Exercices sur le régime sinusoïdal forcé S. Benlhajlahsen Dans tous les exercices, on étudie les circuits en régime sinusoïdal forcé. I. ame de TGV u i i,, Un moteur de rame de TGV est modélisé comme l association en série d une bobine idéale =0.0 H et d une résistance =.0 0 alimentée sous une fréquence de 50 Hz. On note u m l amplitude de la tension sinusoïdale aux bornes de l ensemble.. Déterminer l amplitude du courant qui la parcourt. Tracer l amplitude du courant i m = f(ê) en fonction de la pulsation. ommenter physiquement les comportements asymptotiques.. Déterminer le déphasage Ï entre la tension et l intensité. ommenter physiquement les comportements asymptotiques. 3. EDF demande à la SNF de brancher en parallèle à son installation un condensateur 0 de telle sorte que le déphasage du courant dans l ensemble par rapport à la tension aux bornes de l ensemble soit nul. Déterminer l expression et la valeur de 0. Faire un représentation de Fresnel de la situation. 4. On envisage une variation de la capacité, celle-ci devenant = 0 +. Exprimer l impédance de l ensemble et le nouveau déphasage entre tension et courant. II. Détermination d une intensité On considère le circuit de la figure. On pose u(t) = u m cos(êt). Figure. Déterminer, en SF, les intensités complexes i et i.. Pour quelle valeur de, lesintensitési et i sont-elles en quadrature? 3. Quelle relation supplémentaire doit-on avoir entre, et pour que les intensités maximales soient égales? III. On considère le circuit de la figure. On pose u(t) = u m cos(êt) et i(t) =i m cos(êt + Ï). u i Figure. Quelle condition doivent vérifier, et Ê pour que i m soit indépendant de?. ette condition étant remplie, calculer i m et Ï en fonction de u m, et. 3. A quelle condition supplémentaire sur, et Ê, le déphasage Ï est-il nul?
IV. Etude d un pont On considère le circuit de la figure 3 alimenté en régime sinusoïdal forcé : u A = u e = u m cos(êt + Ï) d amplitude complexe U e = u m e jï. i i A Z Z B D Z 4 Z 3 e ' Figure 4. Donner la représentation de Thévenin équivalente au dipôle actif AB. On note Z e l impédance de la représentation de Thévenin.. Quelle est la valeur de Z pour que Z e =0? Par quelle élément peut alors être constitué Z? Z A B Figure 3 VI. Mesure d une inductance. es impédances sont celles-ci : Z = résistor de résistance en série avec un condensateur de capacité ; Z 4 = résistor de résistance en parallèle avec un condensateur de capacité ; Z = ; Z 3 = 3. (a) Déterminer la condition d équilibre du pont (c est-à-dire la condition pour laquelle u BD = 0). (b) e pont peut-il être équilibré en régime périodique non sinusoïdal?. On a maintenant : Z = Z 3 =, Z = Z 4 = Z = X + jy. On posera u s (t) =u BD (t) dont l amplitude complexe est U s. (a) Exprimer u s en fonction de u e,etz. (b) Quelle doit-être la nature de Z pour que le module de u s /u e soit égale à l unité quelque soit la valeur de et de Z? (c) e composant d impédance Z est un condensateur de capacité. Exprimer le déphasage entre u s (t) et u e (t). Quelle est alors l intérêt du montage si est variable? On réalise le montage représenté en figure 5 et on constate sur l oscilloscope que pour une fréquence f 0 = 80 Hz, les signaux recueillis sur les voies X et Y sont en phase. X, r e(t) Figure 5 Données : = 00, = 0 µf. En déduire l expression puis la valeur de l inductance de la bobine. VII. Sélection de fréquence On considère les deux dipôles ci-dessous. A M M B Y V. eprésentation de Thévenin On considère le montage de la figure 4.. Pour quelle valeur Ê 0 de la pulsation Ê, lesdeux dipôles (AM et MB) ont-ils même impédance?
