RAPHAËL ROUQUIER. 1. Introduction

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1 CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Trois exposés à la semaine «Géométrie algébrique complexe» au CIRM, Luminy, décembre Introduction On étudie dans un premier temps les propriétés internes à la catégorie dérivée d une variété (et ses variantes). On suit pour l essentiel des idées de Thomason. Le premier chapitre concerne le problème d extension de fibrés vectoriels à partir d un ouvert au niveau des catégories de complexes parfaits et des applications en K-théorie. Ensuite, on explique comment caractériser les sous-catégories correspondant aux objets de support contenu dans un fermé donné et en déduire une reconstruction de la variété (vue comme espace annelé) à partir d une structure catégorique. Notre approche pour ces deux parties est de commencer par des résultats analogues pour les catégories abéliennes de faisceaux (dans la lignée de Gabriel). Nous présentons ensuite la démarche parallèle dans le cas triangulé, avec les difficultés supplémentaires qui surgissent. Ces résultats permettent de déduire facilement le théorème de Bondal et Orlov qui affirme qu une variété projective lisse à fibré canonique ample ou anti-ample est déterminée par sa catégorie dérivée. Dans la dernière partie, nous abordons la possibilité d équivalences entre catégories dérivées de variétés projectives lisses non isomorphes. Nous considérons aussi le cas plus général de foncteurs pleinement fidèles, ce qui nous amène à évoquer les décompositions semi-orthogonales et les suites exceptionnelles. Cette partie est dans une large mesure consacrée à des conjectures, le thème principal étant le lien avec le programme minimal de Mori. On appelle variété un schéma séparé de type fini sur un corps k. Soit X une variété. On note X-coh (resp. X-qcoh) la catégorie des faisceaux cohérents (resp. quasi-cohérents) sur X. Tous les foncteurs entre catégories triangulées considérés seront implicitement supposés triangulés. On note Z(C) le centre d une catégorie C (=endomorphismes du foncteur identité). Pour R un anneau, on note R-mod la catégorie des R-modules de type fini. 2. Localisation 2.1. Cas abélien. Soit X une variété. Etant donné un fermé Z de X, on note X-coh Z la souscatégorie pleine de X-coh des faisceaux cohérents dont le support est contenu dans Z. C est une sous-catégorie de Serre de X-coh. On rappelle qu une sous-catégorie pleine I d une catégorie abélienne A est une sous-catégorie de Serre si pour toute suite exacte 0 F G H 0 de A, alors F, H I si et seulement si G I. On dispose alors d une catégorie abélienne quotient A/I et d un foncteur A A/I de noyau I et solution du problème universel de passage au quotient (pour les catégories Date: 16 janvier

2 2 abéliennes). On dit alors qu on a une suite exacte de catégories abéliennes 0 I A A/I 0. Soit j : U = X Z X l immersion ouverte. Proposition 2.1. Le foncteur j : X-coh U-coh induit une équivalence X-coh /X-coh Z U-coh, i.e., on a une suite exacte de catégories abéliennes 0 X-coh Z X-coh U-coh 0. Démonstration. Dans le cas des faisceaux quasi-cohérents, on dispose du foncteur j adjoint à droite du foncteur j. Le morphisme canonique j j 1 U-qcoh est un isomorphisme et le noyau de j est X-qcoh Z. On déduit du lemme 2.2 l existence d une suite exacte 0 X-qcoh Z X-qcoh U-qcoh 0. Nous allons maintenant déduire la proposition de la caractérisation des faisceaux cohérents comme les objets de présentation finie de la catégorie des faisceaux quasi-cohérents. Le lemme 2.3 montre que le foncteur canonique X-coh /X-coh Z U-coh est pleinement fidèle. Il reste à montrer que le foncteur j : X-coh U-coh est essentiellement surjectif. Soit G un faisceau cohérent sur U et F = j G. On a j F G. Le faisceau quasi-cohérent F est réunion croissante (limite inductive filtrante) de ses sous-faisceaux cohérents, F = E cohérent F E. On en déduit que j F = E j E. Puisque j F est cohérent et qu il est réunion croissante d une famille de sous-faisceaux, un des sous-faisceaux j E de la famille est égal à j F (la limite inductive filtrante se stabilise après un nombre fini de termes). Donc, j F = j E G pour un sousfaisceau cohérent E de F. Lemme 2.2. Soit F : A B un foncteur exact entre catégories abéliennes. On suppose que F admet un adjoint à droite G et que G est pleinement fidèle (i.e., F G can 1 B est un isomorphisme). Alors, ker F est une sous-catégorie de Serre de A et on a une suite exacte 0 ker F A B 0. Lemme 2.3. Soit A une catégorie abélienne, A une sous-catégorie abélienne pleine de A et I une sous-catégorie de Serre de A. On suppose que pour M A et N I un sous-objet ou un quotient de M, alors N A. Alors, le foncteur canonique A /(I A ) A/I est pleinement fidèle Cas triangulé Commençons par énoncer quelques propriétés des catégories dérivées de faisceaux et comment en déduire la construction de foncteurs dérivés à droite. Rappelons que le foncteur canonique D(X-coh) D(X-qcoh) est pleinement fidèle, i.e., D(X-coh) est équivalente à la sous-catégorie pleine de D(X-qcoh) des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont cohérents. On identifiera souvent ces deux catégories. Soit X-inj la catégorie des faisceaux quasi-cohérents injectifs et K(X-inj) la catégorie homotopique des complexes d objets de X-inj. Considérons le foncteur canonique K(X-qcoh) D(X-qcoh). Ce foncteur admet un adjoint à droite ρ ( résolution homotopiquement injective ). Soit K(X-qcoh) hi son image essentielle (complexes homotopiquement injectifs). Le foncteur ρ est pleinement fidèle, le foncteur canonique K(X-qcoh) hi D(X-qcoh) est une équivalence,

