Les relations de Plücker

Université Claude Bernard LYON 1 Préparation à l'agrégation de Mathématiques Les relations de Plücker Michel CRETIN On montre que l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension r de K n est la sous-variété projective de P Cr n 1 (K) dénie par les équations de Plücker Pour 1 r n 1 on considère l'ensemble Λ(n, r) des suites i (i 1,, i r ) d'entiers telles que 0 i 1 < < i r n ; à toute suite i Λ(n, r), on associe la suite complémentaire i (i 1,, i n r) Λ(n r, n) Pour tout i Λ(n, r) et toute matrice X M n,r (K) on désigne par p i (X) X i 1,, i r 1,, r le mineur d'ordre r de X associé à i ie le déterminant de la sous-matrice de X formée des lignes d'indices i 1,, i r de X On désigne par St n,r (K) l'ensemble des matrices X M n,r (K) de rang maximal r de sorte que X St n,r (K) si et seulement s'il existe i Λ(n, r) tel que p i (X) 0 On a ainsi une application : φ n,r : St n,r (K) K Cr n \ {0} X (p i (X)) i Λ(n,r) Si l'on a Y XQ pour X, Y M n,r (K) et Q GL r (K), on a : p i (Y ) p i (X)det(Q) pour tout i Λ(n, r) En particulier X St n,r (K) si et seulement si Y St n,r (K) et l'on a ainsi : φ n,r (XQ) det(q)φ n,r (X) Par ailleurs si l'on a Y PX pour X, Y M n,r (K) et P GL n (K), on a : p i (Y ) P i k p k(x) pour tout i Λ(n, r) k Λ(n,r) d'après la formule de Binet-Cauchy (P i k étant le déterminant de la sous-matrice de P formée des lignes i 1,, i r et des colonnes k 1,, k r de P ) On a ainsi φ n,r (PX) Λ r (P )φ n,r (X) avec Λ r (P ) (P i k ) i,k Λ(n,r) GL C r n (K) Introduisons l'algèbre de polynômes P K[P i /i Λ(n, r)] ; pour toute suite j {1,, n} r dont les éléments j k, 1 k r, sont deux à deux distincts, il existe une unique suite i Λ(n, r) telle que j k i σ(k) pour tout 1 k r avec σ S r ; on pose : P j sgn(σ)p i ; sinon on pose P j 0 On généralise la notation précédemment introduite en désignant pour toute matrice X M n,r (K) et toute suite i {1,, n} r par p i (X) le déterminant de la matrice formée des lignes d'indices

i 1,, i r de X Pour i (i 1,, i r 1 ) Λ(n, r 1) et j (j 1,, j r+1 ) Λ(n, r + 1) on dénit le polynôme de Plücker : Q i,j ( 1) k P ijk P j\jk où ij k (i 1,, i r 1, j k ) et j \ j k (j 1,, j k 1, j k+1,, j r+1 ) Remarquons que Q i,j 0 pour i j Lemme 1 Pour toute matrice X M n,r (K), on a : pour i Λ(r 1, n) et j Λ(r + 1, n) Q i,j (X) ( 1) k p ijk (X)p j\jk (X) 0 On a, en développant par rapport à la dernière ligne : x i1,1 x i1,r p ijk (X) x ir 1,1 x ir 1,r x jk,1 x jk,r avec D s X [1,, r] \ s i On a donc : Q i,j (X) ( 1) r+s x jk,sd s s1 d ( 1) r D s ( ( 1) k+s x jk,sp j\jk (X)) s1 Or on a (développement par rapport à la colonne s) : de sorte que Q i,j (X) 0 r+1 X 1,, s, s,, r j 0 ( 1) k+s x jk,sp j\jk (X) Proposition 1 Soit π (π i ) i Λ(n,r) K Cr n (K) \ {0} vériant les relations de Plücker Q i,j (π) ( 1) k π ijk π j\jk 0 pour i Λ(n, r 1) et j Λ(n, r + 1) Alors il existe une matrice X M n,r (K) telle que p i (X) π i pour tout i Λ(n, r) Plaçons nous d'abord dans le cas π 1,,r 0 ; on peut alors supposer que π 1,,r 1 et on considère la matrice X (x i,j ) 1 i n,1 j r dénie par x i,j π 1,,j 1,i,j+1,,r

où i est à la j ème position On a donc : 1 0 1 X x r+1,1 x r+1,r 1 x n,1 x n,r et X est de rang r Il s'agit de montrer que π i p i (X) pour tout i Λ(n, r) (on dénit par antisymétrie les π i pour toute suite i {1,, n} r ) Soit i (i 1,, i r ) ; posons {r 1,, r s } {i 1,, i r } \ {1,, r} avec r 1 < < r s et {j 1,, j s } {1,, r} \ {i 1,, i r } avec j 1 < < j s ; on ordonnera les éléments de i de façon que : i 1,, i r 1,, j 1 1, r 1, j 1 + 1,, j 2 1, r 2, j 2 + 1,, j s 1, r s, j s + 1,, r et p i (X) x r1,j l 1 x r1,j l x r1,j l+1 x r1,j s x rs 1,j 1 x rs 1,j l 1 x rs 1,j l x rs 1,j l+1 x rs 1,j s x rs,j1 x rs,jl 1 x rs,jl x rs,jl+1 x rs,j s s x r1,j l 1 x r1,j l +1 x r1,j s ( 1) l+s x rs,jl l1 x rs 1,j 1 x rs 1,j l 1 x rs 1,j l +1 x rs 1,j s Pour s 0 on a i 1,, i r 1,, r d'où π 1,,r 1 p 1,,r (X) Pour s 1 on a i 1,, i r 1,, j 1, i, j + 1,, r d'où π 1,,j 1,i,j+1,,r x i,j p 1,,j 1,i,j+1,,r (X) A partir d'une suite i (i 1,, i r ) Λ(n, r) et d'un entier t, 1 t r on forme les suites ĩ i 1,, i t 1, i t+1,, i r et j i t, 1,, r et l'on considère la relation de Plücker Qĩ,j (π) ( 1) k π ijk π j\jk π i1,,i t 1,i t+1,,i r,i t π 1,,r + 0 ( 1) k+1 π i1,,i t 1,i t+1,,i r,kπ it,1,,k 1,k+1,,r En multipliant par ( 1) r t on obtient que, pour 1 t r : π i1,,i r Soit t tel que i t r s ; on a alors : π i1,,i t 1,k,i t+1,,i r π 1,,k 1,it,k+1,,r π 1,,k 1,it,k+1,,r p 1,,k 1,it,k+1,,r x it,k x rs,k et : π i1,,i t 1,k,i t+1,,i r 0 pour k {j 1,, j s }

