3 Entiers A premiers entre eux Objectifs du chapitre En utilisant un nouveau système de chiffrement, nous allons étudier la notion d entiers premiers entre eux. B Pour débuter Activité 3 Chiffrement de Hill 1. Principe du chiffrement On fixe quatre entiers a, b, c et d qui constituent la clé du chiffrement. Les lettres du message sont regroupées par blocs de 2. Chaque lettre est ensuite codée par un nombre compris entre 0 et 25 suivant son ordre dans l alphabet (A 00, B 02, etc.). On obtient une suite de nombres P1, P2, P3, P4... On chiffre ensuite le bloc de deux nombres PP 12 par le bloc C 1 C 2 de la manière suivante : a b P on effectue le calcul matriciel c d 1 ; P2 en remplaçant chaque coordonnée du vecteur obtenu par son reste dans la C 1 division euclidienne par 26, on obtient C2. On procède de la même façon avec le bloc P P 34... Le texte sera chiffré par le texte où les nombres C1C2C3C4... sont remplacés par les lettres correspondant à leur rang dans l alphabet. Exemple Prenons a = 3, b = 5, c = 6 et d = 17 et chiffrons le texte MATHEMATIQUE. Compléter le tableau suivant : Lettre M A T H E M A T I Q U E Rang P i 12 0
a) Le premier bloc est (12 0). Indiquer les autres blocs. b) Chiffrons ce bloc. C 1 Écrivons «C2 = 3 5 6 17 12 0 (mod 26)» pour C1 = 3 12+ 5 0(mod 26) C2 = 6 12+ 17 0(mod 26) C1 = 10 On a alors :. C2 = 20 De la même façon, chiffrer les blocs suivants et compléter le tableau suivant : Rang C i 10 20 Lettre K U 2. Principe du déchiffrement Le rang PP 12 P3P4... de chaque lettre du texte clair est obtenu par le calcul matriciel suivant : P 1 1 a b C1 «(mod 26). P2 = c d» C2 1 a b On sait calculer la matrice c d. Cette égalité «(mod 26)» signifie que l on doit donc chercher, si elle existe, une matrice à coefficients entiers dont le produit matriciel avec a b c d nous donne «modulo 26», la matrice I 2. Prenons un exemple. Calculer 1 3 5 6 17 à l'aide d'une écriture utilisant des entiers. a) Compléter la table de multiplication par 21 modulo 26 ci-dessous : 21 0... (mod 26) 21 11=...... (mod 26) 21 1=...... (mod 26) 21 12 =...... (mod 26) 21 2 =...... (mod 26) 21 13 =...... (mod 26) 21 3 =...... (mod 26) 21 14 =...... (mod 26) 21 4 =...... (mod 26) 21 15 =...... (mod 26) 21 5 =...... (mod 26) 21 16 =......... (mod 26) 21 6 =...... (mod 26) 21 17 =...... (mod 26) 21 7 =...... (mod 26) 21 18 =...... (mod 26) 21 8 =...... (mod 26) 21 19 =...... (mod26) 21 9 =...... (mod 26) 21 20 =...... (mod 26) 21 10 =...... (mod 26)
b) En déduire «un inverse de 21 modulo 26» (c est-à-dire un entier qui, multiplié 1 3 5 par 21, est égal à 1 modulo 26 et une matrice «26 6 17 mod.» a) Compléter la deuxième ligne du tableau ci-dessous. Lettre chiffrée J W K T Rang C i 9 Rang P i 7 Lettre claire H P 1 17 5 C1 b) En utilisant l égalité «5 26 P2 = 6 3 C2 (mod )», compléter la troisième ligne du tableau et déchiffrer le message JWKT. 3. À l aide du tableur pour chiffrer Préparer la feuille de calcul suivante : On utilise la fonction «=CODE» du tableur pour obtenir le code ASCII d une lettre puis on soustrait 65 pour obtenir son rang dans l alphabet. (Cf. Prérequis C de la séquence 1.) Compléter la ligne 5. Compléter les cellules B6 et C6. Compléter les cellules B7. On pourra utiliser la fonction «=MOD» du tableur. Compléter les cellules B8. On pourra utiliser la syntaxe «=CAR(B7+65)» pour obtenir : Copier-glisser les formules.
