Chapitre 7 : Les nombres relatifs I) Notion de nombre relatif Définition Un nombre supérieur à zéro est un nombre positif. (Retrouvée par les élèves). Donnés par les élèves. Définition Un nombre inférieur à zéro est un nombre négatif. (Retrouvée par les élèves). Donnés par les élèves. Remarque orale sur le statut de 0. Les nombres négatifs sont munis du signe :. Les nombres positifs sont munis du signe : +, on peut ne pas écrire le signe + devant les nombres positifs. (exemple : dans un livre..) L ensemble des nombres positifs et négatifs est appelé l ensemble des nombres relatifs. Activité : Les nombres relatifs (pour faire le lien entre les nombres relatifs et la droite graduée) On a schématisé ci-contre un thermomètre. Le 1 avril, il fait +2 C à Angers et +6 C à Bourges. 1) Placer sur le schéma les points A (pour Angers) et B (pour Bourges) représentant la température de ces deux villes. 2) Le lendemain, les températures ont baissé de 5 C dans chacune de ces deux villes. a) Quelle opération permet de trouver la nouvelle température à Bourges?... b) Placer sur le schéma les points A et B représentant les températures de ces deux villes le 2 avril. c) A l aide du schéma, indiquer le résultat que l on peut proposer à l opération : 2-5=... (Pour une première approche). II) Repérage sur une droite graduée Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi une origine, et une unité de longueur que l on reporte régulièrement à partir de l origine.
Le nombre associé à un point sur une droite graduée est appelé abscisse de ce point. Exemple simple. 1) Lecture d abscisses. 2) Positionner un point d abscisse donnée. On peut repérer chaque point de la droite graduée par un unique nombre relatif appelé abscisse de ce point. Exemple avec pour unité de graduation 1/3. 3) Lecture d abscisses. 4) Positionner un point d abscisse donnée. II) distance à zéro Sur une droite graduée, la distance à zéro d un nombre relatif est la distance entre l origine le point ayant ce nombre pour abscisse. Exemple : Déterminer la distance à zéro de plusieurs nombres relatifs. III) nombres opposés Deux nombres qui ont la même distance à zéro mais qui ont des signes différents s appellent des nombres opposés. Exemple : Déterminer l opposé d un nombre. Représenter sur une droite graduée, un point A ayant pour abscisse l opposé d un nombre. (formulée par les élèves) Deux points ayant pour abscisses des nombres opposés sont symétriques par rapport à l origine. IV) Comparaison de nombres relatifs (retrouvée par les élèves) Comparer deux nombres c est dire lequel est le plus grand, le plus petit, ou s ils sont égaux.
Comparer des nombres. (Exemples simples) Définitions : Ranger des nombres en ordre croissant c est ordonner ces nombres du plus petit au plus grand. Ranger des nombres en ordre décroissant c est ordonner ces nombres du plus grand au plus petit. Activité : Comparaison de nombres relatifs. (pour leur permettre de voir comment ranger des nombres relatifs en utilisant une droite graduée) Voici le nom et la profondeur de quelques épaves ayant fait naufrage au large de Marseille : Nom Le Dalton (cargo) Le Drôme (navire) Le Liban (paquebot) Un Messerschmitt (avion) Le saint Dominique (voilier) Profondeur - 25 m - 52 m - 36 m - 45 m -33 m Classer ces épaves dans l ordre croissant de leur profondeur. Pour comparer des nombres relatifs, ou les ranger dans l ordre croissant, on peut les placer sur une droite graduée. VI) Addition de nombres relatifs a) Addition de deux nombres relatifs Activité sur l addition de nombres relatifs : Théo et ses billes (pour aider les élèves à énoncer les propriétés d addition de nombres relatifs et aussi à illustrer cette addition ). Théo, le jeune frère de Boris, joue souvent aux billes. Il en possède énormément. Chaque matin, il joue deux parties. Il conserve ses billes dans un pot représenté ci-contre. Ce matin, Théo a gagné 3 billes à sa première partie, puis à la seconde il en a perdu 5. On a représenté ci-contre le pot de Théo et le résultat de ces deux parties : 1. Entoure parmi les nombres relatifs suivants, celui qui traduit le résultat de la première partie de Théo : ( 5) ; ( 4) ; ( 3) ; ( + 3) ; ( + 4) ; ( + 5). 2. Entoure parmi les nombres relatifs suivants, celui qui traduit le résultat de la seconde partie de Théo : ( 5) ; ( 4) ; ( 3) ; ( + 3) ; ( + 4) ; ( + 5). 3. Au cours des deux parties de cette matinée, Théo a-t-il : gagné / perdu des billes? Ce matin, le bilan des deux parties jouées par Théo est donc : positif / négatif. 4. Compléter l opération traduisant le bilan des deux parties : ( + 3 ) + ( 5 ) =.
5. En s aidant éventuellement d un schéma comme précédemment, calculer les sommes suivantes : a. ( + 3 ) + ( 8 ) =. e. ( + 24 ) + ( 28 ) =. b. ( 4 ) + ( + 5 ) =. f. ( +31 ) + ( 30 ) =. c. ( + 7 ) + ( + 2 ) =. g. ( 4 ) + ( + 4 ) =. d. ( 4 ) + ( 10 ) =. Pour additionner deux nombres relatifs de même signe : - on garde le signe commun des deux nombres - on additionne leurs distances à zéro OU La somme de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif ayant : - pour signe : le signe commun des deux nombres - pour distance à zéro : la somme des distances à zéro des deux nombres Exemples simples Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires : - on garde le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro - on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande OU La somme de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif ayant : - pour signe : le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro - pour distance à zéro : la différence de la plus grande distance à zéro par la plus petite Exemples simples La somme de deux nombres opposés est nulle. Dans une opération, les parenthèses autour d un nombre relatif ne sont indispensables que lorsque deux signes se suivent. Ainsi, on peut simplifier l écriture des sommes suivantes : a. ( 9) + ( 13) = 9 + ( 13) =.. b. ( + 24 ) + ( +28 ) = 24 + 28 =.. c. ( + 5 ) + ( 8 ) = 5 + ( 8 ) =.. d. ( 15) + ( + 21) =...=..
Une méthode pour additionner deux nombres relatifs : (? peut être?) Je repère le signe des deux nombres relatifs à additionner Puis Deux cas se présentent : Soit les signes sont les mêmes, alors j utilise la première propriété. Soit les signes sont différents, alors j utilise la seconde propriété. C'est-à-dire : J additionne les distances à zéro et je garde le signe commun. Je soustrais la plus petite distance à zéro de la plus grande, et je reporte le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro au résultat. VI) Addition de nombres relatifs b) Addition de plusieurs nombres relatifs On peut changer l ordre des termes d une somme ou regrouper les termes comme l on veut sans modifier le résultat. Conséquence : Pour additionner plusieurs nombres relatifs, on peut : - Regrouper des termes dont la somme est facile à calculer (par exemple des nombres opposés) - Effectuer la somme des nombres positifs d une part et des nombres négatifs d autre part. VII) Soustraction de nombres relatifs Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé.