Séquence 3. Expressions algébriques Équations et inéquations. Sommaire

Séquence 3 Expressions algébriques Équations et inéquations Sommaire 1. Prérequis. Expressions algébriques 3. Équations : résolution graphique et algébrique 4. Inéquations : résolution graphique et algébrique 5. Algorithmique 6. Synthèse de la séquence 7. Exercices d approfondissement Séquence 3 MA0 1

1 Prérequis A Expressions algébriques ; somme et produit Une expression algébrique est composée de nombres, de lettres, de parenthèses, Exemples d opérations et de fonctions qui les relient. Par exemple, ( x + 5x 4)( xy + 9) est une expression algébrique. Si les expressions algébriques nous sont maintenant familières, il a fallu attendre le XVI e siècle et le mathématicien français François Viète (1540-1603) pour avoir l idée de remplacer des inconnues ou des paramètres par des lettres. Il est important dans les expressions algébriques de savoir distinguer les sommes des produits. Une expression algébrique est une somme si la dernière opération avant d obtenir le résultat est une addition et une expression algébrique est un produit si cette dernière opération est une multiplication. A= a+ b, B = x +, C = x + 1, D = ( n+ 1) ( n + 1) + n, E = 5x 4 45x sont des exemples de somme. F = ab, G = 3x, H = x( x + ), I = ( x + )( x ), J = ( a+ b+ c)( a b c) sont des exemples de produit. B À propos des solutions d une équation ou d une inéquation Équations Définition 1 Une solution d une équation est une valeur de l inconnue x pour laquelle l égalité est vraie. Par exemple, 3 est solution de l équation x 3 3= x + x car 3 3 3= 3 + 3( = 4). Définition Résoudre une équation, c est trouver l ensemble de ses solutions. Nous n avons pas résolu l équation 3 x 3= x + x car nous ne savons pas si cette équation admet d autres solutions. Séquence 3 MA0 3

Exemple Équation du premier degré Vous avez appris en troisième à résoudre des équations du premier degré. Revoyons en un exemple. Résoudre l équation 3x 5 = 7x + 4 On peut rajouter 5 aux deux membres de l équation soit : 3x 5+ 5= 7x + 4+ 5 soit 3x = 7x + 9 Ensuite, on peut retrancher 7x aux deux membres de l équation, soit : 3x 7x = 7x + 9 7x soit 4x = 9 et en multipliant les deux membres par 1 (ce qui revient au même que diviser 4 par 4 ), il vient x = 9 4. On écrit alors habituellement que l ensemble des solutions de cette équation est 9 sous la forme : = 4 { 9 4 }. Inéquations Soit l inéquation x 6x 4. Remplaçons x par 6 ; on obtient 36 36 4, ce qui est faux. On dit que le nombre réel 6 n est pas solution de l inéquation x 6x 4. Remplaçons maintenant x par 5 ; on obtient 5 30 4, ce qui est vrai. On dit que le nombre réel 5 est solution de l inéquation x 6x 4. 1 On verrait de même que 0 n est pas solution, ni mais que et 3 sont solutions. Définition 1 Une solution d une inéquation est une valeur de l inconnue x pour laquelle l inégalité est vraie. Définition Résoudre une inéquation, c est déterminer l ensemble de ses solutions, c est-àdire toutes les valeurs de l inconnue x pour laquelle l inégalité est vraie. Exemple Nous n avons pas résolu l inéquation x 6x 4 car nous nen avons pas déterminé toutes les solutions. Inéquation du premier degré Vous avez appris en troisième à résoudre une inéquation du premier degré. Revoyons en un exemple. Résoudre dans R l inéquation 3x 5 x. On sait que l on peut rajouter 5 aux deux membres de l inéquation soit : 3x 5+ 5 x + 5 soit 3x x + 3 On peut ensuite retrancher x aux deux membres de l inéquation soit : 3x x x + 3 x soit x 3. 4 Séquence 3 MA0

On peut ensuite multiplier chaque membre de l inéquation par 1 (ce qui revient au même que diviser par ) car le réel 1 est strictement positif. Il vient x 3. 3 L ensemble des solutions de cette inéquation est donc l intervalle[, + [, ce que 3 l on peut encore noter : = [ ; + [. On peut multiplier les deux membres d une inéquation par un nombre strictement négatif à condition de changer le sens de l inégalité. Par exemple, l inéquation x 1 est équivalente à : 1 1 ( x ) 1 soit x 1. Séquence 3 MA0 5

Expressions algébriques A Activités Activité 1 Différentes expressions pour une aire x D x H G x C Soit un carré ABCD de côté 5. On dessine aux quatre coins des carrés de côté x et on s intéresse à l aire coloriée Ax ( ) formée de la réunion de ces quatre carrés et du carré intérieur EFGH. Montrer par un raisonnement géométrique que Ax ( ) peut s écrire sous l une des formes suivantes : Ax ( ) = 4x + ( 5 x) ou Ax ( ) = 5 4 x ( 5 x ). x A E F Montrer que l on aussi : Ax ( ) = 8x 0x+ 5. En utilisant la forme la plus adaptée, calculer A( 5, ) et A( 3). B a) Montrer que Ax ( ) = 8 5 x,. 4 + 1 5 b) En déduire que l aire minimale est obtenue pour x = 5 4 et donner cette aire minimale. a) Montrer que Ax ( ) = ( x 1)( 4x 8) + 17. b) Déterminer les valeurs de x tels que Ax ( ) = 17. Activité Forme développée et factorisée Soit f( x) = ( x ) 3( x ) pour tout nombre réel x. Montrer que, pour tout nombre réel x, f( x) = x 7x + 10. Montrer que, pour tout nombre réel x, f( x) = ( x )( x 5). On dispose maintenant de trois formes pour f( x): Forme initiale Forme développée Forme factorisée f( x) = ( x ) 3( x ) f( x)= x 7x + 10 f( x) = ( x )( x 5) 6 Séquence 3 MA0

Répondre à chacune des questions suivantes, sans calculatrice, en veillant à choisir judicieusement à chaque fois la forme de f( x) que vous utiliserez : a) Calculer f ( 0) et f ( ). b) Calculer f ( ) et f ( 5). c) Résoudre l équation f( x) = 0. d) Résoudre l équation f( x) = 10. B Cours Transformation d une expression algébrique Une expression algébrique peut s écrire de plusieurs façons et il faut savoir la transformer afin d utiliser la forme la plus adaptée au travail à effectuer. Réduire une somme, c est écrire cette somme sous la forme la plus condensée possible en regroupant les termes de même nature. Exemple 3 Soit Ax ( )= 4x + 6x 5+ x x 3x+ 4 3 Ax ( ) est une somme qui se réduit sous la forme : Ax ( )= x + 3x 1+ x, que l on ordonne sous la forme : 3 Ax ( ) = x + x + 3x 1. Développer signifie transformer une expression algébrique en une somme. Exemple Bx ( ) = ( x 5)( x 3) 3( x ) Bx ( ) est : Bx ( )= x 3x 10x + 15 3x + 6 qui après réduction donne : Bx ( ) = x 16x+ 1. Factoriser signifie transformer une expression algébrique en un produit. Exemple Cx ( ) = x + 4x= xx ( + 4) Le produit xx ( + 4 ) est la forme factorisée de x + 4x. Séquence 3 MA0 7

Réduire au même dénominateur avec des x. Exemple 1 Exemple Soit la fonction f définie sur l intervalle ]0 ;+ [ par f ( 3) 1 6 1 7 = + = + =. 3 3 3 3 1 f( x) = +. x f ( 7) 1 14 1 15 = + = + =. 7 7 7 7 Pour ajouter deux fractions, nous les avons mises au même dénominateur. Si l expression comporte des x au dénominateur, nous allons utiliser une technique similaire. 1 x x f( x) = + = 1 + 1 + =. x x x x Avec cette nouvelle expression def( x), on retrouve bien que : 3 1 f ( 3) = + 7 3 = 3 et f ( ) 7 1 15 7 = + = 7 7. Soit la fonction g définie pour x différent de 0 et de 1 par gx ( ) = 1 x + x. 1 1 3 4 3 8 11 g( 4) = + = +. 4 3 4 3 3 4 = 1 + 1 = 1 1 4 et, nous avons réduit ces fractions au même dénominateur 3 4 3. Nous allons utiliser une technique similaire pour ajouter 1 x et x 1. 1 1 ( x ) x x gx ( ) = + = 1 x x x ( x ) + ( x ) x = 1 x x 1 1 1 x( x ) + xx ( ) = 3 1 1 1 xx ( 1). Avec cette nouvelle expression, on retrouve bien que 3 4 1 11 g( 4) =. 4 ( 4 1) = 1 a) k(a+b)=ka+kb L écriture ka + kb est le développement de ka ( + b). ka ( + b) est l écriture factorisée de ka + kb. Si le passage à l écriture développée est mécanique et présente peu de difficultés, le passage à l écriture factorisée nécessite de reconnaître un facteur commun et s avère moins immédiate. 8 Séquence 3 MA0

Exemple 1 Exemple Exemple 3 1 4x = 4 3 4 x = 4( 3 x). On applique la formule ka ( + b) = ka+ kb avec k = 4, a= 3 et b = x. 43 ( x ) est l écriture factorisée de 1 4x. 3x + x. Les deux termes de la somme sont 3x et x et ils ont un facteur commun qui est x. 3x + x = 3x x + x = x( 3x + ). x( 3x + ) est l écriture factorisée de 3x + x. a+ ab. Les deux termes de la somme sont a et ab et ils ont un facteur commun qui est a. a On peur alors écrire a+ ab = a 1+ a b = a( 1+ b). Dans le cas particulier où un des termes se confond avec le facteur commun, il faut considérer qu il est multiplié par 1 avant de le mettre en facteur. C est ce qui est fait dans l exemple 3. b) Les identités remarquables Développons d abord les expressions suivantes : ( a+ b) = ( a+ b)( a+ b) = a + ab+ ba+ b = a + ab+ b. ( a b) = ( a b)( a b) = a ab ba+ b = a ab+ b. ( a b)( a+ b) = a + ab ba b = a b. Ces trois identités remarquables doivent être apprises par cœur. Résumons les ci dessous. Forme développée (somme) a + ab+ b = ( a+ b) a ab+ b = (a b) Forme factorisée (produit). a b = ( a b)( a+ b) Exemples x + 1x + 36 = ( x + 6). On applique la formule ( a+ b) = a + ab+ b avec a= x et b = 6. x 4x + 4= ( x ). On applique la formule ( a b) = a ab+ b avec a= x et b =. x 9= ( x 3)( x + 3). On applique la formule a b = ( a b)( a+ b) avec a= x et b = 3. Séquence 3 MA0 9

Exercices résolus Exercice 1 Développer les expressions suivantes : ( ) = ( ) = + ( ) = ( + ) ( )( ) A= 3 x + ; B x x 1 ; C 1 3 x ; D x 3 ; E = x + 3 x ; ( )( ) ( )( + ) = ( )( + ) F = x 1 x 1 ; G = x x ; H 3 x x. Réponse : A= 3x + 6 B = x x C = 1+ 3x 6 d où C = 3x 5. Attention, la multiplication est prioritaire sur l addition ; D = x + 6x + 9. Ici on utilise la formule a+ b ( ) avec a x et b = = 3. E = x( x )+ 3( x )= x x + 3x 6 et ainsi E = x + x 6. F = x x x + 1 F = x 3x + 1. On peut remarquer que dans le cas de E, E on a fait le développement en deux étapes et que pour F on a agit de manière plus directe. G = x ( ) en appliquant la formule a b avec a= x et b =. D où G = x. L expression H est une somme dont le deuxième terme est un produit. Commençons donc par développer ce produit : ( ) + x ( x )= x = x 4 en appliquant la formule a b avec a= x et b =. On en déduit que H = 3 ( x 4) (il ne faut pas oublier la parenthèse) et donc que H = 3 x + 4, H = 7 x. Exercice Factoriser les expressions suivantes : ( ) + + = ( ) ( + ) 3 3 A= 4x 7x ; B = x + x ; C = x + 1 x 1; D x 8x +16 ; E = x 5 ; F = 3x + x 1. Réponse : Recherchons un facteur commun : A= 4xx 7x. Il est clair que x est un ( ) facteur commun donc A= 4x 7 x. 10 Séquence 3 MA0

( ) De la même manière : B = xx + 1x d où B = x + 1 x. Dans l expression C, on voit d abord une somme de 3 termes dont on ne sait que faire. Mais on peut aussi écrire C = x + 1 x 1 où on a alors une somme ( ) + ( + ) de deux termes contenant un facteur commun : C = ( x + 1 )( x + 1 )+ 1 ( x + 1 )=( x + 1 ) ( x + 1 )+ 1 et ainsi ( )( + ) C = x + 1 x. Pour D = x 8x + 16 il n y a pas de facteur commun apparent mais on reconnaît le développement de a b ( ) D = x 4. ( ) avec a x et b E est de la forme a b avec a= x et b = 5. ( )( + ) Ainsi E = x 5 x 5. = = 4 et donc C est la même chose pour F : cette fois a= 3x + et b = x + 1. F = ( 3x + ) ( x + 1) ( 3x + )+ ( x + 1 ). Supprimons les parenthèses à l intérieur des crochets : On a donc F = 3x + x 1 3x + + x + 1 et donc ( )( + ) F = x + 1 4x 3. Exercice 3 Connaissant 0 calculer mentalement 1 de deux manières différentes : avec 0 + 1 ( ) avec 1 0 Réponse : nous savons que 0 = 400 0 + 1 ( ) est bien égal à 1 mais aussi à 0 + 1 0 + 1 = 400 + 40 + 1 donc 1 = 441. 1 0 = ( 1 0) ( 1+ 0)= 41 donc 1 = 0 + 41 et ainsi 1 = 441. Exercice 4 Comment calculer mentalement le carré d un nombre entier qui se termine par 5? Réponse : Observons d abord qu un nombre se terminant par 5 est égal à 10n n + 5 où n est son nombre de dizaines. Par exemple, 75 = 10 7 + 5 car 7 est le chiffre des dizaines. Séquence 3 MA0 11

Calculons ( 10n + 5) ; ( 10n+ 5) = ( 10n) + 10n 5 + 5d où ( 10n+ 5) = 100n + 100n+ 5. Les deux premiers termes de cette somme ont un facteur commun : 100n. n Ainsi 100n + 100n= 100n( n+ 1) et ( 10n+ 5) = 100n( n+ 1)+ 5. Appliquons ceci à 75 : 75 100 7 8 5 n ( ) = +. (n+1 est le nombre entier qui suit n). n Le calcul donne : 7 8= 56 et multiplier ce nombre par 100 revient à adjoindre 00 et ajouter 5 à ce nombre revient à remplacer 00 par 5. Conclusion : 75 = 5 65. Autre exemple : pour 105 on prend le nombre des dizaines : 10, on le multiplie par son suivant qui est 11 ce qui donne 110 et on accole 5 à ce résultat. Donc 105 = 11 05. (Il est conseillé de s entraîner avec 5, 35,...) Exercice 5 Montrer que, pour tout nombre réel x de ], + [, 4x 1 7 4 x = + x. Réponse : Pour montrer une égalité, on n est pas obligé de partir du côté gauche de l égalité. Il est ici préférable de partir du côté droit de l égalité, car on peut 7 réduire l expression 4 + au même dénominateur. x Pour tout nombre réel x de ],+ [, 7 4( x ) 7 4x 8+ 7 4x 1 4 + = + = =. x x x x x C Synthèse développer expression algébrique somme factoriser ex pression algébrique produit Deux méthodes pour factoriser : Facteur commun et la formule k(a+b)=ka+kb Les identités remarquables : (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b)(a b) = a b. 1 Séquence 3 MA0

D Exercice 1 Exercices d apprentissage Dans un jardin carré de côté x (en m), on réalise un parterre carré en laissant sur deux des côtés une bordure de largeur 1,5m. Parmi les expressions suivantes, indiquer celle(s) qui donnent l aire de la bordure : a) ( x + 15, ) x b) 3x c) 3x, 5 d) x ( x 15, ) e) xx ( 15, ) Exercice Pour quelle valeur de x l aire du parterre est elle égale à 16 m? Les longueurs sont exprimées en cm. On désire imprimer une carte carrée de côté x avec x compris entre 5 cm et 10 cm. On souhaite cependant laisser une marge de cm en haut et en bas de la carte et de 1 cm à gauche et à droite. x 1 On appelle f( x), l aire en cm de la surface imprimable. En calculant cette aire de deux façons différentes, montrer que f( x)= x 6x + 8 et f( x) = ( x )( x 4). Montrer que f( x) = ( x 3) 1. Déterminer les dimensions de la feuille telles que l aire de la surface imprimable soit égale à 8 cm puis à 15 cm. x Exercice 3 Exercice 4 Soit la fonction f définie sur R par f( x)= x 8x + 7 Montrer que : f( x) = ( x 4) 9. En déduire une forme factorisée def( x). Utiliser la forme la plus adaptée de f( x) pour répondre aux questions suivantes a) Calculer f ( 3). b) Résoudre l équation f( x) = 0. c) Calculer f ( 4) et montrer que, pour tout nombre réel x, f( x) 9. En déduire que f admet un minimum sur R. x 4 Soit g la fonction définie sur R par : gx ( ) =. x + 4 Montrer que gx ( ) peut s écrire sous les formes suivantes : 8 x gx ( ) = 1 = 1. x + 4 x + 4 Séquence 3 MA0 13

Utiliser l une ou l autre de ces formes pour répondre aux questions suivantes : a) Résoudre gx ( ) = 0. b) Montrer que, pour tout réel x, gx ( ) < 1. c) Montrer que, pour tout réel x, gx ( ) 1. Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Exercice 9 Exercice 10 Soit f la fonction définie sur ]1 ;+ [ par f( x) = 1. x 1 Montrer que f( x) peut aussi s écrire : x 3 f( x)= x 1 ou f x x x ( ) = + 3. x 1 En utilisant la forme la plus adaptée : a) Résoudre l équation f( x) = 0. b) Montrer que f( x)< pour tout réel x de ]1 ;+ [. c) Montrer que f( x)< x +3 pour tout réel x de ]1 ;+ [. Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : A= 6x 3( x + 1) ; B = 3x( x 4) ; C = ( x 7) ( 3 5x) ; 1 D = ( x ) ( x + ) E = x x + 1 8 1 4 3 ; 3 5 3 + 1 = x ; F 3 15 6 ; G = ( x 3 1) 3x 3+ ( 3 x)( x 3 1). ( ) ( )( ) = ( + )( ( 4) ( 3 5 ) ( + 4) ; = 9( 3) + ( 4 + 3) ; A= 3x 7 3x 7 x 1 ; B x 3 5x 1 x 3) ; C = x + x x D x x x x E = ( 1 + 3 x) + 4 3 x F = G x 4 = 1 ; ; ( 3 ) 3; H = 9x + 1x + 4. Réduire au même dénominateur les expressions : A = 1 + x 1 5 ;B = x + 3 4x 1 ; C = +. 3 x 3 x 4 3 Développer et réduire : A= ( x 1)( x + x + x + x + 1). En déduire un moyen simple pour calculer la somme : S = 1+ 4 8 16 + + + 3 9 7 81. x, y, z ( x + y + z ) = x + y + z + xy + yz + xz. On considère trois nombres A, B et C non nuls dont la somme des inverses est nulle. Démontrer que : a) AB + BC + CA =0. b)le carré de la somme de ces trois nombres est égal à la somme de leurs carrés. 14 Séquence 3 MA0