3 CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE 3 d inverse ρ. L intersection de K(X-qcoh) hi avec D + (X-qcoh) est K + (X-inj), i.e., ρ se restreint en une équivalence D + (X-qcoh) K + (X-inj) : on retrouve les résolutions injectives classiques. Voyons maintenant comment dériver un foncteur exact à gauche F : X-qcoh A, où A est une catégorie abélienne. On étend F en un foncteur K(F ) : K(X-qcoh) K(A). On restreint ce foncteur à K(X-qcoh) hi. On obtient alors le foncteur dérivé à droite RF : D(X-qcoh) ρ K(X-qcoh) hi K(F ) K(A) can D(A). Le foncteur RF est triangulé, en particulier envoie triangle distingué sur triangle distingué, alors que F n envoie à priori pas suite exacte sur suite exacte. L exactitude à gauche de F montre que H 0 (RF (M)) F (M) pour M X-qcoh Le foncteur j se dérive en un foncteur Rj : D(U-qcoh) D(X-qcoh). C est un adjoint à droite du foncteur j : D(X-qcoh) D(U-qcoh). Le noyau du foncteur j est D Z (X-qcoh), la sous-catégorie pleine de D(X-qcoh) des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont supportés par Z. C est une sous-catégorie épaisse. On rappelle qu une sous-catégorie pleine I d une catégorie triangulée T est épaisse si les conditions suivantes sont remplies pour F G H un triangle distingué de T dont deux des termes sont dans I, alors le troisième terme est dans I pour F, G T tels que F G I, alors F, G I. On dispose alors d une catégorie triangulée quotient T /I et d un foncteur T T /I de noyau I, solution du problème universel de quotient (parmi les catégories triangulées). On dira qu on a une suite exacte de catégories triangulées 0 I T T /I 0. Le lemme 2.4 fournit une suite exacte de catégories triangulées 0 D Z (X-qcoh) D(X-qcoh) D(U-qcoh) 0 Lemme 2.4. Soit F : T T un foncteur entre catégories triangulées. On suppose que F admet un adjoint à droite G et que G est pleinement fidèle. Alors, ker F est une sous-catégorie épaisse de T et on a une suite exacte 0 ker F T T Passons maintenant aux choses sérieuses : on rappelle la notion d objet parfait et les premières propriétés. On dit qu un objet de D(X-qcoh) est parfait s il est localement (quasi)-isomorphe à un complexe borné de fibrés vectoriels. On note X-parf la sous-catégorie pleine de D(X-qcoh) des objets parfaits. C est une sous-catégorie épaisse de D b (X-coh). Si X est quasi-projective, alors un complexe est parfait si et seulement si il est quasi-isomorphe à un complexe borné de fibrés vectoriels. La variété X est régulière si et seulement si D b (X-coh) = X-parf. Soit T une catégorie triangulée admettant des sommes directes infinies. On dit qu un objet X T est compact si pour tout ensemble E d objets de T, le morphisme canonique E E Hom(C, E) Hom(C, c E E E) est un isomorphisme. On note T la sous-catégorie pleine de T des objets compacts. C est une sous-catégorie épaisse. Un point clef dans l approche de Thomason est la caractérisation des objets parfaits comme les objets compacts de D(X-qcoh) : Lemme 2.5. Soit C D(X-qcoh). Alors, C est parfait si et seulement si il est compact.

4 4 Démonstration. Commençons par prouver le lemme dans le cas affin X = Spec R. Puisque R est compact, on déduit que tout objet parfait est compact. Soit C un complexe de R-modules et i tel que H i C 0. Alors, Hom(R, C[i]) 0. On déduit du lemme 2.9 que les objets parfaits coïncident avec les objets compacts. On prend maintenant pour X une variété quelconque. Soit X = U 1 U 2 avec U 1 ouvert affine et U 2 ouvert tel que le nombre minimal d ouverts affines dans un recouvrement de U 2 est strictement inférieur au nombre minimal d ouverts affines dans un recouvrement de X. Par récurrence, on peut supposer le lemme établi pour U 2 et U 12 = U 1 U 2. On note j r : U r X et j 12 : U 12 V les immersions ouvertes. Pour D D(X-qcoh), on a un triangle distingué de «Mayer-Vietoris» : D Rj 1 j1d Rj 2 j2d Rj 12 j12d Soit C D(X-qcoh). On déduit du triangle précédent que C est compact si j1c, j2c et j12c sont compacts. La réciproque est claire. Par récurrence, on obtient le lemme. L importance de la catégorie X-parf tient aussi au fait qu elle permet de définir les bons groupes de K-théorie, pour une variété qui n a pas assez de fibrés vectoriels amples. On définit ainsi K 0 (X) = K 0 (X-parf). On rappelle que l on définit K 0 (T ), pour une catégorie triangulée T, comme le quotient du groupe abélien libre de base les classes d isomorphisme d objets de T par la relation [M] = [L] + [N] pour tout triangle distingué L M N. Cette définition de K 0 (X) coïncide avec la définition classique (groupe de Grothendieck de la catégorie exacte des fibrés vectoriels) lorsque X a une famille ample de fibrés en droite, en particulier dans le cas d une variété quasi-projective On note X-parf Z = X-parf D Z (X-qcoh). Théorème 2.6 (Thomason-Trobaugh). Le foncteur j induit un foncteur pleinement fidèle X-parf /X-parf Z U-parf. Un objet de U-parf est la restriction d un objet de X-parf si et seulement si sa classe dans K 0 (U) est la restriction d un élément de K 0 (X). L apparition de K 0 dans le théorème 2.6 provient du lemme suivant de Thomason (la preuve est astucieuse). Lemme 2.7. Soit T une catégorie triangulée. L application qui a une sous-catégorie triangulée pleine I de T engendrant T comme sous-catégorie épaisse associe l image de K 0 (I) dans K 0 (T ) est une bijection vers l ensemble des sous-groupes abéliens de K 0 (T ). L existence d un calcul des fractions fournit un critère simple pour la pleine fidélité : Lemme 2.8. Soit T une catégorie triangulée, I une sous-catégorie épaisse de T et T une sous-catégorie triangulée pleine de T. Supposons que tout morphisme C D avec C T et D I se factorise par un élément de I T. Alors, le foncteur canonique T /(I T ) T /I est pleinement fidèle. Pour I une sous-catégorie pleine d une catégorie triangulée T, on note Ī la plus petite souscatégorie épaisse de T stable par sommes directes infinies et contenant I. Soit I une sous-catégorie épaisse d une catégorie triangulée T. L orthogonal à droite I de I dans T est la sous-catégorie pleine de T formée des D tels que Hom(C, D) = 0 pour tout C I. C est une sous-catégorie épaisse.

