Cours CIN-5 : Hyperstatisme Compétences attendues: - Associer aux liaisons un torseur cinématique, - Déterminer la liaison cinématiquement équivalente à un ensemble de liaisons, - Paramétrer les mouvements d un solide indéformable, - Choisir et justifier la solution technique retenue 1 Interprétation cinématique de l'hyperstatisme On parle d'hyperstatisme lorsque la cinématique d'un mécanisme ne permet le montage qu'avec des conditions sur la position ou l'orientation des liaisons. On parle d'isostatisme lorsque l'on peut réaliser la fermeture de la chaine cinématique quelle que soit la position et l'orientation des directions caractéristiques des liaisons. x z y Tige de Corps de Figure 1 : Perspective du pilote automatique de safran A pivot glissant (B,x) = 2 corps de pivot (A,z) B 1 2 C tige de 3 D pivot (C,z) pivot (D,z) Figure 2 : Modélisation des liaisons (schéma cinématique et graphe de liaisons) La fermeture d'une telle chaine impose plusieurs conditions. En observant le bouclage par la liaison ayant le plus de degrés de liberté (ici la pivot glissant), on identifie la condition suivante droite (AB)=droite (BC) : - fermeture angulaire : 1 parallélisme : (AB)//(BC), - fermeture géométrique : 1 coïncidence des centres de liaison : = +. Le mécanisme est donc hyperstatique de degré 2. Ces conditions ne sont pas toujours facile à trouver. Afin de déterminer le degré d'hyperstatisme de façon systématique, il convient de définir un certain nombre de grandeurs. 1.1 Nombres d'inconnues cinématiques Les inconnues cinématiques sont l'ensembles de mobilités dans les liaisons : = où Nc est le nombre total d'inconnues de liaisons,! est le degré de mobilité de la liaison i. Exemple : "# = + + + = 2 + 1 + 1 + 1 = 5 Lycée Ferry Cannes Page 1 sur 5 TSI1
1.2 Nombre cyclomatique Le nombre cyclomatique détermine le nombre de cycles indépendants d'un mécanisme. On peut déterminer le nombre cyclomatique par la formule suivante : % = ' + où ( est le nombre cyclomatique (nombre de cycles indépendants), p est le nombre de pièces (ensembles cinématiques). Exemple : ( = 4 4 + 1 cycle indépendant. 1.3 Nombre d'équations cinématiques Les relations entre les mobilités sont obtenues par des fermetures angulaires et géométriques. En spatial 6 équations (3 rotations + 3 positions) par cycles indépendants. En problème plan, il ne reste que 3 équations (1 rotation + 2 positions) par cycles indépendants : Problème spatial: * = +. ( ' + ) Problème plan: * =.. ( ' + ) où Exemple : problème spatial /# = 6.1 /# est le nombre d'équations cinématiques, p est le nombre de pièces (ensembles cinématiques). 1.4 Mobilité m du mécanisme Les mobilités du mécanisme sont autant d'équations de fermetures qui ne donneront pas de relations entre les inconnues cinématiques des liaisons. 2 = 2 3 + 2 m : mobilités dans le mécanisme, m u : mobilités utiles (voulue dans le mécanisme), m i : mobilités interne (mobilité existant dans le mécanisme indépendamment de la mobilité utile). Exemple : m=1+=1 1.5 Degré d'hyperstatisme Le degré d'hyperstatisme (nombre d'équations de fermetures cinématiques redondantes par rapport aux inconnues cinématiques) est donné par la formule : 4 = 56 76 + 8 avec h le degré d'hyperstatisme du mécanisme, Ec le nombre d'équations de fermetures géométriques et angulaires, Nc le nombre de degrés de liberté de l'ensemble des liaisons, m le nombre de mobilités du mécanisme. BILAN Problème spatial : 4 = +. (9 : + ) + (2 3 + 2 ) Problème plan : 4 =.. (9 : + ) + (2 3 + 2 ) avec Lycée Ferry Cannes Page 2 sur 5 TSI1 h le degré d'hyperstatisme du mécanisme, p est le nombre de pièces (ensembles cinématiques), est le degré de mobilité de la liaison i, m u est le nombre de mobilités utiles, m i est le nombre de mobilités internes.