4. À l aide du tableur pour déchiffrer Sur la même feuille de calcul, ajouter les informations suivantes : Compléter la ligne 13. Calculer l inverse de 21 modulo 26. Pour cela, effectuer le produit modulo 26 de chacun des entiers de 1 à 25 par 21. Saisir en Q3 «= MOD(O3*$Q$1;26)» et copier-glisser jusqu en Q27. Retenir celui qui donne un produit égal à 1. Saisir en R3 «=SI(Q3=1;O3;»» )» et copier-glisser jusqu en R27. Afficher l inverse de 21 modulo 26 en faisant la somme des éléments de R3 à R27. Saisir en R28 «=SOMME(R3;R27)». On obtient : Compléter les cellules B14 et C14.
Compléter les cellules B15 puis B16. On obtient : Copier-glisser les formules. 5. Modification de la clé Modifier la feuille de calcul précédente en prenant successivement : a) a = 3, b = 9, c = 2 et d = 20. b) a = 7, b = 8, c = 4 et d = 6. c) a = 12, b = 8, c = 4 et d = 5. d) a = 10, b = 5, c = 3 et d = 5. En regardant dans chaque cas le nombre ad bc, conjecturer une condition nécessaire pour que le calcul de l inverse modulo 26 soit possible et, ainsi, le déchiffrement du message. Activité 4 Combinaison linéaire Pour stocker des matériaux, une entreprise dispose au maximum de 9 petits conteneurs et de 6 grands conteneurs. Un petit conteneur peut contenir 10 m 3 de matériaux et un grand 15 m 3. L entreprise veut stocker 120 m 3. On note x le nombre de petits conteneurs nécessaires et y celui de grands. Justifier que x et y vérifient le système suivant : x 0 x 9 y 0 y 6 2 y x + 8 3.
Représenter dans un repère la zone du plan définie par le système ci-dessus. Donner la liste de toutes les solutions possibles pour l entreprise. Quelle est celle qui nécessite le moins de conteneurs? C Cours 1. Définition Définition 2 Entiers premiers entre eux Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. Les entiers a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD (a, b) = 1. Remarque Il ne faut pas confondre nombres premiers et nombres premiers entre eux. Propriété 7 Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. On note PGCD (a, b) = d et a et b les entiers tels que a = da et b = db. Alors on a PGCD (a, b ) = 1. Démonstration Supposons que PGCD( a, b ) = d 1, alors a = d a et b = d b où a et b sont des entiers. Par conséquent, a = dd a et b = dd b et ainsi dd (qui est strictement supérieur à d) est un diviseur de a et de b, ce qui contredit PGCD (a, b) = d. Donc PGCD (a, b ) = 1. 2. Théorème de Bézout a) Le théorème Point historique Étienne Bézout (1730-1783) Bézout est d une famille de magistrats de Nemours. La lecture d Euler décide Bézout à ne pas suivre la voie familiale ; ses premiers mémoires de mathématiques lui donnent accès à l Académie des sciences en 1758. C est en 1763 que la carrière de Bézout prend une nouvelle orientation. Bézout est chargé par le duc de Choiseul d être l examinateur des Gardes du pavillon et de la marine. Le poste est important : il décide de la carrière de nombreux
jeunes militaires. Il est lucratif : Bézout écrit son propre cours de mathématiques en 6 volumes (arithmétique, géométrie et trigonométrie, algèbre, mécanique, applications de la mécanique, traité de navigation). En 1768, Bézout accroît son influence en devenant examinateur des élèves de l artillerie. Il écrit un nouveau Cours complet de mathématiques à l usage de la marine et de l artillerie, qui aura un succès considérable. Napoléon Bonaparte a connu les livres de Bézout quand il était élève à l école de Brienne. Il continuait à les étudier dans son exil de Sainte-Hélène. Cned, revue Diagonales Théorème Théorème de Bézout Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. On a PGCD (a, b) = 1 si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. Remarque Démonstration La relation au + bv = 1 est appelée relation de Bézout. On rappelle que toute partie non vide de Nadmet un plus petit élément. Supposons que PGCD (a, b) = 1. Considérons l ensemble E des entiers naturels non nuls s écrivant sous la forme au + bv où U et V sont des entiers relatifs. L ensemble E est une partie non vide de N, il possède donc un plus petit élément. Notons n 0 le plus petit élément de E, n 0 est de la forme n0 = au+ bv. La division euclidienne de a par n 0 donne : a= n0 q+ r = ( au+ bv) q+ r avec 0 r < n 0. On a donc r = a ( au+ bv) q = a( 1 u) + b( vq) donc r est de la forme au + bv. Si r 0, comme r < n 0 et que r est de la forme au + bv, r est un élément de E strictement plus petit que n 0. Il y a contradiction, on en déduit que r = 0. Donc n 0 divise a. De la même façon, n 0 divise b. L entier n 0 est donc un entier naturel diviseur commun à a et à b. Ces entiers sont premiers entre eux donc n 0 = 1 et, ainsi, il existe des entiers relatifs u et v tels que 1= au + bv. Réciproque Supposons qu il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1. Si d est le PGCD de a et b, il divise a et b donc d divise au + bv soit d divise 1. Ainsi d = 1 (car d est positif). On a donc PGCD (a, b) = 1, c est-à-dire que a et b sont premiers entre eux.