3 A Équations : résolution graphique et algébrique Activités Activité 1 A D J Se ramener à une équation du premier degré E B C I Γ ABCD est un carré de côté 4 cm et I est le milieu de [BC]. J est un point quelconque du segment [AB]. On pose AJ = x (en cm). est le cercle de centre J qui passe par A. Γ est le cercle de diamètre [BC]. L objet de l activité est de déterminer s il existe un point J tel que et Γ soient tangents en un point E. Exprimer JI² en fonction de x puis vérifier que et Γ sont tangents lorsque : ( x + ) = ( 4 x) +. Résoudre cette équation En déduire la position du point J sur [AB] pour que et Γ soient tangents. Activité Résolution graphique et algébrique d une équation On a dessiné ci-dessous la courbe (C) représentative de la fonction f définie sur R par f( x) = x. Dessiner dans le même repère sur le graphique suivant la courbe représentative d de la fonction affine g définie par gx ( ) = x+ 3. Quel lien peut-on faire entre les points d intersection de (C) et de d et l équation x = x + 3? Quelles semblent être, par lecture graphique, les abscisses de ces deux points. Vérifier que x x 3= ( x 1)( x + 3). Séquence 3 MA0 15

En déduire la résolution algébrique de l équation x = x + 3. y 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 4 3 1 1 3 4 x B Cours Utilisation d une calculatrice Pour résoudre graphiquement une équation du typef( x)= k, où k désigne un nombre réel, (ouf( x) = g( x) ), il peut être intéressant de savoir représenter sur sa calculatrice la courbe d équation y = f( x) (et celle d équation y = g( x)) et de savoir obtenir un tableau de valeurs de la fonction f. Nous donnons ici les principales manipulations qu il faut connaître sur l exemple de la fonction f définie sur l intervalle [ 8 ;6] par f( x)= x + 4x 8 sur une TI8stats.fr et sur une casio5+ qui sont les deux modèles les plus fréquemment utilisés au lycée actuellement. L utilisation d une autre TI ou casio est très voisine de celles-ci. Nous nous appuierons sur des travaux réalisés par l IREM de Lyon, figurant sur internet, et que vous pouvez consulter pour des compléments d informations. 16 Séquence 3 MA0

A. Utilisation d une TI8stats.fr Définir une fonction Touche f (x) Introduire la fonction par exemple en Y1. Pour la variable X, utiliser la touche x, t, θ, n. Valider avec la touche entrer. Tracer la courbe représentative Touche graphe L écran ci-contre n est qu un exemple, il est possible que celui affiché sur votre calculatrice soit différent. Pour obtenir cet affichage : touche zoom 6:ZStandard Régler la fenêtre d affichage Touche fenêtre. Régler les paramètres comme sur l écran cicontre. Touches et pour passer d une ligne à l autre. Puis touche graphe. Régler les paramètres du tableau de valeurs Instruction déf table (touches nde fenêtre ). Régler les paramètres comme sur l écran cicontre. DébTable : valeur initiale (1 re valeur du tableau). PasTable : pas du tableau (écart entre deux valeurs successives). Séquence 3 MA0 17

Afficher le tableau de valeurs Instruction table (touches nde graphe ). Si l écran n affiche pas toutes les valeurs souhaitées, on peut se déplacer dans la table à l aide des flèches. Parcourir une courbe Touche trace. Touches ÿ et pour se déplacer sur la courbe. L expression de la fonction ainsi que les coordonnées du point où est situé le curseur sont affichées. Calculer une image Instruction quitter (touches nde mode ) pour revenir à l écran de calcul. Touche var option V VAR-Y= à l aide de la flèche ÿ. Puis option 1 1:Fonction et valider avec entrer. Choisir la fonction désirée (pour notre exemple 1:Y1 ). Puis compléter comme sur l écran ci-contre pour, par exemple, obtenir l image de 3. 18 Séquence 3 MA0

Ajouter une fonction Touche f (x) Introduire la nouvelle fonction par exemple en Y Puis graphe ou table. Choisir les représentations graphiques à tracer Touche f (x) Avec les touches de déplacement placer le curseur sur le signe = de la fonction que vous ne souhaitez plus afficher. Ce signe doit alors clignoter. Touche entrer pour modifier le statut de la fonction sélectionnée. Le signe doit alors être = et non plus. Pour réafficher une fonction, procéder de la même façon. Le signe doit alors être de nouveau = = au lieu de =. Ensuite graphe ou table. Seules les fonctions sélectionnées sont affichées. (Pour l exemple Y1 a été désélectionnée). Effacer une fonction Touche f (x) Sélectionner la fonction à effacer, par exemple Y1. Puis touche annul. Séquence 3 MA0 19

Régler la fenêtre d affichage La fenêtre d affichage est la partie du plan délimitée par les valeurs Xmin, Xmax, Ymin et Ymax. La distance entre les graduations est définie par Xgrad pour l axe horizontal et par Ygrad pour l axe vertical. Xrés définit la résolution de l affichage (de 1 à 8). Problèmes possibles Problème rencontré ERR : SYNTAXE 1 :Quitter :Voir ERR : VAL FENETRE 1 :Quitter Comment y remédier L expression de la fonction est mal saisie. Par exemple : -X ² doit être saisi en utilisant (-) et non pas. fenêtre La fenêtre graphique est mal définie. (Par exemple on a saisit des valeurs telles que : Xmin Xmax) Une série statistique est représentée il faut la désactiver : Effacer tous les graphiques statistique : nde f (x). (graph stats)4 4 :graphoff. ou Effacer le graphique problématique : f (x). sélectionner le graphique activé et appuyer sur entrer. ERR : DIM INVALIDE 1 :QUIT Une série statistique est saisie mais de façon incorrecte. nde f (x). (graph stats) 4 4 :graphoff. 0 Séquence 3 MA0

B. Utilisation d une casio graph5+ Définir une fonction Icône Introduire la fonction par exemple en Y1. Valider avec la touche EXE. Utiliser la touche X,T pour la variable X. Tracer la courbe représentative Instruction DRAW (touche F4 ). L écran ci-contre n est qu un exemple, il est possible que celui affiché sur votre calculatrice soit différent. Régler la fenêtre d affichage Instruction V-Window (touches SHIFT F3 ). Régler les paramètres comme sur l écran ci-contre. Touches et pour changer de ligne. Touche EXE puis instruction DRAW. Régler les paramètres du tableau de valeurs Icône puis instruction RANG (touche F3 ). Régler les paramètres comme sur l écran ci-contre. Strt : valeur initiale (1 ère valeur du tableau). End : valeur finale (dernière valeur du tableau). Ptch : pas du tableau (écart entre deux valeurs successives). Touche EXIT pour revenir à l écran précédent. Afficher le tableau de valeurs Instruction TABL (touche F4 ). Si l écran n affiche pas toutes les valeurs souhaitées, on peut se déplacer dans la table à l aide des flèches. Séquence 3 MA0 1

Parcourir une courbe Retour au graphique : touche MENU icône puis instruction DRAW. Instruction TRACE (touches SHIFT F1 ). Un point apparait sur la courbe et ses coordonnées sont affichées. Touches ÿ et pour déplacer ce point. Calculer une image Mode calcul : touche MENU et icône. Touche VARS et instruction GRPH. pour cela : Touche (à droite de F4 ) puis F. Mettre la valeur dont on veut l image dans la mémoire X, par exemple pour l image de 3 : Touches 3 X,θ,T puis. correspond à la touche de mise en mémoire. Instruction Y (Touche F1 ) suivie du numéro de la fonction à utiliser (pour notre exemple Y1). Valider avec EXE. Ajouter une fonction Mode graphique : touche MENU et icône. Introduire la nouvelle fonction par exemple en Y Puis DRAW. Le tableau de valeur est lui aussi mis à jour : Touche MENU et icône Puis TABL. Utiliser les flèches ÿ et pour se déplacer. Séquence 3 MA0

Choisir les fonctions affichées Mode graphique : touche MENU et icône. Avec les flèches, sélectionner la fonction que vous ne souhaitez plus afficher. Instruction SEL (touche F1 ) pour valider votre choix. Le signe = doit alors être = et non plus =. Instruction DRAW pour tracer les courbes choisies. Pour réafficher une fonction, procéder de la même façon. Le signe = doit de nouveau être = au lieu de =. On peut faire la même chose dans le mode table : touche MENU et icône. Sélectionner les fonctions à afficher puis TABL. Effacer une fonction Sélectionner la fonction à effacer, par exemple Y1. Puis instruction DEL (touche F ), et enfin choisir YES (touche F1 ) Régler la fenêtre d affichage La fenêtre d affichage est la partie du plan délimitée par les valeurs Xmin, Xmax, Ymin et Ymax. La distance entre les graduations est définie par Xsacle pour l axe horizontal et par Yscale pour l axe vertical. Problèmes possibles Problème rencontré Syn ERROR Ma ERROR Comment y remédier L expression de la fonction est mal saisie. Par exemple erreur de variable. Appuyer sur AC/On Vérifier la fenêtre d affichage. Séquence 3 MA0 3

Résolution graphique d une équation Vous pourrez être amené à résoudre graphiquement des équations du type f( x)= k où k est un nombre réel ou du type f( x) = g( x). Les fonctions f et g sont représentées par les courbes C et C. Exemple f (x) = k Résoudre l équation f( x) = 3. y 4 Exemple y f (x) = g(x) 3 y = 3 C 1 1 C 0 0,6 1, x x 0,5 0 1 3 3,5 1 Les solutions sont 0,5 et 3,5. Cas général On cherche les points de C d ordonnée k (ce travail peut être facilité par le tracé de la droite d équation y = k ). Les abscisses de ces points sont les solutions de l équation f( x) = k. C Les solutions sont approximativement 0,6 et,. Cas général On repère les poins communs à C et C. Les solutions sont les abscisses des points communs. Résolution algébrique Définition Deux équations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes solutions. Résoudre l une revient donc à résoudre l autre. Exemple 3x + 6= 0 est équivalent à x =. L expression est équivalente est synonyme de l expression «si et seulement si». 4 Séquence 3 MA0

