Cours 7 Analyses de treillis

DST-22 Intégration science et technologie École de technologie supérieure Nathalie Dabin Cours 7 Analyses de treillis Plan Définition des Treillis Modélisation d un treillis s Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 1 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 2 Définition d'un treillis Un treillis est en ensemble rigide de poutrelles droites (les membrures) assemblées à leurs extrémités par des rotules (les joints ou nœuds). Un treillis est situé dans un seul plan appelé le plan de charpente. Il forme généralement une chaîne simple (plane) de triangles juxtaposés. Définition d'un treillis Rappel : définition d une membrure Une poutrelle droite ou membrure est un solide dont la longueur est prépondérante devant les autres dimensions transversales. Le matériau constituant la poutrelle est : Continu Homogène Isotrope Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 3 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 4 1

Pourquoi en triangle Treillis rigide : NON OUI Avantages des treillis Avantage du treillis: Léger, résistant et rigide, permet d'utiliser des éléments normalisés (barres), peut-être réassemblés, Recyclage facile, économique. Le treillis est un des plus importants types de construction métallique utilisée en génie : Ponts, Édifices, Aviation, Construction navale, etc. Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 5 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 6 de treillis Désavantages des treillis Les membrures des treillis supportent très mal les charges latérales en raison de leurs finesses : Les charges doivent donc être appliquées aux nœuds. Si une charge doit être appliquée en dehors d un nœud, il est nécessaire de prévoir des éléments structuraux pour renvoyer les charges sur les nœuds : un tablier de pont http://structurae.info/structures/stype/index.cfm?id=429 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 7 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 8 2

Différentes formes de treillis Fermes de toiture Plan Définition des Treillis Modélisation d un treillis Treillis de ponts s Treillis divers Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 9 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 1 Modélisation d'un treillis Hypothèses Le treillis est dans un plan : problème 2D. Les nœuds sont modélisés par des rotules parfaites où s applique une force interne axiale (dans la direction de la membrure) en traction ou en compression. Les forces extérieures sont appliquées sur les nœuds et modélisées par des appuis plans (2D). Le poids des barres est alors remplacé par deux forces appliquées à leurs nœuds d'extrémité. Pourquoi une membrure est en traction/compression? Une liaison rotule parfaite bloque les translations et autorise les rotations : Liberté Efforts Le treillis est stable et isostatique (pour nos calculs). Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 11 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 12 3

Pourquoi une membrure est en traction/compression? PFS : la membrure est en équilibre. En y : En x : Pourquoi les nœuds sont-ils modélisés par des rotules parfaites? Effort axial seulement! Effort axial + effort en flexion!! " # $$" %é &'" Il n y a donc qu une réaction axiale (suivant la direction de la membrure) qui travaille en compression ou traction. Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 13 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 14 Pourquoi les nœuds sont-ils modélisés par des rotules parfaites? Donc les nœuds sont modélisés comme des rotules parfaites. Forces extérieures = appuis plans : Appui ou liaison Réaction Inconnues exemple Cependant, dans la vraie vie, ce ne sont pas des articulations qui relient les membrures, mais souvent des liaisons rigides comme de la soudure ou des boulons : Appui simple Les membrures sont donc bloquées en rotations, il y a des contraintes de flexion qui existent, mais sont normalement négligeables devant les autres efforts. Ces efforts sont nommés contraintes parasitaires de flexion. Pour la plupart des calculs, l hypothèse de la rotule parfaite est valable et donne des résultats très précis pour une approche générale. Articulation ou pivot Encastrement Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 15 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 16 4

Stabilité : isostatique et hyperstatique Treillis Hypostatique isostatique hyperstatique Treillis isostatique : Économique Léger Facile à calculer Si une membrure casse, la structure devient instable Treillis hyperstatique : Très sécuritaire Plus difficile à calculer Plus cher et lourd Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 17 Stabilité : isostatique et hyperstatique Calcul de stabilité isostatique (( ) ) (formule pour un appui simple + pivot ou 2 appuis simples) ( ), -./ 12 ( ) 3 567 * : nombre de barres ( ) 8 3 9:;7 + : nombre de nœuds ( ) < 3 9:;=> Augmente la base stable et isostatique en ajoutant : 2 barres+ un nœud Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 18 Stabilité : isostatique et hyperstatique Ex 1? @ * -2+ 32 Plan Définition des Treillis Modélisation d un treillis Ex 2 Ex 3 s Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 19 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 2 5

