Chapitre 4 Suites Sommaire 41 Activités 31 4 Suites arithmétiques 34 41 Définition 34 4 Terme général est fonction de n 34 43 Représentation graphique 34 44 Sens de variation 35 45 Limite 35 46 Somme des termes 35 43 Suites géométriques 35 431 Définition 35 43 Terme général en fonction de n 35 433 Représentation graphique 36 434 Sens de variation 36 435 Limite 36 436 Somme des termes 36 41 Activités Activité 41 (Définir une suite) au suivant : (a) 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ; ; (b) 0 ; 4 ; 8 ; 1 ; 16 ; ; ; (c) 1 ; 3 ; 9 ; 7 ; ; ; 1 Compléter les listes de termes suivantes et expliquer comment on passe d un terme On considère la fonction u définie sur N par : u(n) = 3 5n (a) Calculer u(0) ; u(1) ; u() et u(3) (d) ; 3 ; 7 ; 11 ; ; ; (e) 1 ; 1 ; ; 3 ; 5 ; 8 ; ; ; (f) 1 ; ; 4 ; 7 ; 11 ; 16 ; ; ; (b) Quand il s agit d une fonction définie surn(ou sur une partie den), on dit que u est une suite et on note u(n) sous la forme u n Avec cette nouvelle notation, réécrire les résultats précédents 3 Le terme général d une suite se note souvent u n et l entier naturel n est appelé indice (a) Quel est le terme qui précède u 1? u 10? u n? (b) Quel est le terme qui suit u 1? u 10? u n? (c) Quel est l indice du terme situé trois rangs après u n? deux rangs avant u n1? 4 A n désigne le nombre d habitants de la ville A en l an 000n (a) Que représente A 0? (b) Comment désigne-t-on le nombre d habitants de la ville A en 010? en 017? 5 Le nombre d habitants de la ville B a été recensé tous les 10 ans depuis 1 950 On désigne par B n le nombre d habitants de la ville B l année du n ième recensement (a) Que représente B 1? B? 31
41 Activités Terminale STG (b) Comment désigne-t-on le nombre d habitants de la ville B en 010? 6 (a) Soit la suite (u n ) définie surnpar : u n1 = 3u n 4 et u 0 = 4 Calculer u 1, u, u 3 et u 4 (b) Soit la suite (u n ) définie surn\{0} par : u n = 3u n 1 4 et u 0 = 4 Calculer u 1, u, u 3 et u 4 (c) Que remarque-t-on? Remarque Vous avez pu constater qu on retrouve la même suite dans plusieurs exemples On pourra retenir qu une suite peut s écrire sous des formes différentes Activité 4 (Suite arithmétique) On dit d une suite qu elle est arithmétique, si chaque terme est obtenu à partir du précédent en ajoutant toujours un même nombre que l on appelle la raison 1 On donne ci-dessous les premiers termes d une suite arithmétique Calculer les cinq suivants : (a) ; 5 ; 8 ; (b) 10 ; 8 ; 6 ; (c) ;,4 ;,8 ; (a) Zoé possède un aquarium qui ne peut contenir plus de 500 poissons Le 1 er janvier, elle a trois poissons dans son aquarium Elle ajoute cinq poissons tous les jours Dans combien de jours son aquarium sera-t-il complet? (b) Arthur a travaillé pendant les vacances Il possède 1 000 sur un compte en banque Il n ajoute plus d argent sur son compte mais il retire 0 toutes les semaines Dans combien de semaines ne lui restera-t-il que 500? 3 Soit (u n ) la suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 et de raison r = 4 (a) Exprimer u n1 en fonction de u n (b) Calculer u 1, u et u 3 (c) Compléter : u 1 = 1 u = =1 u 3 = =1 donc u 1 = u 0 u = u 0 u 3 = u 0 (d) En déduire : u 10 = u 0 = = u n = u 0 = = 4 (a) On considère la suite définie par : u n = n 5 i Exprimer u n1 en fonction de n ii Calculer u n1 u n iii En déduire que la nature de la suite (u n ) On précisera le premier terme u 0 et la raison r de cette suite (b) On considère la suite arithmétique définie par : u n1 = u n 3 et u 