Notation Vous pourrez rencontrer le symbole pour remplacer l expression est équivalent. On écrira par exemple : 3x 6= 0 x =. Ne pas confondre le symbole avec celui de l égalité = Vous devez toujours pouvoir remplacer le symbole par l expression «si et seulement si». Propriété 1 : Équations équivalentes On transforme une équation en une équation équivalente : en développant ou factorisant certains termes ; en ajoutant ou retranchant un même terme à chaque membre en multipliant ou divisant chaque membre par un même nombre non nul. Pour résoudre une équation qui ne se ramène pas par développement à une équation du 1 er degré, on la transforme en une équation équivalente dont un membre et nul et on applique les propriétés suivantes : Propriété : Règle du produit nul Un produit est nul si et seulement si l un des facteurs est nul. A B = 0 équivaut à A=0 ou B=0. Propriété 3 : Règle du quotient nul Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. A = 0 équivaut à A = 0et B 0. B Exercices résolus Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : 3 7x ( 1 x)= ( x + 1). ( ) =. ( x + )( x )+( x + ) x + x 1 4x 1 1 1( 3 7)= 0. ( ) = ( ). x + 3 x 4 Séquence 3 MA0 5

Réponse : Réduisons chacun des membres : 3 7x 1+ x = x +, d où 6x + = x +. On retranche x + à chaque membre : 8x = 0. Il ne reste qu à diviser par 8 et on obtient x = 0. S = {} 0. Mettons en facteur dans le membre de droite et retranchons ce terme aux deux membres : ( x 1) ( x 1)= 0. Nous pouvons mettre x 1 ( x 1) ( x 3)= 0. ( ) =, soit ( ) en facteur : ( x 1) x 1 0 Nous savons qu un produit est nul si et seulement si l un des facteurs est nul : x 1= 0 ou x 3 = 0. Donc S = 1 3,. ( ) en facteur : Nous pouvons mettre x + 1 ( x + 1) ( x 1+ 3x + 7)= 0. c est-à-dire ( x + 1) ( 4x + 6)= 0. On obtient x + 1= 0 ou 4x + 6= 0. Donc S = 1 3,. Exercice Exercice 3 Déterminer 5 nombres entiers consécutifs dont la somme est 405. Réponse : Le plus simple est de noter x le nombre du milieu ; les deux précédents sont alors x et x 1 et les deux suivants x + 1et x +. Le nombre x doit alors vérifier ( x )+ ( x 1)+ x + ( x + 1)+ ( x + )= 405, 5x = 405 d où x = 81. Les 5 nombres cherchés sont donc 79, 80, 81, 8, 83. Il est aisé de vérifier que ces 5 nombres répondent bien au problème. Un arbre de 9 m de haut dont le pied est en A s est cassé en B. La cime est tombée en C à 3,5 m de A. Calculer la distance AB. Réponse : Le triangle ABC est rectangle en A ; on peut donc appliquer la propriété de Pythagore : BC = AB + AC. Nous savons que AC = 35, ; notons x la distance AB, il en résulte que BC = 9 x. On peut alors écrire B ( 9 x) = x + 3, 5. Pour résoudre cette équation, on développe le premier membre : 81 18x + x = x + 1, 5. On retranche le deuxième au premier, ce qui donne : 68, 75 68, 75 18x = 0 d où x = soit 75 18 7. L arbre s est donc cassé à environ 3,8 m du sol. A C 6 Séquence 3 MA0

Exercice 4 Résoudre les équations suivantes x 5 x + 1 = 0 x 1 0 x + 1 =. = 3. x x + 5 Réponse : Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. x 5 x + 1 = 0 équivaut à x 5= 0 et x + 1 0 soit : x = 5 et x 1 soit : x =5. On a donc = {5}. x 1 0 x + 1 = équivaut à : x 1= 0 et x + 1 0 x 1= 0 équivaut à x 1 = 0 soit ( x + 1)( x 1) = 0. ( x + 1)( x 1) = 0 x + 1= 0 ou x 1= 0 soit : x = 1 ou x = 1. Par suite x 1 = 0 équivaut à x = 1 ou x = 1et x 1. x + 1 L équation n a donc qu une solution : = {1}. 3 x = x + 5 équivaut à 3 5 = 0. x x + Mettons l expression 3 au même dénominateur. x x + 5 3 ( x + 5) 3 x x 10 = = + x x + 5 xx ( + 5) ( x + 5) x xx ( + 5). x + 10 = 0 équivaut à x + 10 = 0 et xx ( + 5) 0. xx ( + 5) soit x = 10 et x 0 et x 5. On en déduit ={10}. Remarque La négation de la proposition logique x = 0 ou x = 5 est : x 0 et x 5. Plus généralement, considérons deux propositions P et Q. La négation de «P est vraie ou Q est vraie» et «P est faux et Q est faux». Par exemple, la négation de la proposition : «L interrupteur A est ouvert ou l interrupteur B est ouvert» est «L interrupteur A est fermé et l interrupteur B est fermé» Séquence 3 MA0 7

Exercice 5 Donner à l aide de votre calculatrice sur l intervalle [ 3 ; 3] le nombre de solutions de l équation xx ( 1 ) = x. Résoudre algébriquement sur l intervalle [ 3 ; 3] l équation xx ( 1 ) = x. Réponse : Soit f( x) = x( x 1) et gx ( ) = x. Graphiquement, on constate que les courbes représentatives des fonctions f et g sur ont deux points communs. Sur [ 3; 3], on lit donc graphiquement que l équation xx ( 1) = xadmet deux solutions (qui semblent être voisines 0 et ). L équation xx ( 1 ) = x est équival ente à xx ( 1) x= 0 soit après factorisation par x, x soit xx ( ) = 0. xx ( 1 1) = 0 Cette dernière équation équivaut à x = 0 ou x =. On a donc = {0 ;}. Ce serait une erreur de simplifier par x dans l expression x ( x 1 ) = x pour obtenir x 1 = 1 soit x =. Les équations xx ( 1 ) = x et x 1 = 1 ne sont pas équivalentes car elles n ont pas le même ensemble de solutions. C Synthèse Résolution graphique d équations y Équation f( x ) = k 4 Soit f une fonction de courbe représentative C. 3 y = k Les solutions de l équation f( x)= k sont les abscisses des points d intersection de C et de la droite d équation y = k. 1 a 0 1 1 C 3 b x 8 Séquence 3 MA0

Équation f( x ) = g( x) Soit f une fonction de courbe représentative C et g une fonction de courbe représentative C. Les solutions de l équation f( x) = g( x) sont les abscisses des points d intersection de C et C. Résolution algébrique y 1 0 C a 1 b x C On obtient une équation équivalente en réalisant l une des opérations suivantes : Ajouter la même quantité à chaque membre Multiplier chacun des membres par un même nombre non nul. Propriété : Un produit est nul si et seulement si l un des facteurs est nul. Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. D Exercice 11 Exercices d apprentissage Tracer dans une fenêtre standard ( 10 x 10 et 10 y 10 ) à l écran de la calculatrice la courbe représentative de la fonction f définie sur [ 10 ;10 ] par f( x) = x + x 3. a) Résoudre graphiquement l équation f( x) = 0. b) Vérifier par le calcul les solutions lues sur le graphique. a) Résoudre graphiquement l équation f( x) = 5. b) Vérifier par le calcul les solutions lues sur le graphique. Exercice 1 f et g sont les fonctions définies sur R par : f( x) = x( x 1) et gx ( ) = 3x+ 3. Tracer à l écran de la calculatrice les courbes représentatives des fonctions f et g. Séquence 3 MA0 9

Conjecturer graphiquement les solutions de l équation f( x) = g( x). Résoudre algébriquement l équationf( x) = g( x). Exercice 13 Voici quatre équations : (E 1 ) : 1 ( x 5) = 0 (E ) : 3x x( x 1) = 0. (E 3 ) : ( x 4)( x + ) = 0 (E 4 ) : ( x 3) + 5x 4 = 0 a) En développant mentalement (et partiellement) les membres de gauche, déterminer la seule de ces équations qui ne comportent pas de terme en x. b) Résoudre alors cette équation. a) Pourquoi l équation (E 3 ) équivaut elle à l équation ( x 4)( x + ) = 0? b) Résoudre alors cette équation a) Pour les deux équations restantes, factoriser le membre de gauche. b) Résoudre alors ces équations. Exercice 14 Résoudre les équations suivantes : a) 3x + 9= x + b) ( x 1) = x + 3 c) 4x 5= 0. d) ( x + 1 )( x 5) ( x + 1)( x + ) = 0. e) ( x + 1) ( x ) = 0. f) x + = x 4 3. g) xx ( + 4) = x + 1. Exercice 15 Se ramener à un quotient égal à 0, puis résoudre l équation. Exercice 16 a) x 1 1 x + 3 = b) x 1+ = 3 x c) 1 5 + = d) x 3 3x 7 x + 1 = x. Sur un écran de calculatrice, on représente les fonctions f et g définies sur par : f( x) = x ( x 11 ) et gx ( )= x 11. Résoudre graphiquement f( x) = g( x). R 30 Séquence 3 MA0

Résoudre algébriquement l équation : f( x) = g( x). Pourquoi la résolution graphique ne donne-t-elle pas les mêmes solutions que la résolution algébrique? A l aide de la calculatrice, construire les courbes représentatives des fonctions f et g pour : 15, x 115, et 30 y 70. La résolution graphique donne-t-elle cette fois le même ensemble de solutions que la résolution algébrique? Exercice 17 Un carré est tel que si l on augmente son côté de 3 cm, alors son aire augmente de 1 cm. Calculer son côté. Exercice 18 3,5 m A M Un martin pêcheur est perché sur une branche B lorsqu il aperçoit un poisson dans la rivière ; il plonge directement sur lui et remonte ensuite se percher sur B une autre branche A. Déterminer la distance PM au cm près sachant que les distances AP et 5 m BP sont égales. P 10 m N I Donner une solution géométrique pour déterminer la position du poisson. Exercice 19 Trouver 5 entiers consécutifs tels que la somme des carrés des deux plus grands d entre eux soit égale à la somme des carrés des trois nombres restants. Exercice 0 Quel entier faut-il rajouter au numérateur et au dénominateur du nombre 3 7 pour obtenir le double de ce nombre? Séquence 3 MA0 31

