Les solides : Elasticité Analyse du comportement des matériaux et des structures sous l influence des forces appliquées. Ce comportement est d un grand intérêt pratique (ponts, véhicules, os...). Quand un solide est soumis à une force extérieure, il peut être comprimé, étiré ou courbé. Si la force exercée est suffisamment grande, il peut même y avoir rupture. Si l objet revient rapidement à sa configuration initiale dès que la force est supprimée, on dit qu il est élastique (p.e acier, os, verre, caoutchouc). Par contre, les solides ou quasi-solides, tels que le chewing gum, la cire, le plomb ne reviennent pas à leur configuration initiale ; ce sont des plastiques. Beaucoup de matériaux se déforment proportionnellement à la force appliquée F = k s Loi de Hooke k : constante d élasticité qui s exprime en Newton/m et s la distance étirée ou comprimée. k est une mesure de la rigidité de l objet. Université de Genève 10-1 C. Leluc
Energie potentielle élastique La pente de chaque courbe est la constante d élasticité, k : plus le ressort est rigide, plus k est grand. L une des utilités d un ressort est d emmagasiner de l énergie : le ressort d une pendule (dispositif inventé par Hooke) remplace l énergie potentielle gravitationnelle d un balancier ou d un poids qui descend, par l énergie potentielle élastique d un ressort. Le travail effectué sur un système contre une force variable, telle que la force d un ressort, est l aire comprise entre la courbe de traction représentant la force en fonction du déplacement et l axe des abscisses : Cette aire définit l énergie restituable (la résilience). Elle est égale au changement d énergie potentielle du système E p. Pour une élongation de longueur s, l aire du triangle sous la droite vaut : E p = F ds = 1 2 k s2 Université de Genève 10-2 C. Leluc
Exemple : un dynamomètre Un dynamomètre a une échelle graduée longue de 10cm qui permet de lire les masses allant de 0 à 500 g. (a) Quelle est la constante du ressort?? (b) Quel est le déplacement si on tire avec une force de 10 N?? (c) Pourrait-on utiliser ce dynamomètre comme balance sur la lune?? SOLUTION : (a) Si on accroche une masse de 500 g, son poids sera F W = mg = (0, 500kg)(9, 81m/s 2 ) = 4, 9N Cette force produit un déplacement s = 10 cm, k = F W s = 4, 9N 0, 10m = 49N/m (b) Si on tire avec une force de 10N, le déplacement : s = F k = 10N = 0, 20m 49N/m ce qui est impossible à lire car l échelle n a que 10 cm. (c) Sur Terre, g varie peu d un endroit à un autre. Ainsi cette balance peut être employée partout pour mesurer la masse. Par contre sur la lune, g, n a pas la même valeur. Il faut donc recalibrer le dynamomètre. Par contre si l échelle était graduée en Newtons, le dynamomètre fonctionnerait sur la lune aussi. Université de Genève 10-3 C. Leluc
Les solides : Les matériaux élastiques On applique une force de traction croissante sur différents échantillons : Tige métallique tissu animal Caoutchouc L échantillon reprend sa forme initiale en suivant la même courbe : on a ici un comportement élastique. L allongement reste linéaire tant que la force ne dépasse pas une certaine limite dépendant des liaisons interatomiques du corps. Université de Genève 10-4 C. Leluc