5 CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE 5 Le lemme suivant est lié au théorème de représentabilité de Brown-Neeman et sa preuve n est pas immédiate. Lemme 2.9. Soit T une catégorie triangulée admettant des sommes directes infinies. Soit I une sous-catégorie épaisse de T c. Alors, toute flèche d un objet de T c vers un objet de Ī se factorise par un objet de I. En particulier, T c Ī = I. On a Ī = T si et seulement si l orthogonal à droite I de I dans T est nul. Lemme Soit Y un fermé de X. Alors, on a D Y (X-qcoh) = X-parf Y. Pour Z un fermé de X, on pose K 0 (X sur Z ) = K 0 (X-parf Z ). On va en fait démontrer une version «à supports» du théorème 2.6 : Théorème Soit Z un fermé de X. Le foncteur j induit un foncteur pleinement fidèle X-parf Z /X-parf Z Z U-parf U Z. Un objet de U-parf U Z est l image d un objet de X-parf Z si et seulement si sa classe dans K 0 (U sur U Z ) est l image d un élément de K 0 (X sur Z ). Démonstration du théorème 2.11 et du lemme Prouvons tout d abord que le lemme pour X implique le théorème pour X. La combinaison des lemmes 2.8, 2.9 et 2.10 montre que j induit un foncteur pleinement fidèle X-parf Z /X-parf Z Z U-parf U Z. Soit I l image de ce foncteur : c est une sous-catégorie triangulée pleine. Puisque X-parf Z = D Z (X-qcoh) (lemme 2.10), on a Ī = D U Z (U-qcoh). On déduit alors du lemme 2.9 que U-parf Z U est la souscatégorie épaisse engendrée par I. Le théorème résulte alors du lemme 2.7. Le lemme 2.9 montre qu il suffit de vérifier que (X-parf Y ) = 0 pour démontrer le lemme Commençons par démontrer le lemme lorsque X est affine. Soit {y 1,..., y r } une famille de générateurs de l idéal de définition de Y et r y i G r = (0 O X OX 0) i=1 le complexe de Koszul (les termes non nuls sont en degrés r,..., 0). On montre par récurrence sur r qu un objet C D Y (X-qcoh) est nul si G r C = 0 est nul. On en déduira le lemme, puisque Hom(G r, C[i]) H i (G r C), où G r = R Hom(G r, O X ) est le dual de G r. Le cas r = 0 est clair. Prenons r > 0 et soit C D Y (X-qcoh) non nul. Par récurrence, il existe i tel que H i (G r 1 C) est non nul. Le triangle distingué G r 1 C yr G r 1 C G r C fournit une suite exacte H i 1 (G r C) H i (G r 1 C) yr H i (G r 1 C). Puisque H i (G r 1 C) est supporté par le fermé y r = 0, la multiplication par y r y a un noyau non nul, donc H i 1 (G r C) 0. Ceci complète la preuve du lemme 2.10 dans le cas affine. On prouve maintenant le lemme par récurrence sur le nombre minimal d ouverts affines nécessaires pour recouvrir X. Soit X = U 1 U 2 avec U 1 ouvert affine et U 2 ouvert vérifiant le lemme. On pose Z i = X U i. Soit C D Y (X-qcoh) tel que Hom(D, C) = 0 pour tout D X-parf Y. Soit D U 1 -parf Y Z2. Le foncteur Rj 1 : D(U 1 -qcoh) D(X-qcoh) se restreint en des équivalences D Y Z2 (U 1 ) D Y Z2 (X) et U 1 -parf Y Z2 X-parf Y Z2. Par conséquent, on a

6 6 Hom(Rj 1 D, C) = 0. Soit C le cocône du morphisme d adjonction C can Rj 2 j2c. On a Hom(Rj 1 D, Rj 2 j2c) Hom(j2Rj 1 D, j2c) = 0, donc Hom(Rj 1 D, C ) Hom(Rj 1 D, C) = 0. Puisque C est supporté par Y Z 2, il existe C D Y Z2 (U 1 -qcoh) tel que C = Rj 1 C. On a alors Hom(D, C ) = Hom(Rj 1 D, C ) = 0. Par le cas affine du lemme, on déduit que C = 0, donc C Rj 2 j2c. Soit E U 2 -parf Y U2, E = E E [1] et G = E U1 U 2. La cas affine du théorème montre qu il existe F U 1 -parf Y U et un isomorphisme F U1 U 2 G. Soit maintenant D le cocône du morphisme somme des morphismes d adjonction Rj 2 E Rj 1 F Rj 12 G. Alors, j1d F et j2d E, donc D X-parf Y. On a Hom(E, j2c) Hom(D, Rj 2 j2c) = 0. Par récurrence, on en déduit que j2c = 0, donc que C = 0. On a donc démontré le lemme 2.10 pour X. Exercice 2.1. Soit C X-qcoh tel que pour tout ensemble I d objets de X-qcoh, le morphisme canonique D I Hom(C, D) Hom(C, D I D) est un isomorphisme. Montrer que C est cohérent. Un cas particulier utile du théorème 2.6 est fourni par le corollaire suivant. Corollaire Soit L un fibré vectoriel sur U. Alors, il existe un complexe parfait sur X dont la restriction à U est quasi-isomorphe à L L[1]. Remarque Montrons, suivant Serre, que le théorème 2.6 n est pas correct au niveau des fibrés vectoriels. Soit X = A 3 et U = X {0}. Soit F le fibré vectoriel sur U image inverse du fibré tangent sur P 2. Le morphisme de restriction K 0 (X) K 0 (U) est un isomorphisme. Puisque F n est pas la somme directe de deux fibrés en droite, il n est pas restriction d un fibré vectoriel sur X. Soit G un faisceau cohérent sur X étendant U. Alors, le deuxième syzygy Ω 2 G de G est localement libre (donc libre) et ceci fournit un complexe parfait étendant F : on a un complexe de faisceaux libres 0 Ω 2 G P 1 P 0 0 d homologie concentrée en degré 0 et isomorphe à G. Remarque On montre de manière analogue à la proposition 2.1 qu on a une suite exacte 0 D b Z (X-coh) Db (X-coh) D b (U-coh) 0. Lorsque X est lisse, alors X-parf = D b (X-coh), donc le théorème théorème 2.6 découle de cette suite exacte dans ce cas, le morphisme K 0 (X) K 0 (U) est surjectif Thomason déduit du théorème 2.6 une suite exacte longue pour la K-théorie supérieure, via la théorie de Waldhausen : Théorème On a une suite exacte longue K i (X sur Z) K i (X) K i (U) K i 1 (X sur Z) Cette suite exacte longue est fondamentale pour déduire d autres propriétés des K i. Thomason obtient ainsi un résultat d excision. Théorème Si X = U V avec V ouvert et Z V, alors on a un isomorphisme K i (X sur Z) K i (V sur Z). Il en déduit ensuite un théorème de Mayer-Vietoris.

