1 ES PROILITES Cours 1 ) Loi de probabilité sur un ensemble fini. Définition E = {e 1, e 2,..,e n } est l ensemble des issues d une expérience aléatoire. (Univers) Définir une loi de probabilité sur E, c est associer à chaque issue e i un nombre p i positif ou nul de telle façon que p 1 + p 2 +.. + p n = 1. Le nombre p i est appelé probabilité de l issue e i. Retenir que : 0 p i 1 Exemple 1 : Une urne contient 6 boules (indiscernables au toucher) numérotées de 1 à 6.On extrait une boule au hasard. Déterminer la loi de probabilité associée à cette expérience : issue 1 2 3 4 5 6 probabilité Exemple 2 : On lance un dé qui à une face 1, deux faces 2 et trois faces 3. Déterminer la loi de probabilité associée à cette expérience : issue 1 2 3 probabilité Remarque : dans l exemple 1, toutes les probabilités sont égales : on est dans une situation d équiprobabilité. Dans ce cas, la probabilité d une issue est 1 où n est le nombre total n d issues. Théorème Loi des grands nombres : Pour une expérience donnée, réalisée sur une grande série, la distribution des fréquences se rapproche de la loi de probabilité. Exemple 3 : En lançant un dé truqué 1000 fois, on a obtenu les résultats suivants : face 1 2 3 4 5 6 pourcentage 15% 15% 15% 15% 15% Déterminer la fréquence du 6 puis la loi de probabilité : face 1 2 3 4 5 6 probabilité 2 ) Evénements. Définition E est l ensemble des issues d une expérience aléatoire, muni d une loi de probabilité. Un événement est une partie de E. La probabilité de, notée P() est la somme des probabilités des issues qui réalisent ou 0 si est l ensemble vide. Suite exemple 3 : On considère la loi de probabilité du dé pipé ci dessus. Si est l événement : «la face est paire», compléter : = {2 ; 4 ; 6}. p() = ----------------------------- = ---------- est l événement : «la face est un multiple de 3», = {3 ; 6} p() = --------------------- = ------------ est appelé événement impossible : p( ) = 0 E est appelé événement certain : p(e) = 1 Un événement constitué d une seule issue est un événement élémentaire. Si est un événement, 0 p() 1 page 1
1 ES PROILITES Cours Théorème Loi de Laplace : Equiprobabilité Dans le cas d une loi équirépartie, la probabilité d un événement est : nombre d issues qui réalisent nombre de cas favorables p() = = nombre d issues dans E nombre de cas total Il faut pour cela que les évènements élémentaires soient équiprobables. Exemple 4 : On tire une carte au hasard d un jeu de 32 cartes. Soit,, C et D les événements suivants : : la carte est le roi de cœur : la carte est un cœur C : la carte est un roi D : la carte est un 10. Compléter, p() = ---------, p() = -----------, p(c) = ----------- p(d) = ----------- Définition Soient et deux événements. L événement «et», noté est constitué des issues qui réalisent à la fois et. L événement «ou», noté est constitué des issues qui réalisent au moins un des événements ou L événement contraire de, noté est constitué des issues qui ne réalisent pas. Les événements et sont incompatibles s ils n ont aucune issue en commun. Suite exemple 4: C = ------- C : ------------------------------------- : -------------------------------------------- Les événements et D sont-ils incompatibles? ------------ Citer deux évènements incompatibles : -------------------- Théorème p( ) = p() + p() p( ) p( ) = 1 p() Si et sont incompatibles, p( ) = p() + p(). Suite ex 4: Calculer les probabilités des événements suivants : E : la carte est un cœur ou un roi. F : la carte n est ni un cœur, ni un roi. p(e) = p( C) = p() + p(c) p( C) = -------------------------------------------------------------- p(f) = p( E) = 1 p(e) = ------------------ 3 ) Variables aléatoires Exemple 5 : Un jeu consiste à lancer un dé bien équilibré. Le joueur empoche une somme égale à 4 si ce nombre est un multiple de 3 et paye le montant indiqué à la banque dans le cas contraire. page 2
