Devoir trimestriel de mathématiques correction Fonctions Soit f la fonction définie pour tout réel x de l intervalle I =] 2 ; [ par : 𝑓 𝑥 =!!!!!!!. Sa courbe représentative est notée 𝐶! dans le plan muni d un repère. 3 2𝑥 1. f(x) 0 0. Or le binôme 𝑎𝑥 𝑏 est du signe de 𝑎 pour les valeurs de 𝑥! supérieures à! d ou le tableau de signe : x -2 3/2 0 - (3 2x) (x 2) 3 2𝑥 Donc S = 2; 1,5 0 - plus rapide : remarquer que (x2) est > 0 sur I 2. Les coordonnées des points d intersection de la courbe 𝐶! avec les axes du repère sont (0 ; f(0)) l axe des ordonnées soit (0 ; 1,5) et pour l axe des abscisses f(x) = 0 donc (1,5 ; 0). 3. Déterminer les réels a et b tels que : 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑏 𝑎(𝑥 2) 𝑏 𝑎𝑥 (2𝑎 𝑏) 2𝑥 3 = = = donc par identification on déduit a = - 2 et 2a b = 3 donc b = 4. 𝑓 𝑥 = 2 Pour tout 𝑎 𝐼 et 𝑏 𝐼 tels que 𝑎 < 𝑏 on a 2 < 𝑎 < 𝑏 donc 0 < 𝑎 2 < 𝑏 2 or la fonction inverse est décroissante sur ℝ!,des nombres strictement positifs et leurs images sont rangés dans un ordre différent donc 1 1 > donc > donc 2 > 2 𝑎2 𝑏2 𝑎2 𝑏2 𝑎2 𝑏2 𝑓(𝑎 > 𝑓(𝑏) les nombres et leurs images sont rangés dans un ordre différent donc f est décroissante sur I. x f(x) - 1 5,00 1 0,33 3-0,60 5-1,00-1,22 9-1,36 11-1,46 13-1,53 15-1,59 1-1,63 1
5. 𝑓 𝑥 𝑎 = 2 2 = > 0 sur I donc f(x) > -2 donc 𝐶! est au-dessus de la droite (d) d équation 𝑦 = 2. 6. voir le graphique.. Soit et g la fonction affine définie par 𝑔(𝑥) = 𝑥 4. sa représentation graphique (D) est une droite sécante à l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 4) et qui coupe l axe des abscisse au point de coordonnées (4 ; 0). 8. Résoudre sur l intervalle I =] 2 ; [ l équation 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 0 3 2𝑥 3 2𝑥 𝑥 4 𝑥 2 3 2𝑥 𝑥! 2𝑥 8 𝑥 4 = 0 𝑥! 4𝑥 5 𝑥! 4𝑥 4 4 5 (𝑥! 4𝑥 4) 9 = 0 (𝑥 2)! 9 (𝑥 2 3)(𝑥 2 3) (𝑥 5)(𝑥 1) =0 donc S= 1; 5 car ces deux valeurs sont dans I 9. En déduire les coordonnées des points d intersection de la courbe 𝐶! avec (D). Les points d intersections sont sur les deux représentations graphiques donc 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) d où x = - 1 et y = f(-1) = 5 et d autre part x = 5 et f(5) = -1 On retrouve ces résultats sur le graphique. Probabilités Exercice 1 On a effectué un sondage sur les activités extra-scolaires dans un lycée. 10% des élèves font à la fois un sport et jouent d un instrument de musique, 35% font seulement du sport, et 40% ne pratiquent ni sport ni musique. On interroge au hasard un élève à sa sortie du lycée. On note S l événement «l élève fait du sport» et M l événement «l élève fait de la musique» 1. Compléter le tableau de pourcentages suivant en justifiant les valeurs trouvées : 10% des élèves font à la fois un sport et jouent d un instrument de musique donc : 𝑃 𝑆 𝑀 = 0,1 35% font seulement du sport, 𝑃 𝑆 𝑀 = 0,35 40% ne font ni sport ni musique, 𝑃 𝑆 𝑀 = 0,40 % S Total 𝑺 M 10 15 25 𝐌 35 40 5 Total 45 55 100 2. Quel est l événement dont la probabilité est notée : 𝑃! 𝑆? Calculer la valeur de cette probabilité. C'est l'événement "parmi les élèves qui font de la musique, c'est un élève qui fait du sport 𝑃! 𝑆 = 10 = 0,4 25 2
Comment noter la probabilité de l événement «L élève sachant qu il ne pratique pas de musique et fait du sport»?. Calculer cette probabilité. P! S = 35 5 0,46 3. Représenter la situation par un arbre pondéré de probabilités. 4. Utiliser les notations S, M, S, M et les symboles ou pour caractériser les évènements suivants : A : «L élève ne pratique pas de sport et joue d un instrument». B : «L élève pratique un sport». C : «L élève joue d un instrument». D : «L élève pratique un sport ou joue d un instrument». A = S M ; B = S ; C = M ; D = M S 5. Déterminer les probabilités des évènements A, B, C et D. p(a) = p(s M )= 0,15 ; p(b) = p(s) = 0,45 ; p(c) = p(m) = 0,25 ; p(d) = p(m S) = p(m) p(s) p(m S) = 0,450,25-0,1= 0,6 Exercice 2 Clémence, bonne joueuse de tennis, a droit à deux tentatives pour réussir sa mise en jeu. Elle réussit sa première balle de service dans 65 % des cas. Quand elle échoue, elle réussit sa seconde balle dans 80% des cas. Quelle est la probabilité qu elle commette une double faute? On pourra s aider d un arbre. Pour la 1 ère balle, elle réussit dans 65% des cas, donc elle échoue dans 35% des cas. Pour la seconde balle, elle réussit dans 80% des cas, donc elle échoue dans 20% des cas. Donc elle commet une double faute quand elle échoue deux fois de suite. Donc 20% des 35% des mises en jeu effectuées ne sont pas réussies. On a : p = 20 100 35 100 = 0,0 La probabilité pour que Clémence commette une double faute est de 0,0. 3