7 CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE 7 Théorème Soient U et V deux ouverts de X. Alors, on a une suite exacte longue K i (U V ) K i (U) K i (V ) K i (U V ) K i 1 (U V ) Ces suites se prolongent en les i négatifs, via une version du théorème fondamental de Bass : Théorème On a une suite exacte 0 K i (X) K i (X[T ]) K i (X[T 1 ]) K i (X[T, T 1 ]) K i 1 (X) 0 Les méthodes classiques utilisant des catégories exactes n avaient permis de démontrer de tels énoncés que sous des hypothèses restrictives (par exemple, pour des variétés lisses). Thomason déduit aussi un principe local-global pour les K i. 3. Reconstruction 3.1. Classification des sous-catégories de Serre. Commençons par voir le cas classique des faisceaux cohérents On dit qu une sous-catégorie de Serre I d une catégorie abélienne A est de type fini si elle est engendrée par un objet (i.e., la plus petite sous-catégorie épaisse de A contenant l objet est la catégorie I). On dit qu une sous-catégorie de Serre I est irréductible si elle n est pas réduite à 0 et si elle n est pas engendrée par deux sous-catégories de Serre propres de I. Théorème 3.1 (Gabriel). L application Z X-coh Z, de l ensemble des fermés de X vers l ensemble des sous-catégories de Serre de type fini de X-coh est une bijection. Les fermés irréductibles correspondent aux sous-catégories de Serre irréductibles. Ce résultat est conséquence immédiate du lemme suivant : Lemme 3.2. Tout faisceau cohérent de support Z engendre X-coh Z comme sous-catégorie de Serre. Démonstration. Soit F un faisceau cohérent de support Z et I la sous-catégorie de Serre de X-coh engendrée par F. Soit i : Y X une immersion fermée. Tout faisceau cohérent sur X supporté par Y est extension de faisceaux de la forme i G. Soit J la sous-catégorie de Serre de Y -coh engendrée par i F. Puisque i i F est dans I, alors i (J ) I. Si J = Y -coh Y Z, alors X-coh Y Z I. Si en outre Z Y, alors I = X-coh Z. On en déduit qu il suffit d établir le lemme lorsque X est réduit et Z = X. On prouve ceci par récurrence sur la dimension n de X puis sur le nombre de composantes irréductibles de X de dimension n, puis sur le nombre de composantes irréductibles de X de dimension n 1, etc... Soit Y un fermé de X distinct de X. On déduit par récurrence de l étude précédente que X-coh Y I. Soit M un faisceau cohérent sur X. Soit U un ouvert affine irréductible de X et j : U X l immersion ouverte correspondante. Quitte à rapetisser U, les faisceaux j M et j F sont libres, de rangs respectifs r et s > 0. Soit alors f : j F r j M s un isomorphisme. D après la proposition 2.1, il existe M faisceau cohérent sur X, ψ : F r M et φ : M s M tels que j (ψ) = j (φ)f et j (φ) est un isomorphisme. Les noyaux et conoyaux de φ et ψ ont leur support inclus dans le fermé X U de X, donc sont dans I. Par conséquent, M I.

8 Lemme 3.3. Pour R un anneau, le morphisme canonique Z(R) Z(R-mod) est un isomorphisme. Démonstration. L évaluation en R fournit un inverse à gauche. Soit α Z(R-mod) tel que α(r) = 0. Tout R-module étant quotient d un R-module libre, on en déduit que α = 0. Corollaire 3.4. La catégorie abélienne X-coh détermine la variété X. Démonstration. On définit un espace annelé E. Ses points sont les sous-catégories de Serre irréductibles de type fini de X-coh. Les ouverts sont les D(I), ensemble des J qui ne sont pas contenues dans une sous-catégorie de Serre I donnée. D après le théorème 3.1, l application qui a un point x de X associe X-coh {x} définit un homéomorphisme X E. On considère le préfaisceau d anneaux sur E donné par O E (D(I)) = Z(X-coh /I). Si D(I ) D(I), alors le foncteur quotient X-coh /I X-coh /I induit un morphisme Z(X-coh /I) Z(X-coh /I ). On note O E le faisceau associé. Le morphisme canonique Γ(U) Z(U-coh) induit un morphisme d espaces annelés X E. Pour vérifier que c est un isomorphisme, il suffit de le faire sur des ouverts affines et le lemme 3.3 l affirme dans ce cas. Remarque 3.5. En fait, le lemme 3.3 est vrai pour des variétés non affines : le morphisme canonique Γ(O X ) Z(X-coh) est un isomorphisme d anneaux. On le déduit de la construction de la catégorie X-coh comme recollement des catégories abéliennes U i -coh le long des catégories quotients (U i U j )-coh, lorsque les U i forment un recouvrement ouvert fini de X. Par conséquent, le préfaisceau de la preuve du corollaire 3.4 est déjà un faisceau Classification des sous-catégories épaisses Inspirés par les travaux sur la catégorie homotopique stable (description de la tour chromatique), Hopkins et Neeman établissent une classification des sous-catégories épaisses de la catégorie des complexes parfaits sur un schéma affine. Thomason généralise ensuite ces résultats. Soit I une sous-catégorie épaisse de X-parf. On dit que I est de type fini si elle est engendrée par un objet (i.e., si I est la plus petite sous-catégorie épaisse de X-parf contenant l objet). On dit que I est un idéal si elle est épaisse et si pour tous C I et D X-parf, alors C L D I. On dit que en outre que I est irréductible si elle est est non nulle et n est pas engendrée par deux idéaux propres. Théorème 3.6. L application Z X-parf Z, de l ensemble des fermés de X vers l ensemble des idéaux de type fini de X-parf, est une bijection. Les fermés irréductibles correspondent aux sous-catégories irréductibles. Le premier point à vérifier est fourni par le lemme suivant Lemme 3.7. Soit Z un fermé de X. Alors, il existe un complexe parfait sur X de support Z. Démonstration. Supposons pour commencer Z irréductible et X = Spec R affine. Alors, Z est définie par f 1 = 0,..., f n = 0. Le support de i (0 R f i R 0) est Z, ce qui résoud la question dans ce cas.

