Chapitre 4 Réflexion et transmission ondes stationnaires Contenu

Chapitre 4 Réflexion et transmission ondes stationnaires Contenu Chapitre 4 - Réflexion et transmission - ondes stationnaires... 1 1 changement de milieu de propagation : réflexion et transmission... 3 1.1 corde vibrante... 3 1.1.1 Conditions de raccordement à la jonction... 6 1.1.2 Coefficients de réflexion et transmission en amplitude... 11 1.2 Tuyau sonore... 13 1.2.1 Interface entre deux fluides... 13 1.3 Aspects énergétiques de la réflexion et de la transmission... 21 1.3.1 Coefficients de réflexion et transmission en énergie des ondes mécaniques... 21 1.3.2 Coefficients de réflexion et transmission en énergie des ondes sonores... 22 2 Ondes stationnaires... 25 2.1 Corde vibrante... 25 2.1.1 Expériences... 25 2.1.2 Superposition de l onde incidente et de l onde réfléchie : Cas des deux extrémités fixes... 26 2.1.3 Libres à une extrémité... 31 2.1.4 Ondes stationnaires et résonance... 36 1

2.1.5 Solution générale pour la corde vibrante... 38 2.1.6 Harmoniques... 39 2.1.7 Cordes vibrantes et musique... 39 2.1.8 Analyse spectrale... 43 2.1.9 Résonance... 49 2.2 Tuyau sonore... 49 2.3 Décomposition spectrale... 53 3 Outils / multimédias... 53 2

1 changement de milieu de propagation : réflexion et transmission 1.1 corde vibrante Jusqu'à maintenant nous avons considéré que la corde est constituée d'un seul matériau, et de section constante. Ainsi, comme les propriétés de la corde vibrante sont les mêmes en chaque point, une onde progressive peut se propager continument d'une extrémité à l'autre de la corde. S'il se produit un changement des caractéristiques de la corde en un point donné, on s'attend à une discontinuité de l'onde en ce point. Considérons la jonction de deux cordes de masse linéique différente, attachées en un point où le mouvement est libre. On choisit les coordonnées telles que la corde de masse linéique μ soit située en 0 et la corde de masse linéique μ soit située en 0 : Jonction de deux cordes vibrantes. 3

Sur chaque demi-corde, nous avons vu que le module de la tension était le même en tout point. Qu'en est-il de T à la jonction des deux cordes? Dans le cadre des approximations effectuées jusqu'à maintenant : la jonction est d'épaisseur négligeable donc sa masse peut être considérée comme nulle. La somme des forces qui s'y applique doit être nulle, en appliquant le principe fondamental de la dynamique. On en déduit le principe de continuité de la tension. Il implique tout d'abord que les modules des tensions de part et d'autre de l'interface sont identiques. On appellera cette tension T. On considère qu'une onde progressive, pas nécessairement sinusoïdale, est émise sur la première corde, c est-à-dire à partir d'une certaine position 0 (en deça de la zone étudiée), se propageant vers les x croissants. Elle s'écrit : 4

,, 0 Nous l'appellerons onde incidente. La célérité des ondes transverses en fonction de la masse linéique μ de la demi-corde située en 0 est donné par (cf. chapitre 3): μ A l'interface, de manière générale, une partie de l'onde va être réfléchie. On obtient alors une onde régressive appelée onde réfléchie :,, 0 L'onde présente sur la corde pour 0 est donc donnée par la somme de l'onde incidente et de l'onde réfléchie :,,,, 0, Une autre partie de l'onde va être transmise à l'autre demi-corde. Bien évidemment, cette onde est progressive (elle se propage vers les x croissants) ; elle s'appelle onde transmise 5