Exercice 1 : Statistiques Dans un petit village du Gard où la taxe d habitation est proportionnelle à la surface d habitation, la répartition des habitations suivant leur superficie en m 2 est la suivante : 1. Compléter le tableau avec les effectifs cumulés croissants Superficie [10 ;40[ [40 ;0[ [0 ;100[ [100 ;120[ [120 ;140[ [140 ;10[ Effectif 14 24 54 64 32 12 Eff cum 14 38 92 156 188 200 2. Voir le graphique 3. Par lecture graphique, en marquant les traits de lecture, donner la médiane ainsi que le premier et le troisième quartile de cette série. On lit pour la médiane M! 103, pour le premier quartile Q! et pour le troisième quartile Q! 120. 4. Un membre du conseil municipal propose d exonérer de taxe, la moitié des personnes, bien sur celles dont les habitations sont les plus petites La médiane étant à 103, on peut considérer que pour une superficie de 100m 2 on est exonéré. b. Un autre membre du conseil municipale propose, cette fois, d exonérer le quart seulement des personnes, toujours pour les habitations les plus petites. Une personne dont le logement a pour superficie 80 m 2 serait-elle exonérée? Le premier quartile étant à 83, une superficie de 80m 2 sera pas exonérée. 5. Pour calculer avec la calculatrice on considère que dans chaque classe les logements ont pour surface le centre de la classe, On fait donc une approximation autre que l'interpolation linéaire, donc les résultats sont différents. Moyenne 96,6 m! ; Premier quartile 85 m! ; Médiane 110 m! ; Troisième quartile: 110 m! Donc un quart des habitations ont une superficie inférieure ou égale à 85 m!. La moitié des habitations ont une superficie inférieure ou égale à 110 m!. Un quart des habitations ont une superficie supérieure à 110 m!. Exercice 2 : 1. Au casino Bellevue, sur 2500 lancers de dés, 1150 ont donné un nombre pair. Il s agit de prendre la décision suivante : le dé est-il truqué ou non? On fait l hypothèse que les dés ne sont pas truqués : il y a autant de chances d obtenir un nombre pair qu un nombre impair. Donc la probabilité p sur un grand nombre de lancers de dé est p = 0,5. La situation correspond à un échantillon de taille n = 2 500 avec une probabilité p = 0,5 d obtenir un nombre pair. Si les dés ne sont pas truqués, la fréquence f d'obtention d'un nombre pair dans l'échantillon doit appartenir à l intervalle de fluctuation: I = p 1 n ; p 1 n = 0,5 1 2500 ; 0,5 1 = 0,48; 0,52 2500 La fréquence observée est f = 1500 = 0,46 ; f I 2500 Donc on rejette l hypothèse que les dés ne sont pas truqués, une enquête s impose. On peut aussi faire le raisonnement en calculant l intervalle de confiance à partir de f et montrer que p n est pas dans l intervalle. 4
Géométrie dans l espace QCM Barrer les réponses fausses Soit le cube ABCDEFGH et les points I CG et J EF Les droites (FE) et sécantes non sécantes coplanaires (HD) sont : Les droites (EH) et coplanaires non coplanaires parallèles (BC) sont : Les droites (AG) et coplanaires non coplanaires sécantes (BH) sont : Les droites (AG) et coplanaires non coplanaires sécantes (EI) sont : Les droites (CH) et coplanaires non coplanaires sécantes (EG) sont : Les plans (FIC) et sécants strictement parallèles confondus (ADB) sont : Les plans (EGB) et sécants strictement parallèles confondus (AHC) sont : Le point I appartient (ECG) (DAG) (EHC) au plan: On peut dire que J (FE) (HD) J (FE) (HD) HD = HJ JD On peut dire que (IJ) est incluse dans le plan (HDC) [DI] est inclus dans la face HGCD (DC) est incluse dans la face HGCD On peut dire que Le plan (IJB) coupe la face HGCD parallèlement à (BJ) Le plan ((IJB) ne coupe la face ABCD qu en B L intersection du plan (IGB) et du cube est le triangle IJB Construire la section du cube par le plan (IJB) 5
NOM : Représentation graphique de la fonction Statistiques Courbe des effectifs cumulés 6