Point méthode Exemple 2 Solution Déterminer les coefficients de la relation de Bézout Par tâtonnements! Soit a = 4 et b = 7. Trouver trois couples (u, v) tels que au + bv = 1. On cherche un multiple de 4 et un multiple de 7 qui diffèrent de 1. On a 4 2= 8 et 7 1= 7donc 2 4+ ( 1) 7= 1. Ainsi, u = 2 et v = 1 conviennent. On a 4 9 = 36 et 7 5 = 35 donc 9 4+ ( 5) 7= 1. Ainsi, u = 9 et v = 5 conviennent. On a 4 5 = 20 et 7 3 = 21 donc 5 4+ 3 7= 1. Ainsi, u = 5 et v = 3 conviennent. Remarque Exemple 3 Solution Le couple (u, v) n est pas unique. À l aide d un algorithme En utilisant l algorithme d Euclide, démontrer que 392 et 33 sont premiers entre eux. En déduire deux entiers relatifs u et v tels que 392u + 33v = 1. On écrit les divisions euclidiennes successives de l algorithme d Euclide : 392 = 11 33 + 29 33 = 1 29 + 4 donc PGCD(392, 33) = 1 et, ainsi, 392 et 33 sont 29 = 7 4 + 1 premiers entre eux. 4= 4 1+ 0// Pour déterminer u et v, on écrit chaque reste en repartant de la fin : 29 = 7 4 + 1 donc 1= 29 7 4, 33 = 1 29 + 4 donc 4= 33 1 29, 392 = 11 33+ 29 donc 29 = 392 11 33 ; puis on reporte chaque reste : 1= 29 7 4 ; on remplace 4 : 1= 29 7 ( 33 1 29) = 8 29 7 33 ; on remplace 29 : 1= 8 ( 392 11 33) 7 33 = 8 392 95 33. Ainsi, 1= 8 392 95 33 donc u = 8 et v = 95 conviennent.
b) Coefficients de la relation de Bézout et TICE Soit a et b deux entiers relatifs non nuls premiers entre eux avec a > b. On souhaite écrire un algorithme donnant un couple d entiers relatifs (u ; v) tels que au + bv = 1. Langage naturel Entrées a ; b Initialisation u prend la valeur 1, v prend la valeur 0 Traitement Tant que b >0 x prend la valeur 0, y prend la valeur 1 c prend la valeur 0, d prend la valeur 0 Fin du Tant que q prend la valeur Partie Entière (a / b) ; r prend la valeur a bq ; c prend la valeur u ; d prend la valeur v ; u prend la valeur x ; v prend la valeur y ; x prend la valeur c xq ; y prend la valeur d yq ; a prend la valeur b ; b prend la valeur r ; Sortie Afficher a, u et v
Calculatrice Texas Instrument Casio Exemple : 3. Théorème de Gauss a) Théorème de Gauss Point historique Karl Friedrich Gauss (1777-1855) Gauss naît dans une famille très pauvre à Brunswick [en Allemagne] à 150 kilomètres de Hambourg. Il aimait à raconter des histoires de son enfance à ses
proches. Il avait appris à lire et compter seul vers 3 ans, questionnant les adultes autour de lui. À 7 ans, il est remarqué par son instituteur pour avoir calculé instantanément la somme des nombres de 1 à 100, expliquant qu il suffisait de grouper les nombres en 50 paquets de somme 101 : 100+1, 99+2, 98+3, etc. Il a la chance de rencontrer un jeune mathématicien qui le guide (il a une dizaine d années) dans ses premières lectures mathématiques. Le soutien financier du duc de Brunswick lui permet de continuer ses études. Les découvertes de Gauss en arithmétique se succèdent alors rapidement et Gauss publie (il a 24 ans) en 1801 ses Recherches arithmétiques (en latin). Il est impossible de décrire l ensemble de l œuvre de Gauss. Toute sa vie, Gauss poursuivra ses travaux théoriques et pratiques en mathématiques (géométrie des surfaces, arithmétique, analyse numérique), en astronomie, en statistique (loi normale et courbe en cloche), en topographie (cartographie de Hanovre), en physique et géologie (magnétisme), en économie, etc. Dans tous ces domaines, la contribution de Gauss est exceptionnelle et c est à juste titre qu on l a appelé Prince des mathématiciens. Cned, revue Diagonales Théorème 2 Théorème de Gauss Soit a, b et c des entiers. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b alors a divise c. Démonstration Si a est premier avec b, d après le théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. En multipliant par c, on obtient : acu + cbv = c. Or, a divise acu et, comme a divise bc, a divise bcu. Ainsi, a divise acu + cbv c est-à-dire a divise c. Conséquences Si deux entiers a et b premiers entre eux divisent un entier c, alors ab divise c. Si un nombre premier p divise un produit ab, alors p divise a ou p divise b. Démonstration Comme c est divisible par a et b, il existe des entiers k et k tels que c = ka = k b. Comme a divise c, a divise k b. Comme a et b sont premiers entre eux, d après le théorème de Gauss, a divise k, donc il existe un entier n tel que k = na. On en déduit que c = k b = nab, donc que c est divisible par ab. Soit un nombre premier p divisant un produit ab. Si p divise a, la propriété est démontrée.