9 CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE 9 On suppose toujours Z irréductible mais on ne suppose plus X affine. Soit U un ouvert affine de X contenant le point générique de Z. Alors, il existe C U-parf de support U Z. D après la version «à supports» du théorème de localisation (théorème 2.11), il existe D X-parf Z tel que D U C C[1]. On a Supp(D) U = Z U, d où finalement Supp(D) = Z. Passons au cas général. Soit Z = Z 1 Z r la décomposition en composantes irréductibles et C i X-parf de support Z i. Alors le support du complexe parfait C i est Z. Le théorème 3.6 résulte alors du lemme suivant. Lemme 3.8. Un complexe parfait sur X de support Z engendre X-parf Z comme idéal. Démonstration. Soit C X-parf de support Z et I l idéal de X-parf engendré par C. D après les lemmes 2.9 et 2.10, on a I = X-parf Z si et seulement si D Z (X-coh) Ī. Notons que pour i : Y X une immersion fermée, alors i Li C C L O Y Ī car O Y D(X-qcoh) = X-parf (lemme 2.9). En outre, Li C Y -parf Y Z. Tout objet de DY b Z (X-coh) est extension finie (=cône itéré) d objets i G avec G DY b Z (Y -coh). Soit J la sous-catégorie épaisse de Y -parf Y Z engendrée par Li C. Puisque i (Li C L M) C L i M pour tout M D(Y -qcoh), on a i ( J ) Ī. Si J = DY Z (Y -qcoh), alors DY b Z (X-coh) i ( J ). Si en outre Z Y, alors I = X-parf Z. On en déduit qu il suffit d établir le résultat lorsque X est réduit et Z = X. On prouve ceci par récurrence sur la dimension n de X puis sur le nombre de composantes irréductibles de X de dimension n, puis sur le nombre de composantes irréductibles de X de dimension n 1, etc... Soit Z un fermé de X distinct de X. On déduit par récurrence de l étude précédente que X-parf Z I. Soit M X-parf. Il existe un ouvert affine non vide j : U X tel que j M et j C sont des sommes de O U [r]. Par conséquent, il existe des espaces vectoriels gradués de dimension finie (vus commes complexes de k-espaces vectoriels à différentielle nulle) V 0 et W et un isomorphisme f : j (C k W ) j (M k V ). Le théorème 2.6 montre l existence de M X-parf, de ψ : C k W M et φ : M k V M tels que j (ψ) = j (φ)f et j (φ) est un isomorphisme. Les cônes de φ et ψ ont leur support inclus dans le fermé X U de X, donc sont dans I par récurrence. Par conséquent, M I. Remarque 3.9. La preuve classique du théorème 3.6 passe par le résultat suivant. Soit C X-parf, D D(X-qcoh) et f : C D. On suppose que pour tout point x de X, on a f k(x) = 0 dans D(k(x)-mod). Alors, il existe un entier n tel que n f : n C n D est nulle dans D(X-qcoh) On procède alors comme dans le 3.1 pour obtenir un théorème de reconstruction (cf Balmer et l auteur). Lemme Soit X une variété, Z(X-parf) lnil le sous-anneau de Z(X-parf) formé des α tels que α(c) est nilpotent pour tout C X-parf et Z(X-parf) lred = Z(X-parf)/Z(X-parf) lnil. Alors, le morphisme canonique Γ(O X ) Z(X-parf) induit un isomorphisme Γ(O X ) red Z(X-parf) lred. Démonstration. L évaluation en O X Γ(O X ) Z(X-parf). fournit un inverse à gauche au morphisme canonique

10 10 Supposons pour commencer X = Spec R. Soit α Z(R-parf) tel que α(r) = 0. Un complexe parfait est quasi-isomorphe à un complexe borné C de R-modules projectifs de type fini. Soit n = max{i C i 0} min{i C i 0}. On vérifie par récurrence sur n que α(c) n+1 = 0, d où le lemme dans le cas affine. Prenons maintenant X une variété quelconque et α Z(X-parf) tel que α(o X ) = 0. Soit U un ouvert affine de X et α U Z(U-parf) induit par α. Alors, α U (O U ) = 0, donc pour tout C U-parf, l endomorphisme α U (C) est nilpotent. Soit X = U 1 U r un recouvrement par des ouverts affines et V = U 2 U r. On montre le lemme par récurrence sur r. Soit C X-parf et n > 0 tel que α U1 (C U1 ) n = 0. Alors, α(c) n se factorise par un objet C X-parf Z, où Z = X U 1 et α(c) (d+1)n se factorise par α(c ) dn pour tout d 0. Puisque Z V, le foncteur de restriction X-parf Z V -parf Z est pleinement fidèle. Par récurrence, α V (C V ) est nilpotent, donc α(c ) est nilpotent et finalement α(c) est nilpotent. Théorème 3.11 (Balmer, R.). Si X est réduite, alors la catégorie X-parf, vue comme catégorie triangulée tensorielle, détermine X. Ce résultat n est pas satisfaisant, on aimerait ne pas utiliser la structure tensorielle. Le problème est qu il y a trop de sous-catégories épaisses en général. Exemple Soit X = P 1. Alors, la sous-catégorie épaisse de X-parf engendrée par O est équivalente à D b (k-mod). Elle n est pas de la forme X-parf Z. Remarque Pour R = k[x]/(x 2 ), on montre que le centre de Z(R-parf) est plus gros que R. Est-ce qu un tel phénomène peut se passer pour X lisse (ou même seulement réduite), éventuellement affine? Remarque Une autre différence entre les cas triangulés et abéliens est que la catégorie des complexes parfaits sur X ne s obtient pas comme recollement des catégories de complexes parfaits sur les ouverts d un recouvrement Si L est un fibré ample sur X, alors X-parf est engendrée par les L i pour i > 0, comme sous-catégorie épaisse (cf Lemme 2.9). On en déduit qu une sous-catégorie épaisse I est un idéal si pour tout C I, on a C L 1 I. Par conséquent, si X est affine, alors toute sous-catégorie épaisse de X-parf est un idéal. D où le corollaire suivant du théorème 3.11 (en fait, le lemme 3.10 donne une preuve directe dans ce cas). Corollaire Si X est affine et réduite, alors la catégorie triangulée X-parf détermine X Pour traiter des cas plus intéressants, introduisons le foncteur de Serre, suivant Bondal et Kapranov. Soit C une catégorie k-linéaire. Un foncteur de Serre pour C est une équivalence de catégories S : C C telle que pour tous X, Y C, on a un isomorphisme bifonctoriel Hom(X, Y ) Hom(Y, S(X)). S il existe, un foncteur de Serre est unique à isomorphisme près. Lemme Soit X une variété projective lisse purement de dimension n. Alors, S = ω X [n] est un foncteur de Serre pour D b (X-coh).

