. Activité : défi «factorisations» a. Énoncé Défi «factorisations» L objectif est de factoriser les cinq expressions littérales proposées ci-dessous. 3 1 37 5 56 9 3 6 A x x x x B y y y y C 4t 9 1t D 81z 9z 1 3z 4 118z 3 1 E x x x Indique à chaque fois quelle démarche tu souhaites entreprendre au vu de ton expérience. Effectue ensuite la factorisation en précisant les différentes étapes. En cas de blocage, indique-le et précise ton problème. Si tu utilises le logiciel WxMaxima (après accord du professeur), précise ce que tu as fait et en quoi le logiciel t a aidé à mener à bien les calculs. b. Contexte et tableau récapitulatif Enoncé Défi «factorisations» Niveau concerné Classe de 3 ème Période de l année 3 ème trimestre Durée et organisation 1h30min pour la phase de recherche (travail en groupes) + 45 min pour la phase de restitution Logiciels utilisés/ matériels Prérequis Logiciel de calcul formel (WxMaxima) Quatre ordinateurs dans la classe TNI pour la restitution Connaissances concernant le calcul littéral (factorisations avec facteur commun factorisations avec identités remarquables) et pratique régulière des techniques de base Habitude des élèves à l utilisation du logiciel de calcul formel WxMaxima (fonction factor, éventuellement fonction expand) 6
Habitude du travail en groupes Objectifs généraux Factoriser des expressions littérales Relever un défi et donc se dépasser Développer l autonomie par une utilisation raisonnée de l informatique Compétences de calculs développées Intelligence de calcul (repérer la technique adéquate de factorisation, observer une expression littérale dans sa globalité i.e. travailler l aspect «structural» de l expression) Calcul à la main Calcul à l aide d un logiciel de calcul formel (vérifications, aide à la résolution d un problème) c. Objectifs et analyse a priori L activité proposée intervient à un moment de l année où les connaissances et techniques de calcul littéral sont déjà bien installées. Les élèves ont été régulièrement entraînés à développer et factoriser des expressions littérales que ce soit en classe ou à la maison, que ce soit à travers des exercices purement techniques ou des problèmes. Ils ont aussi eu l habitude de travailler en groupes, notamment lors de la résolution de tâches complexes. L objectif de cette activité est de résoudre des factorisations plus complexes qu à l accoutumée en utilisant au besoin le logiciel de calcul formel WxMaxima. L activité est présentée aux élèves comme étant un défi, le but étant de factoriser correctement le maximum d expressions littérales dans le temps imparti (1h30min). Les cinq énoncés choisis permettent de véritablement tester les élèves sur les compétences déjà acquises et d évaluer le degré d autonomie et d expertise qu ils manifestent face à la tâche proposée. A 3 x x 1 x 3 7x 5 permet La première expression littérale d observer si les élèves sont capables de factoriser une expression littérale lorsque le facteur commun n est pas complètement apparent. Les élèves seront-ils capables de faire le lien entre 3 x et x 3? Par ailleurs, une fois le lien fait, seront-ils capables de mener le calcul jusqu au bout? La deuxième expression littérale B y 56y 9y 3y 6 est dans le même esprit même si on peut penser que des difficultés supplémentaires s annoncent. Les élèves risquent en effet d être gênés par la relative proximité entre les facteurs 6y et y 6, voire entre les facteurs y 5 et y 6. Vont-ils dans ces conditions relever le lien entre 6y et 9y 3qui leur permettra d obtenir un facteur commun? La troisième expression littérale C 4t 9 1t est complètement différente. Elle a pour but dans un premier temps de constater si les élèves perçoivent l inutilité des parenthèses de l énoncé pour ensuite factoriser en utilisant l identité remarquable a b a ab b. D 81z 9z 1 3z 4 1 18z doit amener La quatrième expression littérale les élèves à constater la nécessité d une factorisation intermédiaire à l aide de 7
l identité remarquable a b a ab b mais pour cela les élèves devront considérer l expression littérale dans sa globalité et associer les bons termes. S ils y parviennent, on peut supposer que la fin de la factorisation (factorisation avec le facteur commun 9z 1 ) ne devrait pas leur poser de problème. La cinquième expression littérale E x 3 x x 1 va demander beaucoup d habileté technique des élèves, notamment concernant la gestion des parenthèses. Les élèves vont-ils penser à réunir les termes x et x 1? Vont-ils ensuite penser à utiliser successivement l identité remarquable a b a ab b et l identité remarquable a ba b a b d. Différentes phases du déroulement en classe Durée approximative : 1h30min + 45 min (séquence 1 : phases 1, & 3 ; séquence : phases 4 & 5) Séquence 1 Phase 1 : 10 min Lancement de l activité Séquence 1 Phase : 10 min à 15 min Recherche individuelle? Phases Rôle du professeur Rôles de l élève - Présenter les différentes phases aux élèves. - Lire les consignes aux élèves. - S assurer qu elles sont bien comprises, notamment en précisant aux élèves qu ils peuvent mener les calculs à la main mais qu ils ont la possibilité d utiliser raisonnablement le logiciel de calcul formel WxMaxima. - Inciter les élèves à bien mettre en valeur leur travail en faisant apparaître clairement leur démarche et leurs écrits et travaux intermédiaires (à la façon d une narration de recherche). - Répartir les élèves en groupes de 3 à 4 élèves. - Observer les réponses d élèves. - Inciter les élèves à laisser des traces de leurs essais mais ne pas intervenir pour une quelconque aide. - Prendre connaissance du problème et du contexte de travail. - Poser des questions concernant la compréhension du sujet. - A minima, indiquer la démarche à entreprendre. - Démarrer si possible certains calculs. Séquence 1 Phase 3 : 1h05min/1h10min Travail de groupe (groupes de 3 à 4 élèves) - Observer les différentes stratégies adoptées dans chaque groupe. - Encourager le travail des élèves. - Amener les groupes à s exprimer sur l avancée de leurs recherches. - Inciter les élèves si nécessaire à relancer dans le groupe le débat sur un calcul. - Echanger, discuter des diverses solution, stratégies. - Utiliser éventuellement le logiciel mis à disposition (avec accord du professeur). - Rédiger individuellement une solution suite aux divers échanges. 8