, La célérité des ondes transverses sur la corde est, pour x > 0, μ en fonction de la masse linéique μ de la demi-corde située en 0. Nous cherchons maintenant à exprimer l'onde transmise et l'onde réfléchie, connaissant l'onde incidente. 1.1.1 Conditions de raccordement à la jonction Premièrement, les deux morceaux de cordes étant attachés, le déplacement de la corde le long de l'axe doit être le même des deux côtés de la jonction en 0. On obtient une première condition : lim,, lim,, Soit 0, 0, 0,, En utilisant la forme explicite des ondes en x=0 on obtient :, Deuxièmement, nous pouvons invoquer ici aussi le fait que la somme des forces appliquées à la jonction doit être nulle, car la somme des forces appliquées à un système de masse nulle (comme c'est le cas pour la jonction supposée infiniment fine) doit être nulle. 6

Nous avons déjà utilisé le fait que le module de la tension est le même des deux côtés de la jonction. Nous voulons maintenant imposer en plus que les vecteurs correspondant aux forces de tension appliquées de part et d'autre de la jonction sont de même direction, et de sens opposés. Dans le chapitre 3 on avait exprimé la projection suivant y de la tension dans l hypothèse des pentes faibles comme,. En utilisant cette expression, dans la limite d'épaisseur nulle 0 et 0, on obtient la condition :,, lim lim, On obtient alors, en n'oubliant pas que a priori Nous avons alors obtenu les deux contraintes suivantes à la jonction :, Considérons maintenant le cas particulier d'une onde incidente sinusoïdale. Les ondes réfléchies et transmises seront aussi bien sûr sinusoïdales, et de même pulsation (on peut se convaincre que dans le cas contraire le système ci-dessus n'a pas de solutions). Nous avons en notation complexe 7

, /, /, / i i i On obtient alors à partir des relations précédentes le système algébrique suivant (après avoir simplifié par le facteur commun ) : D où l on déduit que : 2 8

On peut également utiliser les résultats du chapitre précédent où l on avait exprimé la force exercée par l amont sur l aval en fonction des élongations y. On reprend la notation pour l élongation (on remplace donc y par ). La force avec laquelle (2) agit sur (1) est : La force avec laquelle (1) agit sur (2) est : Avec : 9

Et comme l onde réfléchie se déplace vers les x décroissants : On a donc, en x=0 : On écrit ensuite l égalité des tensions au niveau de la jonction : 0 Soit : Et on a vu que : 0, En intégrant par rapport au temps : 0, Ou encore : 0, On résout le système des deux équations ci-dessous pour obtenir : 10

0, 0, On note ainsi que : 0, 2 0, Coefficient de réflexion de (1) vers (2) : Coefficient de transmission de (2) vers (1): Cas particuliers : Pas de discontinuité ( ), on parle d adaptation parfaite d impédance : 0, 1 Mur rigide ( ), aucune transmission : 1, 0 Extrémité libre ( 0), réflexion sans changement de signe : 1, 2 1.1.2 Coefficients de réflexion et transmission en amplitude A partir des résultats précédents (onde sinusoïdale) le rapport entre l'amplitude de l'onde transmise et l'onde incidente s'appelle coefficient de transmission en amplitude. En faisant la somme des deux équations du système précédent, on trouve : 11

2 1 2 Le rapport entre l'amplitude de l'onde réfléchie et l'onde incidente s'appelle coefficient de réflexion en amplitude. En utilisant la première équation de (5.78) et l'équation (5.79) ci-dessus, on trouve 1 Remarque : on retrouve également ce résultat à partir des impédances en écrivant que Z μ et que Z On note que ces deux coefficients sont réels. Alors que est toujours positif, le signe de dépend du fait que la célérité c2 soit plus petite ou plus grande que c1. On notera également que : 1 Important! Les coefficients et s appliquent aussi bien au déplacement qu à la vitesse v. Par contre ce ne sont pas les mêmes pour les forces. En effet : 12