11 CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE 11 Démonstration. On peut supposer X irréductible. Pour C D b (X-coh), on a un accouplement Hom(O, C) Hom(C, ω X [n]) H n (X, ω X ) k. Lorsque l homologie de C est concentrée en un degré, le théorème de dualité de Serre affirme que cet accouplement est parfait. Puisque le sous-catégorie des C tels que l accouplement est parfait est une sous-catégorie épaisse, on déduit que l accouplement est parfait pour tout C. Via les isomorphismes canoniques Hom(C, D) Hom(O, RHom(C, D)) et Hom(D, C ω X [n]) Hom(RHom(C, D), ω X [n]), on déduit un accouplement parfait Hom(C, D) Hom(D, C ω X [n]) k. Théorème 3.17 (Bondal-Orlov). Soit X une variété projective lisse telle que ω X ou ω 1 X est ample. Alors, la catégorie triangulée D b (X-coh) détermine X. Si Y est une variété projective lisse et si on a une équivalence de catégories triangulées D b (X-coh) D b (Y -coh), alors X Y. Démonstration. Le point crucial est que le foncteur de Serre est intrinsèque à la catégorie D b (X-coh). Il suffit alors de noter que les sous-catégories épaisses invariantes par les itérés (négatifs et positifs) du foncteur de Serre sont des idéaux (cf et lemme 3.16) pour obtenir une reconstruction de X à partir de D b (X-coh). On se donne maintenant F : D b (X-coh) D b (Y -coh). Notons que F commute avec les foncteurs de Serre : F S X S Y F. Soit Z un fermé de Y. Puisque F 1 (DZ b (Y -coh)) est une sous-catégorie épaisse Db (X-coh) stable par SX i pour tout i, elle est de la forme Db Φ(Z) (X-coh) et on obtient donc une injection Φ entre ensembles de fermés de Y et X. Supposons Z irréductible. Soit V un ouvert affine de Y. Alors, F 1 induit une équivalence D b (V -coh) D b ((X Φ(Y V ))-coh) qui se restreint en une équivalence DZ b (V -coh) DΦ(Z) b ((X Φ(Y V ))-coh). Puisque Db Z (V -coh) est une sous-catégorie épaisse irréductible ( et théorème 3.6), alors DΦ(Z) b ((X Φ(Y V ))-coh) est une sous-catégorie épaisse irréductible de D b ((X Φ(Y V ))-coh), donc Φ(Z) (X Φ(Y V )) est irréductible. Si Y = V 1 V r est un recouvrement par des ouverts affines, alors les X Φ(Y V i ) forment un recouvrement ouvert de X, donc finalement Φ(Z) est irréductible. On définit φ : Y X une injection entre points par φ(y) = Φ(y). Si y est un point fermé, alors, d après le lemme 3.19, la sous-catégorie épaisse D{y} b (Y -coh) de Db (Y -coh) est minimale parmi les sous-catégories épaisses non nulles. Par conséquent, F 1 (D{y} b (Y -coh)) = D φ(y) (X-coh) est une sous-catégorie épaisse minimale de D b (X-coh) et elle est stable par SX i pour tout i. On en déduit que φ(y) est un point fermé. Soit x un point fermé de X qui n est pas dans l image de φ. Alors, Hom(O {x}, C[i]) = 0 pour tout i Z et tout C D{φ(y)} b (X-coh). Par conséquent, Hom(F (O {x}), O {y} [i]) = 0 pour tout y point fermé de Y et i Z. On déduit du lemme 3.18 que F (O {x} ) = 0, d où une contradiction, i.e., φ est bijective. Soit Z un fermé de Y. Alors, un point fermé y de Y est dans Z si et seulement si D{y} b (Y -coh) DZ b (Y -coh). On a donc x Φ(Z) si et seulement si Db {x} (X-coh) Db Φ(Z) (X-coh), donc φ(z) = Φ(Z) est un fermé de X. Ceci montre que ψ = φ 1 : X Y est continue.

12 12 Soit U = Y Z un ouvert de Y. On a une suite d isomorphismes canoniques (cf lemme 3.10) Γ(U) Z(D b (U-coh)) lred Z(D b (φ(u)-coh)) lred Γ(φ(U)). F 1 Ceci étend ψ : X Y en un isomorphisme d espaces annelés. Lemme Soit X une variété et C D b (X-coh) tel que Hom(C, O {x} [i]) = 0 pour tout point fermé x de X et tout i Z. Alors, C = 0. Démonstration. Soit i maximal tel que H i (C) 0 et x un point fermé. Le morphisme canonique Hom(H i (C), O {x} ) Hom(C, O {x} [ i]) est injectif. Pour x dans le support de H i (C), on a Hom(H i (C), O {x} ) 0, donc Hom(C, O {x} [ i]) 0. Lemme Soit X une variété algébrique et x un point fermé de X. Alors, X-parf {x} est minimale parmi les sous-catégories épaisses non nulles de X-parf. Démonstration. Soit U un ouvert affine de X contenant x. Alors, le foncteur de restriction X-parf {x} U-parf {x} est pleinement fidèle. D après le théorème 3.6 et 3.2.3, la sous-catégorie épaisse U-parf {x} de U-parf est minimale parmi les sous-catégories épaisses non nulles, d où le résultat. Remarque Bondal et Orlov démontrent en fait que la structure de catégorie graduée (i.e., on oublie les triangles distingués) suffit pour le théorème Leur preuve consiste à caractériser les faisceaux gratte-ciel à l aide du foncteur de Serre, puis à retrouver les fibrés inversibles et enfin à utiliser l algèbre graduée correspondant au fibré ample ω ±1. Bondal et Orlov décrivent aussi le groupe des auto-équivalences. Nous l obtiendrons (théorème 4.8) à partir du théorème de représentabilité d Orlov. 4. Comparaison de catégories dérivées On suppose dans la suite que le corps k est algébriquement clos Introduction. Commençons par énoncer des problèmes centraux sur les catégories dérivées de variétés. Conjecture 4.1 (Bondal-Orlov). Si X et Y sont deux variétés projectives lisses K-équivalentes, i.e., s il existe une variété projective lisse Z et des morphismes birationnels f : Z X et g : Z Y tels que f ω X g ω Y («flop généralisé»), alors D b (X-coh) D b (Y -coh). La réponse est positive en dimension 3 (Bridgeland). Kawamata conjecture que la réciproque est vraie : deux variétés projectives lisses birationnelles avec des catégories dérivées équivalentes sont K-équivalentes. Pour des variétés de Calabi-Yau (ω trivial), on s attend donc à ce que birationnalité et D- équivalence coïncident. Ceci est attendu comme conséquence de la conjecture de Kontsevich de symétrie miroir. Si les catégories dérivées sont équivalentes, alors les dimensions de X et Y sont égales (utiliser l égalité des adjoints à gauche et à droite du foncteur qui donne l équivalence, calculés à l aide de la dualité de Serre). Kawamata conjecture aussi qu il n existe qu un nombre fini de variétés projectives lisses dont la catégorie dérivée est équivalente à la catégorie dérivée d une variété projective lisse donnée (c est vrai en dimension 2).

