Fonctions affines I. Fonction affine éfinition : Soient a et b deux réels. Une fonction est dite affine quand, à tout réel, on associe le nombre Toute fonction affine est définie sur On note f : a Cas où b = 0 Cas où a = 0 La fonction f définie par f : a est une fonction La fonction f définie par f : a est une fonction II. Sens de variation d une fonction affine Théorème : a > 0 f est strictement a < 0 f est strictement a = 0 f est - + - + - + f f f émonstration : méthode 1 : différence des images : Soient x 1 et x 2 deux réels tels que x 1> x 2, on compare les nombres f ( x 1 ) et f ( x 2). f ( x 1 ) f ( x 2) =... comme.............................alors ( x 1 ) ( x 2 ) est du signe de a. Méthode 2 : inégalités successives si a > 0 on sait que x 1> x 2 si a < 0 on sait que x 1> x 2 si a = 0-1 -
Application : : a 2 1 est une fonction croissante sur R car le coefficient directeur vaut 3 : a 2 3 est une fonction décroissante sur R car III. Représentation graphique d une fonction affine Propriété admise : ans un repère, la représentation graphique d une fonction affine est a s appelle le b s appelle Réciproquement : toute droite non parallèle à l axe des ordonnées est la représentation graphique d une fonction affine. Cas particuliers : si b = 0 alors ( ) et la représentation graphique d une fonction est : si a = 0 alors ( ) et la représentation graphique d une fonction est :.. IV. Signe de ( ), a 0 Pour a 0, on en déduit le signe de suivant les valeurs du réel a. Théorème : Pour a 0, ax + b est du signe de a pour les valeurs de qui sont supérieures à la valeur qui annule ax + b Lorsque b est non nul, le tableau de signe de ( ) est donné par : émonstration : - 2 -
Les deux cas illustrés : V. Proportionnalité des accroissements Théorème : Pour toute fonction affine f de coefficient directeur a : Les accroissements de f(x) sont proportionnels aux accroissements de la variable x. Cela signifie que pour tous réels u et v distincts, les nombres ( ) ( ) sont proportionnels : Si ( ) alors pour tous réels u et v distincts on a : ( ) ( ) émonstration du théorème : ( ) ( ) Cas particulier : si f est une fonction linéaire définie par ( ), alors ( ) est proportionnel à... Et le coefficient de proportionnalité est... Réciproquement, toute relation de proportionnalité peut se traduire par une fonction... Interprétation graphique : L équation y = ax + b s appelle. Les nombres a et b nous donnent des indications pour tracer la droite représentant la fonction affine f : Interprétation du nombre b : b est l ordonnée à l origine ce qui signifie que la droite passe par le point (0 ; b). Autrement dit, la droite représentative d une fonction affine coupe toujours l axe des ordonnées au point d ordonnée b. - 3 -
Interprétation du nombre a : Le coefficient directeur a de la droite représente la pente de la droite : pour un décalage horizontal de 1 unité, le décalage vertical est de a unités. Si a s écrit q p alors pour un décalage horizontal de q unités, le décalage vertical est de p unités : Remarque : on peut représenter la pente de la droite en partant de l ordonnée à l origine. - 4 -
VI. Applications Objectif 1: Appliquer la formule du coefficient directeur (taux d accroissement) a) éterminer une fonction affine connaissant deux nombres et leurs images respectives. 1. f est une fonction affine f(2) = 4 et f(5) = -2 Calcul de a : f(u) f(v) a = u v a = f(2) f(5) 2 5 a = 4 (-2) 2 5 2. f est une fonction affine f(3) = 1 et f(5) = 7 3. f est une fonction affine f(-4) = 5 et f(-1) = 5 4. f est une fonction linéaire telle que f(2) = 6 a = 6-3 = - 2 Calcul de b : ( ) 2 4 4 4 8 Conclusion : ( ) b) Voici les tableaux de valeurs de différentes fonctions affines. Retrouver le taux d accroissement puis les valeurs manquantes. 5. 6. 7. a = a = a = Objectif 2 : Lire graphiquement ou représenter une fonction affine. a) éterminer graphiquement l expression de la fonction affine dont on a tracé la courbe 4. ( ) - 5 -
VII - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLE (ou par morceaux) 1) éfinition : une fonction est affine par intervalle quand sa représentation graphique est la réunion de segments de droite ou de demi-droites. 2) exercices d application : 2x + 3 si x 1 ex.1 : Soit la fonction f définie sur R par ( ) = 2x 1 si x > 1 1) Calculer f(0), f(3). 2) Représenter graphiquement la fonction f. 3) Ecrire un algorithme qui, après avoir demandé à l'utilisateur, renvoie ( ). ex.2 : Une fonction f est représentée graphiquement ci-dessous, explicitez ( ) selon les valeurs de. B y 5 C 4 3 2 1-3 A -2-1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x -2 E -3-4 -5-6 -