Et comme, on trouve que : On a donc un coefficient De même, comme, on trouve que : On a ici un coefficient 1.2 Tuyau sonore Nous abordons maintenant le problème des conditions aux limites pour les ondes acoustiques. Nous avons déjà fait cette étude pour la corde vibrante, mais dans le présent contexte on peut s'autoriser des conditions aux limites différentes. Dans toute la suite, on considèrera un écoulement à une dimension, dans un tuyau sonore de section d aire. 1.2.1 Interface entre deux fluides (cf. exercice I du TD 4 pour une autre démonstration). 13

Nous allons examiner le problème de la transmission d'ondes acoustiques à travers une interface entre deux fluides. Nous avons abordé ce phénomène pour les cordes vibrantes (cf. 1.1.1). De manière générale on considèrera une interface entre deux tuyaux comme sur la figure ci-dessous. Jonction de deux tuyaux sonores. Les ondes acoustiques se propagent alors uniquement selon l'axe, et sont caractérisées par la surpression, et,, la composante de la vitesse selon. Pour 0 l'onde se propage dans un tuyau de section contenant un fluide de masse volumique au repos et de compressibilité isentropique. Pour 0 l'onde se propage dans un tuyau de section contenant un fluide de masse volumique au repos et de compressibilité isentropique. Comme pour les cordes vibrantes, nous supposons qu'une onde plane sinusoïdale est émise en une valeur de négative, dans la direction des croissants. Cette onde, l'onde incidente, s'écrit en notation complexe : 14

, 0 Avec la célérité de l'onde dans le premier fluide : Au niveau de l'interface une onde réfléchie et une onde transmise sont naturellement générées :, 0, où naturellement la célérité des ondes dans le deuxième fluide 0 intervient pour l onde transmise. Dans le chapitre 3 nous avions établi la relation :,.,. On a appellé dans le chapitre 3 l impédance caractéristique du milieu.. En utilisant cette relation on a ici :,.,,, nous en déduisons simplement les expressions des champs de vitesse correspondants :, 1,, 1,, 1, 15

1.2.1.1 Conditions de raccordement Il nous faut maintenant comprendre quelles sont les conditions de raccordement reliant les ondes présentes pour 0 (onde incidente et réfléchie) et pour 0 (onde transmise). Premièrement, les deux fluides étant en contact à travers une interface de masse nulle (comme dans le cas des cordes vibrantes) et rigide, la somme des forces appliquées à tout élément de surface de l'interface doit être nulle, donc la pression est la même des deux côtés. Nous obtenons donc la condition de continuité de la surpression : lim p, lim p, 1 1.2.1.2 Conservation du débit La puissance transportée par une onde acoustique dans un tuyau de section est donnée par,,,, Il est naturel de considérer que la puissance transportée est conservée à travers l'interface, car nous supposons que cette dernière ne dissipe pas d'énergie. La surpression étant continue comme nous venons de le voir, nous voyons que la quantité appelée débit acoustique,, est conservée à travers l'interface entre les deux fluides. Pour s en convaincre on pourra considérer le cas ou la section est la même des deux côtés de la jonction. Notons que : 16

.,. représente (dans l'approximation acoustique) la masse de fluide passant à travers la surface de section s située en, pendant un intervalle de temps infinitésimal. Nous imposons maintenant la conservation du débit acoustique à travers l'interface entre les deux fluides. On obtient lim D, lim D, lim s, lim s, En utilisant les relations entre les champs de vitesse et de surpression on obtient que la surpression satisfait une deuxième relation de continuité : s s lim,, lim, Ce qui donne pour les amplitudes complexes... 1.2.1.3 Impédance hydraulique Nous pouvons réécrire ce résultat en introduisant une notion d'impédance hydraulique, qui est spécifique aux ondes acoustiques se propageant dans un tuyau. Appelant la section de ce tuyau elle est définie par En termes de cette quantité la relation de continuité précédente s'écrit 17