. es deux dipôles sont utilisés dans le montage en pont ci-dessous, alimenté par une tension sinusoïdale e(t) =e m cos(êt). Exprimer la tension complexe u MN. Quel est l intérêt d un tel montage? A VIII. r M N e(t) r Source à ultrasons Une sonde à ultrasons est destinée à être appliquée sur le corps, à proximité de la zone à examiner. ette sonde est constituée d un ensemble de transducteurs élémentaires à ultrasons. On admet que, dans une certaine zone de fonctionnement, le schéma électrique équivalent du transducteur vu entre ses bornes, se ramène au circuit ci-dessous, avec 0 = pf, = 5 pf, = 90 µh et = 350. u A B 0. Exprimer l impédance Z AB (jê) en fonction de,, 0 si l on néglige. Tracer l évolution de Z AB en fonction de Ê.. Vue la forme de la courbe précédente, il existe deux pulsations Ê p et Ê s du système, qui correspondent à des comportements mathématiques B IX. extrêmes. Donner ces deux pulsations et les valeurs de Z AB correspondantes. es calculer numériquement et commenter. Mesure de température dans une sonde à bruit Johnson agitation thermique des électrons dans une résistance engendre des fluctuations de tension à ses bornes, appelées bruit Johnson qui permet de remonter à la température. Pour faire l analyse du phénomène, on étudie le circuit fictif formé par un générateur réel (générateur idéal e(t) et résistance interne ) et un condensateur de capacité. On étudie donc d abord le cas d un générateur de tension sinusoïdale e f (t) =e mf cos (fift), de fréquence f ; l énergie électrique moyenne stockée dans le condensateur est notée ÈE cf Í = K q Dans tout ce qui suit, ÈXÍ désigne la valeur moyenne temporelle de la grandeur X, moyennéeentret =0et t æœ.. Exprimer E cf puis en déduire ÈE cf Í en fonction de,, f et e mf.. a f.é.m. fluctuante e(t) peut être considérée comme la superposition de sinusoïdes ; pour l intervalle fréquentiel [f; f +df], la contribution e mf à e mf est donnée par : e mf = u(f) df où u(f) est la densité spectrale. Ici, on prendra u(f) =u 0 =cte. Exprimer alors la moyenne ÈE c Í. On rappelle que : dx = arctan (x)+cte +x 3. On peut montrer statistiquement que ÈE c Í = k B T. En déduire, en fonction de la densité spectrale u 0,de et de k B, une expression de T.. c est le cas d un bruit "blanc" où toutes les fréquences ont le même poids dans la décomposition spectrale. 3
Oraux concours entrale-supélec X. Modélisation d un haut-parleur Un haut-parleur est un dipôle électrocinétique dont l impédance dépend de la fréquence du signal sinusoïdal auquel il est soumis. impédance du haut-parleur a été mesurée expérimentalement à di érentes fréquences (figure 6). es points de mesures sont représentés par des disques noirs et la barre d erreur prend en compte les incertitudes expérimentales. a courbe (en rouge) est le résultat d une modélisation. On souhaite étudier le comportement d une bobine d auto-induction, d inductance, en fonction de la fréquence. Pour cela, on envisage de mesurer le module de son impédance équivalente Z en fonction de la pulsation Ê puis de tracer Z en fonction de Ê.. En considérant que la bobine utilisée est idéale, représenter l allure du graphe que l on obtiendrait expérimentalement. omment pourrait-on en déduire la valeur de?. De même, en considérant que la bobine utilisée est modélisable par l association en série d une résistance s et d une inductance pure, représenter l allure du graphe que l on obtiendrait. omment pourrait-on en déduire les valeurs expérimentales de s et de? 3. Dans la Data-Sheet du composant, on trouve le graphe représentant log Z, en fonction de log Ê comme représenté figure 8. Figure 6: Impédance d entrée du haut-parleur en fonction de la fréquence.. Proposer