Corrigé - Baccalauréat S Métropole La Réunion septembre 6 A. P. M. E. P. EXERCICE COMMUN À TOUS LES CANDIDATS 6 POINTS Partie On estime qu en la population mondiale est composée de 4,6 milliards de personnes âgées de à 79 ans et que 46, % des personnes âgées de à 79 ans vivent en zone rurale et 5,9 % en zone urbaine. En, d après la fédération internationale du diabète, 9,9 % de la population mondiale âgée de à 79 ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète et 6,4 % de la population mondiale âgée de à 79 ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète. On interroge au hasard une personne âgée de à 79 ans. On note : R l évènement : «la personne choisie habite en zone rurale», D l évènement : «la personne choisie est atteinte de diabète».. On traduit cette situation à l aide d un arbre de probabilité :,64 D,46 R,64=,96 D,59 R,99 D,99=,9 D. a. La probabilité que la personne interrogée soit diabétique est PD. D après la formule des probabilités totales : PD=PR D+PR D=PR P R D+PR P R D =,46,64+, 59,99 =,94+,56=,8865,8 Partie b. La personne choisie est diabétique. La probabilité qu elle habite en zone rurale est P D R : PD R P D R= =,954 PD,8865,56 Une personne est dite en hypoglycémie si sa glycémie à jeun est inférieure à 6 mg.dl et elle est en hyperglycémie si sa glycémie à jeun est supérieure à mg. dl. La glycémie à jeun est considérée comme «normale» si elle est comprise entre 7 mg. dl et mg.dl. Les personnes ayant un taux de glycémie compris entre 6 et 7 mg.rdl ne font pas l objet d un suivi particulier. On choisit au hasard un adulte dans cette population. Une étude a permis d établir que la probabilité qu il soit en hyperglycémie est,5 à près. Dans la suite on admettra que cette probabilité est égale à,5. On modélise la glycémie à jeun, exprimée en mg.dl, d un adulte d une population donnée, par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d espérance µ et d écart-type σ. On donne ci-dessous la représentation graphique de la densité de probabilité de la variable aléatoire X.
7 µ=9 mg.dl. La glycémie «normale» est entre 7 et mg.dl ; la probabilité que la personne choisie ait une glycémie à jeun «normale» est donc P7 X. La probabilité qu un adulte soit en hyperglycémie est,5 donc PX > =,5. D après la courbe donnée dans le texte, la moyenne µ est de 9 donc, pour des raisons de symétrie, comme 7=9 et que = 9+, PX < 7=PX > et donc, PX < 7=PX > =, 5. P7 X = PX < 7 PX > =,5=,896 La probabilité qu un adulte ait une glycémie «normale» est,896.,5,5 7 µ=9 mg.dl. La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne µ=9 et d écart-type σ. D après le cours, on peut dire que la variable aléatoire Z = X 9 suit la loi normale centrée σ réduite. On a vu que PX < 7=,5. Comme σ>, X < 7 X 9< X 9 σ PX < 7=,5 P Z < =,5. σ < σ Z < σ On sait que la variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite ; si PZ < β =,5, on trouve à la calculatrice β,66. On a donc,66 ce qui donne σ soit σ,. σ,66 La valeur de σ arrondie au dixième est,.. Dans cette question, on prend σ=. La probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie est PX < 6. À la calculatrice, pour la variable aléatoire X qui suit la loi normale de paramètres µ=9 et σ=, on trouve PX < 6,6. La probabilité, arrondie au millième, que la personne choisie soit en hypoglycémie est,6. Partie Afin d estimer la proportion, pour l année, de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de à 79 ans, on interroge au hasard personnes. Dans l échantillon étudié, 76 personnes ont été diagnostiquées diabétiques. septembre 6 Métropole La Réunion - Corrigé