Exemple : problème spatial /# = 6. (4 4 + 1) (2 + 1 + 1 + 1) + (1 + ) = 2 Si 4 = < : le mécanisme est isostatique, Si 4 > < : le mécanisme est hyperstatique, Si 4 < < : le mécanisme est hypostatique (cela est caractéristique d'un mécanisme mal conçu qui a plus de mobilités que souhaitées). Les mécanismes fonctionnels sont soit isostatiques soit hyperstatiques. Pour qu'un mécanisme hyperstatique soit montable, il faudra prévoir : - des conditions géométriques entre les directions caractéristiques des liaisons ou - du jeux dans les liaisons ou, - des pièces suffisamment flexibles pour que les défauts géométriques ne génèrent pas des efforts trop grands dans les liaisons ou, - une modification des liaisons permettant de rendre le système isostatique (on augmente les degrés de mobilité de certaines liaisons sans trop augmenter les mobilités internes). Exemple : afin de rendre le mécanisme précédant isostatique une solution couramment utilisée est de monter le vérin sur rotules (liaisons sphériques à 3 degrés de liberté). Les mobilités internes qui apparaissent sont: - la rotation Rx du corps de vérin par rapport au bâti et - la rotation Rx de la tige de vérin par rapport à la barre de safran. = +. (9 : + )? + (2 3 + 2 ) = +. (@ @ + ) (A +. +. + ) + ( + A) = < Lycée Ferry Cannes Page 3 sur 5 TSI1
2 Interprétation statique de l'hyperstatisme On parle d'hyperstatisme lorsque le nombre d'inconnues statiques est supérieure au nombre d'équations fournies par le principe fondamental de la statique (PFS). On ne peut alors par déterminer toutes les inconnues. On parle d'isostatisme lorsque l'on peut résoudre le problème de statique (autant d'inconnues de liaison que d'équations linéaires). 2.1 Bilan des inconnues statiques Le décompte des inconnues statiques s'appuie sur le graphe des liaisons: " B = CéEFGBCH B où n s est le nombre d'inconnues dans les liaisons. x z y Tige de Corps de Figure 3 : Perspective du pilote automatique de safran A pivot glissant (B,x) B = 4 corps de pivot (A,z) B 1 2 C tige de 3 D pivot (C,z) pivot (D,z) Exemple : pour le pilote : Ns=(4+3*5)=19 inconnues. Figure 4 : Modélisation des liaisons (schéma cinématique et graphe de liaisons) 2.2 Equations d'équilibre Le PFS donne 6 équations scalaires par solides isolés (ou 3 équations pour un problème plan). L'équilibre du bâti n'est généralement pas possible car toutes ses liaisons avec l'extérieur ne sont souvent pas définies. On obtient théoriquement le nombre d'équations suivantes : / B = 6(I 1) ou 3(I 1) où p est le nombre d'ensembles cinématiques (groupement de pièces cinématiquement liées). problème spatial (poids de 3 non négligeable par exemple): Es= 6(4-1)=18 équations problème plan (si on peut négliger le poids): Es= 3(4-1)=9 équations Lycée Ferry Cannes Page 4 sur 5 TSI1
2.2.1 Bilan des équations non triviales disponibles Le rang du système d'équations est r g =E s -m. 2.3 Degré d'hyperstatisme On appelle degré d'hyperstatisme h, le nombre d'inconnues statiques que l'on ne peut pas déterminer. Au final, le degré d'hyperstatisme s'obtient par la formule (h= N s - rg): problème spatial : 4 = K +. (' ) + (2 3 + 2 ). problème plan : 4 = K.. (' ) + (2 3 + 2 ) avec h le degré d'hyperstatisme du mécanisme, Ns est le nombre d'inconnues de liaisons dans le mécanisme, p est le nombre de pièces (ensembles cinématiques), m u est le nombre de mobilités utiles, m i est le nombre de mobilités internes. problème spatial (poids de 3 non négligeable par exemple): h=19-6(4-1)+(1+)=2 problème plan (si on peut négliger le poids): h=(2+3*2)-3(4-1)+(1+)= Pour résoudre les inconnues hyperstatiques 3 solutions sont possibles : - ajouter des équations supplémentaires faisant intervenir la déformation des matériaux (programme TSI2), - supposer le problème plan. Cela permet d'annuler de nombreuses inconnues de liaisons et peut dans certains cas rendre le problème isostatique (encore faut-il que le problème soit plan : symétrie de la géométrie et des efforts extérieurs), - ajouter des hypothèses de nullité de composantes statiques par l'étude des jeux à l'intérieur des liaisons (programme TSI2). Exemple du pilote de bateau : la prise en compte du jeu dans la liaison en C et d'un éventuel centrage court en ce point peut conduire à la modélisation par une liaison sphère-cylindre : h=(4+2+2*5)-6(4-1)+(1+1)= Lycée Ferry Cannes Page 5 sur 5 TSI1