un protocole expérimental pour réaliser l étude.. Parmi les quatre dipôles de la figure 7, un seul modélise le comportement fréquentiel du hautparleur. (a) equel et pourquoi? (b) Déterminer les valeurs des résistances, capacités et inductances des composants du dipôle équivalent. Modélisation d une bobine (a) Montrer que la modélisation représentée figure 9, est compatible avec la Data-Sheet, et notamment préciser l expression de la pulsation propre Ê 0 et du facteur de qualité Q du circuit parallèle intervenant dans la modélisation. s Figure 9: Modélisation large-bande de la bobine étudiée (b) En déduire un ordre de grandeur de s, et p. (c) ompte-tenu des ordres de grandeur trouvés, l obtention expérimentale de ce graphe vous paraît-elle possible au laboratoire? p Éléments de réponses I. On se place en notation complexe. e moteur est alimenté avec une tension complexe u = u m e jêt et on cherche le courant complexe i = i m e j(êt+ï). Si on note Z = + jê alors le courant vérifie : i = u Z = u +jê. amplitude du courant vérifie alors : i m = u m Ô + Ê omportements asymptotiques : 4
Figure 7: Quel dipôle équivalent? log ( Z ) 6 5 4 3 log (!) 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Figure 8: Impédance de la bobine d aprés la Data-Sheet pour Ê æ 0, la bobine se comporte comme un fil et i m = um. pour Ê æœ, la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert et i m =0. u m i m Ô + Ê u m Ô Ï > 0 donc Ï = arctan Ê. Ê u m Ô. On remarque que tan Ï = Ê Ê < 0 et cos Ï = 3. admittance de l ensemble vaut Y = jê + +jê. e courant est en phase avec la tension si Y est réel ce qui est le cas si = 0 = + Ê 9. 0 6 F 4. Dans ce cas, l admittance devient : 5
Y = + Ê + j Ê e nouveau déphasage entre courant et tension vaut alors : Ï = arg (Y )= + Ê Ê. En SF, on trouve II i = i m e j(êt+ï ) u avec i m = Ô m et Ï + Ê = arctan Ê. De même, i = i m e j(êt+ï ) u avec i m = Ò m et tan (Ï ) = +(Ê Ê) Ê Ê.. Seul le cas d une quadrature avance de i sur i est possible. a condition est alors = 3. i m = i m si Ê =. III + Ê.. impédance totale Z doit être indépendant de. Méthode : d Z d =0. Méthode : Z a la meême valeur. Donc on peut étudier les cas limites, æ 0 et æ +Œ. On trouve alors Ê =. Dans ces conditions, l impédance Z vaut : Z = jê jê + jê = jê +jê jê 3. omme i = u Z, alors i m = i = Êu m et Ï = Arg (Z) soit : Ï = fi arctan (Ê) e déphasage entre la tension et l intensité est nul lorsque Ê =. IV. (a) On montre facilement que : u BD = 3 Z Z 4 u Z + Z 3 Z + Z e 4 e pont est alors équilibré si Z Z 3 = Z Z 4. (b) a relation précédente fait intervenir la pulsation Ê du signal sinusoïdal en entrée. omme cette condition est une équation polynomiale complexe vérifiée par Ê, seul un nombre limité de pulsation peuvent vérifier cette condition. D autre part, dans le cas d un signal périodique non sinusoïdal, celui-comporte une infinité d harmoniques de pulsations di érentes. a condition ci-dessus ne pourra pas alors être vérifiée par toutes les harmoniques. e pont ne sera alors pas équilibrée.. (a) Dans ce cas : u s = 3 Z Z + 4 u Z + e (b) Dans le cas où Z est imaginaire pur, le rapport u s /u e. (c) Pour Z = jê, alors : u s = jê u e +jê e module est bien unitaire. Si on note Ï le déphasage entre u s et u e, alors : Ï = arctan (Ê) e montage est un déphaseur, c est-à-dire que la modifie de modifie Ï sans modifier l amplitude. VI es deux voies sont en phases si e(t) et i(t) sont en phase. ela impose que l impédance totale des dipôles linéaires en série soit réelle. On obtient alors : = +4fi 44 mh f VII. Ê 0 =.. u MN = Z AM Z AM +Z e. Si on se place à la MN pulsation Ê 0, u MN =0. e montage peut servir de fréquencemètre. 6