0 = 10 Déterminer sa raison r et écrire u n sous la forme : u n = u 0 nr 5 Parmi les suites suivantes, indiquer celles qui sont arithmétiques et préciser leur raison (a) u 0 = 0 et u n1 = u n (b) u n = 5n 1 (c) u n = 5n (d) u n = n 3 6 (a) On considère la suite (u n ) telle que : u 0 = 1 et u n1 = un 3 i Expliquer pourquoi c est une suite arithmétique ii Calculer : (e) u n = n 1 (f) u 0 = 0 et u n1 = u n 1 u 1, u, u 3, u 4, u 5 et u 6 u 1u 3, u u 4, u 3u 5 et u 4u 6 (b) Mêmes questions avec la suite (u n ) telle que u n = n 5 (c) Que remarque-t-on dans les deux cas? Activité 43 (Suite géométrique) On dit d une suite qu elle est géométrique, si chaque terme est obtenu à partir du précédent en multipliant toujours un même nombre que l on appelle la raison 1 On donne ci-dessous les premiers termes d une suite géométrique Calculer les cinq suivants : (a) ; 1 ; 7 ; (b) 10 ; 5 ; 5 ; (c) 1 ; 1 6 ; (a) Dans un jeu télévisé, un candidat répond à des questions S il répond correctement à la première question il gagne 10 S il répond correctement à la deuxième, il gagne le double, et ainsi de suite S il ne répond pas correctement à une question, il perd tout À combien de questions doit-il répondre juste pour gagner au moins 10 000? 3 http ://perpendiculairesfreefr/
Terminale STG 41 Activités (b) Dans un laboratoire, on teste des insecticides qui détruisent tous les jours la moitié d une population de mouches On dispose de 1 04 mouches au départ Dans combien de jours restera-t-il une seule mouche? 3 Soit (v n ) la suite géométrique de premier terme v 0 = et de raison q = 4 (a) Exprimer v n1 en fonction de v n (b) Calculer v 1, v et v 3 (c) Compléter : v 1 = v = = v 3 = = donc v 1 = v 0 v = v 0 v 3 = v 0 (d) En déduire : v 10 = v 0 = = v n = v 0 = 4 (a) On considère la suite (v n ) définie par : v n = 5 n i Exprimer v n1 en fonction de n ii Calculer v n1 v n iii En déduire que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme v 0 et la raison q (b) On considère la suite géométrique définie par : v n1 = 5 v n et v 0 = 10 Déterminer sa raison q et écrire v n sous la forme : v n = v 0 q n 5 Parmi les suites suivantes, indiquer celles qui sont géométriques et préciser leur raison (a) v 0 = 1 et v n1 = 5v n (b) v n = 5n 6 (a) On considère la suite (v n ) telle que : v 0 = 0,5 et v n1 = v n ; i Expliquer pourquoi c est une suite géométrique ii Calculer : (c) v n = 5n (e) v n = 35n 1 (d) v n = 5 n (f) v 0 = 3 et v n1 = v n 5 v 1, v, v 3, v 4, v 5 et v 6 v 1 v 3, v v 4, v 3 v 5 et v 4 v 6 (b) Mêmes questions avec la suite (v n ) telle que v n = 0,53 n (c) Que remarque-t-on dans les deux cas? Activité 44 On donne, sur la figure 41 de la présente page, la représentation graphique de quatre suites géométriques (u n ), (v n ), (w n ) et (t n ) dont le premier terme et la raison sont strictement positifs telles que : u n = 0,8 n ; v n = 0, n ; w n = 1,7 n ; t n = 1,4 n y FIGURE 41 Figure de l activité 44 y 10 u n = 0,8 n 00 w n = 1,7 n 08 v n = 0, n 150 t n = 1,4 n 06 04 0 O x 4 6 8 10 100 50 x O 4 6 8 10 En observant chacune de ces représentations graphiques : 1 Indiquer le sens de variation de ces suites Que peut-on dire des termes de chaque suite lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes? David ROBERT 33