Les solides : Les matériaux élastiques Les échantillons sont soumis maintenant à de plus grandes charges de traction. On définit alors plusieurs zones : zone d élasticité, limite d élasticité. Au-delà, c est la zone plastique, non-réversible. Les liaisons inter-atomiques commencent à se rompre glissement et déformation permanente. limite de rupture. Un matériau que l on peut étirer presque indéfiniment est dit ductile. Le degré de ductibilité dépend de la température, du type de charge et de la rapidité avec laquelle la charge est appliquée (p.e l acier, composé de fer avec moins de 1% de carbone, est cassant à -35 o et plastique à +650 o ). Courbes de traction L os est une structure composite faite de cristaux d hydroxyapatite et de fibres de collagène. L os, qui est cassant, reste élastique presque jusqu au seuil de rupture. Université de Genève 10-5 C. Leluc
Les solides : les Contraintes Considérons la barre en (b). En plus de subir une force qui la tire vers le bas par son extrémité inférieure, comme elle est en équilibre, elle est soumise à une force égale vers le haut que lui applique son support. En fait, cette tension se répartit uniformement dans tout le matériau. On constate ainsi que les forces extérieures appliquées à un objet produisent des forces internes, ou contraintes dans le matériau lui-même. La notion de contrainte permet de décrire la répartition des forces à l intérieur d un solide soumis à une charge. C est le rapport du module de la force qui est appliquée à la surface sur laquelle elle agit : qui s exprime en Newton/m 2. Contrainte σ = Force Surface = F A Université de Genève 10-6 C. Leluc
Les solides : les Contraintes En fait on définit 3 sortes de contraintes élémentaires : On a ici une contrainte de traction, σ t. Dans b) F = k L et σ t = F/A Dans c) 2F = k L et σ t = 2F/2A Ainsi la contrainte de traction est la même, mais les constantes élastiques k et k sont différentes ; d où l intérêt de la contrainte qui permet de caractériser le matériau. Université de Genève 10-7 C. Leluc
Les solides : les Déformations La déformation des solides est déterminée par la force appliquée par unité de surface, la contrainte. La déformation est une mesure du déplacement relatif des atomes, c-à-d de la distance inter-atomique. La déformation de traction et de compression : ɛ t/c = variation de longueur longueur originelle = L L o ɛ t n est pas toujours égale à ɛ c. C est une quantité sans dimension. Dans les constructions modernes, les déformations ne doivent pas dépasser ±1,0% et en fait dépassent rarement 0,1% ; les colonnes supportant les grattes-ciel de 300m sont conçues pour être comprimées de 3 cm. La déformation de cisaillement,ɛ s, est un changement de la forme du corps sous l effet d un couple de forces égales et opposées. On la définit par l angle γ en radians : ɛ s = γ x l o Pour les solides durs, ɛ s < 1 %. Pour les tissus biologiques, γ 0, 7rad. Université de Genève 10-8 C. Leluc
Les solides : Modules d élasticité Pour le domaine étudié par les ingénieurs, contraintes et déformations sont proportionnelles : la constante de proportionnalité est appelée le module d élasticité : σ = Ctte. ɛ - Traction et compression Le module de proportionnalité est ici E, appelé le Module de Young E = σ ɛ = F A L o L (voir T P M1) qui s exprime en Newton/m 2. Le module de Young peut ne pas être le même pour traction et compression. EXEMPLE : Calculer la tension d une corde de piano en acier mesurant 1,60 m de long et 0,20 cm de diamètre si elle s allonge de 0,30 cm lorsqu on la tend. Le module de Young de l acier est E = 2, 0 10 11 N/m 2. L aire de la section :A = πr 2 = (3, 14)(0, 0010 m) 2 = 3, 14 10 6 m 2. F = E L L o A = (2, 0 10 11 N/m 2 ) 0, 0030 m 1, 60 m (3, 14 10 6 m 2 ) = 1200 N. Université de Genève 10-9 C. Leluc
