1. Enseignement des «nombres composés» Présentation des décimaux préconisée en 14 Extraits du programme du cours moyen : «Les élèves ont presque tous entendu parler de prix exprimés en francs et centimes, de poids exprimés en kilogrammes et grammes ( ) Il importe de leur faire comprendre l équivalence des deux expressions d un nombre concret, soit avec deux unités, soit avec une virgule : mètres et 1 centimètres =,1 m. (...) Il est bon que les chiffres décimaux, complétés au besoin par des zéros, correspondent à des unités pratiques. On est ainsi ramené à indiquer un nombre en francs avec deux décimales (c), un nombre en mètres avec deux ou trois décimales (cm ou mm)» 1. Enseignement des «nombres composés» La présentation semble avantageuse En présentant les nombres décimaux comme composés de deux parties - l une entière et l autre décimale - et en associant ces parties à leur unité, on ramène les nombres décimaux à un couple de deux entiers. Mais certains effets sont négatifs 1. Partie décimale limitée à deux ou trois chiffres En enseignant les nombres décimaux comme des nombres composés, ils sont limités à la mesure de grandeurs et donc à leur usage social, ils sont aussi limités au rang des plus petites unités pratiquées couramment.. Ordre perturbé sur l ensemble des décimaux Les relations ressemblent plus aux relations sur l ensemble des entiers naturels qu à celles sur l ensemble des décimaux. 3. Calcul (mental) perturbé On rencontre fréquemment chez les élèves des égalités du type,3 x,3 = 4, ou 17,3 + 1,8 = 38,11. 1 1. Enseignement des «nombres composés» Évolution des programmes depuis 14 14 à 170 : enseignement des nombres composés. 170 : le nombre décimal est le nombre de la mesure, contrairement à la fraction qui est un opérateur. Le nombre décimal reste considéré comme un nombre entier à un changement d unité près. Fractions de l unité L écriture 1/n désigne l aire d une part lorsqu il en faut n pour paver la feuille Exemples : 3, cm = 3 mm,3 km = 300 m 18 : l institution scolaire préconise de dissocier le nombre décimal de la mesure et de ses unités. Les décimaux sont des nouveaux nombres qui enrichissent la droite numérique. Ils sont reliés, dès le départ, aux fractions décimales. Ils répondent à des besoins concernant la mesure et le calcul. Depuis 18, on peut enseigner les décimaux à partir des fractions ou indépendamment. Dans le premier cas on utilise des situations de partage, de comparaison ou qui mettent en œuvre des opérateurs (agrandissement par exemple), dans le second cas on utilise des situations de mesure ou de repérage. 3 et p/n désigne l aire de la part obtenue par juxtaposition de p parts d aire 1/n. Ainsi 1/n est la valeur de la sous-unité (n est le dénominateur) et p est le nombre de ces sous-unités (p est le numérateur). 3/4 = 3 x 1/4 En multipliant par le même nombre k le numérateur et le dénominateur d une fraction, on obtient k fois plus de parts qui sont chacune k fois plus petite : la quantité désignée n est pas changée. 4
Fractions de plusieurs unités Le fractionnement par pliage peut être effectué sur une feuille qui représente plusieurs unités d aire. Fractions de plusieurs unités Par superposition, on retrouve l égalité entre trois quarts de l unité et le quart de trois unités : 1/4 de 3 unités Cette activité permet de donne un autre sens à la fraction p/n : l aire obtenue par le fractionnement d une surface qui mesure p unités en n parts de même mesure. Le fractionnement de plusieurs unités permet de retrouver aussi que 3/4 est la solution de l équation 4 x X = 3 En effet, 3/4 est le quart de trois unités, on obtient trois unités en prenant quatre fois 3/4. Bilan des deux types de situation Les situations de partage tissent le lien entre la division et le fractionnement : 3/4 = 3 x 1/4 et 3/4 = 1/4 de 3 3/4 est solution de l équation : 4 x X = 3 or 4 x X = 3 s écrit X = 3 4 on obtient donc 3/4 = 3 4. Usage dans des situations courantes a) Mettre en rapport la partie et le tout sans faire disparaître la valeur de chacun Le budget du ministère de l éducation nationale (France) est évalué à 77 milliards d'euros pour 007 sur un budget total de 7 milliards d euros. b) Indiquer la taille d une partie en référence au tout en faisant disparaître la valeur de chacun (notamment avec des pourcentages) À Paris, en 008, les locataires dépensent un tiers de leur revenus pour leur logement. Environ 8% du budget de l'état a été consacré en 007 au ministère de l éducation nationale. Finalement : 3/4 = 3 x 1/4 = 3 4. Et on prolonge à 1/4 x 3 7 8
