xemple de coloration de graphe J-P SPRIT Paris c JPS Page 1 / 16 Leonhard uler (1707-1783)
1. Pour le graphe suivant, l objectif est de déterminer quel est le nombre chromatique. 1. Rappelez la définition du nombre chromatique d un graphe. 2. Quel est le nombre minimum de couleurs nécessaire à la coloration de ce graphe? 3. Quel est le nombre maximum de couleurs nécessaire à la coloration de ce graphe? 4. n déduire un encadrement du nombre chromatique de ce graphe. 5. n utilisant un algorithme de coloration, proposez une coloration possible. n déduire un nouvel encadrement du nombre chromatique de ce graphe. 6. n étudiant plus particulièrement les sommets -- de ce graphe et leurs sommets adjacents, montrer que 3 couleurs ne peuvent suffire; trouver alors exactement le nombre chromatique de ce graphe. Page 2 / 16
2. éfinition du nombre chromatique Le nombre chromatique d un graphe est le nombre minimal de couleurs qu il faut employer pour colorer chacun des sommets de ce graphe de telle sorte que deux sommets adjacents quelconques ne soient jamais de la même couleur. Page 3 / 16
3. Nombre minimum de couleurs Il faut au minimum 3 couleurs car représente un graphe complet d ordre 3, par conséquent, aucun de ces 3 sommets ne peut être de la même couleur qu un autre. Le nombre chromatique est donc supérieur ou égal à 3. Page 4 / 16
4. Nombre maximum de couleurs Le sommet de plus haut degré est, de degré 5. Il faut donc au plus 6 couleurs. Le nombre chromatique est donc inférieur ou égal à 6. Page 5 / 16
5. ncadrement du nombre chromatique Le nombre chromatique est donc compris entre 3 et 6. Page 6 / 16
6. On peut classer les sommets par degré décroissant, puis les colorer : Point egré 5 4 4 3 3 3 2 Page 7 / 16
Une coloration pourrait être : on colorie en rouge; puis dans l ordre décroissant... Point egré 5 4 4 3 3 3 2 Page 8 / 16
Une coloration pourrait être : on colorie en rouge; puis dans l ordre décroissant, le sommet non adjacent en rouge. Point egré 5 4 4 3 3 3 2 Page 9 / 16
Puis on change de couleur, on colorie en bleu; puis dans l ordre décroissant... Point egré 5 4 4 3 3 3 2 Page 10 / 16
Puis on change de couleur, on colorie en bleu; puis dans l ordre décroissant, le sommet non adjacent en bleu. Point egré 5 4 4 3 3 3 2 Page 11 / 16
Puis on change de couleur, on colorie en vert; puis dans l ordre décroissant... Point egré 5 4 4 3 3 3 2 Page 12 / 16
Puis on change de couleur, on colorie en vert; puis dans l ordre décroissant, le sommet non adjacent en vert. Point egré 5 4 4 3 3 3 2 Page 13 / 16
nfin, on change de couleur, on colorie en orange. Point egré 5 4 4 3 3 3 2 Page 14 / 16
7. On sait que le nombre chromatique est compris entre 3 et 6; et on vient de trouver une coloration possible en 4 couleurs onc le nombre chromatique est compris entre 3 et 4 Montrons que 3 couleurs sont insuffisantes pour colorer ce graphe. n regardant le triangle --, on voit que est forcément rouge, forcément bleu; mais alors doit être forcément d une quatrième couleur car il est adjacent à, et, qui ont déjà 3 couleurs différentes. Page 15 / 16
onc le nombre chromatique est 4 et une coloration possible a été donnée par l algorithme : Page 16 / 16