Simulation à précision spectrale d écoulements en cavité entraînée déformée

Simulation à précision spectrale d écoulements en cavité entraînée déformée Alexis Redondo, Guillaume Kasperski + & Gérard Labrosse Université Paris-Sud XI, LIMSI-CNRS Campus d Orsay, Bât. 508, 9405 Orsay Cedex + Université Paris-Sud XI, FAST Campus d Orsay, Bât. 5, 9405 Orsay Cedex redondo@limsi.fr Résumé : Une analyse de Fourier est conduite pour les solveurs d approximation locale, Différences Finies ( (DF ), Eléments ) Finis (EF ) et Volumes Finis (V F ), analysés comme préconditionneurs du solveur spectral x + y u = f. Parmi les approximations locales de bas-ordre (schémas p-noeuds, p = 5, 7, 9), le solveur Volumes Finis 9 noeuds constitue le meilleur préconditionneur. Les résultats expérimentaux, basés sur les noeuds de Chebyshev Gauss- Lobatto définis sur le carré, confirment ce résultat. Le préconditionnement VF est mis en oeuvre pour résoudre les équations de Navier Stokes pour le problème de la cavité entraînée, en géométrie D non orthogonale. Les seuils de transition à l instationnarité sont très sensibles à l amplitude de déformation des parois A d. L évolution des seuils se caractérise par un comportement non monotone en fonction de A d qui peut être associé aux changements de topologie de l écoulement. Abstract : The local approximation solvers, Finite ( Difference ) (FD), Finite Element (FE) and Finite Volume (FV), are Fourier analyzed as preconditioners of the x + y u = f spectral solver. Amongst the local approximations of lowest order namely the p-nodes schemes (p = 5, 7, 9), the 9-nodes FV solver turns out to be the best preconditioner. Experimental results, based on Chebyshev Gauss-Lobatto nodes defined over the square, confirm this result. The FV preconditioning is used for solving Navier-Stokes equations for the lid driven cavity problem in non-orthogonal planar domain. The transition thresholds are very sensitive to the amplitude of the parabolic boundary deformations A d. They exhibit a non-monotonic dependance upon A d, correlated to significant changes in the topology of the flows. Mots-clefs : Méthodes spectrales ; Préconditionnement Volumes Finis ; Cavité entraînée Introduction Dans le cadre d une approche monodomaine, les méthodes spectrales sont souvent restreintes à la résolution de problèmes elliptiques D/3D tensorisables, problèmes posés sur des domaines orthogonaux ou mettant en jeu des coefficients constants. Pour ces configurations, des solveurs efficaces, basés sur une succession de problèmes monodimensionnels peuvent être développés (3). Il est toutefois possible d obtenir la précision spectrale avec des problèmes non tensorisables en adoptant une démarche proposée par Orszag (5), basée sur l utilisation d un préconditionnement de précision finie. Afin de comparer les performances de différents préconditionneurs de précision finie, Différences Finies (DF ), Eléments Finis (EF ) et Volumes Finis (V F ), une analyse de Fourier a été conduite, pour le problème de Poisson bidimensionnel. La détermination des taux de convergence théoriques, a ainsi permi d évaluer les performances des différents préconditionneurs. Les prédictions théoriques ont été vérifiées sur la résolution du problème de Poisson D dans le carré. Le préconditionnement Volumes Finis, qui s est avéré être le plus

efficace, est alors appliqué au problème de Poisson puis à la résolution des équations de Navier Stokes en géométrie non orthogonale. Des simulations numériques ont été réalisées pour différentes configurations de cavité entraînée avec parois déformées. Les écoulements dans des cavités avec déformation parabolique des parois latérales ont constitué un premier cas d étude : différentes topologies d écoulement ainsi qu un comportement non monotone des seuils de transition à l instationnarité en fonction de l amplitude de déformation ont pu être observés. Etude comparative des préconditionneurs Pour parvenir à la résolution de problèmes spectraux elliptiques D/3D non tensorisables, Orszag