4 A Inéquations : résolution graphique et algébrique Activités Activité 1 Étude du signe d un produit Rappel du signe d un produit a et b désignent deux nombres réels. Compléter le tableau ci-dessous Signe de a + + Signe de b + + Signe de a b Les facteurs dépendent de x : tableau de signes On va étudier le signe du produit ( x + 5)( 3 x) selon les valeurs du nombre réel x. a) Faire le tableau de signe de x + 5 et celui de 3 x. b) Sans calcul, en lisant les tableaux de signe, donner pour x = 64, le signe de x + 5 et 3 x. En déduire le signe de leur produit lorsque x = 6,4. Recommencer pour x = 3 puis pour x = 3, 7. c) On rassemble les deux tableaux de signe en un seul. Le Compléter. x 5 3 + Signe de x + 5 Signe de 3 x Signe de ( x + 5)( 3 x) d) Compléter : ( x + 5)( 3 x) est strictement positif quand x... ( x + 5)( 3 x) est strictement positif quand x... ( x + 5)( 3 x) est strictement négatif quand x... 3 Séquence 3 MA0

Activité 1 Plan d une maison Un architecte doit créer une maison de hauteur 10 m formé d un corps rectangulaire de largeur x m et d un toit en forme de triangle isocèle de hauteur x mètre. Exprimer l aire du rectangle et celle du triangle en fonction de x. a) Sur la calculatrice, construire les courbes représentant ces deux aires pour x appartenant à ]0 ;10[ (bien choisir la fenêtre). b)trouver graphiquement une valeur approchée de x pour laquelle ces aires sont égales ; déterminer x par le calcul. Par lecture graphique, préciser toutes les valeurs de x pour lesquelles l aire du triangle est supérieure ou égale à l aire du rectangle. Comment peut-on retrouver ces valeurs par le calcul? 10 x x B Cours Résolution graphique d une inéquation Les fonctions f et g sont représentées par les courbes C et C ; k est un nombre réel. f (x) < k Exemple Résoudre l inéquation f( x)< 3 Les solutions sont les réels de l intervalle ]-0,5 ; 3,5[ y 4 3 y = 3 Cas général On trace la droite d équation y = k. Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés au dessous de la droite d équation y = k. C 1 x 0,5 0 1 3 3,5 1 Séquence 3 MA0 33

Exemple f (x) > k y Résoudre l inéquation f ( x )> 3 Les solutions sont les réels de ] ; 05, [ ] 35, ; + [. 4 3 y = 3 Cas général On trace la droite d équation y = k. Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés au dessus de la droite d équation y = k. C 1 x 0,5 0 1 3 3,5 1 f (x) < g(x) Exemple y Les solutions sont les nombres réels de l intervalle ]0,6 ;,[ Cas général C On cherche les points de C situés au dessous de C. On lit leurs abscisses. 1 0 0,6 1, x C Résolution algébrique Définition Deux inéquations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes solutions. 34 Séquence 3 MA0

Exemple 3x > 6 est équivalent à x >. Propriété : On transforme une inéquation en une inéquation équivalente : En développant ou factorisant certains de ses termes En ajoutant ou retranchant un même terme à chaque membre En multipliant ou divisant chaque membre par un même nombre non nul sans changer le sens de l inégalité si ce nombre est positif. en changent le sens de l inégalité si ce nombre est négatif. À savoir Pour résoudre une inéquation qui ne se ramène pas à une inéquation du premier degré, on la transforme toujours en une inéquation équivalente dont un des membres est nul. La résolution d une inéquation se ramène alors à une étude de signe. Exercices résolus Exercice 1 Résoudre les inéquations suivantes : 1 a) x + 3> x + b) x + 7 x 9 < c) 5x ( x + 1)> 3x + 1. 3 4 Réponse : a) En retranchant le membre de droite aux deux membres, on obtient : x + 3+ x 1 > 0, soit x + 5 > 0 et donc x < 5. 5 Conclusion : S =,. b) Par la même méthode, il vient x + 7 x 9 < 0, d où ce qui équivaut à 5x + 55 3 4 < 0. 1 En multipliant les deux membres par 1 5, on a x + 11 < 0 et donc x < 11. Ainsi S =, 11. c) Retranchons 3x + 1 à chaque membre : 5x x 3x 1> 0, ce qui fait 3 > 0. L inconnue x a disparu. Comment interpréter ce résultat? N oublions pas que l inéquation initiale est équivalente à 3 > 0 qui est une affirmation fausse quelle que soit la valeur de x. On peut donc affirmer que l inéquation initiale n est vraie pour aucune valeur de x. Conclusion : S = Séquence 3 MA0 35

Exercice Étudier le signe de l expression x + 5 x + En déduire les solutions dans R de l inéquation x + 5 < 0. x + Réponse : On étudie le signe du quotient x + 5 en étudiant le signe de son numérateur x + et de son dénominateur et en appliquant la règle des signes. x + 5 > 0 équivaut à x < 5. x + > 0 équivaut à x >. Pour déterminer le signe du quotient, effectuons un tableau où apparaîtra le signe de chaque facteur. Sur la ligne des x, x on fait apparaître les valeurs apparus dans l étude du signe des facteurs x + 5 et x +, à savoir 5 et. Le dénominateur d un quotient doit être différent de 0, donc ici x. La double barre à la dernière ligne du tableau indique que est une «valeur interdite». x 5 + Signe de x + 5 + + 0 Signe de x+ 0 + + Signe de x + 5 x + + 0 Le signe de x + 5 se lit dans la dernière ligne du tableau. x + Nous pouvons supprimer les lignes intermédiaires qui nous ont permis de l obtenir. x Signe de x + 5 x + 5 + + 0 Nous lisons en deuxième ligne que x + 5 <0 si et seulement si appartient x + x à l intervalle ] ; [ ou à l intervalle ]5 ;+ [. On en déduit que l inéquation x + 5 x + S = ; 5; +. <0 admet pour ensemble de solution : 36 Séquence 3 MA0

Exercice 3 Résoudre dans R l inéquation 3 x 1< 0. Réponse : Appliquons le savoir faire donné ci-dessus. Il faut donc se ramener à une inéquation équivalente dont l un des membres est nul. Pour cela, retranchons 1 aux deux membres de l inéquation. 3 On obtient x 1< 0. x Nous pouvons alors poursuivre en écrivant que 1= (mise au même x dénominateur) Il vient : 3 x x x < 0 soit 3 x + < 0 soit x + 5 < 0. x x Le problème revient donc à l étude de signe que nous avons effectuée dans l exercice précédent. 3 On en déduit l ensemble des solutions de l inéquation x < 1 est : = ] ; [ ] 5; + [. C Synthèse y Inéquations Résolution graphique Soit f une fonction définie sur représentative C. k désigne un nombre réel. R, de courbe y = k Les solutions de l équation f( x)< k sont les abscisses des points de C situés au dessous de la droite d inéquation y = k. a 0 1 C b x Ci contre S = ab ;. Les solutions de l inéquation f( x)> k sont les abscisses des points de C situés au dessus de la droite d équation y = k. Ci contre = ] ; a[ ] b; + [. Séquence 3 MA0 37

Soit f une fonction de courbe représentative C et g une fonction de cour- be représenta-tive C. Les solutions de l inéquation f( x) < g( x) sont les abscisses des points de C situés au dessous de C. Ci contre = ab ;. y 1 0 C a 1 b x C Résolution algébrique On peut toujours se ramener à une étude de signe grâce à des inéquations équivalentes. Ne pas oublier de changer le sens de l inégalité si vous multiplier ou diviser les deux membres d une inéquation par un nombre réel strictement négatif. C Exercices d apprentissage Exercice 1 Dans un repère, est la courbe représentative d une fonction f définie sur [-4 ;4]. y 1 Résoudre graphiquement les inéquations f( x) 1. 4 3 1 0 1 3 x 1 f( x) > 0. f( x) 1. f( x) > 3. 3 38 Séquence 3 MA0

Exercice Dans un repère, est toujours la courbe représentative d une fonction f définie sur [-4 ;4]. y 1 On considère la fonction affine g restreinte à l intervalle [-4 ;4 ] représentée ci-contre. Résoudre graphiquement les inéquations 4 3 1 0 1 3 x 1 3 f( x) g( x). f( x) > g( x). f( x) < g( x) Exercice 3 Résoudre dans R les inéquations x + 3< x + 4 3x ( x 4) < x. x + 8< 0 x 5 x 3. 3 3 7 Exercice 4 x 7 + Signe de f( x) + 0 Voici le tableau de signes d une fonction f( x). Quelle est la valeur pour laquelle : a) On ne peut pas calculer f( x). b) f( x) s annule Donner le signe de a)f ( 0 ) b)f ( 100 ) c) f ( 5 3 ). Dans chaque cas, compléter par >, <,,. a) Pour x <, f( x)... 0; b) Pour < x < 7 f( x)... 0; c) Pour x 7 f( x)... 0; d) Pour < x 7 f( x)... 0. Séquence 3 MA0 39

Exercice 5 Exercice 6 a) Étudier le signe de ( x 1)( x 3) b) Étudier le signe de x + 4 3 x. Résoudre l inéquation ( 5x 3)( 4 x) > 0. Vérifier avec une calculatrice. Exercice 7 D G C a) Démontrer que x 4x + 3= ( x ) 1. F b) En déduire la forme factorisée de x 4x + 3. c) Construire le tableau de signe de l expression ( x 1)( x 3). d)en déduire les solutions de l équation : x 4x + 3> 0. e)indiquer la démarche permettant de vérifier ce résultat à la calculatrice. A x B 4 E Sur la figure ci-contre, ABCD et BEFG sont des carrés. Déterminer les réels positifs x tels que la somme des aires de ces deux carrés soit strictement supérieure à 10. Exercice 8 Résoudre dans R les inéquations : x + 1 3 x 0 5x 0. x + 4 ( x 7) 5 x <. Exercice 9 Exercice 30 Exercice 31 Un particulier a des marchandises à faire transporter. Un premier transporteur lui demande 460 au départ et 3,5 par km. Un second transporteur lui demande 1000 au départ et par kilomètre. Pour quelles distances à parcourir est-il plus avantageux de s adresser au second transporteur? Pour quelles valeurs de x l aire d un carré, de côté x est-elle inférieure à l aire d un trapèze, de hauteur x et dont les deux bases ont pour longueur respectives x et 3? Quels sont les nombres réels dont le double est strictement supérieur au cube? 40 Séquence 3 MA0