13 CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE 13 Conjecture 4.2 (Bondal-Orlov). Soient f : Z X et g : Z Y des morphismes birationnels entre variétés projectives lisses tels que f ω X g ω Y est un diviseur effectif («flip généralisé»). Alors, il existe un foncteur pleinement fidèle D b (Y -coh) D b (X-coh). Le programme de Mori devrait alors s interpréter comme une minimisation de la catégorie dérivée, un modèle minimal pour une variété X devant être construit comme un espace de module d objets de la catégorie dérivée de X. Remarque 4.3. Soit F : D b (Y -coh) D b (X-coh) pleinement fidèle. Alors, Y est un espace de modules fin (en un sens à préciser) pour {F (O y )} y Y Foncteurs pleinement fidèles et décompositions semi-orthogonales Soit I une sous-catégorie épaisse d une catégorie triangulée T. On dit que I, I est une décomposition semi-orthogonale de T lorsque pour tout object C de T, il existe un triangle distingué C 1 C C 2 avec C 1 I et C 2 I. Ceci revient à demander que le foncteur canonique I T /I soit une équivalence ou à demander que le foncteur d inclusion I T ait un adjoint à droite. Lorsque I = K, J, on écrit T = K, J, I et on généralise aux décompositions T = I 1,..., I m. Remarque 4.4. Soit X une variété projective lisse connexe de Calabi-Yau purement de dimension n. Alors, il n y a pas de décomposition semi-orthogonale non triviale de D b (X-coh). En effet, si I, I est une telle décomposition, alors Hom(C, D) Hom(D, C[n]) = 0 pour C I et D I. On en déduit que T = I I, ce qui force I = 0 ou I = 0 car X est connexe Voyons le cas particulier des suites exceptionnelles d objets. C est une suite (C 1,..., C m ) d objets de T telle que Hom(C i, C j [r]) = 0 si i > j Hom(C i, C i [r]) = 0 si r 0 End(C i ) = k. On dit que la suite est complète si la plus petite sous-catégorie pleine triangulée de T contenant les C i est T. Soit (C 1,..., C m ) une suite exceptionnelle complète. Notons I i la sous-catégorie triangulée de T engendrée par C i. On a une équivalence C i k : D b (k-mod) I i. On a une décomposition semi-orthogonale T = I 1,..., I m. Réciproquement, toute décomposition semi-orthogonale en des catégories équivalentes à D b (k-mod) provient d une suite exceptionnelle d objets. L ensemble {[C i ]} forme une base de K 0 (T ). Supposons maintenant que T est localement de type fini, i.e., que dim i Hom(X, Y [i]) < pour tous X, Y T par exemple, T = D b (X-coh) pour X projective lisse. La base {[C i ]} est semi-orthogonale pour la forme d Euler (donnée par [C], [D] = i ( 1)i dim Hom(C, D[i])), i.e., la matrice de la forme d Euler dans cette base est triangulaire supérieure. On définit une action du groupe de tresses d Artin B d = σ 1,..., σ d 1 σ i σ j = σ j σ i si i j > 1 et σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1 } sur l ensemble des suites exceptionnelles de longueur d par «mutations».

14 14 Soit (C 1, C 2 ) une suite exceptionnelle. On définit L(C 1, C 2 ) par le triangle distingué suivant L(C 1, C 2 ) i Hom(C 1 [i], C 2 ) C 1 [i] can C 2. Alors, on vérifie aisément que (L(C 1, C 2 ), C 1 ) est une suite exceptionnelle. Soit (C 1,..., C d ) une suite exceptionnelle. On pose alors σ i (C 1,..., C d ) = (C 1,..., C i 1, L(C i, C i+1 ), C i, C i+2,..., C d ) et on vérifie que l on obtient une action de B d sur l ensemble des classes d isomorphisme de suites exceptionnelles de longueur d. Exemple 4.5. Pour X = P n, alors (O, O(1),..., O(n)) est une suite exceptionnelle complète. Par mutation, les nouvelles suites exceptionnelles obtenues sont encore formées de faisceaux. Kapranov a construit des suites exceptionnelles complètes pour les quadriques projectives lisses et les variétés de drapeaux de type A. Pour P 2, tous les faisceaux exceptionnels sont obtenus par mutation à partir de la suite élémentaire (O, O(1), O(2)) d après Gorodentsev et Rudakov. Si (E 1, E 2, E 3 ) est une suite exceptionnelle de faisceaux pour P 2, alors les r i = rg E i sont solution de l équation de Markov : r r r 2 3 = 3r 1 r 2 r Mentionnons quelques problèmes importants, suivant Rudakov. Question. Est-ce que B n+1 agit transitivement sur l ensemble des suites exceptionnelles complètes sur P n, à décalages près? Ceci impliquerait en particulier que, à décalages près, toute suite exceptionnelle complète est formée de faisceaux. Question. Est-ce qu il n y a qu un nombre fini d orbites de suites exceptionnelles complètes (à décalages près) sur une variété de Fano? Question. Est-ce que tout faisceau exceptionnel sur P n fait partie d une suite exceptionnelle complète? Ces questions ont des réponses positives en dimension La catégorie dérivée d un éclatement admet une décomposition semi-orthogonale : Théorème 4.6 (Orlov). Soit X une variété projective lisse, E une sous-variété lisse de codimension r et X l éclatée de X en E. Alors, on a une décomposition semi-orthogonale de D b ( X-coh) en r 1 termes équivalents à D b (E-coh) et un terme équivalent à D b (X-coh) Transformations de Fourier-Mukai L idée des transformations à noyau est la suivante : on se donne une fonction φ : X Y C. On a alors une application des fonctions sur Y vers les fonctions sur X donnée par f (x f(y)φ(x, y)dy). Y