Séquence Phase 4 : 30 min Mise en commun des productions Débat - Scanner des productions d élèves et les projeter. Orchestrer le débat en agençant dans un ordre précis les diverses productions. - Bien demander aux élèves quels outils ils ont utilisés (manuel, instrumentés ) et pourquoi? - S organiser pour un compterendu oral aidé des productions projetées. - Pour les élèves qui écoutent le compte-rendu d un groupe, intervenir en cas de sollicitation pour compléter ce qui a été présenté, faire des remarques. Séquence Phase 5 : 15 min Synthèse Solution (la séquence suivante) - Revenir sur un calcul éventuellement raté par tous les élèves. - Proposer un exemple supplémentaire en prolongement. - Poser des questions. - S engager dans le calcul supplémentaire. e. Analyse a posteriori Ce compte-rendu concerne trois classes de 3 ème dans lesquelles l activité a été expérimentée. La totalité des élèves a engagé une véritable recherche concernant les trois premières expressions littérales. Les deux dernières expressions littérales, en partie à cause d un manque de temps, ont été moins abordées (0% des élèves environ) et les productions obtenus beaucoup moins abouties, notamment concernant la dernière expression littérale. Expression A : A 3 xx 1 x 37x 5. Tous les élèves constatent d emblée qu il s agit de rechercher un facteur commun. Plus d un tiers ne perçoit pas de problème dans un premier temps et identifie 3 3 x comme étant un facteur commun, comme en témoigne un exemple de production ci-dessous : x ou Les deux tiers des élèves entrevoient directement la difficulté et la manifestent : 9
Les groupes demandent alors à pouvoir utiliser les ordinateurs à disposition. Le fait que 4 ordinateurs soient présents dans la salle pour des classes constituées d au maximum 6 groupes n entraîne pas de souci d organisation, l utilisation des ordinateurs étant par ailleurs courte pour chacun des calculs. Plusieurs stratégies apparaissent. La plus commune est de demander à WxMaxima de factoriser l expression puis d analyser le résultat obtenu. Les élèves ont cependant beaucoup de difficultés à comprendre ce qui se passe effectivement et expriment la plupart du temps un phénomène sans le comprendre. Certains parviennent cependant au bout des calculs suite à la visualisation du résultat. Un groupe a une stratégie légèrement différente, qui a pour origine un problème de syntaxe lors de la saisie dans WxMaxima (oubli de parenthèses). 30
Finalement, le logiciel WxMaxima les a bien aidés dans leur résolution. Enfin, une stratégie consistant à développer à la main l expression A initiale et à développer à la main la forme factorisée obtenue par le logiciel permet à quelques groupes de conclure. 31
L un de ces groupes demande s il est possible de faire de même avec les autres expressions littérales proposées : développer à la main énoncé initial et factorisation obtenue avec WxMaxima. Même si le raisonnement mathématique est correct, il est indiqué à ce groupe qu il est plus formateur d envisager d autres stratégies. Lors de la ème séquence (mise en commun des travaux), les échanges sont riches concernant cette première expression à factoriser. Expression B : B y 56y 9y 3 y 6. Comme on pouvait le présumer, les facteurs 6y et 6 y gênent un nombre non négligeable d élèves, comme on peut le voir sur cette production d élève qui fait apparaître par ailleurs des problèmes de vocabulaire, sur lesquels il faudra revenir lors de la phase de restitution. Un groupe parvient sans aide du logiciel à factoriser convenablement l expression, il n utilisera ensuite le logiciel que dans un but de vérification. Pour le reste, les groupes qui parviennent au bout des calculs à la main ont utilisé la solution donnée par WxMaxima, qui leur a donné le facteur commun. A noter que certains de ces groupes ont 3
factorisé dans un premier temps des parties de l expression littérale avant d identifier le facteur commun. Enfin un groupe n ayant pas utilisé de techniques de développement lors de la recherche de factorisation de l expression A tente ici l expérience mais en vain. 33
C 4t 9 1t. Expression C : Cette question rencontre davantage de succès et la moitié des groupes parvient à obtenir la factorisation à la main, certains ne souhaitant même pas utiliser WxMaxima pour vérifier leurs résultats. Dans quelques cas, le recours au logiciel semble utile et constitue une aide efficace pour les élèves. En effet, comme signalé sur la production d élève, le caractère inutile des parenthèses n est apparu à certains qu après l utilisation du logiciel. 34
D 81z 9z 1 3z 4 1 18z. Expression D : Cette question est peu abordée par manque de temps des élèves. Un groupe parvient à repérer l identité remarquable en jeu mais n a pas le temps de conclure. Un groupe parvient sans aide du logiciel au bout des calculs. Expression E : E x 3 x x 1. Les productions sont ici très pauvres, aucun groupe ne parvient à la solution (si ce n est en l observant sur WxMaxima, ce qui ne constitue pas d aide ici). Un groupe tente d éliminer avec succès des parenthèses et pense avoir trouvé la forme factorisée (mais la confusion est peut-être liée au manque de temps). Un autre espère pouvoir utiliser une identité remarquable après développement complet de l expression initiale. 35