5 Algorithmique A Prérequis Division euclidienne Rappels L ensemble N des entiers naturels est formé des nombres 0 ; 1 ; ; 3 ; 4, etc. Si on adjoint à l ensemble N tous les opposés des entiers naturels 0 ; 1; ; 3; 4; etc. on forme l ensemble Z des entiers relatifs qui comprend entre autres,...; 17;...; 3; ; 1013 ; ; ; ; ;...; 19;... La division de 30 par 7 se pose de la manière suivante : dividende reste 30 7 4 diviseur quotient La division euclidienne de 30 par 7 s écrit 30 = 7 4+. Le reste (ici ) doit être strictement inférieur au diviseur (ici 7). Définition De manière générale, étant donnés deux entiers naturels A et B, il n y a qu une seule façon d écrire A= BQ+ R avec 0 R < B (Q et R doivent être des entiers naturels). Cette écriture s appelle la division euclidienne de A par B. A s appelle le dividende, B le diviseur, Q le quotient, R le reste. Divisibilité Définition Lorsque le reste de la division euclidienne de A par B est égal à zéro on dit que B est un diviseur de A ou que B divise A ou encore que A est divisible par B. Séquence 3 MA0 41

Exemples 7 est un diviseur de 35 puisque35= 7 5+ 0. 1 et 5 sont d autres diviseurs de 35 puisque 35 = 1 35 + 0 et que 35= 5 7+ 0. Les nombres 1; ; 3; 4; 6; 1 sont des diviseurs de 1. Partie entière d un réel positif Pour la réalisation de certains algorithmes dans la suite du cours, lorsque nous disposerons d un nombre réel positif, il sera utile d utiliser la notation ent( a) a pour parler du nombre obtenu en enlevant les chiffres après la virgule dans l écriture décimale de a 0. Exemples ent(3,9) = 3 ; ent(7,1) = 7 ; ent(1) = 1 L étude de la partie entière des nombres réels strictement négatifs est plus délicate. Nous ne l aborderons pas ici. Exemples Pour calculer la partie entière de 8, 01 : Avec la calculatrice Texas Instrument TI8 stats.fr, on entre ent(8.01) (ent se trouve dans le menu MATH) Remarque Un nombre réel positif est entier (autre- ment dit, il appartient à N ) si et seule- ment s il est égal à sa partie entière. Avec la calculatrice Casio Graph 5+, on entre Int(8.01) (Int se trouve dans MENU OPTN NUM) Avec le tableur CALC d OPEN OFFICE, on entre dans une cellule la formule =ENT(8,01) B Introduction au langage de programmation Il s agit ici de présenter les mots à écrire dans une machine (calculatrice, ordinateur) afin de traduire un algorithme sous une forme qui pourra être comprise par la machine. Ainsi, une fois la traduction faite, une personne désireuse de faire fonctionner l algorithme n aura qu à préciser à la machine l Entrée pour que cette dernière réponde automatiquement la Sortie correspondante. 4 Séquence 3 MA0

Calculatrices A. TI8 stats.fr (Texas Instrument) Nous allons écrire un programme dans le langage de la calculatrice TI8 stats. fr de l algorithme suivant : ENTRER X DANS A METTRE X DANS B METTRE 3 X DANS C METTRE A+ B 7 AFFICHER C (Cet algorithme calcule l image du nombre x par la fonction f( x)= x + 3x 7). Nous allons commencer par créer un nouveau programme Vocabulaire La traduction d un algorithme dans le langage de la calculatrice s appelle un programme de l algorithme. Touche de la calculatrice PRGM ENTRER Affichage Un menu en bandeau comportant 3 choix : EXEC EDIT NOUV Le deuxième choix EDIT du menu est sélectionné Le troisième choix NOUV du menu est sélectionné PROGRAMME Nom = Commentaires Utiliser les flèches et pour se déplacer dans ce menu. Pour quitter ce menu utilisez la fonction QUITTER (touches NDE MODE). Pour éditer un programme déjà créé, c està-dire pour modifier le contenu de ce programme. Pour créer un nouveau programme. On a validé le choix sélectionné (NOUV). La calculatrice attend que l on donne un nom au nouveau programme. ND Le curseur clignotant affiche un ALPHA F C «A» Pour bloquer le clavier en mode alphabétique. Les lettres de l alphabet sont écrites au dessus des touches du clavier T ENTRER PROGRAM : FCT : Pour valider le nouveau nom donné au programme. La calculatrice attend alors la saisie de la première ligne du programme Séquence 3 MA0 43

Il nous faut maintenant saisir le programme proprement dit. Voici ce que vous devez saisir : Prompt X X ^ A 3 X B A+ B 7 C Disp C Plus généralement voici des indications pour effectuer la saisie d un programme. Le symbole s'obtient par la touche STO Touche de la calculatrice Affichage Commentaires Instructions d Entrée / Sortie PRGM Prompt PRGM 3 Disp Instructions de contrôle PRGM 1 If PRGM Then C est la ème instruction du sous-menu E/S (Entrée/Sortie) des instructions disponibles dans un programme (PRGM). Son rôle est de demander à l utilisateur du programme d entrer une valeur. Cette valeur sera stockée dans la variable X si on a tapé Prompt X C est la 3 ème instruction du sous-menu E/S. Son rôle est d afficher le contenu de la variable qui suit. Par exemple, Disp C affiche le contenu de la variable C. C est la 1 ère instruction du sous-menu CTL (contrôle). Son rôle sera expliqué plus loin. (séquence 4) idem PRGM 3 PRGM 4 PRGM 5 PRGM 7 PRGM D PRGM E Else For While End prgm Return idem idem idem idem Pour exécuter les instructions d un autre programme déjà créé. Le nom du programme est donné à la suite. Pour revenir au programme appelant. (nécessite, au préalable, l exécution d une instruction prgm décrite ci-dessus). 44 Séquence 3 MA0

Instructions de tests logiques NDE MATH Un menu en bandeau comportant choix : TEST LOGIQUE Ce sont les items du premier choix (TEST) qui sont présentées ici. NDE MATH 1 = Effectue un test entre deux quantités NDE MATH Effectue un test entre deux quantités NDE MATH 3 > Effectue un test entre deux quantités NDE MATH 4 Effectue un test entre deux quantités NDE MATH 5 < Effectue un test entre deux quantités NDE MATH 6 Effectue un test entre deux quantités Une fois le programme précédent mémorisé dans la calculatrice TI8 stats.fr, quittons l édition du programme par la fonction QUITTER (touches NDE MODE ). Plaçons-nous du point de vue de l utilisateur pour le faire fonctionner. Voici la démarche : PRGM, ou puis ENTRER. Pour l utilisateur le déroulement du programme se réduit à l Entrée de X (par exemple, à la question X=?, on entre le nombre ) puis à l affichage de la Sortie (le nombre 3 dans notre exemple carf ( ) = + 3 7= 3). Les calculs intermédiaires n apparaissent pas. Exemple 1 Écrire un programme de l algorithme suivant dans le langage de la TI8 stats.fr ENTRER X DANS A METTRE X +1 DANS B METTRE X DANS C METTRE A/ B AFFICHER C Tester ce programme avec X = 6 puis avec X =. Que se passe-t-il? Pourquoi? Réponse : PROMPT X X + 1 A X B A/ B C DISP C La touche s utilise pour la soustraction alors que pour l opposé on utilise la touche ( ). Séquence 3 MA0 45

Avec X = 6 le programme affiche 0.65. Avec X = la variable B est égale à zéro; l opération A/ B ne peut donc se faire ce qui explique l erreur obtenue par la machine. B. Graph 5 + (Casio) Si vous avez ce modèle de calculatrice, nous vous indiquons, ici, les spécificités de la calculatrice Graph 5+ afin que vous puissiez reprendre les notions vues au paragraphe précédent. Par la touche Menu puis le choix PRGM qu on valide à l aide de EXE on peut Créer un nouveau programme par la touche F3 (choix NEW du bandeau) puis le nom du programme et enfin EXE. Éditer un programme déjà créé par la touche F (choix EDIT du bandeau) puis EXE. On quitte l édition du programme par la touche QUIT. Exécuter un programme déjà créé par la touche F1 (choix EXE du bandeau) puis EXE, à condition d être passé en mode RUN auparavant (par la touche MENU puis le choix RUN). TI8 stats.fr Graph5+ Commentaires Prompt X? X le? s'obtient par SHIFT, VARS, Ñ, F1 Disp X Xy le y s'obtient par SHIFT, VARS, Ñ, F If If SHIFT, VARS, F1, F1 Then Then SHIFT, VARS, F1, F Else Else SHIFT, VARS, F1, F3 While While SHIFT, VARS, F1, Ñ, Ñ, F1 End IfEnd ou WhileEnd IfEnd s'obtient par SHIFT, VARS, F1, F4 WhileEnd s obtient par SHIFT, VARS, F1, Ñ, Ñ, F Une fois éditer le programme de l exemple 1 du paragraphe précédent on obtient :? X X+1 A X B A / B C C y Tableur Nous utilisons, ici, le tableur CALC d OPEN OFFICE. Une feuille de calcul du tableur CALC d OPEN OFFICE est un tableau dans lequel on repère chaque colonne par une lettre (A; B; C; etc.) et chaque ligne par un nombre (1; ; 3; 4; etc.). 46 Séquence 3 MA0

