Le Paradoxe des jumeaux (le oyageur de Langein) Plan: Relatiité Restreinte (Speial Relatiity) Voyage spatial (inématique) Voyage spatial (propulsion) Annexe1: Contration des longueurs Dilatation du temps Annexe: Calul des paramètres du oyage spatial Quelques référenes: SAF ommission osmologie
La Relatiité Restreinte, est simple La Vitesse de la lumière est une onstante 0 0 Coulomb Ampère Faraday Maxwell (1871) Mihelson-Morley (1887) Lorentz Poinaré Einstein (1905) Minkowski Mais ses onséquenes heurtent beauoup le sens ommun εµ 1
Transformations de Lorentz-Poinaré xyzt x y z t ' ' ' ' ' repères Galiléens : O et O en mouement Vitesse de O' Si un éènement A est u en x, y, z, t dans O il sera u en x γ ( )( x t) ae γ ( ) 1 (fateur de Lorentz >1) t γ ( )( t x) y ' z' y z Ce hangement de oordonnées entraine la loi d'addition des itesses w + ' ' 1+ qui entraine aussi que est une itesse limite que l'on ne peut dépasser 1 Simultanéité?
"Distane" de éènements A et B Espae Eulidien de Newton Espae-temps de Einstein-Minkowski AB B A + B A + B A B A B A + B A + B A d (x x ) (y y ) (z z ) S (t t ) [(x x ) (y y ) (z z ) ] t t t Nouelle distane dans l'espae-temps AB B A S sera identique pour tous les obserateurs Galiléens S sera 0 pour éènements ausals S sera 0 sur le parours d'un photon la notion de ône de lumière d'un éènement ae la nappe aenir et la nappe passée si S est < 0 suiant l'obserateur A préède B ou l'inerse et il existe un référentiel de simulté *La loi d inertie de Sylester sur les formes quadratiques indique que la signature + ---est onserée dans tous les hangements de repère est à dire qu il existe toujours une diretion temps
Voyage Spatial Objetif : Rejoindre une planète qui irule autour de l étoile alpha du entaure distante de 4.36 AL et si possible en reenir On onsidère que pour le onfort des astronautes le oyage se fera à aélération onstante, pendant la première partie du oyage on aélère, au milieu du parours on retourne la fusée et puis on déélère. On fait d autres hypothèses : longueur de la fusée 1000m masse au départ 100 000 tonnes. Dans le référentiel de la fusée : Dans le repère terrestre: Aélération : α La itesse de la fusée : V Le temps propre des astronautes : τ La distane parourue : X La itesse d'ejetion des gaz : u Le temps terrestre : T Ce que l'on herhe 'est exprimer V et X en fontion de T, τ et T en fontion de τ
Voyage Spatial (Cinématique) 1 Don nous sommes deant un problème de physique tout à fait standard, nous onnaissons l aélération d un mobile et nous deons trouer sa itesse et la distane parourue. Ce qui n est pas lassique est que l aélération est dans un repère en mouement aéléré et que la itesse de la fusée a s approher de la itesse de la lumière, dans le repère terrestre. Nous allons raisonner en Méanique lassique α g 9.80 m/ s V 9.80 T X 9.80 T 1 On doit parourir: 7 15 16 4.36AL 9.46 10 m 0.5.06 10 m T 6.49 10 s 4.11 ans V max 6.36 10 m/ s.1 8 1AL 9.46*10 8 15 1année 3.153*10 3*10 m g 9.80 m/ s m 7 s
Voyage Spatial (Cinématique) En Relatiité Restreinte on peut montrer qu à un instant donné τ (oir annexe) α 3 1 α γ α γ T t V th γ h α τ α τ α τ α τ 1 ( 1) X h α g α sh α τ Pour la demi-distane on obtient h 3.456 Ce qui donne pour l' aller τ 5.648 10 3.58ans 7 L'obserateur terrestre erra un oyage aller de 6 ans Les astronautes 3.58 ans La itesse atteinte au milieu du parours sera de 0.95
Voyage Spatial (Cinématique) 3 On a supposer que des obserateurs regardent passer la fusée Les premiers sont sur Pluton (6 milliards de km) La itesse n est alors que de 0.0361 et la longueur obserée sera de 999.35m Les seonds sont au milieu du parours ou la itesse est max 0.95 Ils erront passer une fusée qui leur paraîtra de 310 m de longueur
Voyage Spatial (propulsion) 1 Comment propulser notre fusée? Quelques ordres de grandeur : Au milieu du trajet la itesse est maximum 0.95 L augmentation de masse de la fusée est : M M0 γ () Son énergie inétique : 0 5 E. M 1.98 10 joules Le soleil : 6 4.5 10 joules / s (700 Megatonnes H / s) Une bombe H de une mégatonne : 15 4.18 10 joules Il nous faut de l ordre de 5 milliards de bombes H
Voyage Spatial (propulsion) Dans le référentiel des astronautes les lois lassiques de propulsion des fusées s appliquent : m0 Ln α τ m I 1 sp Isp est l impulsion spéifique La distane est onnue et le temps propre du oyage aller est alulé en fontion de l aélération : h α τ Cas ou 3.456 ( α τ ) 1.8458 Isp m m 0 1 40 Cas du moteur à fusion : Isp 0.118 m0 m 1 13 4 10 Même ae un moteur à antimatière on arrie ae seulement.5% de la masse de départ