VIII. En négligeant la résistance, l impédance vaut : Z AB Ê Z AB = j ( + 0 ) Ê 0Ê + 0 Ici, on travaille sur e donc e (t) = Soit encore, e (t) = e = e mf cos (fift) u 0 (f) cos (fift)df Dans ces conditions, l énergie stockée vaut alors : f s f p On Ò voit apparaître deux Ò pulsations : Ê s =fif s = et Ê s =fif s = +0 0.. Ê s = 8.7 0 6 rad s et Z AB =0. Ê p = 4. 0 6 rad s et Z AB æœ. IX. Si on note q(t) = q mf cos (fift + Ï) la charge de l une des armatures du condensateur alors une étude en SF prouve rapidement que q mf = e mf et Ï = arctan (fif). Ô+(fif) a moyenne temporelle est définie ici par : Ès(t)Í = lim tæœ t t s(t)dt t=0 énergie moyenne stockée dans le condensateur vérifie : ÈE cf Í = = = K q mf cos (fift + Ï) e e mf +(fif) e mf 4 +(fif) car + cos (fift + Ï), =.. e signal peut s écrire sous la forme : e(t) = e f f cos (fift + Ï) ÈE c Í = = = = u 0 6 ÈdE cf Í 4 +(fif) e mf u 0 4 +(fif) df X. On peut tracer les caractéristiques d un dipôle passif, c est à dire i = f(u), grâce à l un au choix des montages de la figure 0. Noter que le montage avec AO n est pas exigible. (a) Analyse qualitative des quatre montages (on note Z = Z ) : Montage Z àbf Z à HF Z pour Ê = Ê 0 Œ Œ Ê 0 0 0 0 + 3 Œ 4 0 + 0 + 0 On observe une résonance et après cette résonance, Z est constante (c est une résistance =9.0 d après le graphique), voir augmente un peu (on pourrait associer en série avec une inductance ) : e premier montage ne convient pas. impédance à la résonance reste finie, elle est de l ordre de 3 : e troisième montage ne convient pas. a valeur de Z à la résonance est supérieure à celle de que l on obtient en continu ou à très haute fréquence : le quatrième montage ne convient pas. Ainsi, le montage qui convient est le second montage. On a alors : 7
Figure 0: Deux montages pour l étude d un dipôle passif Z = 0 + 3 + j Ê 4 Ê = 0 + 3 +j Ê 4 Ê De la forme : Z = 0 + Avec : Ê = 3 Ê +jq Ê0 Ô et Q = Ê 0 = Ê Û 0 = Ê 4 0 Ê (b) a pulsation de résonance est telle que Ê 0 = fif 0 = Ô avec f 0 = 60 Hz d après le graphique. a bande passante est f = f 0 Q = 30 Hz d après le graphique avec le facteur de qualité Q = Ò. Enfin, lors de la résonance, Z max = + 0 = 3 soit = 4. Ainsi, la résolution de = 4Ò et fi.60 = Ô donne. =4, 5 0 4 F et = 6 mh. emarque : la modélisation a été faite avec 0 = 9, 7, = 3, 6, Q =, 6 et f 0 = 60, 4 Hz. X. Dans le cas d une bobine idéale, on a Z = Ê : le graphe obtenu est donc une droite de pente.. Dans le cas d un circuit série, on a : Z = s + jê. A basse fréquence, on a Z = s. A haute fréquence, on a Z Ê. On obtient donc le graphe représenté figure. 3. (a) impédance du circuit proposé est de la forme : Z = s + p +jq Ê Ê 0 Ê 0 Ê Q = s + j Ê Ê 0 p + Q j Ê Ê 0 + j Ê Ê0 Ò où Ê 0 = Ô et Q = p. a modélisation met en évidence deux autres pulsations caractéristiques : Ê = s et Ê =. s Variation de Z en fonction de Ê : TBF BF és HF THF Ê π Ê Ê π Ê 0 Ê = Ê 0 Ê Ê 0 Ê Ê s s + s + p s + s jê jê e graphe obtenu est donc bien compatible avec la modélisation. 8
Z pente= s log! Figure D après l étude théorique, et en exploitant le graphe expérimental (voir figure ) on obtient : log s = s = 0. log ( s + p )=6 p + s =.0 0 6 p.0 0 6. log (Ê )= Ê =.0 0 rad s = s Ê = 00 mh. log (Ê )=9 Ê =.0 0 9 rad s = sê = 00 pf. Notons que l on peut confirmer les valeurs de et avec la pulsation de résonance : Ê 0 = Ô =.0 0 5.5 rad s. (b) a di culté principale est l ordre de grandeur des fréquences intervenant dans l expérience : en e et les e ets capacitifs de la bobine ne se font sentir que pour des pulsations supérieures à Ê 0 et donc des pulsations qui s étendent bien au delà de la bande passante des appareils utilisés en TP. 9
log ( s + p )=6 r log =4.5 log s = log (! )= log (! 0 )=5.5 log (! )=9 Figure 0