introduit l idée de mettre en oeuvre une méthode de résolution itérative basée sur le préconditionnement de l opérateur d approximation spectrale par un opérateur de précision finie (5). Cette idée a conduit à l étude de préconditionneurs DF (3), EF () et plus récemment V F (4; 6). Après un bref rappel concernant le préconditionnement, nous présentons dans cette section les résultats de l analyse conduite pour différents préconditionneurs D. Pour les aspects "techniques", le lecteur pourra se référer à (4; 6).. Principe du préconditionnement Une procédure de résolution itérative classique de type Richardson permet d obtenir la solution spectrale u N d un problème linéaire continu Lu = f, en résolvant un opérateur approché (de précision finie) L app au lieu de L sp, l opérateur spectral discret associé. Un champ initial u (0), par exemple solution de L app u (0) = f, est successivement corrigé, u (n+) = u (n) + α δu (n), par une séquence de δu (n) vérifiant L app δu (n) = f L sp u (n). Pour un nombre n d itérations suffisament grand, u (n) converge vers u N solution spectrale. L efficacité de cette méthode dépend du choix de L app qui doit être facilement inversible et aussi proche que possible de L sp. Le rayon spectral ρ donné par l expréssion ρ = λ M λ m λ M +λ m, avec λ m and λ M représentant respectivement les valeurs propres minimale et maximale du spectre de L app L sp, nous fournit une mesure directe de la proximité de l opérateur de préconditionnement de l opérateur spectral. Plus le rayon spectral est faible et plus la méthode sera efficace.. Analyse de Fourier des préconditionneurs de précision finie Nous présentons dans cette section une synthèse des résultats de l analyse du spectre Fourier de l opérateur L app L sp, où L sp représente l approximation spectrale Chebyshev de l opérateur de Poisson L +. x y Parmi les six approximations locales D considérées par la suite, certaines sont directement obtenues par tensorisation des approximations 3 noeuds correspondantes, les approximations classiques DF second ordre, EF et V F linéaires par morceaux. D autres approximations D, proposées dans la littérature sont aussi considérées. En suivant la nomenclature : DF p, EF pq et V F pq, où p et q sont respectivement les nombre de noeuds des stencils à partir desquels sont construits les matrices de Rigidité et Masse, les approximations résultantes seront notées DF 5 (schéma DF 5 points), DF 9 (schéma DF 9 points), EF 57 (éléments P ), EF 99 (éléments Q), V F 55 (approximation linéaire dans chaque direction), V F 99 (approximation bilinéaire). Les valeurs théoriques λ m, λ M, ρ, obtenues par analyse de Fourier sont reportées en Tab. pour chaque préconditionneur. Le taux de convergence R défini par R = logρ mesure le nombre d itérations nécessaires pour réduire l erreur d un facteur e. Les paramètres optimaux de relaxation correspondant α,

définis comme α = λ M +λ m sont reportés en dernière colonne. λ m λ M ρ R α DF 5.47 0.4 0.38 0.58 DF 9 3.50 0.56 0.5 0.44 EF 57 0.36 0.47 0.33.47 EF 99 0.69 0.8 0.74.8 V F55 0.3 0.6 V F 99 0.9.3 0.5 0.8 0.93 TAB. Valeurs propres min et max, Rayon spectral de L app L sp, Taux de convergence asymptotique de Richardson et paramètre de relaxation pour chaque préconditionneur Les valeurs propres extrêmes de L app L sp présentées dans les études D sont conservées pour DF5, EF99 et V F99 ; on conserve alors les taux de convergence D. Les préconditionnements EF57, DF9 et V F57, dont les spectres ne sont pas obtenus par tensorisation de leur partenaire D fournissent un taux de convergence plus faible que les précédents. De plus, il peut être observé que : l augmentation de l ordre du schéma Différences Finies, avec un stencil 9 points tend à dégrader la convergence ; le préconditionnement V F57 pour lequel le spectre L app L sp présente des valeurs propres nulles ne converge pas. Enfin, le schéma V F99 qui conduit à un taux de convergence de 0.8, apparaît comme le meilleur préconditionneur pour le problème D elliptique. L extension de l analyse au cas 