Interférences et cohérence des sources

45 Chapitre 5 Interférences et cohérence des sources Les phénomènes d interférence résultent de la superposition, qui peut être constructive ou destructive, d ondes présentant différents écarts de phase. 5.1 Superposition de deux ondes monochromatiques de même fréquence Considérons un point de l espace où deux ondes scalaires (pour les ondes électromagnétiques il s agit de deux ondes de même polarisation) se superposent. L onde résultante sera : (5.1) si bien que l intensité pourra s écrire : "!$#&% où et sont respectivement proportionnelles à ' ' et ' ', et #(% arg ) arg (5.3) dénote #&% la différence de phase entre les deux ondes. otons qu on aurait pu définir arg ) arg sans que le résultat final change. On remarque que l intensité totale n est pas la simple somme des intensités individuelles, mais qu il faut tenir compte du terme d interférence qui dépend de la différence de phase entre les ondes, et l intensité oscille entre les deux valeurs extrêmes : * + ), On définit alors le facteur de visibilité 2 par : 243 qui est toujours inférieur ou égal à 1. - *. / ) * *. / * + + *. / 0 1 (5.2) (5.4) 65 (5.5)

@ L a L a F a e ; ; L e Z @ L F 46 CHAPITR 5. ITRFÉRCS T COHÉRC DS SOURCS 5.1.1 Ondes de même amplitude On a alors : 7(8:9<;= >?A@(BC8D= >"? F @(BG HI (5.6) 5.1.2 Cas de deux ondes planes où avec avec et de Considérons maintenant le cas où les ondes s écrivent : J MLO AP Q R SAT UVWX"T Y Z J LO P Q R S[ UVWX[ Y ] et sont les phases à l origine. On a alors : ^ L 7(8 L @(B LDb ;H = >? F @(BI F ] M^ ] I _ `&;@ G c (5.7) (5.8) (5.9) la différence de phase à l origine. Bien entendu, les valeurs absolues de sont les mêmes a, seules leurs directions sont différentes. ] 5.1.3 Cas de deux ondes sphériques Dans le cas de deux ondes sphériques provenant des sources ponctuelles situées en deux points d et d différents, on écrira : J ML e e où et résultante est alors : 7(8 avec : P Q R f g T WX"T Y Z J L e P Q R f g [ WX[ Y (5.10) sont les distances entre le point d interférence considéré et les sources. L intensité @(B ; e ^ e I;@ ;H e e = >? F @(BI Si e et e sont grandes par rapport à la distance entre les sources (h e ^ e h$i e I G H ), on peut remplacer e et e aura alors : 7(8 ;H = >? F @(BI ^ e L (5.11) (5.12) par e dans le dénominateur des équations précédentes. On e ; (5.13)