. Un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % d une fréquence f dans un échantillon de taille n est : [ f ; f + ] n n La fréquence de personnes diagnostiquées diabétiques dans l échantillon proposé de taille n = est f = 76 =,76. [ On obtient l intervalle,76 ;,76+ ]=[,66 ;,86]. On peut donc dire que la probabilité que l intervalle [,66 ;,86] contienne la proportion d adultes diabétiques dans la population totale est supérieure à,95. [. L amplitude de l intervalle f ; f + ] est. n n n Pour que cette amplitude soit inférieure ou égale à,, il faut trouver n pour que n, ce qui équivaut à n ou encore n 4. Il faut donc avoir un échantillon de taille supérieure ou égale à 4 pour que l intervalle de confiance ait une amplitude inférieure ou égale à,. EXERCICE COMMUN À TOUS LES CANDIDATS 4 POINTS On considère les nombres complexes z n définis pour tout entier n par la donnée de z, où z est différent de et de, et la relation de récurrence : z n+ = z n.. a. Dans cette question, on suppose que z =. z = z = = ; z = z = = ; z = z = = += ; ensuite on retrouve z 4 =, z 5= et z 6 =. b. Dans cette question, on suppose que z = i. z = i = +i ; z = = i = z +i + = +i = +i ; z = = = z +i +i = +i = +i = +i i +i +i +i i = ++i+ i = i=z ; + ensuite on retrouve z 4 = z = +i, puis z 5 = +i et z 6= i. c. Dans cette question on revient au cas général où z est un complexe donné. Des résultats de la question précédente, on peut conjecturer que z n = z, pour n N. On démontre cette conjecture par récurrence sur n : Initialisation : on a bien z = z. Hérédité : supposons que pour tout p N, z p = z, alors z p+ = z p+ = = z p+ = z p+ z p+ = z p+ z p+ z p+ z p+ = z p+ = = z p z p = z p = z. septembre 6 Métropole La Réunion - Corrigé
Conclusion : on a donc démontré que z = z et pour tout p N vérifiant z p = z, alors z p+ = z : d après le principe de récurrence quel que soit n N, z n = z.. Comme 6= 67, on a d après la question précédente z 6 = z = +i.. On a z = z z = avec z ou encore z z = z z z += z 4 += z + 4 = z + i { z { i = z + i = z = + i z = i Il y a donc deux valeurs de z pour lesquelles z = z. Dans ces deux cas, z = z = z = z, et ainsi de suite, donc les suites z n sont constantes. z i = EXERCICE CANDIDATS N AYANT PAS SUIVI L ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ 5 POINTS On dispose d un dé équilibré à 6 faces numérotées de à 6 et de pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé. Après chaque lancer de dé, si l on obtient ou, alors on retourne la pièce A, si l on obtient ou 4, alors on retourne la pièce B et si l on obtient 5 ou 6, alors on ne retourne aucune des deux pièces. Au début du jeu, les pièces sont du côté face.. Dans l algorithme ci-dessous, code le côté face d une pièce et code le côté pile. Si a code le côté de la pièce A à un instant donné, alors a code le côté de la pièce A après l avoir retournée. Variables : a, b, d, s sont des entiers i, n sont des entiers supérieurs ou égaux à Initialisation : a prend la valeur b prend la valeur Saisir n Traitement : Pour i allant de à n faire d prend la valeur d un entier aléatoire compris entre et 6 Si d alors a prend la valeur a sinon Si d 4 alors b prend la valeur b FinSi FinSi s prend la valeur a+ b FinPour Sortie : Afficher s a. On exécute cet algorithme en saisissant n= et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour d sont ; 6 et 4. variables i d a b s initialisation er passage boucle Pour e passage boucle Pour 6 e passage boucle Pour 4 septembre 6 4 Métropole La Réunion - Corrigé