On a alors, pour 1 l s, en raisonnant par récurrence sur s : π i1,,i t 1,j l,i t+1,,i r p i1,,i t 1,j l,i t+1,,i r (X) x r1,j l 1 x r1,j l x r1,j l+1 x r1,j s x rs 1,j 1 x rs 1,j l 1 x rs 1,j l x rs 1,j l+1 x rs 1,j s 0 0 1 0 0 x r1,j l 1 x r1,j l +1 x r1,j s ( 1) s+l x rs 1,j 1 x rs 1,j l 1 x rs 1,j l +1 x rs 1,j s Finalement on obtient : p i (X) s x rs,jl π i1,,i t 1,j l,i t+1,,i r l1 π 1,,k 1,it,k+1,,rπ i1,,i t 1,j l,i t+1,,i r π i Supposons maintenant que π 1,,r 0 Il existe i Λ(n, r) tel que π i 0 Soit P GL n (K) telle que (C k (P ) désigne la k ème colonne de P ) : Posons π Λ r (P )π ; on a : C i1 (P ) e 1 C ir (P ) e r, C i 1 (P ) e r+1,, C i n r (P ) e n π 1,,r k Λ(n,r) P 1,, r k π k π i 0 Il existe alors Y St n,r (K) tel que φ n,r (Y ) π ; si l'on pose X P 1 Y on a : φ n,r (X) Λ r (P ) 1 φ n,r (Y ) Λ r (P ) 1 π π Soit E un sous-espace vectoriel de dimension r de K n (où K est un corps algébriquement clos) ; à toute base (x j ) 1 j r de E on associe la matrice X (x i,j ) 1 i n,1 j r M n,r (K) où pour 1 i r on a x i (x i,j ) 1 i n La matrice X est évidemment de rang r Soit (y j ) 1 j r une autre base de E, on a y j d Q k,j x k pour 1 j r de sorte que Y XQ avec Q (Q k,j ) 1 k,j r GL r (K) Les colonnes (x j ) 1 j r d'une matrice X M n,r (K) forment une base d'un sous-espace vectoriel E de dimension r de K n si et seulement si rang(x) r et les colonnes de deux matrices X, Y M n,r (K) engendrent le même sous-espace E de K n si et seulement s'il existe Q GL r (K) tel que Y XQ On désigne Grass r (K n ) l'ensemble des sous-espaces vectoriels E de dimension r de K n Pour toute matrice X St n,r (K), soit Π(X) Im(X) Grass r (K n ) le sous-espace engendré par les colonnes de X L'application : Π : St n,r (K) Grass r (K n ) est surjective et ses bres sont les orbites de GL r (K) agissant à droite dans St n,r (K) Pour X M n,r (K) on a rang(x) r si et seulement s'il existe i Λ(n, r) tel que p i (X) 0

Si l'on a Y XQ pour X, Y M n,r (K) et Q GL r (K), on a p i (Y ) p i (X)det(Q) pour tout i Λ(n, r) avec det(q) 0 L'application de Plücker, où P C r n 1 désigne l'espace projectif de dimension C r n 1 avec C r n Card(Λ(n, r)) : Φ n,r : Grass r (K n ) P C r n 1 est dénie par Φ n,r (E) [p i (X)] i Λ(n,r) où X M n,r (K) est une matrice dont les colonnes (x j ) 1 j r forment une base de E Lemme 2 L'application de Plücker Φ n,r : Grass r (K n ) P C r n 1(K) est injective Soit v (v i ) 1 i n K n ; on a v E si et seulement si la matrice X v M r+1,n(k) de lignes x 1,, x r, v où x 1,, x r est une base de E est de rang r ; ainsi v E si et seulement si pour toute suite i Λ(r + 1, n) on a p i ( X v ) 0, ou encore, en développant ce mineur par rapport à la dernière ligne : ( 1) k v ik p i1,,i k 1,i k+1,,i r+1 (X) 0 Finalement l'image de l'ensemble Grass r (K n ) des sous-espaces vectoriels de dimension r de K n par l'application de Plücker Φ n,r : Grass r (K n ) P C r n 1(K) est la sous-variété projective de P Cr n 1 (K) dénie par les équations de Plücker : Q i,j ( 1) k P ijk P j\jk où i (i 1,, i r 1 ) Λ(n, r 1) et j (j 1,, j r+1 ) Λ(n, r + 1) avec i j Exemples : i) Grass 1 (K n ) est l'espace projectif P n 1 (K) ii) Grass n 1 (K n ) est l'espace projectif dual ˇPn 1 (K) iii) Grass 2 (K 4 ) est la quadrique de P 5 (K) d'équation P 1,2 P 3,4 P 1,3 P 2,4 + P 1,4 P 2,3 0