2 Cette notion est importante car à l'interface de deux tuyaux de section différente, mais composés du même fluide, il existe un phénomène de réflexion des ondes acoustiques. 1.2.1.4 Coefficients de réflexion et transmission Finalement, en combinant les relations (1) et (2) précédentes nous obtenons les coefficients de réflexion r et transmission en amplitude pour la surpression : On retrouve que : 1 1 2 2 Lorsque nous considérons le passage d'une onde plane entre deux milieux infinis, la surface de la section est évidemment introduite artificiellement et n'apparaît pas dans le résultat final. En égalant la surface (fictive) dans chacun des deux milieux, on obtient les coefficients de réflexion et transmission en fonction des impédances caractéristiques des deux fluides : 18

2 Remarquons que le calcul des coefficients de réflexion et transmission pour la vitesse donne un résultat différent :* qui se démontre de manière similaire. 2 Changement de section dans un tuyau sonore. Prenons l'exemple de l'interface entre deux tuyaux, de diamètres respectifs d et d, contenant le même fluide. A la position du changement de diamètre, on trouve les coefficients de réflexion et transmission suivants : 19

4 4 4 4 2 4 4 4 1 1 2 1 Le résultat ne dépend que de qui est le seul paramètre sans dimension du système. Lorsque le diamètre du deuxième tuyau tend vers l'infini, on trouve 1 0, ce qui correspond aux conditions aux limites pour la surpression aux extrémités d'un tuyau ouvert comme il se doit. 20

1.3 Aspects énergétiques de la réflexion et de la transmission 1.3.1 Coefficients de réflexion et transmission en énergie des ondes mécaniques Nous avons définie précédemment les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude d une onde mécanique (corde ou onde sonore). Nous pouvons aussi définir des coefficients similaires pour le courant d'énergie mécanique. Le courant d'énergie mécanique de l'onde incidente s'obtient en moyennant sur le temps la puissance transportée par l onde. Dans le chapitre 3 nous avons montré que pour une corde vibrante cette quantité s écrit :.. 2 On trouve donc pour les ondes incidentes, réfléchies et transmises :.. 2.. 2.. 2.. 2... 2... 2. On obtient ainsi pour le coefficient de transmission en énergie 21

4 et pour le coefficient de réflexion en énergie : On vérifie la relation importante : 1 qui exprime la conservation du courant d'énergie mécanique à travers l'interface. Remarque : lien avec 1.1.2 et les coefficients de transmission et de réflexion en amplitude : 2. 1.3.2 Coefficients de réflexion et transmission en énergie des ondes sonores 22

Il est souvent utile de considérer les coefficients de réflexion et transmission pour la puissance transportée par l'onde acoustique dans le tuyau. Soit I l intensité acoustique, nous l avions exprimé dans le chapitre 3 comme : entre l'intensité acoustique et l'amplitude de surpression, on obtient les coefficients de réflexion et de transmission en intensité : / / / / 4 Ces coefficients de réflexion et de transmission en énergie satisfont naturellement la relation 1. 1.3.2.1 Interface eau-air Prenons comme exemple l'interface entre l'air atmosphérique et l'eau. En utilisant les valeurs de la masse volumique et de la célérité des ondes sonores dans l'air (on peut utiliser l'approximation des gaz parfaits pour cela), l'ordre de grandeur de l'impédance acoustique de l'air est : 430.. kg. m.s 23

L'impédance acoustique de l'eau est de l'ordre de 1,5 10.. kg. m.s On trouve donc pour les coefficients de réflexion et transmission (de l'air vers l'eau) 0,999 0,001 Une très faible fraction de l'énergie de l'onde incidente est donc transmise dans l'eau. C'est pour cela que l'on entend si mal ce qui se passe en surface lorsqu'on est dans l'eau. En résumé : Corde vibrante 2 Onde accoustique 2 1 4 4 1 24

2 Ondes stationnaires 2.1 Corde vibrante 2.1.1 Expériences Expérience de la corde de Melde (cf. référence média dans le 3). Nœuds et ventres d une onde stationnaire. Le motif ne se propage pas, mais reste sur place en oscillant. 25