Objectifs : Dimensionner les membrures du treillis en évaluant l intensité de la force exercée sur chaque membrure du treillis : Grandeur de la force. Direction : déterminer s il s agit de traction ou compression. Principe : Chaque membrure est en équilibre Le treillis est en équilibre. Chaque nœud est en équilibre. Méthode 1. Vérifie que le treillis est isostatique. 2. Calculs les forces extérieures (réactions aux appuis): on isole le treillis. 3. Calcul des efforts normaux dans les membrures : on isole les nœuds. Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 21 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 22 En utilisant la méthode des nœuds, déterminez la force interne dans les éléments du treillis illustré. Indiquez, pour chaque membre, s il est en tension ou en compression. 1-Isostatisme: B= 3 N= 3 Is= OK 2-Calcul des réactions aux appuis Statique extérieure : On isole le treillis. 1. DCL : diagramme de TOUTES les forces extérieures exercées sur le treillis. 2. Écrire les conditions d'équilibre de translation : C D EF CD et CD 3. Écrire les conditions d'équilibre de rotation : C-D EF 2 4. On résout pour trouver les forces extérieures exercées sur le treillis. Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 23 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 24 6

1IJ3/ Calcul des efforts normaux Statique intérieure du treillis : a) On décompose le treillis suivant ces membrures. B G, G H 2-Statique externe: RBx= RBy= 9 [ N] RCy= 288 [ N] b) Chaque membrure est alors soumise à deux forces, une à chaque extrémité, qui ont : même grandeur (même intensité) même ligne d'action sens opposés Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 25 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 26 Calcul des efforts normaux c) Comme le treillis est à l'équilibre, chaque nœud doit aussi se trouver parfaitement à l'équilibre. On écrit les 2 C.É. aux nœuds, jusqu à connaitre toutes les forces. Calcul des efforts normaux d) Une fois les forces des barres sur les nœuds connues, on applique le principe d action/réaction pour connaitre le sens des efforts sur les barres. Vérification Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 27 Traction Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 28 7

L MN A L M, BA L,M 1IJ3 / L MN AC K33 /.JJ3 / L,M B BC L,N L,N L N, C L NM Traction 12 [N] Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 29 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 3 Calcul des efforts normaux : conseil 2 Calcul des efforts normaux: conseil 3 Pour choisir le sens des forces : rappelez-vous que le nœud est à l équilibre, le polygone des forces sur ce nœud doit donc être fermé.? Si vous ne savez pas le sens des forces inconnues, faites une hypothèse : Si le résultat est positif, votre hypothèse est bonne. Si le résultat est négatif, le sens de la force doit être inversé en gardant la grandeur. Commencer par le nœud ayant juste une seule inconnue, s il y en a un, puis passer aux nœuds suivants ayant maximum 2 inconnues. Vérifiez s il y a des symétries dans la géométrie et les efforts. Le dernier nœud permet de vérifier vos calculs. Vérifiez-le toujours! Faites un schéma résumé de vos résultats pour présenter la solution. Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 31 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 32 8

Plan Définition des Treillis Modélisation d un treillis s Calcul des efforts normaux Principes : La direction des vecteurs forces est donnée par la direction des poutres. Chaque nœud est en équilibre donc la somme des efforts sur le nœud est nulle, donc la somme des vecteurs forces est nulle. Méthode : On se définit deux échelles : Newton versus cm Mètre versus cm On trace le treillis en respectant les angles et les longueurs. On trace les forces extérieures à chaque nœud en respectant l échelle. On complète le polygone de forces grâce aux directions des poutres pour chaque nœud. On mesure la grandeur de chaque force et on la convertit grâce à l échelle. Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 33 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 34 Plan Définition des Treillis Modélisation d un treillis Exercice 2 : En utilisant la méthode des nœuds, déterminez la force interne dans les éléments du treillis illustré. Indiquez, pour chaque membre, s il est en tension ou en compression. s Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 35 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 36 9

Exercice 3 : En utilisant la méthode des nœuds, déterminez la force interne dans les éléments du treillis illustré. Indiquez, pour chaque membre, s il est en tension ou en compression. Consignes Entre le 19 et le 26 février : travail en équipe Revoir les notes de cours et les exercices. Faire le devoir sur les treillis Journal 5 : statique interne pont Prendre un ordinateur portable par équipe pour le cours du 27 février. Si vous n avez pas de portable, me prévenir maintenant pour que j en apporte un pour vous. Merci. Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 37 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 38 Exercice 4 : En utilisant la méthode des nœuds, déterminez la force interne dans les éléments du treillis illustré. Indiquez, pour chaque membre, s il est en tension ou en compression. Merci pour votre attention. Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 39 Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 4 1

Calcul des efforts normaux : conseil 1 Dessiner une vue éclatée du treillis avec les forces sur chaque membrure et sur les nœuds. A L R/M L M/R 1 L,/R L R/, B L =OP/M L 1/M L M/1 L,/. L./, L =OP/, 3 L N/1 L N/. 2 L1/N C L./N L =OP/N L R/M L R/, L M/R L,/R L M, L,M Hiver 216 DST-22 Intégration science et technologie 41 11