Les solides : Modules d élasticité - Le cisaillement La force est dans ce cas dans le plan de la surface. Le module de cisaillement, G, : G = σ s ɛ s = F/A γ qui s exprime en Newton/m 2 et γ est l angle de cisaillement en radians. Les modules E et G ne sont pas indépendants : E G = 2(1 + α) où α est le nombre de Poisson, nombre sans dimension qui caractérise la contraction latérale lors d un allongement (voir TP M1). Université de Genève 10-10 C. Leluc
Les solides : Modules d élasticité - La contrainte hydraulique Dans le cas d un liquide, la déformation est V/V o. La quantité F/A est la pression, P (voir FLUIDES). Le coefficient de proportionnalité est ici B, le Module de compressibilité omnidimensionelle : V o B = σ v = F ɛ v A V = P V o V Le signe négatif est nécessaire pour garder B positif, car dans une compression le volume diminue et V < 0. Pour l eau B = 2, 2 10 9 N/m 2 et pour l acier B = 16 10 10 N/m 2. Au fond de l océan à 4000 m, la pression est 4.0 10 7 N/m 2. La compression V/V o, est alors de 1.8%. Celle pour un object en acier serait seulement de 0.025%. Université de Genève 10-11 C. Leluc
Resumé des constantes d élasticité Le module de Young est en général 2 à 3 fois celui du cisaillement. matériau masse volumique Module de Module de Module de ρ Young, E cisaillement, G compressibilité volumique,b (kg/m 3 ) (10 9 N/m 2 ) (10 9 N/m 2 ) (10 9 N/m 2 ) Acier 7860 210 80 90 Ciment 2300 20 Aluminium 2700 63 25 70 Cuivre 8900 120 50 140 Tungstène 19300 360 150 200 Verre 2500 65 8-30 40 Béton 2320 25-30 40 Bois 524 13 Os compact 1700 10 compression 3,5 12 Os compact 20 traction Caoutchouc 0,007 0,0010 Université de Genève 10-12 C. Leluc
Les solides : la résistance des matériaux La résistance ultime est la contrainte, en Newton/m 2, qui entraîne la rupture d un échantillon de cette substance. Le ciment (comme le pierre et la brique) résiste relativement bien à la compression, mais très mal à la traction. On s en sert pour les piliers verticaux, et non pour les poutres. Le ciment armé s avère plus solide et plus stable. Résistance ultime de certains matériaux : Chiffres indicatifs, il faut prévoir un coefficient de sécurité entre 3 et 10. Matériau Traction Compression Cisaillement 10 6 N.m 2 10 6 N.m 2 10 6 N.m 2 Fer 170 650 240 Acier 500 500 250 Ciment 2 20 2 Sapin 50 50 8 Fémur 120 170 Marbre 10 110 22 Université de Genève 10-13 C. Leluc
Exemple 1 : la résistance des matériaux A son point le plus étroit, le fémur de la cuisse ressemble à un cylindre creux de rayon extérieur 1,1 cm et intérieur 0,55 cm. Sachant que la résistance ultime à la compression de l os est de 170 10 6 N/m 2, (a) quelle est la force capable de le fracturer? (b) Déterminer la déformation correspondant à la fracture? SOLUTION : (a) L aire de la section de la matière osseuse : A = π (R 2 e R 2 i ) = π R 2 e(1 0, 5 2 ) = (3/4)π(1, 1 10 2 m) 2 = 2, 85 10 4 m 2 Comme σ c = F/A F = σ c A = (170 10 6 N/m 2 )(2, 85 10 4 m 2 ) = 4, 8 10 4 N Une telle force se rencontre dans la vie courante. La longueur de l os diminue de 1,7%. (b) ɛ c = σ c E = 17 107 Nm 2 10 10 9 2 = 0, 017 Nm Université de Genève 10-14 C. Leluc
Exemple 2 : la résistance des matériaux Une poutre homogène de 1500 kg, posée sur 2 supports, soutient 15000 kg de machinerie. (a) Calculer la force F 2? (b) Quelle devrait être la surface de section minimale des supports? (On suppose que ces supports sont faits de ciment et qu un coefficient de sécurité égal à 6 est requis.) (c) Déterminer de façon quantitative l effet de compression d un tel poids sur ces supports. SOLUTION : (a) On détermine les moments de force par rapport au point d application de F 1. La 2eme condition d équilibre, Σ τ = 0, donne : (10, 0 m)(1500 kg) g (15, 0m)(15000 kg) g + (20, 0 m)f 2 = 0 F 2 = 118000 N (b) La contrainte maximale acceptable est : σ max = 1 6 (2, 0 107 N/m 2 ) = 3, 3 10 6 N/m 2 = F 2 A On résoud l équation en fonction de A : A = 1, 18 105 N 3, 3 10 6 N/m 2 = 3, 6 10 2 m 2 (360 cm 2 ) (c) L = 1 F 2 L o E A = 1 2, 0 10 10 N/m 2 (3, 3 10 6 N/m 2 ) = 1, 7 10 4 Pour un support de longueur L o = 5, 0m, L = 0, 85 10 3 m. Université de Genève 10-15 C. Leluc