Ondes stationnaires (par opposition à ondes progressives). 2.1.2 Superposition de l onde incidente et de l onde réfléchie : Cas des deux extrémités fixes Soit une corde de longueur L fixée à ses deux extrémités. Il y a deux ondes sur la corde : qui se propage vers les x positifs et (réfléchie à l extrémité de la corde) qui se propage vers les x négatif....... On considère que est un paramètre fixé du problème, il reste donc à déterminer et. Enfin, il faut considérer les paramètres aux limites : En x 0, 0, En x L, 0, On fera le calcul en réel puis on le fera avec les nombres complexes. On vera que c est plus facile dans le deuxième cas! En x 0, 0,.... 0, Or :..... D où :..... 0, Pour que ce soit nul quelque-soit t, il faut que : 26

. 0. 0 On en déduit l expression de la fonction d onde :,...... Avec les relations trigonométriques on peut réécrire cette fonction :, 2..... 2, 2... 2.. 2, 2... Vérification des conditions aux limites : En x= 0 on a bien 0, 0 En x= L on a, 2... = 0 si. 0 Il faut donc que :.. Soit :.... 2 L. On refait maintenant le calcul avec les nombres complexes. Entre 0 et L, les deux fonctions d ondes s écrivent (avec. ) : 27

... A..... Conditions aux limites en x= 0, 0 :...... 0...... 0 Vrai quelque-soit t seulement si : 1 Conditions aux limites en x= L, 0 :...... 0 D où.... 0 Soit 2 : Il faut donc que : 2... 0.. 1 C est le résultat donné pour le coefficient de réflexion r = -1. 2 Autre variante : 2.. 1 2.. 0.2... 28

Soit : L. On peut ensuite calculer la partie réelle de la fonction d onde totale : Et finalement :...............2..., 2..sin... On remarque que :,.. C est une caractéristique importante des ondes stationnaires! 29

Amplitude (cm) Amplitude (cm) Amplitude (cm) Amplitude (cm) 20 10 0-10 t = 0 s -20 0 5 10 15 20 25 30 20 10 0-10 t = T/4-20 0 5 10 15 20 25 30 20 10 0-10 t = T/2-20 0 5 10 15 20 25 30 20 10 t = 3*T/4 0-10 -20 0 5 10 15 20 25 30 Longueur (mm) Figure. Représentation de la corde vibrante fixes au deux extrémités lorsque L = 30 mm et =2.L/3. 30

Est-ce possible pour toutes les longueurs d ondes? Sur la figure ci-avant on voit que L=3./2 La corde doit être fixée aux deux extrémités : 0, 0, 2..sin... 0 On a donc. 0.. D où :. 2 Deux nœuds ou deux ventres sont séparés de La condition à vérifier pour avoir des ondes stationnaires est que la longueur de la corde soit un multiple entier de la demi-longueur d onde. 2.1.3 Libres à une extrémité Fixe en x=0 et libre en x=l Déplacement nul en x=0 et tension nulle en x=l En x= 0 :,, 0 En x=l :,, 0 31

D où On passe maintenant en nombre complexe :,.. 0 0,,, 0................ Conditions aux limites en x= 0 0...... 0 En x=l........ 0 0 Vrai quelque-soit t seulement si :...... 0 D où.... 0 32

Soit 3 : Il faut donc que : 2.. 0. 2. 1 2 D où 1 2 2 La longueur de la corde doit être un nombre demi-entier de la demi-longueur d onde Remarque : on obtient la même expression de la fonction d onde que pour le cas où la corde est attachée aux deux extrémités (mais la valeur de k est différente!), 2..sin... 3 Autre variante : 2.. 1. 2...2.. 2. 1 2 33

Amplitude (cm) Amplitude (cm) Amplitude (cm) Amplitude (cm) 20 10 0-10 t = 0 s -20 0 5 10 15 20 25 30 20 10 t = T/4 0-10 -20 0 5 10 15 20 25 30 20 10 0-10 t = T/2-20 0 5 10 15 20 25 30 20 10 0-10 t = 3*T/4-20 0 5 10 15 20 25 30 Longueur (mm) Figure. Représentation de la corde vibrante fixes au deux extrémités lorsque L = 30 mm et =2.L/3,5. 34

