Classe : 12ème SECO On appelle suite numérique ou suite de nombre réels toute fonction de dans ℝ définie à partie d un certain rang CHAPITRE 4 Attention!!! PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUE ET GÉOMÉTRIQUE À ne pas confondre la suite et le terme d indice (sans parenthèse) c'est-à-dire le terme général Domaine : Sciences Mathématiques et Technologies Compétences : Communiquer des messages en utilisant le langage et le symbolisme mathématiques Composantes : Participer à des échanges d informations à caractère scientifique technologique et mathématique Manifestations : Sélectionner les données mathématiques scientifiques et technologiques qui sont en rapport avec la situation Ressources éducatives : Professeur élèves matériels didactiques Stratégies d animation : Travaux en groupe (pédagogie active) 3) Monotonie ou sens de variation d une suite Approche 3 en groupe de travail la suite Contenu a) Calculer les termes : Approche 1 en groupe de travail définie par : b) Pour quelle valeur de on a Synthèse partielle 1 On dit que la fonction est une suite de nombre réel ou simplement suite numérique On note Les termes rang 0 1 2 3 sont les termes d indice ou de Approche 2 en groupe de travail Soient les termes d une suite numérique : 1) Conjecturer une formule claire vérifiée par les premiers termes connus de cette suite 2) A l aire de cette formule obtenue calculer Synthèse générale 1 L@mineL@mine ÉmériteÉmérite SAMATE SAMATE Copy Writer Copy Writer - Mathématicien - Mathématicien Novembre Mars2015 2014 1) Suites numériques On considère la fonction de la variable entière et b) Comparer les deux à deux et conclure Séquence 1 : Rappel de la 11ème SES a) Calculer définie par : Synthèse partielle 2 On dit que la suite est une suite décroissante Synthèse générale 2 Définitions 1) une suite quelconque de nombres réels est croissante (respectivement strictement croissante) à partie du rang lorsque (respectivement est décroissante (respectivement strictement décroissante) à partir du rang lorsque (respectivement pout tout est stationnaire s il existe est constante lorsque du domaine de définition de tel que est monotone si elle est croissante ou décroissante à partir du rang 2) Lorsque la suite est explicitement définie par on étudie le sens de variation de la fonction Ainsi si est croissante est croissante si décroissante est décroissante sur ℝ est Évaluation 1 Étudier la monotonie des suites suivantes : a) b) d) Polycopié de cours Chapitre 4 : Progressions Arithmétique et Géométrique 12ème SECO12 LMMS wwwmathematikos-lasaorg Page 10
Séquence 2 : Progressions arithmétiques Approche 4 en groupe de travail On donne les suites de nombres entiers définies par et On doit faire recours à une formule classique Synthèse générale 4 une suite arithmétique de 1 er terme et de raison avec On a : Quelle relation existe-t-il entre ces nombres? Synthèse partielle 3 On dit que les termes sont les termes consécutifs d une progression arithmétique ou suite arithmétique de raison 3 Synthèse générale 3 Une suite est dite arithmétique lorsqu on passe de chaque terme au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre c'est-à-dire indice est appelé la raison de -Reconnaissance d une suite (progression) arithmétique Pour montrer qu une suite est arithmétique : - On doit montrer que - On écrit sous la forme (avec la raison) Évaluation 2 On considère la suite définie par En sommant nombre par nombre on a : Par simplification : D où Évaluation 3 une suite arithmétique de 1 er terme et de Prouver que est une suite arithmétique raison 2 Calculer maintenant en deux minutes -Expression du terme général d une suite arithmétique Approche 5 en groupe de travail une suite arithmétique de 1 er terme et de raison 2 Calculer en deux minutes Synthèse partielle 4 Impossible de trouver le résultat en 2 min Un calcul fastidieux!!! -Somme des termes consécutifs d une suite arithmétique Approche 6 en groupe de travail la somme Calculer rapidement en une minute cette somme : Synthèse partielle 5 Encore un calcul fastidieux!!! Synthèse générale 5 Polycopié de cours Chapitre 4 : Progressions Arithmétique et Géométrique 12 ème SECO12 LMMS wwwmathematikos-lasaorg Page 11