b. Les variables a et b sont à ou selon que la pièce montre le côté face ou le côté pile ; la variable s= a+ b donne donc le nombre de pièces qui sont du côté pile. À la fin de cet algorithme, s= donc les deux pièces sont du côté pile.. Pour tout entier naturel n, on note : X n l évènement : «À l issue de n lancers de dés, les deux pièces sont du côté face» Y n l évènement : «À l issue de n lancers de dés, une pièce est du côté pile et l autre est du côté face» Z n l évènement : «À l issue de n lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile». De plus on note, x n = P X n ; y n = P Y n et z n = P Z n les probabilités respectives des évènements X n, Y n et Z n. a. Au début du jeu les deus pièces sont du côté face donc x =, y = et z =. b. X n+ est l événement «À l issue de n+ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face» ; on cherche donc la probabilité que, à l issue de n+ lancers, les deux pièces soient du côté face sachant qu à l issue de n lancers elles étaient déjà les deux du côté face. Il faut donc qu il n y ait aucun retournement de pièce lors du n+-ième lancer, c est-à-dire qu il faut que le dé tombe sur 5 ou 6 ; la probabilité de l événement {5 ; 6} est 6 = puisque le dé est bien équilibré et donc qu il y a équiprobabilité. Donc P Xn X n+ =. c. On complète l arbre proposé : X n / / X n+ Y n+ x n Z n+ X / n+ y n / Y n Y n+ z n / Z n+ Z n / X n+ Y n+ / Z n+ d. Pour tout entier naturel n, x n + y n + z n = donc z n = x n y n. e. D après la formule des probabilités totales : y n+ = PY n+ =PX n Y n+ +PY n Y n+ +PZ n Y n+ = x n+ y n+ z n = x n+ y n+ x n y n = x n+ y n+ x n y n = y n+ septembre 6 5 Métropole La Réunion - Corrigé
f. On pose, pour tout entier naturel n, b n = y n donc y n = b n +. b n+ = y n+ = y n+ = b n + + 4 6 6 = b n + 6 = b n 6 + 6 = b n b = y = = Donc la suite b n est géométrique de raison q = et de premier terme b =. On peut donc dire que, pour tout n, b n = b q n = n. Comme y n = b n +, on en conclut que, pour tout n, y n = n. g. La suite b n est géométrique de raison ; comme < <, on sait que la suite b n est convergente vers. Or, pour tout n, y n = b n +, donc la suite y n est convergente vers : lim y n = n +. Donc à long terme, la probabilité d avoir une piède côté face et une pièce côté pile va tendre vers,5. EXERCICE CANDIDATS AYANT SUIVI L ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ 5 POINTS On dispose d un dé équilibré à 6 faces numérotées de à 6 et de pièces A, B et C ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé. Après chaque lancer de dé, si l on obtient ou, alors on retourne la pièce A, si l on obtient ou 4, alors on retourne la pièce B et si l on obtient 5 ou 6, alors on retourne la pièce C. Au début du jeu, les pièces sont toutes du côté face.. Dans l algorithme ci-dessous, code le côté face et code le côté pile. Si a code un côté de la pièce A, alors a code l autre côté de la pièce A. Variables : a, b, c, d, s sont des entiers naturels i, n sont des entiers supérieurs ou égaux à Initialisation : a prend la valeur b prend la valeur c prend la valeur Saisir n Traitement : Pour i allant de à n faire d prend la valeur d un entier aléatoire compris entre et 6 Si d alors a prend la valeur a sinon Si d 4 alors b prend la valeur b sinon c prend la valeur c FinSi FinSi s prend la valeur a+ b+ c FinPour Sortie : Afficher s septembre 6 6 Métropole La Réunion - Corrigé