Déformations complexes : la torsion pure La torsion pure se traduit par l apparition de contraintes de cisaillement. Un tube creux et mince, ressemblant à un os humain creux, est soumis à un moment de force τ qui le tord d un angle φ. Les couches cylindriques sont d autant plus tordues qu on s éloigne de l axe. L effet de torsion est à l origine du cisaillement. L angle de cisaillement résultant γ = (R o φ)/l est proportionnel à τ/g. Si l angle est assez grand, il peut y avoir rupture (p.e jambe d un skieur tordu dans une chute). Un angle φ = 3 suffit pour casser le tibia. Fractures courantes d un os. Voir aussi TP M1 pour la torsion d une barre cylindrique en acier. Université de Genève 10-16 C. Leluc
Déformations complexes : la flexion pure Les structures métalliques, comme les poutres, sont soumises à différents types d efforts. Dans le cas de flexion, la résistance de l objet dépend non seulement de sa composition mais aussi de sa forme. Une poutre s affaisse toujours un peu ne fûtce que sous son propre poids lorsqu elle est placée aux 2 extrémités sur des supports. Elle change de forme, c-à-d que sa partie supérieure se comprime tandis que sa partie inférieure s allonge sous l effet de la tension. Il existe au centre de la barre une surface imaginaire (surface neutre) qui ne subit pas de déformation. Soit une barre de longueur L : Flexion de la barre encastrée à une extrémité et soumise à l autre extrémité à une force F. Son déplacement est proportionnel à : F L 3 /E ( voir TP M1). Flexion de la barre posée aux 2 extrémités sur des supports. On a trouvé qu il faut que la quantité de matière soit aussi loin que possible de la surface neutre. C est ainsi qu une poutre qui a la forme d un I résiste mieux à la flexion produite par des forces verticales qu une poutre carrée de même section droite construite avec la même quantité de matière. Université de Genève 10-17 C. Leluc
Les structures creuses De la même manière, un tube résiste mieux à la flexion qu une barre pleine de même longueur et de même poids. Sur cette base on pourrait penser qu il est préférable de réaliser des éléments de structure ayant un grand diamètre et des parois minces. Il existe toutefois une limite car des structures à parois minces peuvent subir un effet de flambage à la suite d un effort de compression. Dans la nature, on rencontre de nombreuses applications du principe qui établit que des structures creuses sont plus résistantes que des structures pleines de même section droite. Les os ont en général une structure creuse. Ainsi le rapport entre les rayons interne et externe du fémur humain vaut environ 0,5 et l aire de la section droite représente seulement 78% de celle d un os plein qui aurait la même résistance à la flexion. Chez les oiseaux les os ont des parois très minces : le rapport rayon interne sur externe de l humérus d un cygne vaut 0,9. Le danger de flambage dans cet os à parois minces est réduit par la présence de filaments osseux de renforcement qui se trouvent à l intérieur de la structure de l humérus. Université de Genève 10-18 C. Leluc
L écroulement du World Trade center F = K π 2 E τl 2 ( Flambage : déformation affectant une pièce longue soumise dans le sens de la longueur à un effort de compression trop important.) Université de Genève 10-19 C. Leluc