t o t l 5.1. SUPRPOSITIO D DUX ODS MOOCHROMATIQUS 47 5.1.4 Interférences par division d amplitude Les systèmes interférentiels par division d amplitude sont d une grande importance pratique. On peut citer : l interféromètre de Michelson, l interféromètre de Mach-Zehnder et l interféromètre de Sagnac. L interféromètre de Michelson fournit un exemple simple d interférence à deux ondes. Une lame semi-réfléchissante j sépare l onde incidente en deux ondes d intensités comparables. Après réflexion sur les miroirs Mk et Ml, les deux faisceaux sont superposés en retraversant la lame séparatrice. On peut faire varier la différence de phase m(n1opn l<q n k des deux ondes en variant la distance entre la lame séparatrice et un des miroirs. Calculons cette différence de phase pour un appareil idéal, avec une lame L infiniment mince et ayant les mêmes coefficients de transmission et de réflexion (50 % et 50 %) quel que soit le sens de traversée. A la première traversée de L, les deux ondes ont la même amplitude rs (au signe près) et la même phase n$s. Considérons l onde (1). Au point Mk, l onde s écrira: t k u v k ẅ oor sx y z{ "}6~ (5.14) L amplitude r k au point Mk est donc égale à l amplitude r s au point L multipliée par un terme de phase: ƒ u nk w, avec nk(o u j v k w. Considérons maintenant l onde réfléchie sur le miroir Mk. n accord avec les résultats du chapitre précédent, l amplitude sera multipliée par un coefficient de réflexion qui dépend de la nature du miroir (pour une réflexion sur un conducteur parfait, o q ˆ ). L onde réfléchie sur Mk aura donc, au point L, l amplitude: k u j<ẅ o k u v k wm x y z{ "} ~ oor s x y z { "} ~ (5.15) Le même calcul pour l onde (2) conduit à une expression similaire avec u j v l w à la place de j v k. On a donc, au point d observation, deux ondes de même fréquence et de même amplitude, se superposant avec une différence de phase: m(nšo Œ m&jžo0 Œ m(j (5.16) où m&jžo u j v k q j v l w (5.17) est la différence de chemins optiques. Le terme d interférence dépendra donc de la différence de distance entre les miroirs et la lame séparatrice. L intensité au point d observation est alors donnée par : s u ˆ< m(nẅ od s " l u m(n w (5.18) avec s op r s l. otons que r s est l amplitude de l onde après la lame séparatrice et donc elle est la moitié de l amplitude de l onde incidente dans l appareil. Il s ensuit que s o y š. Il faut noter aussi que selon la nature de la lame séparatrice, il est nécessaire dans certains cas. d ajouter à m(n un déphasage supplémentaire de Œ

œ Á 48 CHAPITR 5. ITRFÉRCS T COHÉRC DS SOURCS 5.1.5 Interférence par division du front d onde Les systèmes interférentiels par division du front d onde les plus connus sont : (a) les miroirs de Fresnel, (b) le biprisme de Fresnel et (c) les fentes de Young. C est ce dernier qui est le plus important pour les applications. Il est constitué de deux fentes de largeur œ éclairées par une source primaire. Pour que deux rayons issus de deux fentes puissent interférer en un point, il est nécessaire de tenir compte de la diffraction. On obtient alors pour les conditions de la diffraction de Fraunhofer et pour une incidence normale : ž ŸŽ O < 1 " ª «A ª ª A ªp " et après intégration : ž Ÿ1 M O ª ±$²"³< C«A ª «$ ª «ª ª Ÿ sinc œ Š¼º$»Š L intensité au point sera donc donnée par : ½ Ÿ1 ¹O¾ ½ sincª Ÿ avec : Å&Æ ¹ ¾ È º ª ±² ª ¼"ºA»Š À Á  Ã"Ä Ÿ Å&Æ Ç " ª ±$²³ µ" &¹ º» (5.19) " ª ±² ª µ (5.20) (5.21) Å(É Å&É ¹0Ê» (5.22) où est la distance par rapport au centre du diagramme d interférence et» la distance entre le plan d observation et le plan des fentes. Ainsi ½ Ÿ1 se présente sous la forme du produit d un terme de diffraction qui dépend de la largeur de la fente œ, par un terme d interférence qui dépend de la distance Ê entre les fentes. Si on a œ(ë Ê, alors pour de l ordre de ºA»Š¼ Ê, le terme de diffraction est pratiquement égal à 1 et on a : ½ ŸŽ ¹4Ì ½  ÃÄ ª Ÿ Å&Ƽ ¾ ¹O¾ ½ Ÿ Á  Ã"Ä Ÿ Å&Æ (5.23) 5.2 Cohérence temporelle La cohérence spectrale n est pas parfaite quand la source n est pas monocromatique. Dans un grand nombre de cas cependant, l onde peut être considérée ½ Í Ÿ comme quasi-monocromatique caractérisée par une distribution d intensité spectrale Î, centrée autour d une fréquence, qui est proportionnelle à l énergie fournie par la source entre et. On écrira : ½Ð Í Ÿ où &Î ½ Í Ÿ ÏÎ ¹ ½ Ð ½ Í Ÿ &Î est la distribution d intensité spectrale normalisée, telle que : ½Ð Í Ÿ ÏΠϹ (5.24) (5.25)

Û Ö Ò û â ù Û Û Ö Û 5.2. COHÉRC TMPORLL 49 5.2.1 xemples de distribution d intensité spectrale d une source A Ñ Deux formes simples de distribution spectrales sont la lorentzienne et la gaussienne. Distribution lorentzienne lle est de la forme : Ò Ó Ô Õ Ö& Ö Ø Ù Ú ÖAÜÝ Þ Õ ÖÏ Ö Ø Ù ß àoõ ÖAÜÝ"Ù ß (5.26) C est la forme qu on obtient pour une source à haute pression, où le temps entre collisions (donné par á$â ) est très court. La largeur caractéristique de cette distribution est donnée par Ö&Úäã Ü Þ áâ. B Ñ Distribution gaussienne Dans ce cas : Ò Ó Ô Õ ÖÏ Ö Ø Ù Ú ã ß ï å Ý ÞÏæ çèaé ê èaê ë ì í î í (5.27) æ et elle correspond à une source à basse pression où la largeur est due à l effet Doppler (c est-àdire à l effet de l agitation thermique). La largeur caractéristique de cette distribution est donnée par Û Ö&ÚOÝð ñòmæ. 5.2.2 Durée et longueur de cohérence Les ondes de fréquence différentes ne donnent pas de termes d interférence quand on moyenne la puissance instantanée sur des temps longs. Dans un interféromètre de Michelson on observera alors : ÓÏÚOÝMÓ Øó ô Ö Ó Ô Õ ÖÏ Ö Ø ÙÕ ã<àõ ö Õ ÖAÙ Ù (5.28) Û(ø avec Û&ø Õ ÖAÙ Ú Ý Þ Ö Û(ú ÚOÝ Þ ÖMû (5.29) où Û(ú ûoú est la différence de marche des deux chemins optiques dans l interféromètre et Û(ú Ü ù le temps qui met Ö la Ö"ü lumière pour parcourir la différence de marche Û&ú. Pour deux fréquences différentes et on aura des différences de phases Û(ø Õ ÖAÙ et Û&ø Õ Ö"ü Ù différentes. Si : Û&ø Õ Ö ü Ù Û&ø Õ ÖAÙMÚDÝÞ ûïõ Ö ü ÖAÙMýþÝ Þ (5.30) alors les franges ne seron pas brouillées. Si on dénote par : Úäã Ü (5.31) avec Û la largeur caractéristique de la distribution spectrale de la source, la condition pour n est pas avoir du brouillage est : û ýÿû â (5.32)

50 CHAPITR 5. ITRFÉRCS T COHÉRC DS SOURCS On appelle la durée de cohérence de la source. n termes de chemins optique on a : avec (5.33) qu on appelle la longueur de cohérence temporelle de la source. 5.2.3 Degré de cohérence temporelle!!" #%$ '&!( (5.34) est une quantité réelle, ) Re *!,+'-%./ 0 1 2 34( (5.35) n utilisant (5.25) dans l équation (5.28), on obtient : qu on peu écrire, puisque On définit le degré de cohérence temporelle par : 5,6!!,+ -%./ 0 71-81 9 :2 (5.36) et alors, en posant5 6 <;5 6 ; = >,? A@ B 6!, C) ;5,6! ; " #%$ & B 6!! D (5.37) 5.2.4 Visibilité : théorème de Wiener et intchine La B fonction cosinus dans (5.37) varie beaucoup plus rapidement en fonction de que ;5 6! ; et que 6!. Les valeurs extrêmes de l intensité sont donc donnés par : GF H ) ;5,6! ;! IJ. ;5%6! ;! (5.38) On obtient donc le facteur de visibilité : LM GF H O4P Q.. R;5 6! ; (5.39) expression qui est connue en optique sous le nom de théorème de Wiener et intchine. 5.3 Cohérence spatiale La cohérence spatiale n est pas parfaite quand la source n est pas ponctuelle. Supposons une source étendue dans la directions. On définit alors une distribution spatiale d intensité S! proportionnelle à l énergie fournie par la source entres ets S. On écrira : T U! S! S! (5.40) où est la distribution spatiale d intensité normalisée, telle que : S!8 S (5.41)