a. On exécute cet algorithme en saisissant n= et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour d sont ; 4 et. On complète le tableau : variables i d a b c s initialisation er passage boucle Pour e passage boucle Pour 4 e passage boucle Pour b. Les variables a, b et c sont à ou selon que la pièce montre le côté face ou le côté pile ; la variable s= a+ b+ c donne donc le nombre de pièces qui sont du côté pile. Après une exécution de n tirages, les trois pièces sont du côté pile si s=.. Pour tout entier naturel n, on note : X n l évènement : «À l issue de n lancers de dés, les trois pièces sont du côté face» Y n l évènement : «À l issue de n lancers de dés, une seule pièce est du côté pile et les autres sont du côté face» Z n l évènement : «À l issue de n lancers de dés, exactement deux pièces sont du côté pile et l autre est du côté face» T n l évènement : «À l issue de n lancers de dés, les trois pièces sont du côté pile». De plus on note, x n = p X n ; y n = p Y n ; z n = p Z n et t n = p T n les probabilités respectives des évènements X n, Y n, Z n et T n. a. Au début du jeu, les trois pièces sont du côté face donc x =, y =, z = et t =. b. À chaque tirage, on retourne une pièce et une seule ; donc si les trois pièces sont du côté face après le n-ième tirage, il y aura une et une seule pièce du côté pile après le n+ -ième tirage. On en déduit que P Xn Y n+ =. Par un raisonnement analogue, on démontre que P Tn Z n+ =. Si après le n-ième tirage, il y a une seule pièce du côté pile, il y a deux possibilités : c est cette pièce qui est retournée lors du n+ -ième tirage, avec une probabilité de, et donc P Yn X n+ = ; c est une des deux autres pièces qui est retournée, avec une probabilité de, et donc P Yn Z n+ =. Par un raisonnement analogue, on démontre que P Zn Y n+ = et que P Z n T n+ =. On peut donc compléter l arbre proposé : septembre 6 7 Métropole La Réunion - Corrigé
X n Y n+ x n / X n+ yn Y n / Z n+ z n / Y n+ Z n t n / T n+ T n Z n+. Pour tout entier naturel n, on note U n la matrice ligne x n y n z n t n. a. U = x y z t =. b. On cherche la matrice carrée M telle que, pour tout entier naturel n, U n+ = U n M. D après l arbre et le théorème des probabilités totales, on peut dire que : Cela s écrit sous forme matricielle : x n+ = y n y n+ = x n + z n z n+ = t n+ = y n +t n z n xn+ y n+ z n+ t n+ = xn y n z n t n Et donc M = 4. On va démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, U n = U M n. Soit P n la propriété U n = U M n. Initialisation Pour n=, M = I 4 la matrice identité d ordre 4. U M = U I 4 = U donc la propriété est vraie au rang. septembre 6 8 Métropole La Réunion - Corrigé
Hérédité On suppose la propriété vraie pour un rang p, c est-à-dire U p = U M p. U p+ = U p M = U M p M = U M p+ donc la propriété est vraie au rang p+ ; elle est donc héréditaire. Conclusion La propriété est vraie au rang et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout n. On a donc démontré que, pour tout n, U n = U M n. 5. On admet que, pour tout entier n, x n = n + n+ n+ ; y n = n+ n n + 8 8 z n = n n+ n + ; t n = n + n n+ 8 8 a. La probabilité qu au bout de 5 lancers de dés, une seule des trois pièces soit du côté pile est y 5. y 5 = 5+ 5 5 + = 6 8 8,75. b. Première affirmation «À l issue d un nombre pair de lancers de dés, les pièces peuvent être toutes les trois du côté pile». On veut savoir si, à l issue d un nombre pair de lancers, on peut avoir t n =. Si n est pair, alors n = et n n = ; on en déduit que t n =. Donc l affirmation est fausse. Deuxième affirmation «Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à 4». On a vu que si n était pair, t n valait qui est inférieur à 4. Si n est impair, n = et n n =. n n n + 6 Donc t n = = = 8 8 4 n 4 < 4 Donc l affirmation est fausse. Troisième affirmation «Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à,49». On calcule t n pour quelques valeurs de n : n 4 5 6 7 t n,,46 9,49 65 septembre 6 9 Métropole La Réunion - Corrigé