Méthode de la commune mesure Méthode de la commune mesure longueur L longueur u On considère une longueur L et une longueur u. longueur L longueur u On considère une longueur L et une longueur u. r u r L = 1 u + u = 1 + r = 3 r - on reporte la petite longueur u autant de fois qu on le peut dans la grande longueur L, on suppose qu il y a un reste r1 ; - on reporte la longueur r1 autant de fois qu on le peut dans la longueur u, on suppose qu il y a un reste r ; - on reporte la longueur r autant de fois qu on le peut dans la longueur r1, etc. r u r L = 1 u + u = 1 + r = 3 r L / u = 7 / 4 ou L = 7 ä (1/4 de u) ou L = 7/4 de u r est une mesure commune à L et u car r va quatre fois dans u et sept fois dans L. Autrement dit, r permet de mesurer simultanément u et L, u mesure 4 r et L mesure 7 r. Pour comparer directement L et u, on fait abstraction de r et on dit que L est à u comme 7 est à 4. Ainsi, nous avons exprimé l égalité de deux rapports : L par rapport à u = 7 par rapport à 4 10 Méthode de coïncidence longueur u Reprenons les deux longueurs u et L. La comparaison de u et de L consiste ici à déterminer n et p tels que n reports de u coïncident avec p reports de L. longueur L Bilan des deux méthodes de comparaison La méthode de la commune mesure conduit plutôt à penser 7/4 de u comme 7 x (1/4 de u) Cela correspond au vocabulaire des fractions où 4 est le dénominateur et où 7 est le numérateur et cela correspond à la lecture : sept quarts de l unité. La méthode de coïncidence conduit plutôt à penser 7/4 de u comme 1/4 de 7u. Il s ensuit que : 4 x 7/4 de u = 7u et donc 7/4 est solution de l équation 4 x X = 7. C est-à-dire X = 7 4 Finalement, 7/4 = 7 x 1/4 = 1/4 x 7 = 7 4. 7 reports de u coïncident avec 4 reports de L! La longueur L mesure le quart de sept fois la longueur u 11 1
Usage dans des situations courantes a) Ratio hommes/femmes dans le recrutement des enseignants chercheurs (MC et PU) en 007 13 MC femmes et 1 MC hommes soit 3 hommes pour femmes ou taux de masculinité = 1, 31 PU femmes et 877 PU hommes soit 14 hommes pour femmes ou taux de masculinité =,8 b) Recette du cocktail «blue lagoon» 1 vol. de curaçao + 3 vol. de jus de citrons + 4 vol. de vodka. En pressant 4 citrons on obtient 10 ml de jus, combien faut-il ajouter de curaçao et de vodka pour préparer le cocktail? c) Dilutions Un(e) infirmier(e) doit prépare0 L d Ampholysine (détergent désinfectant) diluée à 0,%. Les fractions peuvent encore être considérés comme des opérateurs appliqués à des grandeurs. C est le cas pour indiquer une augmentation, par exemple. Un exemple : la situation d agrandissement du puzzle La situation la plus classique dans l enseignement est celle proposée par Guy Brousseau : l agrandissement d un puzzle. La fraction-mesure a déjà été manipulée par les élèves comme un ensemble de couples (nombres de feuilles, nombre de millimètres) pour évaluer l épaisseur de feuilles de papier. Dans cette nouvelle présentation, la fraction-opérateur est un autre ensemble de couples : les couples (longueur initiale, longueur image) dans une situation d agrandissement de figures planes sans déformation. Le meilleur représentant de cet ensemble serait le couple (longueur unité, image de l unité). 13 14 Un exemple : la situation d agrandissement du puzzle Un exemple : la situation d agrandissement du puzzle 4 7 «Voici un puzzle, vous allez en fabriquer de semblables, plus grands que les modèles, en respectant la règle suivante : le segment qui mesure quatre centimètres sur le modèle devra mesurer sept centimètres sur votre reproduction. Je donne un puzzle par équipe de ou, mais chaque élève fait au moins une pièce ou un groupe de en fait. Lorsque vous aurez fini, vous devez pouvoir reconstituer les mêmes figures qu avec le modèle.» 1 4 7 Ici, 7/4 représente le coefficient de l agrandissement (4 devient 7) qu on note (4 7) ou, ce qui est équivalent ( 7/). Certains combinent les informations et obtiennent ( 7+7/) Les élèves trouvent alors (1 7/4) puis ( 3/4), ( 4/4) On compare 7/4, 7/8 et 7/ ou (4 7), (4 8) et (4 ) en se référant à l image de 4. On compare 7/4, 7/3 et 7/ ou (4 7), (3 7) et ( 7) en se référant à l antécédent de 7. Ces comparaisons contribuent à conférer à ces fractions le statut de nombre. 1