A nouveau deux ventres ou deux nœuds sont séparés de /2. La seule différence avec le cas «fixe» réside dans les coniditons aux limites : Fixe = nœud Libre = ventre 20 t=t/4 t=3t/4 /2 Amplitude (mm) 10 0-10 -20 /2 /2 /2 /4 0 5 10 15 20 25 30 Longueur (mm) 35

Cas des instruments de musique : La fréquence fondamentale définit la note (ou hauteur du son). Exemple, le La 440 (440 Hz). L importance relative des différents harmoniques constitue le timbre de l instrument. 2.1.4 Ondes stationnaires et résonance Il y a donc une condition sur la fréquence puisque c est cette quantitié que contrôle l expérimentateur. Cas des deux bouts fixes :.. Chaque valeur de n correspond à un mode de vibration ou fréquence propre de vibration. On a donc une inifinité de fréquence propre (alors que pour un ascilateur harmonique par exemple on a une seule fréquence propre). Pour n=1, fréquence fondamentale. Pour n > 1, harmoniques, multiples de la fréquence fondamentale. Les nœuds sont tels que, 0 (et les extrémités en x=0 et x=l sont toujours des nœuds) : 0, 0,, Les ventres sont obtenus pour : 1 1 2, 0,, 1 36

Harmoniques de la corde vibrante. 37

Cas d un bout fixe et l autre libre : 1 2 2 1 2. 2 Il peut y avoir supperposition de plusieurs modes en même temps (cf. figure ci avant et paragraphe 2.3). 2.1.5 Solution générale pour la corde vibrante La solution générale de l'équation d'onde sur la corde vibrante de longueur L, fixée aux deux extrémités, s'obtient comme une superposition générale de tous les modes propres associées :, cos Ce développement ressemble à un développement en série de Fourier. Les coefficients Cn sont donnés par les conditions initiales du problème, par exemple en t = 0. Plus précisément, les coefficients du développement en série de Fourier de la fonction, 0 sont donnés pour cos, 1,, et les coefficients du développement de la fonction, par sin, 1,, pour la vitesse.. Ainsi il faut développer en série de Fourier à la fois la fonction correspondant au profil initial de la corde, et la fonction donnant la distribution initiale de vitesse aux différents points de la corde, afin de spécifier complètement la forme de l'onde stationnaire. Dans les cas les plus courants, la corde est initialement au repos, ce qui implique que 0, 1,, 38

2.1.6 Harmoniques Il est utile, en particulier dans le domaine du son musical, d'introduire la notion d'harmoniques pour classifier les différents modes de vibration. D'après cette terminologie, les solutions de l équation trouvée pour la fonction d onde sont appelées 4 : mode fondamental, ou premier harmonique, pour n = 1, soit = 2L ou 1 = c/2l. Il s'agit de la plus petite fréquence non nulle possible sur la corde fixée aux deux extrémités, donc du son le plus grave possible sur cette corde en régime stationnaire. Ce mode comporte deux nœuds en x = 0 et x=l et un seul ventre en x = L/2 ; quid du cas du violon ou de la contrebasse. deuxième harmonique pour n = 2, soit = L. Sa fréquence est 2 = 21. Ce mode comporte trois nœuds en x = 0; L/2;L et deux ventres en x = L/4; 3L/4 ; troisième harmonique pour n = 3, soit = 2L/3. Sa fréquence est 3 = 31. Ce mode comporte quatre nœuds en x = 0; L/3; 2L/3;L et trois ventres en x = L/6; L/2; 5L/6. 2.1.7 Cordes vibrantes et musique L'étude des modes de vibration d'une corde a permis dans l'histoire de développer des théories mathématiques régissant les intervalles des gamme musicales, c est-à-dire les rapports entre les fréquences des notes. En voici quelques exemples. Pour une note donnée par le mode fondamental de la corde (par exemple un do1), le deuxième harmonique correspond à l'intervalle d'une octave (le do2), définissant l'ambitus de la gamme. La relation entre les fréquences associées est 2 = 21, 1 étant la fréquence du do1 (fondamental). Le troisième harmonique correspond à une octave additionnée d'une quinte (le sol2). Sa fréquence est donnée par 3 = 31. En descendant le sol2 d'une octave (c.-à.-d. en divisant sa fréquence par 2, 4 Utiliser le résultat 39