une suite arithmétique et et tels que la somme des termes consécutifs on a : -Les termes et dans cet ordre sont 3 termes consécutifs d une suite arithmétique ou progression arithmétique si et seulement si -Si est une suite arithmétique sa représentation est constituée de points alignés Évaluation 6 peut s écrire également En faisant (1) + (2) On obtient : (2) Soient les trois termes consécutifs d une suite arithmétique Calculer ses trois termes sachant que leur somme est 9 et que la somme de leur carré est 59 f) Monotonie d une suite arithmétique Synthèse générale 6 On sait que une suite arithmétique de raison Si est strictement croissante Si est constante Et on sait encore que : Par suite jusqu à facteurs : et Si est strictement décroissante Évaluation 7 On donne la suite telle que a) Prouver que est suite arithmétique dont on précisera sa raison b) Étudier le sens de variation de - Insertion de k moyens arithmétiques entre 2 nombres a et b puisque est une suite arithmétique de 1 er terme et de raison on a Évaluation 4 Donner une réponse à l approche précédente Évaluation 5 Calculer la somme Remarque Synthèse générale 7 à insérer moyens entre deux nombres et ; le dernier terme b aura avant lui et on a la formule : ; avec raison D où Évaluation 8 On se propose d'insérer sept (7) moyens arithmétiques entre les deux nombres 6 et 30 Déterminer la raison de cette progression et préciser ces sept (7) nombres insérés Séquence 3 : Suites géométriques Approche 7 en groupe de travail Polycopié de cours Chapitre 4 : Progressions Arithmétique et Géométrique 12 ème SECO12 LMMS wwwmathematikos-lasaorg Page 12
Dans un service le Directeur le Comptable le secrétaire et le gardien ont partagé une certaine somme et chacun a reçu respectivement la somme de Étant donnée une suite géométrique de 1 er terme et de raison On a : 1) Calcul les rapports suivants : 2) Quelles relations lient les gains de ces personnes? Synthèse partielle 6 On dit que les parts G S C et D sont les termes consécutifs d une suite géométrique de raison 3 Synthèse générale 8 Une suite est dite suite géométrique lorsqu on passe de chaque terme au terme suivant en multipliant toujours par le même nombre c'est-à-dire est appelé la raison de la suite géométrique -Reconnaissance d une suite géométrique Pour démontrer qu une suite est géométrique on montre que R ou on écrit sous la forme Évaluation 9 avec On définit la suite que Prouver que la raison de la suite par la formule de récurrence telle est une suite géométrique -Expression du terme général d une suite géométrie Approche 8 en groupe de travail L effectif du LMMS était de 3026 élèves en 2012 Cet effectif augmente de 075% chaque année Quel sera l effectif en 2016? Synthèse générale 9 En faisant le produit membre par nombre on a : Par simplification C'est-à-dire Évaluation 10 récurrence une suite géométrique définie par la relation de Calculer le cinquième terme -Somme des termes consécutifs d une suite géométrie Approche 9 en groupe de travail Calculer la somme partagée par les quatre personnes dans l Approche 7 Synthèse partielle 7 On dit que l on a fait la somme des 4 termes consécutifs d une suite géométrique de 1 er terme 1500 et de raison Synthèse générale 10 une suite géométrique de raison et deux entiers naturels et le 1 er terme En désignant par la somme des termes consécutifs de la suite on a : (1) Et (2) En faisant Polycopié de cours Chapitre 4 : Progressions Arithmétique et Géométrique 12 ème SECO12 LMMS wwwmathematikos-lasaorg Page 13
Par simplification Évaluation 13 Puisque On donne deux nombres et Insérer cinq moyennes géométriques entre ces deux nombre en précisant la progression complète -Suites arithmético géométriques Évaluation 11 Calculer les sommes des 10 premiers termes consécutifs d une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2 Remarque Les trois termes et forment une progression géométrique ssi -Monotonie d une suite géométrique Synthèse générale 11 une suite géométrique de raison -Si strictement croissante -Si constante -Si strictement décroissante -Si Évaluation 12 on ne peut pas étudier la monotonie Étudier la monotonie de la suite suivante : -Insertion de k moyens géométriques entre 2 nombres a et b Synthèse générale 12 à insérer moyens géométriques entre et Alors le dernier terme en aura avant lui et la formule du terme général d une progression géométrique : où est la raison de la progression On a : d où Synthèse générale 13 Définition On nomme suite arithmético-géométrique une suite à la fois arithmétique et géométrique c'est-à-dire les suites de la forme ou R -Reconnaissance de suite arithmético-géométrique -Si est une suite arithmétique de raison -Si on pose la suite définie par Évaluation 14 On considère la suite Calculer est une suite géométrique de raison telle que Séquence 4 : Problèmes concrets utilisant les progressions arithmétiques et géométriques Situation 1 Un propriétaire désire vendre sa maison qui comporte deux étages de 16 marches chacun L acheteur devra payer 10 F pour 1 ère marche 20 F pour la 2 ème marche 40 F pour la 3 ème marche ainsi de suite en doublant chaque fois jusqu à la dernière marche Quel est le prix de vente de cette maison? Situation 2 La population d un petit village de la région de Sikasso est de 2 041 habitants en 2012 Cette population croit chaque année de 07% a) Quelle serait l effectif de la population en 2019? b) En quelle année la population aurait atteint 3000 habitants? Mention légale Mathematikos 2015/2016 Polycopié de cours Chapitre 4 : Progressions Arithmétique et Géométrique 12 ème SECO12 LMMS wwwmathematikos-lasaorg Page 14