PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR (P.G.C.D.) DE DEUX NOMBRES I - Diviseurs d'un entier ; Le reste de la division euclidienne de 378 par 14 est 0 On dit que 14 est un diviseur de 378 ou aussi que 378 est divisible par 14 Le reste de la division euclidienne de 642 par 35 n'est pas 0 On dit que 35 n'est pas un diviseur de 642 ou aussi que 642 n'est pas divisible par 35 II- Liste des diviseurs d'un entier: Exemple: Donner la liste des diviseurs de 18 On écrit 18, de toutes les façons possibles, sous forme d'un produit de deux entiers 18 = 1 x 18 18 = 2 x 9 18 = 3 x 6 La liste des diviseurs de 18 est donc: 1, 2, 3, 6, 9, 18 Remarque: Cette méthode n'est évidemment possible que pour trouver la liste des diviseurs d'un "petit" nombre. Pour les nombres plus grands il existe heureusement d'autres méthodes. III- PGCD: Exemple: Trouver les diviseurs communs à 30 et 42 Liste des diviseurs de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 Liste des diviseurs de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 Les diviseurs communs à 30 et 42 sont donc: 1, 2, 3, 6 Le plus grand d'entre eux est 6. On dit que 6 est le plus grand commun diviseur (en abrégé PGCD) de 30 et 42. On écrit: PGCD (30, 42) = 6 Remarque: La méthode ci-dessus, consistant à écrire la liste des diviseurs de chacun des deux nombres et à chercher quel est le plus grand des nombres communs aux deux listes de n'est évidemment possible que pour trouver le plus grand commun diviseur à deux "petits" nombres Il existe heureusement d'autres méthodes, parmi lesquelles l'algorithme d'euclide, décrit cidessous. 1
IV- Algorihme d'euclide: 1) Découverte: Reprenons l'exemple ci-dessus: trouver les diviseurs communs à 24 et 32. a) Divisons (division euclidienne) 42 par 30: 42 = 30 x 1 + 12 b) Effectuons la division euclidienne du diviseur de la division précédente, par le reste de la division précédente (c'est à dire de 30 par 12) 30 = 12 x 2 + 6 c) Effectuons la division euclidienne du diviseur de la division précédente, par le reste de la division précédente (c'est à dire de 12 par 6) 12 = 6 x 2 reste 0 Nous savons, d'après le paragraphe 3 ci-dessus, que PGCD (30, 42) = 6 Or 6 est le dernier reste non nul des divisions faites ci-dessus. D'où la méthode: 2) Méthode: a) On divise le plus grand nombre par le plus petit b) On divise le diviseur de la division précédente par le quotient précédente c) On réitère ce procédé jusqu'à obtenir une division de reste 0 Le PGCD est alors le dernier reste non nul. La méthode utilisée ci-dessus port le nom d'algorithme d'euclide. 3) Exemple: Déterminer le PGCD de 155 et 279 279 = 155 x 1 + 124 155 = 124 x 1 + 31 124 = 31 x 4 reste 0 Le dernier reste non nul est 31. Donc PGCD (155, 279) = 31 V- Diviseurs communs à deux nombres: 1) Propriété: En reprenant l'exemple du III, nous avons: Diviseurs communs à 30 et 42: 1, 2, 3, 6. Diviseurs du PGCD de 30 et 42 (c'est à dire diviseurs de 6): 1, 2, 3, 6. D'où la propriété: Les diviseurs communs à deux nombres sont les diviseurs de leur PGCD 2) Utilisation: Exemple: Déterminer les diviseurs communs à 1896 et 2328 Il serait évidemment très maladroit et très fastidieux de chercher les diviseurs de 1896, ceux de 2328 et de déterminer ensuite les nombres communs aux deux listes. Par contre, la propriété ci-dessus permet de donner très facilement la réponse. En utilisant l'algorithme d'euclide, on trouve: PGCD(1896,2328) = 24 Les diviseurs communs à 1896 et 2328 sont donc les diviseurs de 24, c'est-à-dire: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 2
VI- Nombres premiers entre eux: Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est 1. Exemples: 1901 et 3293 sont premiers entre eux car PGCD(1901, 3293) = 1 899 et 1333 ne sont pas premiers entre eux car PGCD(899, 1333) = 31 VII- Fractions irréductibles: 1) Définition: Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. (c'est-à-dire si le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1) Exemples : 2) Déterminer la fraction irréductible égale à une fraction donnée: Pour déterminer la fraction irréductible égale à une fraction donnée: - on détermine le PGCD du numérateur et du dénominateur - on divise le numérateur et le dénominateur par ce PGCD. Exemple : En utilisant l'algorithme d'euclide, on trouve: PGCD(1517,2183) = 37. En divisant le numérateur et le dénominateur par 37, on obtient la fraction irréductible égale à la fraction donnée : 3