donnant le sol1), on obtient un intervalle de quinte (do1-sol1) appelé quinte pythagoricienne. Le rapport des fréquences de ces deux notes est de 3/2. La succession d'intervalles de quinte, en partant du do1 : do1sol1re2la2, permet de construire une gamme majeure, dite gamme pythagoricienne, car proposée par l'école des Pythagoriciens dans l'antiquité. Un autre type de gamme, la gamme naturelle de Zarlino (XVIe siècle), utilise non seulement l'intervalle de quinte issu du troisième harmonique, mais aussi l'intervalle de tierce majeure issu du cinquième harmonique. En partant du do1, le cinquième harmonique, de fréquence 5 = 50, est le mi3. Descendu de deux octaves, on obtient le mi1 de fréquence 51/4. De manière générale, les intervalles issus des harmoniques sont appelés naturels. Dans la musique occidentale moderne, la gamme utilisée, dite tempérée, n'utilise pas les intervalles harmoniques, à l'exception de l'octave. L'octave est alors divisé en 12 intervalles égaux appelés demitons. Le rapport des fréquences de deux notes séparées par un octave étant 2=1/2, le rapport des fréquences de deux notes séparées par un demi-ton est de 21/12. Cette simplification se fait au prix de la justesse des intervalles, qui n'est qu'approximative. Ainsi la quinte tempérée correspond alors à un intervalle de sept demi-tons, qui est légèrement plus petit que la quinte pythagoricienne (comme 2 7/12 1.498 < 3/2). Les différences entre ces deux gammes persistent pour tous les autres intervalles (quarte, tierce, seconde...). Les intervalles naturels continuent cependant de jouer un rôle important dans les musiques non européennes (musiques arabe, indienne,...). 40

Sur ce schéma on voit la progression harmonique d'une fréquence fondamentale. Le double d'une fréquence donne un intervalle d'une octave (exemple : Do1 - Do2). Tripler la fréquence fondamentale donne un intervalle d'une octave + une quinte juste (exemple : Do1 - Sol2) [http://www.les-instruments-de-musique.fr] 41

DO1 SOL1 DO2 SOL2 1 3/2 1 2 1 3 1 Un intervalle d une octave (en rouge) et d une octave+ une quinte (en bleue) sur une partition. 42

2.1.8 Analyse spectrale L'analyse spectrale d'une onde, plus particulièrement d'un son musical, consiste à étudier la proportion relative des différents harmoniques dans le son émis. Pour une corde vibrante, dont la solution générale est donnée par la décomposition en série de Fourrier :, cos Cela revient à tracer l'amplitude réelle des différents harmoniques en fonction de n. Lorsque la corde vibre librement, le spectre ne dépend comme nous l'avons vu que des conditions initiales imposées à t = 0. Pour obtenir un son pur, composé uniquement du mode fondamental, il faut choisir les conditions initiales suivantes (difficiles à obtenir) :, 0 sin Nous avons alors C1 = A et Cn = 0, n > 1. On a un son pur 5 Un cas plus réaliste correspond à une corde pincée, par exemple sur une guitare (voir figure). 5 Un son pur (ou son simple) correspond à une onde sinusoïdale dont la fréquence et l'amplitude maximale sont constantes au cours du temps. Le son du diapason est un exemple de son pur. 43