1 ES PROILITES Cours a) Les gains possibles sont les suivants : (compléter le tableau) Face e i 1 2 3 4 5 6 Gain X(e i ) La fonction numérique G qui à chaque e i fait correspondre X(e i ) s appelle une variable aléatoire En nommant (G= x i ) l évènement constitué des antécédents du gain x i. On obtient une nouvelle loi De probabilité associée au gain algébrique du joueur : gain x i P(X = x i ) Remarques : Les (X = x i ) sont ----------------------------- ----------------- et --------------------------------------------------------------------- La réunion des (X = x i ) est --------------------------------------------- La somme des P(X= x i ) est égale à --------------- Définition Une variable aléatoire est une fonction numérique qui à toute éventualité fait correspondre un nombre réel et un seul. On note souvent X la variable aléatoire et x i l image d une éventualité (il y a un nombre fini d images). L évènement (X=x i ) est constitué des antécédents de x i par X Les (X=x i ) forment une partition de l univers Connaitre toutes les valeurs P(X=x i ) c est obtenir la loi de probabilité de La variable aléatoire X. La somme des P(X=x i ) est donc égale à : ---------- Exercice : En vous basant sur les remarques de l exemple 5, énoncer la définition d une partition : Définition 4 ) Paramètre d une variables aléatoire Pour alléger les notations, si X est une variable aléatoire on notera p i =P(X=x i ) page 3
1 ES PROILITES Cours La loi de probabilité de X est alors : valeurs possibles x i x 1 x 2 x n probabilité p i p 1 p 2 p n Définition : L espérance (ou moyenne) de cette variable X est le nombre noté E(X) à égal à : E(X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + + x n p n Définition : La variance de cette variable X est le nombre noté V(X) défini par : V(X) = (x 1 E(X))² p 1 + (x 2 E(X))² p 2 + + (x n E(X))² p n. La variance est également donnée par la formule : V(X) = x 2 1 p 1 + x 2 2 p 2 + + x 2 n p n 2 avec = E(X) Définition : L écart-type de cette loi, noté, est la racine carrée de la variance : = V(X) Exemple 6 : Calculer Espérance, variance et écart-type de la variable X de l exemple 5 E(X)= ------------------------------------------------------------------------------------------------- L espérance de cette loi est ----------. Cela signifie qu en moyenne, le joueur ----------------------- n V = (x i E)²p i i = 1 gain x i (x i E) (x i E)² probabilité p i V(X) = --------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------. 4 ) rbres pondérés et tableaux à double entrée: Exemple 1 : On choisit au hasard une personne de la population décrite ci-dessous : Malades Sains Fumeurs 400 4600 Non fumeurs 600 14400 est l évènement : «la personne fume» ; est l évènement : «la personne est malade». 1) Compléter les arbres et tableaux suivants avec les probabilités, en tenant compte des données précédentes : page 4
1 ES PROILITES Cours Probabilité totale Probabilité totale On pourrait échanger les rôles de et, ce qui fourni l arbre suivant : 2) Compléter : P( ) = ---------------------------------------------------- P ( ) = --------------------------------------------, P( ) = -------------------------------------------------- et enfin P ( ) = ---------------------------------------------- 3) l aide du premier arbre et de la formule des probabilités totales, compléter : P() = ------------------------------------------------------- 4) l aide du deuxième arbre et de la formule des probabilités totales, compléter : P() = ------------------------------------------------------- page 5
1 ES PROILITES Cours Pour résumer, Dans un arbre pondéré : D après la loi des nœuds : --------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------- D après la formule des probabilités totales ----- --------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------- La somme des probabilités produits : ---------------- Exemple 2 : Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes. On tire deux boules au hasard successivement sans remise. est l évènement : «la première boule tirée est rouge» ; est l évènement : «la deuxième boule tirée est rouge».. 1) Compléter l arbre ci-dessus avec les probabilités requises 2) Calculez P() = ------------------------------------------------------------------- 3) Soit C l évènement «les deux boules sont de la même couleur» Calculez P(C) : ------------------ ----------------------- ----------------------- ----------------------- ----------------------- ---------------------- Pour aller un peu plus loin : Chaque boule rouge tirée vous rapporte 1 et chaque boule verte vous fait Perdre 1.Le jeu décrit est il équitable? Justifier sur une feuille à part en calculant l espérance d une variable aléatoire.. page 6