3D conduit aux mêmes conclusions..3 Résultats expérimentaux Les préconditionneurs les plus "efficaces" analysés précedemment (DF 5, EF 99 et V F 99) sont mis en oeuvre pour résoudre spectralement l équation de Poisson dans le carré, U x + U y = S(x, y) (x, y) D = [, ], associée à des conditions aux limites de type Dirichlet homogène. Le terme source et les conditions aux limites correspondantes sont exprimés analytiquement à partir de la solution test considérée U e (x,y). La procédure itérative de Richardson est utilisée pour converger vers la solution spectrale. Les paramètres de relaxation sont ceux donnés par l analyse de Fourier. Les figures (a) et (b) présentent 0.0 FV99 FV99* FE99 FE99* FD5 FD5* 0.0 FV99 FV99* FE99 FE99* FD5 FD5* 0.000 0.000 e-006 e-008 e-00 e-006 e-008 e-00 e-0 e-0 e-04 e-04 0 0 0 30 40 50 Richardson iteration number (a) U e = sin(4πx)sin(4πy), N = M = 40 0 0 0 30 40 50 Richardson iteration number (b) U e = sin(πx) sin(πy), N = M = 74 FIG. Convergence de la solution numérique l évolution, avec le nombre d itérations, de l erreur à la solution exacte U U e pour deux cas test 3

U e = sin(4πx)sin(4πy) et U e = sin(πx)sin(πy). La solution numérique est représentée avec des symboles (V F99, EF99, DF5). Les pentes théoriques de Richardson ont également été tracées pour chaque préconditionneur (lignes V F 99, EF 99, DF 5 ). Les taux de convergence expérimentaux sont en accord avec ceux prédits par l analyse de Fourier. 3 Résolution de l équation de Poisson en géométrie non orthogonale Le préconditionnement Volumes Finis (V F 99) est maintenant appliqué à la résolution de l équation de Poisson en géométrie D déformée. Nous considérerons ici des frontières latérales définies par un profil parabolique δ(y) = ±( + A d.y ), où A d est l amplitude de déformation. y η x T ǫ Domaine Physique D p Domaine de Calcul Dc FIG. Définition de la géometrie et application de la transformation géométrique L application de la transformation géométrique T (Fig.) définie par ses coefficients métriques Jg ij, où J est le Jacobien de la transformation géométrique, conduit à résoudre le problème spectral suivant sur la grille orthogonale de calcul, (ǫ i,η j ), définis comme les points de collocation Gauss-Lobatto : [ ( U Jg J ǫ ǫ + Jg U ) ( U + Jg η η ǫ + Jg U )] = S (ǫ, η), (ǫ, η) D c = [, ] [, ] η La présence de dérivées croisées rend impossible une approche tensorisée pour construire un solveur du type décrit dans (3). L approche itérative préconditionnée permet de résoudre ce problème. Les figures 3(a) et 3(b) présentent l évolution, avec le nombre d itérations de l algorithme, de l erreur à la solution exacte U U e pour le cas test périodique U e = sin(4πx)sin(4πy) pour différentes amplitudes de déformation A d des parois latérales. L algorithme de résolution itérative implémenté ici est une méthode de Richardson modifiée où le paramètre α est évalué de manière dynamique. Comme attendu, l augmentation de la déformation tend à réduire le taux de convergence de la méthode iterative. 0.0 0.000 Ad=0 Ad=-0. Ad=-0. Ad=-0.3 Ad=-0.4 Ad=-0.5 Ad=-0.6 Ad=-0.7 Ad=-0.8 Ad=-0.9 0.0 0.000 Ad=0 Ad=0. Ad=0. Ad=0.3 Ad=0.4 Ad=0.5 Ad=0.6 Ad=0.7 Ad=0.8 Ad=0.9 e-06 e-08 e-06 e-08 e-0 e-0 e- e- e-4 0 0 0 30 40 50 60 70 80 Iteration number (a) Déformation A d < 0 U e = sin(4πx)sin(4πy), N = M = 40, e-4 0 0 0 30 40 50 60 70 80 Iteration number (b) Déformation A d > 0 U e = sin(4πx)sin(4πy), N = M = 40, FIG. 3 Influence de la déformation pour le cas test périodique avec conditions aux limites de Dirichlet 4