VIII- Exemples de problèmes: Exemple 1: Un grossiste en fleurs dispose de 395 roses blanches et 553 roses rouges. Il veut constituer le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes ces fleurs. a) Combien de bouquets pourra-t-il constituer? b) Quelle sera la composition de chaque bouquet? Explication: Si l'on appelle n le nombre de bouquets, a le nombre de roses blanches dans un bouquet, b le nombre de roses rouges dans un bouquet, on a: a x n =395 et b x n = 553 Ou encore: a = 395 : n et b= 553 : n Comme a et b sont des entiers, cela signifie que n est un diviseur commun à 395 et 553. De plus, on veut le plus grand nombre de bouquets, donc n est le PGCD de 395 et 553. Rédaction: a) Le nombre de bouquets est le PGCD de 395 et 553. En utilisant l'algorithme d'euclide on trouve: PGCD(395,553) = 79 Le grossiste pourra donc constituer 79 bouquets b) 395 : 79 = 5 et 553 : 79 =7 Donc chaque bouquet contiendra 5 roses blanches et 7 roses rouges. Exemple 2: On veut carreler une pièce rectangulaire de 7,20 m de longueur et 5,60 m de largeur avec des dalles carrées, toutes identiques, en utilisant le moins de dalles possible. a) Quel doit être, en centimètre, le côté d'une de ces dalles? b) Combien de dalles utilisera-t-on? Explication: Convertissons les mesures en cm: 7,20 m = 720 cm et 5,60 m = 560 cm Si l'on appelle n le côté d'une dalle, a le nombre de dalles dans le sens de la longuer, b le nombre de dalles dans le sens de la largeur, on a: a x n =720 et b x n = 560 Ou encore: a = 720 : n et b= 560 : n Comme a et b sont des entiers, cela signifie que n est un diviseur commun à 720 et 560. De plus, on veut utiliser le moins de dalles possible. Il faut donc que le côté de ces dalles soit le plus grand possible.donc n est le PGCD de 720 et 560. Rédaction: a) Le côté d'un carré, en cm, est le PGCD de 720 et 560. En utilisant l'algorithme d'euclide on trouve: PGCD(720,560) = 80 Le côté d'une dalle sera donc 80 cm b) 750 : 80 = 9 et 560 : 80 = 7 On utilise donc 7 rangées de 9 dalles 9 x 7 = 63 On utilisera donc.63 dalles 4
IX - Exercices : Exercice 1: Déterminer PGCD(3071,2573 Exercice 2: Déterminer les diviseurs communs à 518 et 826 Exercice 3: Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux? a) 493 et 901 b) 437 et 1073 Exercice 4: Les fractions suivantes sont-elles irréductibles? Exercice 5 : Exercice 6: Le responsable du rayon traiteur d'un supermarché dispose de 480 chipolatas et 800 merguez. Il veut les conditionner en un nombre maximum de "barquettes barbecue", toutes identiques, en utilisant toutes les chipolatas et toutes les merguez a) Combien de barquettes pourra-t-il constituer? b) Quelle sera la composition de chaque barquette? 5
P.G.C.D. DE DEUX NOMBRES - CORRECTION DES EXERCICES Exercice 1: Déterminer PGCD (3071,2573) En utilisant l'algorithme d'euclide on a: 3071 = 2573 x 1 + 498 2573 = 498 x 5 + 83 498 = 83 x 6 reste 0 Le PGCD est le dernier reste non nul. Donc: PGCD (3071,2573) = 83 Exercice 2: Déterminer les diviseurs communs à 518 et 826 En utilisant l'algorithme d'euclide on trouve: PGCD(518,826) = 14 On sait que les diviseurs communs à deux nombres sont les diviseurs de leur PGCD Les diviseurs communs à 518 et 826 sont donc les diviseurs de 14, c'est-à-dire: 1, 2, 7, 14. Exercice 3: Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux? a) 493 et 901 Non, car PGCD(493,901) =17 b) 437 et 1073 Oui car PGCD(437,1073) = 1 Exercice 4: Les fractions suivantes sont-elles irréductibles? Oui, car PGCD(551,989) = 1 Non, car PGCD(1591,1763) = 43 Exercice 5 : PGCD(3953, 4189) = 59 En divisant le numérateur et le dénominateur par 59, on obtient la fraction irréductible égale à la fraction donnée: Exercice 6: Le responsable du rayon traiteur d'un supermarché dispose de 480 chipolatas et 800 merguez. Il veut les conditionner en un nombre maximum de "barquettes barbecue", toutes identiques, en utilisant toutes les chipolatas et toutes les merguez a) Combien de barquettes pourra-t-il constituer? b) Quelle sera la composition de chaque barquette? a) Le nombre de barquettes est le PGCD de 480 et 800 En utilisant l'algorithme d'euclide, on trouve: PGCD(480,800) = 160 Il pourra donc constituer 160 barquettes 6
b) 480 : 160 = 3 et 800: 160 = 5 Donc chaque barquette contiendra 3 chipolatas et 5 merguez. 7