t 7 >,49 donc l affirmation est vraie. Remarque On a vu plus haut que, pour n impair, t n = 4 n 4. La suite u n définie sur N par u n = 4 n 4 est convergente et a pour limite 4. Donc il existe un rang n à partir duquel u n >,49. La suite t n coïncide avec la suite u n pour tous les n impairs. Donc si n est impair, t n = u n >,49. Et si n est pair, on prend n = n + et t n = u n >,49. Les suites extraites ne sont certes pas au programme de terminale S mais cet exemple est assez facile à comprendre pour un élève attentif. Et puis, c est tellement plus joli qu avec la calculatrice! Enfin ce raisonnement permet de dire qu il existe un rang à partir duquel t n >,49999. septembre 6 Métropole La Réunion - Corrigé
EXERCICE 4 COMMUN À TOUS LES CANDIDATS 5 POINTS Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d un parachute. Partie Soit v la fonction définie sur [ ; + [ par : v t=5 e,t e,t +.. La fonction v est dérivable sur R et v t= 5,e,t e,t + e,t,e,t e,t + = 5,e,t e,t + e,t + e,t + = 5,e,t,t e,t + e = e,t + Pour tout t, e,t > donc v t> donc la fonction v est strictement croissante sur [ ; + [.. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement. On admet que t secondes après qu il a été lâché, la vitesse du colis exprimée en m.s est égale, avant d atteindre le sol, à v t. On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l arrivée n excède pas 6 m.s. On résout l inéquation v t<6 : v t< 6 5 e,t e,t + < 6 5 e,t e,t + 6< 5e,t 5 6e,t 6 e,t < e,t + e,t + < Pour tout t, e,t > donc e,t < et e,t + >, donc l inéquation est toujours vérifiée : v t<6 pour tout t. Donc le colis ne risque pas d être endommagé si le parachute s ouvre normalement. Partie On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s ouvre pas. On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse exprimée en m.s, t secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : v t=,7 e,t.. La vitesse, exprimée en m.s, atteinte par le colis au bout de secondes est v : v t=,7 e,,. La valeur approchée à de vitesse atteinte par le colis au bout de secondes est, m.s.. On résout l équation v t= m.s. v t=,7 e,t = t e,t =,7,7 = e,t,7,7 = e,t,7 ln,7,7 ln =,t = t,7,,7 ln,7 8, donc au bout d environ 8, secondes, le colis atteint la vitesse de m.s., septembre 6 Métropole La Réunion - Corrigé
. On sait que la chute du colis dure secondes. On admet que la distance, en mètres, qui sépare l hélicoptère du colis, T secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : dt = T v t dt. T T a. dt = v tdt =,7 e,t dt La fonction v a pour primitive la fonction t,7 t e,t ;, on a,7 t e,t =,7 t+ e,t =,7,t+e,t = 9,t+e,t.,,, Donc dt = [9,t+e,t] T = 9,T + e,t 9 + e, = 9 e,t +,T. b. Le colis atteint le sol au bout de secondes donc la distance qu il parcourt est d=9 e, +, 545 m. 4. Le temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l avait lâché d une hauteur de 7 mètres est la valeur de T solution de l équation dt = 7. On étudie les variations de la fonction d sur [ ; + [ : d T =9,e,T +, =,7,e,T T =,T = e,t =,e,t = d T Donc la fonction d est strictement croissante sur [ ; + [. Or d=<7 et d 87>7 donc, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires on peut dire que l équation dt = 7 admet une solution unique α sur [ ; [ : } } d4 675,9<7 d4,7 698,8< 7 = α [4 ; 5] = α [4,7 ; 4,8] d5 78,6>7 d4,8 7,> 7 Le temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l avait lâché d une hauteur de 7 mètres est comprise entre 4,7 et 4,8 secondes. septembre 6 Métropole La Réunion - Corrigé