Exemple La case du tableau située sur la colonne B et sur la ligne 3 s appelle la cellule B3. Dans chaque cellule, on peut entrer un nombre, une formule ou une chaine de caractères. Pour entrer un nombre il suffit de saisir sa valeur. Une formule doit commencer par le caractère réservé = (égal). Une chaine de caractère doit être entourée du caractère «(guillemets) comme par exemple «Tout flatteur vit aux dépens de celui qui l écoute». Dans la cellule A1 on a saisi le nombre 49. Dans la cellule A on a saisi la formule =A1+5 puis la touche ENTRER. Instantanément, la valeur du résultat s affiche : dans la cellule A, on peut lire 497. Si l on souhaite modifier la formule on appuie sur la touche F. A B C validation A B C 1 49 =A1+5 par la touche 1 49 497 ENTRÉE. Lorsqu on modifie le nombre dans la cellule A1, le résultat de la cellule A change puisque la formule =A1+5 fait référence au contenu de la cellule A1. Exemple On considère la feuille de calcul suivante : On souhaite afficher dans la cellule C1 le résultat du calcul 3 dans le premier cas et du calcul 7 4 dans le second cas. Quelle (même) formule doiton saisir dans la cellule C1? On suppose avoir rentré un nombre x dans la cellule A1 et un nombre y dans la cellule B1. a. Quelle formule écrite dans la cellule D1 affichera le résultat de x + y? b. Quelle formule écrite dans la cellule E1 affichera le résultat de x y? x + y Réponses : On peut saisir, dans la cellule C1, la formule =A1+B1 a. On peut saisir, dans la cellule D1, la formule =A1 B1. b. Dans la cellule E1, on peut saisir la formule =C1/D1. Exemple C. Instruction conditionnelle Promotion sur le riz complet Dans un magasin d aliments biologiques les céréales sont vendues au poids. Le riz complet est à 10 le kilogramme. Lorsque le poids de riz acheté dépasse kg, le riz supplémentaire acheté est au prix de 5 le kg. On a représenté ci-dessous le prix p (en ) d un poids x (en kg) de riz complet dans ce magasin : Séquence 3 MA0 47

3 31 30 9 8 7 6 5 4 3 1 0 19 18 17 16 15 14 13 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 prix ( ) 1 3 poids (kg) 0 Pour le calcul du prix d un poids de x kg de riz complet nous devons - décider si x < ou si x - pour le choix précédent, tenir compte du fait que le prix p est une fonction affine du poids x. Un moyen de calculer p( p x) x est, au préalable, de tester la condition x <. L algorithme suivant regroupe les deux cas : Entrée ENTRER x Traitement SI x < ALORS DANS p METTRE10 x SINON DANS p METTRE 5 x + 10 fin du SI Sortie AFFICHER p Cet algorithme peut se transcrire dans le langage de la calculatrice par le programme : Remarque Sur la Graph 5+, le signe < s ob- tient par SHIFT, VARS, Ñ, Ñ,, F1 (Menu REL). TI8 stats.fr (Texas Instrument) PROGRAM : RIZ :Prompt X :If X< :Then :10*X P :Else :5*X+10 P :End :Disp P Graph 5 + (Casio) = RIZ =? X8 If X<y Then 10 X P8 Else 5 X+10 P8 IfEnd8 Py 48 Séquence 3 MA0

Exercice Faites fonctionner ce programme avec les valeurs 0,5; 1; 1,9; ;,1; 4. Réponse À chaque exécution du programme l utilisateur rentre une valeur pour X puis la machine teste si la condition X < est vérifiée. Si X <, il effectue les instructions placées entre le Then et le Else puis celles situées après le End. Dans l exemple présent, après que la machine ait constatée que la condition X < soit bien vérifiée elle effectue les deux instructions : 10 X P puis Disp P. C est le cas pour les trois valeurs de X suivantes : Si X alors le programme effectue les instructions situées entre le Else et le End puis celles situées après le End. Dans l exemple présent, après que la machine est constatée que la condition X < n est pas vérifiée elle effectue les deux instructions : 5 X + 10 P puis Disp P. C est le cas pour les trois valeurs de X suivantes : Remarque Pour traduire la phrase SI ALORS SINON fin du SI nous avons eu recours à de nouveaux termes du langage appelés instructions condi- tionnelles.. Pour la TI8 stats.fr, ces instructions se composent d une structure de la forme : If condi- tion : Then opération1 : Else opération : End Pour le tableur, on peut utiliser dans une formule la fonction SI(condition; résultat1; résultat) qui renvoie un résultat. A l aide d une feuille de calcul du tableur CALC d OPEN OFFICE on peut faire fonctionner le même algorithme, en plaçant la valeur voulue de X dans la cellule A1 et la formule =SI(A1<; 10*A1; 5*A1+10) dans la cellule A. Cette formule (qui débute toujours par le signe égal) utilise la fonction SI du tableur. La syntaxe de la fonction SI est SI(condition n ; résultat1 ; résultat ). Le résultat de la fonction SI est égal à résultat1 lorsque condition n est vraie et est égal à résultat lorsque condition n est fausse. Exemple 3 A l aide d une structure conditionnelle If Then Else End, écrire un programme pour la TI 8 stats.fr dont la Sortie est la chaine de caractères «POSITIF», «NEGATIF» ou «NUL» selon que l Entrée x vérifie x > 0, x < 0 ou x = 0. Donner la démarche à suivre pour obtenir le même résultat à l aide du tableur CALC d OPEN OFFICE. Séquence 3 MA0 49

Réponses Remarque Sur la Graph 5+, le symbole (guille- mets) s obtient par ALPHA, F. TI8 stats.fr (Texas Instrument) :PROMPT X :If X > 0 :Then : POSITIF S :Else :If X < 0 :Then :"NEGATIF" S :Else :"NUL" S :End :End :DISP S Graph 5 + (Casio)? X If X>0 Then "POSITIF" S Else If X<0 Then " NEGATIF " S Else "NUL" S IfEnd IfEnd S Le contenu de la cellule A1 (qui doit être un nombre réel) entré par l utilisateur joue le rôle de la variable X du programme précédent. Procédons par étapes : Occupons-nous dans un premier temps du cas où le nombre placé dans la cellule A1 est un nombre positif ou nul. On peut saisir dans la cellule A la formule suivante = SI(A1>0; «POSITIF»; «NUL») On pourra alors lire dans la cellule A le mot POSITIF si le nombre placé dans la cellule A1 est strictement positif et le mot NUL si le nombre placé dans la cellule A1 est égal à zéro. Si le nombre placé dans la cellule A1 est strictement négatif la cellule A affiche «NUL». Sinon, elle affiche le résultat demandé. Pour prendre en compte ces deux alternatives on peut saisir, dans la cellule A3, la formule suivante = SI(A1<0; «NEGATIF»; A) Dans tous les cas, la cellule A3 affiche le résultat demandé. Une manière synthétique d écrire les choses est d entrer directement dans la cellule A la formule suivante = SI(A1<0; «NEGATIF»; SI(A1>0; «POSITIF»; «NUL»)) Avec cette solution, le résultat escompté s affichera dans la cellule A. Exemple 4 On considère l algorithme suivant : Entrée ENTRER A (1) Traitement SI A < 10 () ALORS (3) DANS B METTRE A (4) DANS C METTRE 10 (5) DANS D METTRE B+ B C (6) SINON (7) DANS B METTRE A/10 A (8) DANS D METTRE ent( B) B (9) fin du SI (10) Sortie AFFICHER D (11) 50 Séquence 3 MA0

Faire fonctionner cet algorithme avec A = 6; A = 16,6. Que se passe-t-il si on déplace l instruction fin du SI (située à la ligne 10) a. entre les lignes 8 et 9? b. après la ligne 11? Réponse Pour A = 6 Pour A = 16,6 A B C D A < 10? A B C D A < 10? 6 Entrée 16,6 oui 6 16,6 Traitement 10 16 16 Sortie 16 16 non a. Si on déplace l instruction fin du SI (située à la ligne 10) entre les lignes 8 et 9 ceci a pour effet l exécution, dans tous les cas, de l instruction DANS D METTRE ent( B). B Le tableau de fonctionnement est le même pour A = 16,6. Pour A = 6, il devient A B C D A < 10? Entrée 6 6 Traitement 10 16 6 Sortie 6 oui b. Si on déplace l instruction fin du SI (située à la ligne 10) après la ligne 11 ceci a pour effet, dans le cas où la condition A < 10 est vraie, de ne plus AFFICHER D. Les tableaux de fonctionnement sont les mêmes et le contenu des variables (en particulier celui de la variable D en sortie) est le même. Remarque Une structure If Then Else End commence nécessairement par l instruction If. La première instruction Then qui la suit dans le programme est relative à cet If. Ensuite, la première instruction Else (qui est facultative) qui suit est aussi relative à la structure If Then précédente. Enfin, la première instruction End qui suit est aussi relative au plus proche Then qui la précède. Sur le TI8 stats.fr, un retour à la ligne peut être remplacé par le symbole : ( points). Séquence 3 MA0 51

D. Exercices d apprentissage Exercice 3 On s intéresse à l algorithme suivant. Entrée ENTRER a et b (nombres réels) Sortie DANS c METTRE a b DANS s METTRE1 SIc < 0 ALORS SINON Fin du SI AFFICHER s DANS s METTRE 1 SIc = 0 ALORS Fin du SI DANS s METTRE 0 Faites fonctionner cet algorithme avec les entrées i. a= a 6; b = 0,5 ii. a= a 6; b = 0,5 iii. a= a 6; b = 0,5 iv. a= a 6; b = 0,5 Que fait cet algorithme? Exercice 33 Le tableur ou la calculatrice propose une fonction ABS (Menu Math-Num pour la Ti-8 et menu OPTN-NUM pour la Casio graph 5). En cherchant ABS (x) x pour quelques valeurs du réel x, x proposer une description de cette fonction. On considère l algorithme suivant. Entrée ENTRER a et b (nombres réels) DANS c METTRE ( a+ b ABS( a b))/ Sortie AFFICHER c a) Que fait cet algorithme? b) Sans utiliser les opérations usuelles ( +,,, ) écrire un algorithme effectuant la même chose que l algorithme précédent. Exercice 34 Ecrire un programme de l algorithme de l exercice 33b) précédent pour calculatrice. Faire la même chose pour le tableur. Exercice 35 Le retour du cycliste Dans l exercice 9 de la séquence 1 nous avons étudié la distance parcourue par un cycliste en fonction du temps écoulé depuis son départ. 5 Séquence 3 MA0