Voyage Spatial (propulsion) 3 On peut se dire que nous nous approhons de trop près de la itesse de la lumière et ela oûte très hère en énergie Si on suppose une aélération de : Durée du oyage aller: 40 ans Ae un moteur à antimatière : Ae un moteur atomique : 0.1 m/ s m0/ m 1 1.53 m / m 37.3 0 1 Si on suppose une aélération de: Durée du oyage aller: 144 ans Ae un moteur à antimatière: Ae un moteur atomique: m0/ m 1 1.16 m / m 3.6 0 1 0.01 m/ s
Voyage Spatial (propulsion) 4 La diffiulté ient du fait que l on aélère non seulement la harge utile mais aussi de la masse «de propulsion». Quelques idées qu il faudrait approfondir : Propulsé le aisseau spatial par l ation d un faiseau laser terrestre sur une oile Colleter son arburant dans l espae Utiliser l énergie noire omme antigraité Naiguer à traers un trou noir
Validité de la RR exemples d appliations / érifiations : L un à faible itesse le GPS Le seond à grande itesse le LHC
Le GPS
Le GPS Satellite loks are slowed by their orbital speed but sped up by their distane out of the Earth's graitational well. Aording to the theory of relatiity, due to their onstant moement and height relatie to the Earthentered inertial referene frame, the loks on the satellites are affeted by their speed (speial relatiity) as well as their graitational potential (general relatiity). For the GPS satellites, general relatiity predits that the atomi loks at GPS orbital altitudes will tik more rapidly, by about 45.9 miroseonds (µs) per day, beause they hae a higher graitational potential than atomi loks on Earth's surfae. Speial relatiity predits that atomi loks moing at GPS orbital speeds will tik more slowly than stationary ground loks by about 7. µs per day. When ombined, the disrepany is about 38 miroseonds per day; a differene of 4.465 parts in 10 10. [58] To aount for this, the frequeny standard on board eah satellite is gien a rate offset prior to launh, making it run slightly slower than the desired frequeny on Earth; speifially, at 10.999999543 MHz instead of 10.3 MHz. [59] Sine the atomi loks on board the GPS satellites are preisely tuned, it makes the system a pratial engineering appliation of the sientifi theory of relatiity in a real-world enironment. Plaing atomi loks on artifiial satellites to test Einstein's general theory was first proposed by Friedwardt Winterberg in 1955. [60]
Le Large Hadron Collider LHC Dans les aélérateurs omme le LHC les itesses atteintes par les partiules sont très prohes de. Les protons du LHC atteignent une énergie de 7 Te est à dire 7000 fois leur énergie de masse Mo ( 1 Ge ) V 0.99999999
référentiels en mouement R et R' de itesse relatie. Ce qu'il faut imaginer 'est que dans les référentiels R et R' on a une infinité d'obserateurs Les obserateurs de haque référentiel sont tous équipés d'une horloge. Les obserateurs de R regardent la règle L' du référentiel R' Les bouts de règle sont éènements simultanés dans R' x', t' et x', t' ae t' t' 1 1 1 Pour les obserateurs R, les éènements ne sont pas simultanés t t ar x' x' 1 1 1 1 1 Si l'on eut faire une mesure de la règle dans R, il nous faut éènements simultanés dans R On eut don t t γ( t ' + x' ) γ( t ' + x' ) x γ( x' + t') et t γ( t' + x' ) t' t' L' 1 On herhe 1 1 1 1 1 L' 1 x γ ( x' + t' ) x γ ( x' + t' ) x x x x γ L L L ( ' ') Annexe 1 L L' d'ou l'obseration par obserateurs de R d'une ontration apparente des longueurs de R'
Annexe 1 (suite) Il y a façons d'obserer les horloges de R' Je suis en O et je regarde passer les horloges de R' Nous sommes dans R et nous regardons l'horloge qui est en O' x γ x + t t γ t + 1 γ ( ' ') et ( ' x ' ) On obtient ainsi t γ t' omme γ > 1, t > t' il y a dilatation du temps L L'
Annexe On différentie la formule d'addition des itesses w dw + ' 1+ ' (1 + ) d ' ( + ')( ) 1 1 ' d ' ' (1 + ) dans ette formule ' 0, la fusée est fixe dans son repère d d d γ γ '(1 ) ' L'aélération de la fusée dans son repère est α : d ' αdt ' On obsere dt ' dans le repère terrestre dt γ dt ' On obtient l'aéleration dans le repère terrestre α 3 d 3 d (1 γ ) d dt dt dt α ( γ ) α t 1 + α t T αγ Maintenant il faut intégrer fois pour obtenir le mouement dans le repère terrestre αt γ entraine α t αt + α t on intègre enore une fois x 1 α t + α t 0 d dt + α t x t α + + α α α 1 ( 1) 1 3 α x + x α t 0 donne x en fontion de t
nnexe (suite) t' τ V En utilisant : d dt, 1 d αdτ, argth ατ 1 On obtient : t α V th ατ ατ τ γ 3 e α αγ hx T γ h sh ατ X h thx ( ατ 1) α x + e x h x sh x 1 hx shx
Quelques Référenes et ompléments: Texte de la présentation faite en juillet 00: http://www-osmosaf.iap.fr/paradoxe%0de%0langeinpres.pdf Calul par la méthode de la rotation de Wik (ou omment résoudre le problème en le traitant en géométrie eulidienne) : http://www-osmosaf.iap.fr/spoirier-relatiite.htm Une tradution d'une FAQ de J. Baez qui m'aait bien amusé.. http://www-osmosaf.iap.fr/p-langein-1.htm le paradoxe en espae Hypertorique ompat. http://www-osmosaf.iap.fr/hyperparadoxe_langein.htm