Corde pincée en son centre Si la corde est pincée en son milieu, nous avons les conditions initiales, 0 2. 0 2, 0 2. 2 ainsi que /,, voir figure. Le calcul explicite ne sera pas développé ici. On obtient, en identifiant terme à terme la série de Fourier pour, 0 avec la forme générale de l'onde : 4 0 44

Et 0,. On voit que le spectre contient tous les harmoniques impairs (mais pas les harmoniques pairs) avec une amplitude décroissant comme 1/n 2, voir figure ci-dessous. Spectre de la corde pincée. Dans la réalité, la corde vibrante d'un instrument de musique est couplée à une caisse de résonnance. Cette dernière amplifie sélectivement certaines harmoniques au détriment d'autres, modifiant le spectre obtenu. Nous obtenons ainsi le timbre spécifique de l'instrument. Le timbre est caractérisé par les proportions relatives des différentes harmoniques pour une note donnée. Si le timbre est bien équilibré, ces proportions sont semblables pour toutes les notes accessibles à l'instrument. 45

Décomposition d un signal en harmoniques successifs (Hecht p495) 46

Décomposition d un signal en harmoniques successifs (Hecht p 495). 47

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2.1.9 Résonance Il est possible de faire vibrer, à une certaine fréquence, une des extrémités de la corde par un dispositif mécanique. Lorsque cette fréquence est égale à une des fréquences propres du système n, il se produit alors le phénomène de résonance. Ce mode propre est alors spécifiquement excité de manière continue, et son amplitude devient importante. Le dispositif expérimental associé est appelé corde de Melde (cf. expérience de cours). 2.2 Tuyau sonore Un nœud de déplacement est un ventre de déplacement acoustique et inversement. En effet : si est en alors la pression acoustique est en. Instruments type flute, orgue Ouverts à un bout (orgue) ou aux deux bouts (flute), 0 0 même démonstration que pour la corde! Ouvert aux deux bouts : nœuds de pression acoustique car la pression est imposée par l extérieur. Si la pression acoustique est imposé alors on a des ventres de déplacements acoustiques aux deux extrémités. 2 Tube Fermé à une extrémité : déplacement nul à l extrémité fermé, donc nœud de déplacement acoustique et ventre de pression acoustique. 49

1 2 2 50

Paramètre Tuyau ouvert Tuyau fermé à une extrémité /2 /4 Pression Vitesse du vent Mode fondamental (haut), mode II (milieu) et mode III (bas) pour 2 situations (pour la pression acoustique en bleue et la vitesse en jaune) (source : http://fr.wikipedia.org). 51

(http://upload.wikimedia.org/wikipedia) 52

Cas du chant : le larynx jour le rôle de tuyau sonore. La fréquence fondamentale est. Si L est fixe et que c change, alors la fréquence doit augmenter. C est le cas par exemple lorsqu on respire un peu d hélium. 2.3 Décomposition spectrale Quand on joue une note de musique, on entend l'harmonique fondamental ainsi qu'une somme "d'harmoniques" de rangs supérieurs. Comme leur niveau sonore est plus ou moins variable, ça définit donc le timbre (un son de clarinette privilégie les harmoniques impaires, un hautbois les pairs, etc...) Donc le timbre d'un son musical, c'est la somme de ses harmoniques. Et mathématiquement c'est la somme des sinusoïdes. 3 Outils / multimédias Tuyaux sonores : http://ressources.univ-lemans.fr/acceslibre/um/pedago/physique/02/meca/tuyau.html Corde de Melede : http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=corde%20de%20melde&source=web&cd=5&cad=rja&sqi=2&ved= 0CC4QtwIwBA&url=http%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3D4BoeATJk7dg&ei=OXGX UKWVFY-N0wWpxYG4Ag&usg=AFQjCNGTBuknPRMQQC8lnahTbEISTGIZ9A Figures de Chladni : http://www.dailymotion.com/video/xj1e1l_experiences-des-figures-de-chladni-avec-explications_tech 53