un "pa" ou entreditance de "", la ection réitante par panneau, Aw. z.(cotϑ + cot α) oit ur une longueur égale à z.(cotϑ + cot α) vaut: La réitance de calcul de la bielle tendue(étrier) vaut donc, i f et a limite élatique de calcul: Aw. z. f.(cotϑ + cot α) FRw V w...(cot cot ) En exprimant que F Sw F Rw, on obtient: Ed A z f ϑ + α inα d'où V Ed V exprimant la capacité de réitance de l'étrier. Rd, avec V, Rd A w. z. f.(cotϑ + cot α).inα
Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé 6-7 Pour aurer une rupture ductile (rupture de étrier avant rupture de bielle de compreion), l EC impoe de ne pa dépaer un taux maximal d armature d effort tranchant: A A w w, Max fcd bw. ν1. f 6.4.3.3 Réumé En réumé, il faut repecter deux condition : 1. la première condition veille à éviter la rupture de la bielle de béton en compreion bw. z. ν1. fcd.(cotϑ + cot α ).in ϑ. la econde veille à éviter la rupture par platification de l étrier : Aw. z. f.(cotϑ + cot α) in α En pratique, on dipoe généralement le étrier verticalement, donc α90, et par conéquent, le deux équation deviennent : coϑ in ϑ bw. z. ν1. fcd.cot ϑ.in ϑ bw. z. ν1. fcd..in ϑ bw. z. ν1. fcd. et inϑ Aw. z. f yd.cotϑ 6.4.3.4 Calcul économique de étrier (méthode de bielle d'inclinaion variable) La olution la plu économique et celle pour laquelle cotθ et maximale tout en repectant V Ed V Rd,max (rupture de la bielle de béton). Il faut que la olution vérifie que : V Ed V Rd, (rupture de étrier) et V Ed V Rd,max (rupture de la bielle de béton). 1. f On calcule d'abord θ arcin( ) avec ν 1 0, 6.(1 ck ) (f ck en MPa) b. z. ν f 50 w 1 cd La valeur de θ retenue doit vérifier 6,56 < θ < 63,43 (Document d'application National Belge de l'ec : 0.5 < cotθ < ) On e fixe enuite A w (on e limite en général à de étrier contitué de φ8 ou φ10) et le pa de étrier e déduit par : Aw. z. f.cotθ V Ed 6.4.4 Dipoition contructive de étrier (voir MC 13.3.4) 6.4.5 Conéquence du fonctionnement en treilli Le fonctionnement en treilli de la poutre a deux conéquence : L effort dan la membrure inférieure (c.à.d. le armature principale) augmente La bielle d about, demande une vérification de effort concentré ur appui 6.4.5.1 Effet de l effort tranchant ur l effort dan le armature Reprenon la figure du 6.4.3.1. Ecrivon l équilibre moment par rapport à A z M Ed FSt. z M Ed..(cotϑ cot α) d'où FSt ( +.(cotϑ cot α)) z
Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé 6-8 On contate donc que, par rapport à l effort dû au moment eul, l effort dan l armature et augmenté de V Ed la quantité.(cotϑ cot α). On peut montrer que cela équivaut à décaler ver l extérieur le diagramme de moment d une ditance contante égale à : z x al (cotϑ cot α) M 1 M 1 ν x M M ν M 3 M 3 ν Lorqu on ne garde pa la même ection d armature ur toute la longueur d une poutre, ou d une dalle, il faudra tenir compte de ce diagramme décalé pour déterminer le endroit où ce armature peuvent arrêter. 6.4.5. Vérification au droit de appui d extrémité Au droit d un appui d extrémité, il y a un équilibre de 3 force : La force de compreion dan la bielle : F cd, La force de traction dan l armature inférieure : F td La réaction venant de l appui : F cd1. Ce troi force ne doivent pa créer de contrainte exceive dan le béton, ni dan l acier de armature, il faut donc vérifier : θ la contrainte de compreion ur appui (σ Rd,1). la contrainte de compreion dan la bielle d'about (σ Rd,) que le armature ont uffiante pour tranmettre F td. Le armature longitudinale inférieure doivent équilibrer l'effort tranchant V ED et être ancrée au-delà du bord de l'appui. VED Ftd tanθ min F V td ED, appui La ection de ce armature doit être au moin égale à : A, appui f f.tanθ De plu, (EC 6.5.4)on doit vérifier que, dan le béton, ni la contrainte de compreion de la bielle de compreion ni la contrainte de compreion ur l appui ne dépae pa la valeur limite : max(σ Rd,1,σ Rd,) 0.85 ν f cd avec ν 1 - f ck /50 (f ck en MPa) yd yd
Dr. Ir. P. Boeraeve Cour de Béton Armé 6-9 Si la contrainte dan la bielle d about était trop importante, il faudrait élargir la bielle, oit en élargiant l appui, oit en plaçant de armature upplémentaire, en forme d épingle, comme indiqué dan le deux figure uivante :