Usage dans les situations courantes a) Une variation de prix Un bien coûte 143, euros TTC, quelle est sa valeur HT sachant que le montant de la TVA est 1,%? b) Comparaison de deux variations de prix Pour évaluer l évolution des prix, on relève tous les mois les prix de certains biens de consommation. On remarque en six mois pour deux articles les augmentations suivantes : Bien A : valeur passée 18,0, valeur actuelle 1,80 Bien B : valeur passée 37,80, valeur actuelle 40,10 Quelle est l augmentation la plus importante? c) Composition de deux variations Une action a baissé de 30%, le mois suivant elle augmente de 30%. Quel est le bilan pour l actionnaire? On trouve ce type de présentations dans les manuels pour le CM1 et le CM ainsi que dans des brochures destinées aux enseignants. On doit mesurer un segment [AB], on dispose d une unité de longueur et d une graduation. La mesure de la longueur du segment [AB] est comprise entre les deux nombres entiers et 7 ; ce qui n est pas très précis... 0 1 A 3 4 7 8 B 10 17 18 Le professeur propose de mieux voir ce qui se passe entre et 7 en agrandissant dix fois cet intervalle. On subdivise alors le segment compris entre et 7 qui mesure une unité de longueur, en dix segments de longueu/10 On complète la graduation en marquant + 1/10, + /10, etc. On peut écrire + 1/10 =,1 puis + /10 =, etc. La mesure du segment [AB] est comprise entre,3 et,4. Le professeur propose de mieux voir ce qui se passe entre,3 et,4 en agrandissant dix fois cet intervalle. On subdivise alors le segment compris entre,3 et,4 qui mesure 1/10 unité de longueur, en dix segments de longueur 1/100. On complète la graduation par + 3/10 + 1/100 etc. On peut écrire + 3/10 + 1/100 =,31 etc. La mesure du segment [AB] est comprise entre,37 et,38.,1,,3,4,,,7,8, 7,3,31,3,33,34,3,3,37,38,3,4 B Ce qui est plus précis mais... Ce qui est plus précis mais... B 1 0
Dans les manuels, le processus s arrête après trois ou quatre étapes : - soit parce que le point B est précisément situé sur une marque de graduation ; - soit parce que la précision de la mesure est jugée suffisante. Sur le plan théorique, il se peut que ce processus de mesure ne s arrête jamais. Si le processus s arrête, la mesure du segment [AB] est exprimée par une écriture décimale limitée, sinon l écriture est illimitée. Cette activité repose sur un postulat selon lequel tout point de la droite numérique peut être associé à un nombre. Une conception unificatrice de la notion de nombre s en dégage : les nombre sont les représentants des points de la droite numérique. 1 Critique de Guy Brousseau (188) Cette présentation des décimaux repose sur le fait que les subdivisions successives de l unité peuvent s effectuer indéfiniment mais, dans la pratique, de telles subdivisions sont impossibles et cela renforce la confusion entre les entiers et les décimaux. «Même si la définition laisse entendre que toutes les unités de grandeur peuvent être divisées en dix, ces divisions, ne sont jamais - dans l enseignement élémentaire - poursuivies impunément au-delà de l utile et du raisonnable, même à travers la fiction commode du calcul de la division. (...) Dans ces conditions, les décimaux restent munis d un ordre discret, celui des naturels (...) Souvent les comparaisons et les sommes de décimaux ne seront correctes que si ces derniers sont écrits avec le même nombre de chiffres après la virgule (...) et donc s ils s interprètent comme des naturels.» Bilan sur l enseignement des décimaux Les instructions ont beaucoup évolué Jusqu en 170, ils sont réduits à une écriture des mesures des grandeurs familières. De 170 à 180, c est l écriture décimale qui est mise en avant, traduction des nombres entiers après un changement d unité. L opposition est conservée entre le nombre-mesure dont l écriture est décimale et le nombre-opérateur dont l écriture est fractionnaire. Depuis 180, les fractions et les décimaux sont les nouveaux nombres qui vont pallier les insuffisances des premiers. Diverses situations permettront aux enfants de prendre conscience de la nécessité de disposer d autres nombres : (...) la fonction «diviser pa00» dans l ensemble des entiers naturels n est pas définie pour, pou 110, etc. (...) Lorsqu on veut exprimer la mesure de la longueur d un objet avec une unité choisie, l ensemble des nombres naturels est peu satisfaisant. (...) de nombreux points ne correspondent à aucun naturel. Par exemple : au milieu du segment défini par les «points» 10 et 103. 3 Bilan sur l enseignement des décimaux Les pratiques ordinaires d enseignement À l école primaire, les décimaux sont souvent présentés à partir des fractions décimales. Les facilités de calculs et de comparaisons que permettent les décimaux expliquent que ceux-ci sont privilégiés à l école comme dans la vie courante. En libérant les nombres décimaux de la mesure, on constate que l enseignement de la mesure des grandeurs familières a été délaissé. Une apprentissage complexe, difficile pour beaucoup Pour que les élèves attribuent aux décimaux un statut complet de nombre, il faut qu ils en aient les fonctions ordinales, cardinales et de calcul : repérage, mesure, comparaison de mesures et transformation de mesures. Les recherches et les évaluations montrent beaucoup de confusion concernant la signification des nombres décimaux et des représentations pauvres qui ne suffisent pas à traiter les situations courantes. 4