Probabilités conditionnelles Stéphane PASQUET, 22 mars 2015 C Sommaire Probabilités conditionnelles.................................. 2 Probabilité d une intersection................................. 2 Probabilité conditionnelle d un événement contraire.................... 2 Partition............................................ 3 Formule des probabilités totales version light....................... 3 Arbre pondéré : représentation des probabilités conditionnelles............. 3 Formule des probabilités totales version complète.................... 3 Événements indépendants.................................. 5 Prérequis Probabilités élémentaires Loi de probabilités Variable aléatoire Loi binomiale 1
Définition Probabilités conditionnelles Soient A et deux événements d un univers Ω tels que 0. On appelle probabilité de l événement sachant que A est réalisé le nombre noté P A défini par : P A P A =. Probabilité d une intersection Soient A et deux événements tels que 0 et P 0. Alors, P A = P A = P P A. Elle découle de la définition : l égalité des produits en croix mène à la propriété. Exemple Dans une urne, on place 10 boules, 3 noires et 7 rouges. On tire au hasard 3 boules, successivement et sans remise. Quelle est la probabilité de tirer deux boules noires? En notant : N 1 l événement «la boule tirée est noire au 1 er tirage», N 2 l événement «la boule tirée est noire au 2 e tirage», la probabilité demandée est P N 1 N 2. Ainsi, P N 1 = 3 10 car il y a 3 boules noires sur 10 lors du 1er tirage ; P N1 N 2 = 2 9 car il ne reste plus que 2 boules noires sur 9 au 2e tirage si l on sait que l on a déjà tiré une boule noire au 1 er tirage. P N 1 N 2 = P N 1 P N1 N 2 = 3 10 2 9 = 1 15. Probabilité conditionnelle d un événement contraire Soient A et deux événements tels que 0 et P 0. Alors, P A = 1 PA. 2
Par définition, Or, d où : P A = P A = P A + P A,. P A P A = P A = 1 = 1 P A. Définition Partition On dit que les n événements A 1,..., A n forment une partition de Ω si : tous les événements sont incompatibles deux à deux : A i A j =, pour tout i j ; A 1 A 2 A n = Ω. Remarque Quel que soit l événement A, A et A forment une partition de l univers. Formule des probabilités totales version light Soient A et deux événements tels que 0 et P 0. Alors, P = P A + P A. Méthode Ω P A A A Arbre pondéré : représentation des probabilités conditionnelles P A P A P A P A P A = P A P A = P A P A = P A P A P A = P A P A + P 3
Formule des probabilités totales version complète Soient A 1, A 2,..., A n n événements formant une partition de l univers, avec P A k 0, 1 k n. Alors, pour tout événement, P = P A 1 + P A 2 + + P A n. Les événements A k sont incompatibles deux à deux. De plus, = A 1 A 2 A n. Donc, P = P A 1 + P A 2 + + P A n. Exemple Pour produire des pièces métalliques, un atelier utilise trois machines. Toutes les pièces sont vérifiées par le service qualité. Ce service a fourni le tableau suivant après une journée de production. N de la machine utilisée 1 2 3 Pourcentage de pièces produites 50 35 15 Fréquence des défauts par machine 0,01 0,02 0,06 On prend au hasard une pièce produite dans la journée. Déterminer la probabilité qu elle soit défectueuse. On convient de noter : M k l événement : «La pièce provient de la machine n k» ; D l événement : «La pièce est défectueuse». D après la formule des probabilités totales, on a : P D = P D M 1 + P D M 2 + P D M 3 = P M 1 P M1 D + P M 2 P M2 D + P M 3 P M3 D = 0, 5 0, 01 + 0, 35 0, 02 + 0, 15 0, 06 = 0,021 2. Soient A et deux événements tels que 0 et P 0. Alors, P A = P A = P. 4
P A P A = = P P A = P P A = P Définition Soient A et deux événements tels que 0 et P 0. On dits que A et sont indépendants quand P A =. Événements indépendants Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l un ne dépend pas de celle de l autre. Deux événements A et sont indépendants si et seulement si : P A = P. P A P A = = P P A = P. Exemple On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les événements : A : «Tirer un cœur» ; : «Tirer un roi». Les événements A et sont-ils indépendants? On a : = 1 4 car il y a 8 cœurs sur les 32 cartes en tout ; P A = 1 car, sachant que la carte est un roi, il n y a qu une seule carte portant un 4 cœur sur les 4 rois. On a alors = P A, ce qui signifie que A et sont indépendants. 5
Soient A et deux événements indépendants. Alors, A et sont indépendants. On sait que : Or, P A = 1 PA. P A = P car les événements A et sont indépendants. D où : P A = 1 P = P, ce qui signifie que A et sont indépendants. Remarque Deux événements A et incompatibles tels que 0 et P 0 ne sont pas indépendants. En effet, A et incompatibles signifie d une part que P 0, d autre part que P A = 0. Ainsi, P A P ; les événements ne sont donc pas indépendants. 6