4 Ecoulements de fluide incompressible en cavité entraînée déformée 4. Equations de Navier Stokes Les équations de Navier-Stokes v t + (v. )v = Re v p.v = 0 sont résolues pour l écoulement d un fluide newtonien incompressible (de viscosité cinématique ν et densité ρ) confiné dans une cavité déformée de hauteur L, et entraîné par la paroi supérieure. En prenant L et U comme échelle de longueur et vitesse, le nombre de Reynolds est défini comme Re = UL ν, U étant l amplitude de la vitesse de la paroi mobile. Afin de supprimer les singularités dans les coins supérieurs, la vitesse sur la paroi supérieure est régularisée (7) suivant U Reg = ( ( x ) L) avec x [ L : L]. On utilise une discrétisation temporelle du second ordre avec un schéma d Adams Bashforth explicite pour les termes non-linéaires et un schéma implicite Euler retardé pour les termes linéaires. Un algorithme de Projection-Diffusion permet de découpler les champs de pression et vitesse (). Il conduit à la résolution d une équation de Poisson avec conditions de type Neumann pour la pression et une équation de Helmholtz avec conditions de type Dirichlet pour chaque composante du champ de vitesse. Les équations résultantes sont alors traitées suivant la démarche présentée précedemment, mettant en oeuvre le préconditionnement V F. Pour chaque déformation, le nombre de Reynolds est successivement incrémenté. Le critère de stationnarité, basé sur le champ de vorticité ω, est ω n+ ω n /( ω n+ δt) 0 6 avec ω n = ω(nδt). 4. Détermination des seuils de transition à l instationnarité Des simulations ont été conduites afin d estimer les seuils de transition de l état stationnaire à l état oscillant, pour des amplitudes de déformation de parois A d [ 0.4 : 0.4]. Les dérivées spatiales sont évaluées en collocation aux points de Gauss-Lobatto (7 7), et le pas de temps est fixé à 0 3. Les résultats sont reportés en Fig.4 : les seuils de transition sont encadrés par une limite inférieure correspondant à l état stationnaire et une limite supérieure pour laquelle l écoulement est oscillant. La structure des écoulements à la transition est représentée en fonction de courant pour les points A-B-C-E- F-H de la courbe de seuils. 0000 D E F Inferior Threshold Superior Threshold 8000 G I Re H 6000 A B C 4000-0.4-0. 0 0. 0.4 Ad FIG. 4 Evolution des seuils de transition à l instationnarité et topologie des écoulements associés (de haut en bas et de gauche à droite seuils A-B-C-E-F-H) 5

Ces premiers résultats montrent la sensibilité de la stabilité de l écoulement stationnaire aux déformations de parois ainsi qu un comportement non monotone des seuils. Ceci est fortement corrélé à la topologie des écoulements : les sauts sur la courbe (points C à E et points F à G) correspondent à la jonction de deux cellules secondaires de l écoulement. 5 Conclusion Une analyse de Fourier a été conduite pour les différents préconditionneurs DF, EF et VF du problème de Poisson D. Les prédictions théoriques ont été validées expérimentalement en géométrie orthogonale, et le préconditionnement Volumes Finis V F 99 s est révélé être le plus performant. Les équations de Poisson puis Navier Stokes ont été résolues en géométrie déformée avec un préconditionnement Volumes Finis de l opérateur spectral. L étude des écoulements en cavité entraînée déformée a montré un comportement non monotone des seuils de transition à l instationnarité corrélé à des changements de topologie. Références [] Batoul, A., Khallouf, H., Labrosse, G. 994 Une méthode de résolution directe (pseudo-spectrale) du problème de Stokes D/3D instationnaire. Application à la cavité entrainée carrée. C. R. Acad. Sci. Paris, Série II 39 455-46. [] Deville, M., Mund, E. 99 Fourier analysis of finite element preconditioning collocation schemes SIAM J. Sc. C. 3 596-60. [3] Haldenwang, P., Labrosse, G., Abboudi, S.,Deville, M. 984 Chebyshev 3D Spectral and D pseudospectral solvers for the Helmholtz equation Journal of Computational Physics 55 5-8. [4] Labrosse, G. 006 Comparison of the 3-nodes preconditioners, Finite Difference, Finite Element and Finite Volume, for the Chebyshev spectral resolution of x en soumission. [5] Orszag, S. 979 Spectral methods for problems in complex geometries, AP, New York. [6] Redondo, A., Kasperski, G., Labrosse, G. 007 Finite Volume, the best preconditioner for spectral solvers of the D/3D Cartesian Poisson equation Chebyshev spectral resolution soumis à J.C.P.. [7] Shen, J. 99 Hopf bifurcation of the unsteady regularized driven cavity flow J. Comput. Phys., 95 8-45 6