80 d (en km) 70 60 50 40 30 0 10 E 0 1 t (en heures) Le trajet du cycliste peut se découper en 4 phases correspondant aux intervalles de temps 01 ;, 115 ;,, 15, ;, 3 ;. Sur chacun de ces intervalles la distance parcourue d est une fonction affine du temps écoulé t puisque sur chaque intervalle la courbe de cette fonction est un segment de droite. On admet que : - Si t [ 01 ; [ alors : d ( t ) = 30t ; - Si t [ 115 ;, [ alors : d ( t ) = 10t + 0; - Si t [ 15, ;[ alors : d ( t ) = 35 ; - Si t [ ;] 3 alors : d ( t ) = 40t - 45. Compléter l algorithme pour qu il donne en sortie la distance D parcourue à l instant T (T en entrée). Entrée Sortie ENTRER T AFFICHER D SI T<1 ALORS D = 30*T SINON SIT<15, ALORS Séquence 3 MA0 53

6 Synthèse de la séquence A Expressions algébriques développer expression algébrique somme factoriser ex pression algébrique produit Deux méthodes pour factoriser : Facteur commun et la formule k(a+b)=ka+kb (a + b) = a + ab + b Les identités remarquables : (a b) = a ab + b Équations Résolution graphique d équations (a + b)(a b) = a b. Il est très important pour la suite de bien savoir utiliser sa calculatrice. Revoyez au besoin les pages consacrées en début de chapitre 3 au maniement de modèles les plus courants pour les savoir faire les plus importants concernant la représentation graphique d une fonction ou l obtention d un tableau de valeurs. Équation f( x ) =k y Soit f une fonction de courbe représentative C 4 Les solutions de l équation f( x)= k sont les abscisses des points d intersection de C et de la droite d équation y = k. 3 1 y = k C a 0 1 Soit f une fonction de courbe représentative C et Équation f( x ) = g( x) f représentative C. 1 3 b x g une fonction de courbe 54 Séquence 3 MA0

Les solutions de l équation f( x) = g( x) sont les abscisses des points d intersection de C et C. Résolution algébrique On obtient une équation équivalente en réalisant l une des opérations suivantes : Ajouter la même quantité à chaque membre Multiplier chacun des membres par un même nombre non nul. y 1 0 C a 1 b x C Propriété : Un produit est nul si et seulement si l un des facteurs est nul. Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. Inéquations Résolution graphique y Soit f une fonction définie sur R, de courbe représentative C. k désigne un nombre réel. y = k Les solutions de l équation f( x)< k sont les abscisses des points de C situés au dessous de la droite d inéquation y = k. Ci contre = ab ;. C Les solutions de l inéquation f( x)> k sont les abscisses des points de C situés au dessus de la droite d équation y = k. a 0 1 b x Ci contre = ] ; a[ ] b; + [. Séquence 3 MA0 55

Soit f une fonction de courbe représentative C et g une fonction de courbe représentative C. Les solutions de l inéquation f( x) < g( x) sont les abscisses des points de C situés au dessous de C. Ci contre = ab ;. y 1 0 C a 1 b x C Résolution algébrique On peut toujours se ramener à une étude de signe grâce à des inéquations équivalentes. Ne pas oublier de changer le sens de l inégalité si vous multiplier ou diviser les deux membres d une inéquation par un nombre réel strictement négatif. 56 Séquence 3 MA0

7 Exercices d approfondissement Exercice I Exercice II Les dimensions sont données en cm ; l unité d aire est le cm. a et b désignent deux réels positifs tes que a> b. ABCD est un rectangle tel que AB=aa et AD= b. M est le point de la demi-droite [DC], à l extérieur du segment [DC] tel que CM=CB. est le cercle de diamètre [DM] et de centre O ; il coupe la demi-droite [CB) en N et CNEF est un carré avec F sur le segment [DC]. Comparer les aires du rectangle ABCD et du carré CNEF. Supposons qu une très grande ficelle fasse le tour de la terre sur l équateur(longueur 40 000 000 m). On allonge la ficelle de 1 mètre et on la soulève au dessus du sol, uniformément, de façon à former une nouvelle circonférence. A quelle hauteur au dessus du sol sera la ficelle ainsi alongée? Reprendre le même problème avec une balle de ping-pong. Exercice III Les superficies de deux jardins carrés diffèrent de 136 m. Le côté du plus grand mesure 4 m de plus que le côté de l autre. Calculer la surface de chaque jardin. Exercice IV Exercice V Exercice VI Exercice VII Le nombre de diagonales d un polygone convexe de n ( n 4 ) côtés est : nn ( 3 ). Vérifier cette formule pour un quadrilatère convexe Combien existe-t-il de polygones dont le nombre de diagonales est égale au nombre de côtés? En voiture sur une route de montagne, Michel a parcouru 1 008 km en deux étapes. La parcours total a duré 1 heures. La première étape a été effectuée à la vitesse moyenne de 56 km.h -1, la seconde à la vitesse moyenne de 4 km.h -1. Déterminer la longueur de chaque étape. C est en l an 78 avant Jésus-Christ. Deux capitaines de César ont disposé les hommes de leur légion en deux carrés parfaits pour les faire défiler sur le forum. Les effectifs de ces deux légions différent de 17 hommes. La plus nombreuse a sept rangées de soldats de plus que l autre. Quel est l effectif total de ce corps d armée de César? On dispose d une feuille de format A4 dont les dimensions sont 1 9,7 cm. Séquence 3 MA0 57

Avec cette feuille, on veut construire une boîte sans couvercle. Pour cela, dans chacun des angles de cette feuille, on découpe un carré de côté x, x puis on plie la feuille afin d obtenir une boîte de hauteur x. En utilisant la calculatrice, vérifier qu il est possible d obtenir ainsi une boîte de volume égal à 1000cm 3. Déterminer un encadrement à 0,1 près de chacune de ces deux valeurs de x. x x x Exercice VIII Sur le graphique ci-contre, on a représenté sur l intervalle [-4 ; 4], les courbes représentatives des fonctions f et g définie sur R par : f( x) = ( x)( x + x 7) et gx ( ) = 4 x. Déterminer algébriquement les abscisses des points d intersection des deux courbes. Résoudre graphiquement sur [ 4 ;4 ] les inéquations : a) f( x) < g( x) b) gx ( ) < fx ( ). Exercice IX f et g sont les fonctions définies sur R par : f( x)= x et gx ( ) = 19, x 0, 9. Ci-contre, on a dessiné à la calculatrice les courbes représentatives et d des fonctions f et g. a) Comparer f ( 091, ) et g( 091., ) b) Le résultat est contraire aux apparences. Pourquoi? Vérifier que, pour tout réel x, a) f( x) g( x) = ( x 1)( x 0, 9). b) En déduire le signe de f( x) g( x) selon les valeurs du réel x et la position de d par rapport à. 58 Séquence 3 MA0

Exercice X On peut lire dans le code de la route qu une voiture doit être équipée à l avant de deux feux de croisement éclairant à 30 mètres au moins ans éblouir. Pour régler les phares, on peut placer la voiture face à un mur vertical et mesurer la hauteur de la partie du mur qui est éclairée. P H B A M Les longueurs sont en mètres. Le phare est identifié au point P. Il est à une hauteur du sol : HP=0,6 m. On place la voiture à 3 m du mur : HA=3m. La portée du phare est la distance HM où M est le point où le rayon lumineux émis par le phare toucherait le sol en l absence d obstacle. x est la distance AB avec 0 x < 0, 6 et px ( ) la portée HM. 18, Montrer que px ( ) =. 06, x Déterminer les hauteurs auxquelles le phare doit éclairer le mur pour que sa portée soit bien comprise entre 30 et 45 m. Exercice XI Le plan de la feuille est rapporté à un repère (O, I, J). Écrire un algorithme dans lequel les Entrées sont quatre nombres réels mpx,, A, ya et la Sortie est l une des chaines de caractères «le point A est sur la droite D», D «le point A est au-dessus de la droite D», D «le point A est au-dessous de la droite D» D selon la position du point A de coordonnées ( xa; ya) par rapport à la droite D d équation y = mx + p. Exercice XII On considère l algorithme suivant. ENTRER N (nombre compris entre 10 et 99) DANS A METTRE le quotient de la division euclidienne de N par 10 DANS B METTRE N-10*A DANS M METTRE 10*B+A SI M>N ALORS DANS P METTRE M-N SINON DANS P METTRE N-M FIN DU SI AFFICHER P Séquence 3 MA0 59

Faire fonctionner l algorithme pour N=9 puis N=46. (on pourra pour cela reproduire et compléter le tableau suivant). Entrée Sortie N A B M M> N? P Si n est un entier compris entre 10 et 99 (c est-à-dire un nombre à chiffres), on note f ( n) n la valeur obtenue P par l algorithme si la valeur entrée (N) est n. Vrai ou Faux? Justifier. a) Il existe n tel que f ( n) n soit divisible par 7. b) Pour tout n, f ( n) n est impair. c) Pour tout n, f ( n) n est divisible par 9. Exercice XIII On considère la feuille de calculs suivante. A B C D 1 x y On entre dans C : On entre dans D : = SI(A<0;1;-1); = SI(B<C*A+1; «OUI»; «NON»). On entre les réels a et b dans, respectivement, les cellules A et B. Qu obtient-on dans les cas suivants? a) a = -, b = -3 b) a = -1, b = 1 c) a = 0, b = 1 d) a =, b = -1. Soient a et b deux réels. On suppose que a est entré dans A et b dans B. a) On suppose a < 0. Écrire alors plus simplement la condition «B<C*A+1». b) On suppose a 0. Écrire alors plus simplement la condition B<C*A+1. Cette feuille de calculs nous donne dans D, OUI si le point M(a; a b) b appartient à une partie du plan et NON si M n appartient pas à cette partie. Déterminer et représenter. 60 Séquence 3 MA0