15 CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE 15 Cette construction a un analogue pour les faisceaux. Soient X et Y deux variétés algébriques et p : X Y X, q : X Y Y les deux projections. X Y p q X Y Soit K D((X Y )-qcoh). On définit alors le foncteur (dit de «Fourier-Mukai») Φ K : D(Y -qcoh) D(X-qcoh) par Φ K (C) = Rp (q C L K). Les mêmes constructions pour les faisceaux constructibles ou les D-modules sont classiques L imperfection des axiomes des catégories triangulées rend la première partie du résultat suivant délicate. Théorème 4.7 (Orlov). Soient X et Y projectives et lisses. Soit F : D b (Y -coh) D b (X-coh) pleinement fidèle. Alors, il existe un unique K D b ((X Y )-coh) tel que F Φ K on a une décomposition semi-orthogonale D b (Y -coh) = (im F ), im F. Pour α : X Y un isomorphisme de graphe Z, alors Φ OZ = α est une équivalence. Soit L un fibré en droites sur X et i : X X X le plongement diagonal. Alors, Φ i L = L? est une auto-équivalence. On dispose en outre de l auto-équivalence Φ i O X [n] =?[n] pour n Z. On obtient ainsi un morphisme de Z (Pic X Aut(X)) vers le groupe Aut(D b (X-coh)) des (classes d isomorphisme) d auto-équivalences de D b (X-coh). Théorème 4.8 (Bondal-Orlov). Soit X une variété projective lisse connexe avec ω X ou ω 1 X ample. Alors, le morphisme Z (Pic X Aut(X)) Aut(D b (X-coh)) est un isomorphisme. Démonstration. Soit F une auto-équivalence de D b (X-coh). On construit, comme dans la preuve du théorème 3.17, un automorphisme ψ de X tel que F (D Z (X-coh)) = D ψ(z) (X-coh) pour tout fermé Z de X. Quitte à remplacer F par F ψ, on peut supposer que D Z (X-coh) est stable par F pour tout fermé Z de X. En outre, F induit par restriction une auto-équivalence F x de D b (O x -mod) pour tout point fermé x de X. Soit C = F (O X ). Alors, Hom(C x, C x [i]) Hom(O x, O x [i]) = 0 pour i 0. Soit D un complexe borné de O x -modules projectifs de type fini quasi-isomorphe à C x et tel que pour i minimal (resp. maximal) tel que d i 0, alors d i D n est pas une injection (resp. une surjection) scindée. Soient r et s ces entiers minimaux et maximaux. Le morphisme canonique Hom(D r, D s ) Hom D(Ox-mod)(D, D[s r]) est non nul. Par conséquent, on a r = s, i.e., H i (C x ) est concentré en un degré i = r x et H rx (C x ) est libre. En outre, End(C x ) End(O x ) = O x, donc H rx (C x ) est libre de rang 1. L ensemble des x tels que H i (C x ) 0 est un fermé de X. Puisque X est connexe, on en déduit que r x = r est constant. Par conséquent, C H r (C)[ r] et L = H r (C) est un fibré en droites sur X. Quitte à remplacer F par (L 1 ) F, on peut supposer que F (O X ) O X. Il faut maintenant voir que F est isomorphe au foncteur identité. On utilise pour cela le théorème 4.7. Soit K D b ((X X)-coh) tel que F Φ K. Pour x 1, x 2 points fermés de X, on a Hom(K, O {(x1,x 2 )}[i]) Hom(Φ K (O {x1 }), O {x2 }[i]). Ceci est nul si x 1 x 2, donc K est supporté par X, la diagonale dans X X. On a Rp K Φ K (O X ) O X, donc O {x} L K O {x}

16 16 pour tout point fermé x. Par conséquent, K i M, où M est un fibré en droites sur X et i : X X X est le plongement diagonal. Finalement, Rp K M, donc M O X. Proposition 4.9 (Bondal-Orlov). Supposons X et Y projectives et lisses et soit K D b ((X Y )-coh). Le foncteur Φ K est pleinement fidèle si et seulement si pour tous points fermés y, y de Y, on a { 0 sauf si y = y et 0 i dim Y Hom D(X) (Φ K (O {y} ), Φ K (O {y })[i]) = k si y = y et i = 0 C est une équivalence si en plus Φ K (O {y} ) ω X Φ K (O {y} ) pour tout point fermé y de Y. Le résultat suivant de Mukai est le point de départ des travaux sur les équivalences entre catégories dérivées de faisceaux cohérents. Théorème 4.10 (Mukai). Soit A une variété abélienne, A sa variété duale et P le fibré de Poincaré. Alors, Φ P : D b (A -coh) D b (A-coh) est une équivalence. Démonstration. On vérifie d abord le critère de pleine fidélité de la proposition 4.9. Pour x point fermé de A, alors Φ K (O {x} ) est un fibré en droites L x de degré 0 sur A. Il suffit alors d utiliser que H (L) = 0 pour un fibré en droites L non trivial de degré 0 sur A pour déduire la pleine fidélité de Φ P. Puisque ω A O A, alors Φ K est une équivalence. En s appuyant sur le théorème 4.6, on démontre : Théorème 4.11 (Orlov). Soit X une variété projective lisse, E une sous-variété fermée isomorphe à P d telle que N E/X O E ( 1) l+1 avec l d. Soit f : X X l éclatée de X en E. Le diviseur exceptionnel est isomorphe à P d P l et soit g : X Y la contraction dans l autre direction. On suppose que Y est algébrique. Alors, Rf Lg : D b (Y -coh) D b (X-coh) est pleinement fidèle et c est une équivalence si l = d Nous terminons par la correspondance de McKay. Soit X une variété quasi-projective lisse connexe de dimension n, munie de l action d un groupe fini G d ordre inversible dans k. On considère la variété Y = G-Hilb(X) des G-clusters sur X. Soit Z le fibré universel sur G-Hilb(X). On suppose que le stabilisateur G x d un point fermé x de X agit trivialement sur Λ max T x X. Alors, X/G est de Gorenstein. Théorème 4.12 (Bridgeland-King-Reid). Si dim Y X Y n + 1, alors Y est une résolution crépante de X et Φ OZ : DG b (X-coh) D b (Y -coh) est une équivalence. La preuve établit en même temps la lissité de Y et la propriété d équivalence. L estimation sur la dimension permet de conclure grâce au «nouveau» théorème d intersection. Le théorème s applique en particulier pour n 3. En dimension 3, il n y a pas d autre preuve de la lissité de Y. Remarque Suivant Van den Bergh, ceci doit être vu comme une version non-commutative de la conjecture selon laquelle si Y 1 X et Y 2 X sont deux résolutions crépantes d une variété X, alors D b (Y 1 -coh) D b (Y 2 -coh).