Si p ne divise pas a, alors p et a sont premiers entre eux. Comme p divise le produit ab, d après le théorème de Gauss, p divise b. b) Applications Résolution d équations diophantiennes Une équation diophantienne est une équation dont les coefficients sont des nombres entiers et dont les solutions recherchées sont également entières. Équation du type ax = by d inconnues x et y appartenant à Z Exemple 4 Solution Exemple 5 Solution Déterminer les entiers x et y tels que 4x = 3y. L entier 4 divise 3y et 4 est premier avec 3. D après le théorème de Gauss, 4 divise y. Ainsi, il existe un entier k tel que y = 4k. On a donc 4x = 3 4k d où x = 3k. Réciproquement, si x = 3k et y = 4k, 4x = 4 3k = 12k et 3y = 3 4k = 12k donc on a bien 4x = 3y. Les solutions de cette équation sont les couples (3k ; 4k) avec k Z. Équation du type ax + by = c d inconnues x et y appartenant à Z Déterminer les entiers x et y tels que 2x + 3y = 1. Déterminer les entiers x et y tels que 2x + 3y = 5. ( ) On remarque que 2 ( 1) + 3 1= 1 donc le couple 1; 1 est solution de cette équation. De plus, 2x + 3y = 1 équivaut à 2x + 3y = 2 ( 1) + 3 1 équivaut à 2( x + 1) = 3( y + 1). Supposons que (x ; y) soit solution de 2x + 3y = 1 alors 3 divise 2( x + 1). Comme 3 est premier avec 2, d après le théorème de Gauss, 3 divise (x + 1). Donc il existe un entier k tel que x + 1 = 3k soit x = 1+ 3 k. En reportant la valeur de x dans 2( x + 1) = 3( y + 1), on obtient 2 3k = 3( y + 1)soit y + 1= 2 k,soit y = 1 2 k. Réciproquement, si x = 1+ 3 k et y = 1 2 k, 2x + 3y = 2( 1+ 3k) + 31 ( 2k) = 2+ 6k + 3 6k on a bien 2x + 3y = 1. ( ) Z Les solutions de cette équation sont les couples + 1 3k ; 1 2k avec k. Comme 2 ( 1) + 3 1= 1,en multipliant par 5 on a : 2 ( 5) + 3 5= 5, donc le couple ( 5 ; 5) est solution de cette équation. De plus, 2x + 3y = 5 équivaut à 2x + 3y = 2 ( 5) + 3 5 équivaut à 2( x + 5) = 3( y + 5).