5.3. COHÉRC SPATIAL 51 5.3.1 xemple de distribution spatiale d intensité d une source La plus simple de formes est la distribution rectangulaire : WV X Y Z[X ]_^ `'acbad Z[ef acbg`'gchz[xah Z[e i acbg`'g pour (5.42) et 0 ailleurs. 5.3.2 Largeur de cohérence On supposera que chaque point de la source n interfère qu avec lui même (source incohérente). Sur le plan image, on observe alors la somme des intensités associées aux différentes sources ponctuelles composant la source étendue. Dans un interféromètre du type fentes de Young on observe, pour une source monochromatique, : W]g)W e,jk%z[x WVX YZ[X TY ^i l m,n8a o YZ[X (5.43) avec aco YZ X ] g p acrsyztx q acrsyz X (5.44) acrsyztx t] où est la différence de marche des deux chemins dans l interféromètre ZTX ugv wf ZTX u x w. Si y X, la distance du plan de la source au plan des fentes et y la distance entre les plan des fentes et le plan d observation des interférences, sont très supérieures à la distancez entre les fentes, a rsyz X ){_YZ X ` y X i w` y z (5.45) aco Y b aco Y Pour b ZTX Z8 X deux points de la source différentes et on aura des différences de phases et différentes. Si : a o YZ X Gf aco YZ X ] g p q Y a rsyz X Gf acrsyz X } g'p (5.46) acrsyz[ X Gf acrsyz X alors les franges ne seron pas brouillées. D après (5.45), peut s écrire : a rsyz X Gf acrsyz X G]RYZ X f~z X z ` y X (5.47) Si on dénote par a b la largeur caractéristique de la distribution spatial d intensité de la source, alors la condition (5.46) pour n est pas avoir du brouillage s écrit : acb z ` y X)} q (5.48) Si on défini par : X ] q y X `'acb (5.49) la largeur de cohérence de la source, cette condition s écrit : z } X ] q y X ` a b (5.50) X Y q4 a b dépend des caractéristiques intrinsèques de la source mais également otez que de la distancey X : plus la source est éloignée, plus elle semble ponctuelle.

52 CHAPITR 5. ITRFÉRCS T COHÉRC DS SOURCS 5.3.3 Degré de cohérence spatiale n utilisant (5.41) dans l équation (5.43), on obtient : [ ƒ~ G ) ˆ )Š Œ% [ŽA Ž [Ž A, 4 ' G ' T [Ž ŽTŠ ƒ 8 (5.51) [ TŽ qu on peut écrire, puisque est réelle : T ƒ ) ˆ )Š Re Œ' Ž Ž Ž,š' %œ ž Ÿ T 8 T 4 G (5.52) On définit le degré de cohérence spatiale par : ª Ž, Œ' TŽ Ž [Ž,š %œ ž Ÿ T (5.53) alors en posantª Ž <«ª Ž 8 «, G s ±GŽ 8 : [ ƒ~ ² ) ³ Š «ª Ž 8 «, % 4ƒ 8 ' [ Š ±GŽ, µ (5.54) 5.3.4 Visibilité : théorème de Van Cittert et Zernike n fonction de ƒ, les valeurs extrêmes de l intensité, pour une distance entre fentes donnée, sont : 8 ' Š «ª Ž 8 «œ¹ 8 ² % ' A «ª Ž, «(5.55) On obtient alors le facteur de visibilité : º», )¼ œ¹ ½T¾ Š œ¹ <«ª Ž 8 «(5.56) expression qui est connue en optique sous le nom de théorème de Van Cittert et Zernike.