4 Suites arithmétiques Terminale STG Activité 45 (Somme de termes consécutifs) Partie A : Suites arithmétiques 1 (a) Calculer : 1 3 4 5 d une part et 56 d autre part (b) Calculer : 1 3 4 5 6 1 d une part et 113 (c) Proposer une formule permettant de calculer : 13 (n 1)n On considère la suite arithmétique (u n ) telle que : u n = u 0 nr (a) Exprimer en fonction de r et u 0 : u 0 u 1 ; u 0 u 1 u ; u 0 u 1 u u 3 (b) Vérifier que dans chacun des cas précédents, la somme obtenue est égale à : Partie B : Suites géométriques 1 (a) Calculer : 1 4 8 16 d une part et 1 5 1 (premier terme dernier terme) (nombre de termes) d autre part (b) Calculer : 1 3 9 7 81 d une part et 1 35 1 3 d autre part (c) Proposer une formule permettant de calculer : 1 x x 3 x n On considère la suite géométrique (v n ) telle que : v n = v 0 q n avec u 0 > 0 et q > 0 (a) Exprimer en fonction de q et v 0 : v 0 v 1 ; v 0 v 1 v ; v 0 v 1 v v 3 (b) Vérifier que dans chacun des cas précédents, la somme obtenue est égale à : nombre de termes 1 raison premier terme 1 raison Partie C : Application Un employé se voit proposer deux types de contrats d embauche Dans le cas du contrat A, on lui propose un salaire mensuel de 1 400 et une augmentation de annuelle de 50 Dans le cas du contrat B, on lui propose un salaire mensuel de 1 350 et une augmentation annuelle de 4 % Cet employé sait qu il voudra abandonner ce travail dans quelques années, pour retrouver sa région natale 1 S il doit rester cinq ans dans l entreprise, quelle somme percevra-t-il avec chacun des contrats? Quel contrat doit-il choisir? Même question s il doit rester quinze ans 4 Suites arithmétiques 41 Définition Définition 41 La suite (u n ) est arithmétique, si pour tout entier naturel n, u n1 = u n r, où r est un réel Le réel r s appelle raison de la suite arithmétique u 0 u 1 u u 3 u 4 u 5 u n 1 u n u n1 r r r r r r r r r r Remarque Pour démontrer qu une suite est arithmétique, il suffit de vérifier que u n1 u n est constant Cette constante est alors la raison r { u0 = 3 Exemple 41 La suite définie par : est arithmétique de raison r = u n1 = u n 4 4 Terme général est fonction de n Propriété 41 Si (u n ) est une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r, alors pour tout entier naturel n, on a : u n = Exemple 4 Soit (u n ) la suite arithmétique de premier terme u 0 = 9 et de raison 5 Calculer u 15 34 http ://perpendiculairesfreefr/
Terminale STG 43 Suites géométriques Remarque Dans le cas d une suite arithmétique (u n ), le terme u n est la moyenne arithmétique des deux termes qui l encadrent : u n = u n 1u n1 Propriété 4 Si (u n ) est une suite définie pour tout entier naturel n par le terme général u n = anb, avec a et b deux réels, alors (u n ) est une suite arithmétique de premier terme u 0 = et de raison r = Exemple 43 La suite (v n ) définie par : v n = n 5 est arithmétique de premier terme v 0 = et de raison r = 43 Représentation graphique Exemple 44 On considère la suite (u n ) arithmétique définie par : u 0 = 0,5 et r = 0,7 1 Calculer les termes u 1, u, u 3, u 4 et u 5 (a) Placer dans un repère les points M n de coordonnées (n ; u n ) (b) Que constate-t-on? Propriété 43 La représentation graphique d une suite arithmétique est constituée de points alignés 44 Sens de variation Propriété 44 Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r Si r > 0, alors (u n ) est Si r < 0, alors (u n ) est Si r = 0, alors (u n ) est Exemple 45 On considère la suite (u n ) définie par : u n = 5n 7 (u n ) est une suite arithmétique de raison r = Donc la suite (u n ) est 45 Limite Propriété 45 Soit la suite arithmétique (u n ) telle que : u n = u 0 n r Si r < 0, alors lim u n = Si r > 0, alors lim u n = n n Exemple 46 On considère la suite (u n ) telle que : u n = 4n 7 (u n ) est une suite arithmétique de raison r = Donc lim u n = n 46 Somme des termes Propriété 46 Soit s n la somme des (n 1) premiers termes d une suite arithmétique (u n ) de raison r, alors on a : s n = u 0 u 1 u n = (n 1) (u 0 u n ) Exemple 47 Soit la suite (u n ) définie par u n = n 3 s n = u 0 u 1 u n = Remarque La somme s des termes consécutifs d une suite arithmétique est donnée par la formule : 43 Suites géométriques 431 Définition premier terme dernier terme s = (nombre de termes) Définition 4 La suite (v n ) est géométrique, si pour tout entier naturel n, v n1 = q v n, où q est un réel non nul Le réel q s appelle raison de la suite géométrique David ROBERT 35
43 Suites géométriques Terminale STG v 0 v 1 v v 3 v 4 q 5 v n 1 v n v n1 Remarque Pour démontrer qu une suite (v n ) est géométrique, il suffit de vérifier que v n1 v n est constant Cette constante est la raison q { v0 = 3 Exemple 48 Soit (v n ) la suite définie par est une suite géométrique de raison q = v n1 = v n 43 Terme général en fonction de n Propriété 47 Si (v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 et de raison q, alors pour tout entier naturel n, on a : v n = Exemple 49 Soit (v n ) la suite géométrique de premier terme v 0 = 9 et de raison 3 Calculer v 5 Remarque Dans le cas d une suite géométrique (v n ), le terme v n est la moyenne géométrique des deux termes qui l encadrent : v n = v n 1 v n1 Propriété 48 Si (v n ) est une suite définie pour tout entier naturel n par le terme général v n = a b n, avec a et b deux réels, alors (v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 = et de raison q = Exemple 410 La suite (v n ) définie par : v n = 5 n est géométrique de raison q = 433 Représentation graphique Exemple 411 On considère la suite géométrique (v n ) définie par : v 0 = 1 et la raison q = 0,5 1 Calculer les termes v 1, v, v 3, v 4 et v 5 (a) Placer dans un repère les points M n de coordonnées (n ; v n ) Unités graphiques : 1 cm pour une unité en abscisses et 4 cm pour une unité en ordonnées (b) Que constate-t-on? La représentation graphique d une suite géométrique (v n ) est constituée de points situés sur une courbe qui n a pas été étudiée en seconde ni en première 434 Sens de variation Propriété 49 Soit la suite géométrique (v n ) telle que : v n = v 0 q n avec v 0 > 0 et q > 0 Si 0< q < 1, alors la suite (v n ) Si q = 1, alors la suite (v n ) est Si q > 1, alors la suite (v n ) est Exemple 41 Soit la suite (v n ) définie par v n = 30,8 n Déterminer le sens de variation de la suite (v n ) 435 Limite Propriété 410 Soit la suite géométrique (v n ) telle que : v n = v 0 q n avec v 0 > 0 et q > 0 Si 0< q < 1, alors lim v n = Si q > 1, alors lim v n = n n Exemple 413 On considère la suite (v n ) telle que : v n = 40,7 n (v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 = et de raison q = Donc lim v n = n 36 http ://perpendiculairesfreefr/
Terminale STG 43 Suites géométriques 436 Somme des termes Propriété 411 Soit s n la somme des (n 1) premiers termes d une suite géométrique (v n ) de raison q ( 1), alors on a : s n = v 0 v 1 v n = v 0 v n1 1 q = v 0 1 q n1 1 q Exemple 414 Soit (v n ) la suite géométrique de premier terme 5 et de raison 3 s n = v 0 v 1 v n = Remarque La somme s des termes consécutifs d une suite géométrique est donnée par la formule : de termes 1 qnombre s= premier terme 1 q David ROBERT 37