Supposons que (x ; y) soit solution de 2x + 3y = 5 alors 3 divise 2( x + 5). Comme 3 est premier avec 2, d après le théorème de Gauss, 3 divise (x + 5). Donc il existe un entier k tel que x + 5 = 3k soit x = 5+ 3 k. En reportant la valeur de x dans 2( x + 5) = 3( y + 5), on obtient 2 3k = 3( y + 5)soit y + 5= 2 k ou encore y = 5 2 k. Réciproquement, si x = 5+ 3 k et y = 5 2 k, 2x + 3y = 2( 5+ 3k) + 3( 5 2k) = 10 + 6k + 15 6k on a bien 2x + 3y = 5. ( ) Les solutions de cette équation sont les couples 5+ 3k ; 5 2k avec k Z. Remarquons que l on aurait aussi pu raisonner comme au 1 en remarquant que (1 ; 1) était solution de cette équation diophantienne. Point historique Petit théorème de Fermat Pierre de Fermat Il a vécu de 1601 à 1665. Originaire de la région de Toulouse, il a une brillante carrière de magistrat dans cette ville. Cela lui laisse peu de temps pour faire, en amateur, des recherches en mathématiques. La vie scientifique commence à s animer en France dans les années 1630 sous l impulsion du Père Mersenne qui écrit inlassablement aux uns et aux autres pour les informer de leurs recherches respectives. C est ainsi que Fermat prend contact avec les autres grands scientifiques de son époque : Descartes, Desargues, Pascal. Dans tous les domaines qu il étudie, il apporte des contributions importantes : il participe à la fondation des calculs différentiel et intégral en donnant, par exemple, une méthode nouvelle de recherche de maxima et minima et en 1654, un échange célèbre de lettres avec Blaise Pascal est à l origine du calcul des probabilités. Mais il est un domaine où personne n est capable de rivaliser avec Pierre de Fermat, c est celui de l arithmétique. Les questions qu il pose sont profondes et d une très grande difficulté. Il donnera heureusement, en 1659, un aperçu de ses méthodes. L un des problèmes que s est posé Fermat a une histoire extraordinaire : montrer qu un entier strictement positif qui est une puissance n-ième d entier ne peut être, pour n > 2, une somme de deux puissances n-ièmes d entiers strictement positifs, autrement dit, l équation a n + b n = c n n admet pas de solution en nombres entiers strictement positifs. Ce problème, Fermat a cru l avoir résolu, mais on en doute, tellement les mathématiciens des siècles suivants ont «séché» dessus. Ce n était pas toujours en pure perte, car de belles théories, utiles pour les mathématiques, ont été construites pour essayer de le résoudre. Mais le problème résistait toujours. Dans les années 1970-1980, le problème de Fermat a été réinterprété : on a montré que ce serait une conséquence d une propriété très générale. C est en 1993-1994 que le mathématicien anglais Andrew Wiles a démontré cette propriété. Du coup, le théorème de Fermat était enfin prouvé. Pour une fois,
tous les journaux ont parlé de mathématiques. Ce théorème a un énoncé d une grande simplicité, compréhensible par tout lycéen. A-t-il un intérêt pratique? Pour le moment aucun, mais les mathématiques qu il a contribué à développer en ont certainement un! Cned, revue Diagonales Le théorème suivant n est pas une connaissance exigible du programme. Théorème 3 Soit n un entier. p 1 Si p est un nombre premier ne divisant pas n, alors n 1[ p]. Corollaire p Si p est un entier naturel premier et n est un entier naturel alors n n [ p ]. Démonstration La démonstration du théorème et de son corollaire font l objet de l exercice I. D Exercice 6 Exercices d apprentissage Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux? 171 et 760 2635 et 4 807 Exercice 7 Déterminer les entiers x et y tels que 55x = 9y. Déterminer les entiers x et y tels que 21x = 56y. Exercice 8 Déterminer les entiers x et y tels que 11x + 31y = 1. Déterminer les entiers x et y tels que 11x + 31y = 78. Exercice 9 Exercice 10 7 À l aide du petit théorème de Fermat, montrer que, pour tout entier n, n n est divisible par 21. On se propose de déterminer l ensemble des entiers relatifs n vérifiant le système :. n 917 [ ] n 35 [ ]
Recherche d un élément de On désigne par (u ; v) un couple d entiers relatifs tel que 17 u + 5 v = 1. a) Justifier l existence d un tel couple (u ; v). b) On pose n0 = 3 17u+ 9 5v. Démontrer que n 0 appartient à. c) Donner un exemple d entier n 0 appartenant à. Caractérisation des éléments de a) Soit n un entier relatif appartenant à. Démontrer que n n0 085 [ ]. b) En déduire qu un entier relatif n appartient à si, et seulement si, il peut s écrire sous la forme n = 43 + 85k où k est un entier relatif. Application Zoé sait qu elle a entre 300 et 400 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9. Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3. Combien a-t-elle de jetons? Exercice 11 Le but de l exercice est d étudier certaines propriétés de divisibilité de l entier n 4 1, lorsque n est un entier naturel. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4 n est congru à 1 modulo 3. 28 Prouver, à l aide du petit théorème de Fermat, que 4 1 est divisible par 29. Pour 1 n 4, déterminer le reste de la division de 4 n par 17. En déduire 4k que, pour tout entier k, le nombre 4 1 est divisible par 17. n Pour quels entiers naturels n le nombre 4 1 est-il divisible par 5? À l aide des questions précédentes, déterminer quatre diviseurs premiers de 28 4 1.